Các ABC chính xác được nghiêncứu cho phương trình truyền nhiệt, phương trình khuếch tán-truyền tải, phươngtrình Schrodinger, ...Trong các bài toán trong miền không giới nội sử dụng ABC,
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
…… ….***…………
TRẦN ĐÌNH HÙNG
PHƯƠNG PHÁP HỆ VÔ HẠN GIẢI GẦN ĐÚNG
MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN TUYẾN TÍNH TRONG MIỀN KHÔNG GIỚI NỘI
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 62 46 01 12
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội – 2016
Trang 2Công trình được hoàn thành tại: Học viện Khoa học và Công nghệ -
Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam
Người hướng dẫn khoa học: GS TS Đặng Quang Á
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ, họp tại Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam vào hồi … giờ …, ngày … tháng … năm 201…
Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ
- Thư viện Quốc gia Việt Nam
Trang 3MỞ ĐẦU
Nhiều bài toán vật lý, cơ học, môi trường, được đặt ra trong các miền khônggiới nội (hay còn gọi là các miền vô hạn), chẳng hạn, bài toán truyền nhiệt trongthanh dài vô hạn hoặc nửa vô hạn, bài toán lan truyền khí thải trong khí quyển,bài toán thăm dò địa chất bằng điện trường, bài toán lan truyền sóng trong cáclĩnh vực: âm học, khí động học, địa vật lý chất rắn, hải dương học, khí tượng học,điện từ, Để giải quyết các bài toán này, người ta thường hạn chế xét bài toántrong miền giới nội và sử dụng nhiều phương pháp đã có để tìm nghiệm chính xáchoặc nghiệm gần đúng trong miền hữu hạn này Khi đó một loạt vấn đề đặt ra làxét miền rộng bao nhiêu là đủ và đặt điều kiện trên biên ảo như thế nào để thuđược nghiệm gần đúng xấp xỉ tốt nghiệm của bài toán trong miền không giới nội.Cách làm đơn giản nhất là chuyển nguyên điều kiện biên tại vô cùng vào biên ảo.Cách làm thô thiển này tất nhiên có thể dẫn đến sự sai khác lớn của nghiệm bàitoán gốc Vì thế, thay cho việc chuyển nguyên điều kiện biên người ta tìm cáchđặt điều kiện biên thích hợp trên biên ảo Những điều kiện biên này được gọi làđiều kiện biên nhân tạo hay điều kiện biên hấp thụ (ABC) (artificial or absorbingboundary condition) khi một số "năng lượng" bị hấp thụ trên biên Hiện nay, hầuhết các kỹ thuật được áp dụng để thiết lập ABC có thể chia thành hai cách thựchiện: Cách thứ nhất (ABC toàn cục), ABC thường được cho dưới dạng các biểuthức tích phân trên biên ảo ABC toàn cục thường đạt được độ chính xác cao vàthuật toán số tin cậy nhưng lại khá phức tạp và khó thực hiện tính toán Cáchthứ hai (ABC địa phương), ABC thường được cho dưới dạng một phương trìnhtrên biên ảo ABC địa phương có thuật toán đơn giản, dễ dàng thực hiện giải
số tuy nhiên chúng lại có độ chính xác không cao bằng Tsynkov đã thực hiện
so sánh một số bài toán đánh giá sự khác biệt của hai cách thực hiện trên Nếunghiệm xấp xỉ hạn chế trên miền giới nội trùng với nghiệm chính xác trên miềnkhông giới nội thì các ABC này được gọi là các ABC chính xác hay điều kiện biêntrong suốt (transparent boundary condition)
Trong các bài toán về phương trình sóng (điện từ, âm thanh, địa chấn, ),ABC thường được đề cập đến như các điều kiện biên không phản xạ (NRBC)(non-reflecting boundary condition) Chúng được xây dựng với mục đích xấp xỉnghiệm chính xác của bài toán trong miền không giới nội giới hạn trong miền giớinội Sử dụng NRBC, miền không giới nội được chia thành hai phần, miền hữuhạn tính toán và miền vô hạn còn lại Điều kiện biên đặc biệt được thiết lập trênABC đảm bảo nghiệm trong miền hữu hạn là duy nhất và không có (hoặc rấtít) sự phản xạ của sóng ảo xảy ra từ ABC Đây là hướng nghiên cứu được rất
