Phương pháp hệ vô hạn giải gần đúng một số bài toán biên tuyến tính trong miền không giới nội

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ --- TRẦN ĐÌNH HÙNG PHƯƠNG PHÁP HỆ VÔ HẠN GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN TUYẾN TÍ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

-

TRẦN ĐÌNH HÙNG

PHƯƠNG PHÁP HỆ VÔ HẠN GIẢI GẦN ĐÚNG

MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN TUYẾN TÍNH TRONG MIỀN KHÔNG GIỚI NỘI

LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC

HÀ NỘI – 2016

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

…… ….***…………

TRẦN ĐÌNH HÙNG

PHƯƠNG PHÁP HỆ VÔ HẠN GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN TUYẾN TÍNH TRONG MIỀN KHÔNG GIỚI NỘI

LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng

LỜI CAM ĐOAN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS TS Đặng Quang

Á Tôi xin cam đoan những kết quả trình bày trong luận án là mới, trungthực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình của ai khác, cáckết quả thực nghiệm đã được kiểm tra bằng các chương trình do chính tôithiết kế và kiểm thử trên môi trường Matlab, số liệu là hoàn toàn trungthực Những kết quả viết chung với Thầy hướng dẫn đã được sự đồng ýkhi đưa vào luận án

Nghiên cứu sinh

Trần Đình Hùng

LỜI CẢM ƠN

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới Thầyhướng dẫn, GS TS Đặng Quang Á Tôi vô cùng biết ơn sự giúp đỡ tậntình, quí báu mà Thầy đã dành cho tôi trong suốt quá trình thực hiệnluận án Thầy đã dành cho tôi rất nhiều sự quan tâm, chỉ dẫn và độngviên giúp tôi cảm thấy tự tin hơn, vượt qua được những khó khăn, vất vảtrong suốt quá trình nghiên cứu Nhờ những ý tưởng mà Thầy đã gợi ý,những tài liệu bổ ích mà Thầy đã cung cấp cùng với sự hướng dẫn, chỉbảo nhiệt tình của Thầy về công việc nghiên cứu, tôi đã hoàn thành đề tàicủa mình

Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy và các cán bộ nghiên cứu trongViện Công nghệ thông tin Trong thời gian qua, Viện CNTT đã tạo chotôi môi trường làm việc hết sức thuận lợi và thường xuyên có những lờiđộng viên, nhắc nhở giúp tôi thực hiện tốt công việc nghiên cứu đề tài.Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến lãnh đạo Trường Đại học Sư Phạm,Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán cùng toàn thể giáo viêntrong khoa, các bạn bè đồng nghiệp, đến gia đình và người thân đã độngviên khuyến khích, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu

Xin chân thành cảm ơn

Danh mục các chữ viết tắt và các

ký hiệu

ABC Điều kiện biên nhân tạo

(Artificial Boundary Condition)NRBC Điều kiện biên không phản xạ

(Non-Reflecting Boundary Condition)

UG Lưới đều (Uniform Grid)

Lr Lưới không đều với các bước lưới tăng dần

b

xi+1 = xbi +bhi+1, i = 0, 1, , bhi+1 = rbhi, i = 1, 2, , r > 1

HG Lưới tựa đều hyperbol (Hyperbolic Grid)

LG Lưới tựa đều logarithm (Logarithmic Grid)

TG Lưới tựa đều tangent (Tangential Grid)

Danh sách hình vẽ

2.1 Đồ thị hàm αi, βi, βi

1−αi với h = 0.1, ε = 0.01 trong Ví dụ 2.1.1 412.2 Đồ thị nghiệm xấp xỉ trên lưới đều với h = 0.1, ε = 0.01,

error = 0.0085 trong Ví dụ 2.1.1 412.3 Đồ thị các nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.1.2 432.4 Đồ thị hàm βi