Trang 4nhiều nhà toán học, cơ học, vật lý quan tâm Các ABC chính xác được nghiêncứu cho phương trình truyền nhiệt, phương trình khuếch tán-truyền tải, phươngtrình Schrodinger,
Trong các bài toán trong miền không giới nội sử dụng ABC, có một nhận xétrằng trong các giả thiết của bài toán gốc, hàm vế phải và các điều kiện biên banđầu thông thường được giả thiết có giá compact trong không gian Đây là điềukiện quan trọng trong việc chia miền không giới nội thành hai miền tính toán congiới nội và không giới nội trong các phương pháp sử dụng ABC
Gần đây một số nhà toán học Nga đã đề xuất một cách xử lý mới các bài toántrong miền vô hạn, đó là sử dụng lưới tính toán tựa đều Phương pháp này dựatrên việc biến đổi tọa độ, ánh xạ miền không giới nội tới miền giới nội Một lướiđều trong miền bị chặn ánh xạ tới một lưới không đều được gọi là lưới tựa đềutrong miền vô hạn Theo lưới tựa đều, điều kiện biên tại vô cùng được xử lý mộtcách dễ dàng Ý tưởng của phương pháp này xuất hiện từ những năm bảy mươicủa thế kỷ trước nhưng việc sử dụng nó để giải các bài toán trong miền khônggiới nội chỉ mới cách đây hơn một thập kỷ
Khác với các cách làm trên, chúng tôi tiếp cận tới các bài toán biên tuyến tínhtrong miền không giới nội bởi hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính Nóichính xác hơn là chúng tôi xây dựng lược đồ sai phân của bài toán trong toànmiền không giới nội và giải hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính thu đượcthông qua việc chặt cụt hệ phương trình vô hạn, thu được nghiệm của bài toán saiphân với sai số cho trước Một số kết quả đối với các bài toán ô nhiễm khí quyểndừng và một số bài toán không dừng một chiều không gian đã được công bố Gầnđây, chúng tôi đã phát triển thành công phương pháp cho một bài toán elliptictrong nửa dải Cụ thể là, sau khi rời rạc hóa bài toán bởi phương pháp sai phân,
sử dụng ý tưởng của Polozhii trong phương pháp biểu diễn tổng chúng tôi đã đưađược hệ vô hạn phương trình véc tơ ba điểm về các hệ phương trình sai phân vôhướng ba điểm và thu nhận được nghiệm gần đúng của bài toán với sai số chotrước Cần nhấn mạnh ở đây rằng, trong phương pháp này các hàm vế phải vàcác điều kiện ban đầu không cần giả thiết có giá compact - điều kiện tiên quyếttrong các phương pháp sử dụng ABC Có thể nói đây là một phương pháp mới,
áp dụng có hiệu quả đối với các bài toán trong miền không giới nội mà phươngtrình cuối được đưa về dạng hệ phương trình vô hạn ba điểm Phương pháp nàycũng có thể được sử dụng một cách linh hoạt khi kết hợp với các phương phápkhác như phương pháp chia miền giải các bài toán biên hỗn hợp mạnh trong miềnkhông giới nội Hơn nữa, thuật toán số có thể dễ dàng lập trình tính toán trênmáy tính điện tử Tuy nhiên chúng tôi mới chỉ áp dụng thành công phương phápnày cho các bài toán biên tuyến tính trong miền không giới nội
Những đóng góp mới của luận án:
- Đề xuất phương pháp hệ vô hạn giải một số bài toán một chiều trong nửa trục
- So sánh phương pháp hệ vô hạn trên lưới không đều có cấu trúc và phương pháplưới tựa đều
- Thiết lập sự ổn định và hội tụ của một phương trình elliptic trong nửa dải, đềxuất phương pháp đưa hệ phương trình véc tơ ba điểm về hệ phương trình vôhướng ba điểm
Trang 5- Đề xuất phương pháp lặp giải bài toán elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnhtrong nửa dải.
- Đề xuất một phương pháp số giải một bài toán song điều hòa trong nửa dải.Nội dung luận án gồm 3 chương:
Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị và kết quả bổ trợ bao gồm một
số kiến thức cơ bản về phương pháp truy đuổi giải hệ phương trình vô hướng bađiểm, hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính, lưới tựa đều và giới thiệu về thưviện chương trình giải số bài toán elliptic với các điều kiện biên hỗn hợp yếu Cáckiến thức cơ bản và kết quả thu được trong chương 1 sẽ đóng vai trò rất quantrọng, làm nền tảng cho các kết quả sẽ được trình bày trong chương 2 và chương3
Chương 2 đề xuất phương pháp hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính
và trình bày phương pháp sử dụng lưới tựa đều giải một số bài toán một chiềutrên nửa trục là mô hình của các quá trình vật lý như truyền nhiệt dừng, truyềnnhiệt không dừng, bài toán mô phỏng hiện tượng sóng, so sánh phương pháp hệ
vô hạn trên lưới đều, lưới không đều với các nút lưới tăng dần và phương pháplưới tựa đều
Chương 3 trình bày các kết quả nghiên cứu về giải gần đúng một số bài toánhai chiều trong miền không giới nội Đầu tiên chúng tôi giải một bài toán elliptictrong nửa dải, trong đó sử dụng ý tưởng của Polozhii trong phương pháp biểudiễn tổng để đưa hệ phương trình véc tơ ba điểm về hệ phương trình vô hướng
ba điểm Tiếp theo chúng tôi giải bài toán biên hỗn hợp mạnh trong nửa dải,trong đó có một điểm trên biên vô hạn phân cách các loại điều kiện biên, sử dụngphương pháp chia miền đưa về hai bài toán elliptic trong miền giới nội và miềnkhông giới nội Đồng thời trong chương này cũng trình bày phương pháp số giảibài toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp yếu trong nửa dải thông quaviệc giải hai bài toán cấp hai trong nửa dải
Trong luận án, các kết quả lý thuyết đã được kiểm tra bằng các thực nghiệmtính toán được lập trình trong môi trường MATLAB 7.0 trên máy tính Intel Corei7-2670QM CPU 2.2GHz
Trang 61.1 Phương pháp truy đuổi giải hệ phương trình vô hướng ba điểm: Các kháiniệm hệ phương trình vô hướng ba điểm, phương pháp truy đuổi từ phải, từ trái
và từ hai phía, trình bày tính khả thi và ổn định của phương pháp
1.2 Hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính: Trình bày các khái niệm về hệ
vô hạn phương trình đại số tuyến tính, nghiệm chính, các định lý so sánh Địnhnghĩa hệ chính quy và hoàn toàn chính quy, trình bày các định lý về sự tồn tại,duy nhất nghiệm và chặt cụt hệ vô hạn
1.3 Lưới tựa đều: Trình bày khái niệm lưới tựa đều, một số lưới tựa đều thôngdụng và tính chất của chúng Các xấp xỉ đạo hàm trên lưới tựa đều
1.4 Thư viện chương trình giải bài toán elliptic trong miền chữ nhật : Giớithiệu về thư viện chương trình giải bài toán elliptic với các điều kiện biên hỗnhợp yếu trong miền chữ nhật
Trong mục 1.2 chúng tôi trình bày các kết quả cơ bản về hệ vô hạn các phươngtrình đại số tuyến tính Xét hệ phương trình vô hạn
n→+∞x(n)i = x∗i
Trang 7Định nghĩa 1.2.8 Hệ vô hạn (1.2.2) được gọi là hệ chính quy nếu
vô hạn chính quy (1.2.2) thỏa mãn điều kiện (1.2.13) thì nó có nghiệm bị chặn
|xi| ≤ K và nghiệm này có thể tìm bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp
Định lý 1.2.16 (Bondarenko P.S.) Hệ chính quy chỉ có thể có không quá mộtnghiệm tiến tới 0, nghĩa là
Trang 8vô hạn các phương trình đại số tuyến tính, xác định tiêu chuẩn chặt cụt hệ này
để thu được nghiệm của bài toán sai phân với sai số cho trước Trong chươngnày, chúng tôi đề xuất và nghiên cứu phương pháp hệ vô hạn các phương trìnhđại số tuyến tính giải một số bài toán biên một chiều trong miền không giới nội:bài toán truyền nhiệt dừng một chiều, bài toán truyền nhiệt một chiều, phươngtrình dạng phức hợp Các kết quả chính trong chương này đã được công bố trongcông trình [1] và [3]
2.0 Phương pháp chặt cụt một loại phương trình sai phân ba điểmXét hệ vô hạn phương trình sai phân vô hướng ba điểm
−Aivi−1 + Civi − Bivi+1 = fi, i = 1, 2,
C0v0 − B0v1 = f0, vi → 0, i → ∞, (2.0.1)trong đó
Trang 9ta có thể viết hệ (2.0.1) trong dạng chính tắc của hệ vô hạn phương trình (1.2.2)như sau:
Một câu hỏi được đặt ra là xác định cỡ của hệ chặt cụt nhằm đảm bảo nghiệmxấp xỉ với sai số cho trước Dưới đây ta sẽ đưa ra một phương pháp xác định cỡcủa hệ chặt cụt
Theo phương pháp truy đuổi giải hệ ba đường chéo, ta tìm nghiệm của (2.0.4)dưới dạng
vi = αi+1vi+1+ βi+1, i = 0, 1, , (2.0.7)trong đó các hệ số được xác định bởi công thức
Trang 10Khi đó, nếu cho trước độ chính xác ε > 0 thì số tự nhiên N nói trên được chọn
Nhận xét 2.0.4 Trong quá trình thực nghiệm tính toán, ta tiến hành khảo sát
0 < K0 ≤ k(x) ≤ K1, 0 < D0 ≤ d(x) ≤ D1, f (x) → 0 khi x → ∞ (2.1.2)
Để giải bài toán (2.1.1)-(2.1.2), ta sử dụng lưới đềuωh = {xi = ih, i = 0, 1, },xét lược đồ sai phân xấp xỉ cấp O(h2) của bài toán (2.1.1)
−1h
v0 = µ0, vi → 0, i → ∞,trong đó ai = k(xi− h/2), di = d(xi), fi = f (xi) Viết lại lược đồ sai phân dướidạng các phương trình sai phân vô hướng ba điểm
−Aivi−1 + Civi − Bivi+1 = fi, i = 1, 2,
v0 = µ0, vi → 0, i → ∞, (2.1.13)trong đó
Trang 110 < D0 ≤ di = Ci − (Ai+ Bi) ≤ D1, i = 1, 2,
Do đó giả thiết của Bổ đề 2.0.1 thỏa mãn và ta có thể áp dụng Định lý 2.0.2trong trường hợp này để chặt cụt hệ vô hạn (2.1.13) tại N để thu được nghiệmgần đúng với sai số ε cho trước
Nhận xét 2.1.5 Trường hợp tại biên trái đặt điều kiện biên Neumann thì bàitoán được xử lý tương tự
Nhận xét 2.1.7 Nếu ta sử dụng lưới đều với bước lưới h nhỏ thì điểm chặt cụt
hệ vô hạn N có thể rất lớn Do đó, theo giả thiết hàm u triệt tiêu tại vô cùng, ta
sẽ sử dụng lưới tính toán không đều với bước lưới tăng dần để có thể thu được số
N nhỏ hơn
2.1.2 Sử dụng lưới không đều và lưới tựa đều
Xét lưới không đều ω
Do đó hệ (2.1.13), (2.1.15) thỏa mãn điều kiện (2.0.2) và ta có thể áp dụng Định
lý 2.0.2 trong trường hợp này để chặt cụt hệ vô hạn (2.1.13) tại N để thu đượcnghiệm gần đúng với sai số ε cho trước
Trong trường hợp sử dụng lưới tựa đều, ta có phương trình sai phân vô hướng
ba điểm hữu hạn của bài toán (2.1.1)
−Aivi−1 + Civi− Bivi+1 = fi, i = 1, 2, , Nq − 1
v0 = µ0, vNq = 0 (2.1.18)
Trang 122.1.3 Kết quả thử nghiệm và so sánh hai phương pháp hệ vô hạn vàlưới tựa đều
Dưới đây chúng tôi trình bày các thực nghiệm tính toán để chứng tỏ tính hữuhiệu của phương pháp được đề xuất trên một số ví dụ, trong đó bài toán (2.1.1)
có nghiệm đúng cho trước Các hàm vế phải tương ứng dần tới 0 tại vô cùng Cácthực nghiệm tính toán được thực hiện trên lưới đều (UG) với bước lưới h; lướikhông đều với các bước lưới tăng dần bhi+1 = rbhi, i = 1, 2, , mà để cho dễ thamchiếu ta sẽ ký hiệu là lưới Lr Tham số điều khiển r > 1 được lựa chọn một cáchthích hợp bởi các thực nghiệm để đạt được nghiệm xấp xỉ với độ chính xác cao
và giảm số điểm chặt cụt hệ vô hạn Trong các ví dụ này, ta chọn tham số điềukhiển r = 1.1 và đối với lưới tựa đều, chọn tham số điều khiển c = 1, thực hiệntrên 3 lưới tựa đều LG, TG, HG Trong bảng kết quả thu được N là cỡ của hệđược chặt cụt với độ chính xác εtheo Định lý 2.0.2, error = max
0≤i≤N|vi− u(xi)| biểudiễn sai số của nghiệm xấp xỉ so với nghiệm chính xác Để so sánh hiệu quả củaphương pháp hệ vô hạn trên lưới không đều Lr và phương pháp lưới tựa đều, tachọn Nq bằng số N chặt cụt hệ vô hạn trong trường hợp lưới Lr
Ví dụ 2.1.1 Xét bài toán (2.1.1) với
k(x) = 1 + 1
1 + x, d(x) = 1 + sin
2x, u = 1
x2 + 1, h = 0.1, bh1 = 0.01.Kết quả về sự hội tụ của các phương pháp được trình bày trong Bảng 2.1 Từbảng này thấy rằng sử dụng lưới không đều Lr cho sai số bé hơn và điểm phảichặt cụt hệ vô hạn nhỏ hơn nhiều so với sử dụng lưới đều Trong trường hợp lướiđều, error = 0.0012 > ε = 0.001 là do error biểu diễn sai số của nghiệm xấp xỉ
so với nghiệm chính xác còn sup
Trang 13Bảng 2.1: Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 2.1.1
Bảng 2.2: Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 2.1.2
hệ vô hạn trên lưới Lr cho nghiệm xấp xỉ tốt hơn một chút so với phương pháp
sử dụng lưới tựa đều
2.2 Phương pháp hệ vô hạn giải phương trình parabolic trên thanhnửa vô hạn
Xét bài toán truyền nhiệt với hệ số hằng k > 0
∂u
∂t − k∂
2u
∂x2 = f (x, t), 0 < x < +∞, t > 0,u(x, 0) = ϕ(x), u(0, t) = ψ(t),
u(x, t) → 0, f (x, t) → 0, x → ∞
(2.2.2)
Sử dụng lưới đềuωh,τ và lược đồ sai phân ẩn thuần túy với xấp xỉ cấpO(h2+τ )
ta thu được các phương trình sai phân vô hướng ba điểm tại mỗi lớp thời gian jcủa bài toán (2.2.2)
−Aivji−1+ Civij − Bivji+1 = Fij, i = 1, 2, , j = 1, 2,
v0j = ψ(tj), vji → 0, i → ∞, (2.2.3)trong đó các hệ số được xác định:
Ai = Bi = k
h2, i = 1, 2, (2.2.4)Trong trường hợp lưới không đềuω
b h,τ theo biến x, các hệ số trong (2.2.3) đượcxác định:
Ai = k
~ibhi, Bi =
k
~ibhi+1, i = 1, 2, (2.2.5)Trong trường hợp lưới tựa đều theo biến x ta có lược đồ sai phân vô hướng bađiểm hữu hạn của (2.2.2):
−Aivi−1j + Civij − Bivi+1j = Fij, i = 1, 2, , Nq − 1, j = 1, 2,