1−α i trên lưới đều với h = 0.1, ε = 0.01, N =

911, error = 0.0084 trong Ví dụ 2.1.2 442.5 Đồ thị hàm βi

1−α i trên lưới Lr với τ = 0.2, ε = 0.01, N =

50, j = 1, 2, , 10 trong Ví dụ 2.2.1 502.6 Đồ thị nghiệm xấp xỉ trên lướiLr vớiτ = 0.2, ε = 0.01, N =

50, j = 1, 2, , 10 trong Ví dụ 2.2.1 502.7 Đồ thị hàm βi

1−α i trên lưới Lr với τ = 0.1, ε = 0.01, N =

73, j = 1, 2, , 10 trong Ví dụ 2.2.2 512.8 Đồ thị nghiệm xấp xỉ trên lướiLr vớiτ = 0.1, ε = 0.01, N =

73, j = 1, 2, , 10 trong Ví dụ 2.2.2 512.9 Đồ thị hàm βi

1−α i trên lưới Lr với τ = 0.1, ε = 0.01, N =

89, j = 1, 2, , 10 trong Ví dụ 2.2.3 522.10 Đồ thị các nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.2.3 532.11 Đồ thị nghiệm xấp xỉ trên lưới đều với N = 160 trong Ví

dụ 2.3.1 572.12 Đồ thị nghiệm xấp xỉ trên lưới Lr với N = 55 trong Ví dụ 2.3.1 57

2.13 Đồ thị nghiệm xấp xỉ trên lưới tựa đều HG với Nq = 55

trong Ví dụ 2.3.1 582.14 Đồ thị nghiệm xấp xỉ trên lưới đều với N = 258 trong Ví

dụ 2.3.2 592.15 Đồ thị nghiệm xấp xỉ trên lưới Lr với N = 59 trong Ví dụ 2.3.2 592.16 Đồ thị nghiệm xấp xỉ trên lưới tựa đều HG với Nq = 100

trong Ví dụ 2.3.2 59

3.1 Các điều kiện biên 623.2 Đồ thị hàm βi,j

1−αi,j với j = 1, 2, , 9, h1 = 0.1, h2 = 0.1, ε =0.1 trong Ví dụ 3.1.1 733.3 Đồ thị nghiệm xấp xỉ với h1 = 0.1, h2 = 0.1, ε = 0.1 trong

Ví dụ 3.1.1 733.4 Đồ thị hàm βi,j

1−α i,j với j = 1, 2, , 9, h1 = 0.1, h2 = 0.1, ε =0.1 trong ví dụ 3.1.2 743.5 Đồ thị hàm βi,j

1−αi,j với j = 1, 2, , 9, h1 = 0.01, h2 = 0.1, ε =0.01 trong ví dụ 3.1.3 753.6 Đồ thị hàm βi,j

1−α i,j với j = 1, 2, , 9, h1 = 0.5, h2 = 0.1, ε =0.1 trong ví dụ 3.1.4 763.7 Đồ thị nghiệm xấp xỉ với h1 = 0.5, h2 = 0.1, ε = 0.1 trong

ví dụ 3.1.4 763.8 Đồ thị hàm βi,j

1−αi,j với j = 1, 2, , 9, ε = 0.01, N = 70 trong

Ví dụ 3.1.7 813.9 Đồ thị các nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 3.1.7 823.10 Các điều kiện biên hỗn hợp và miền con 843.11 Đồ thị hàm β

(10) i,j

1−α(10)i,j với j = 1, 2, , 15, τ = 0.5 trong Ví dụ 3.2.1.88

3.12 Đồ thị hàm βi,j

1−α(10)i,j với j = 1, 2, , 15, τ = 0.5, N(10) = 23

trong Ví dụ 3.2.2 893.13 (a) Đồ thị nghiệm xấp xỉ, (b) Đồ thị hàm ∂u∂y(xi, 0), i =

0, 1, , N và hàm xấp xỉ ∂u∂y(xbi, 0), i = 1, 2, với γ1 =

1, γ2 = 10, h1 = h2 = 1/32, ε = 0.01, τ = 0.5, N(10) = 40

trong Ví dụ 3.2.3 903.14 (a) Đồ thị nghiệm xấp xỉ, (b) Đồ thị hàm ∂u∂y(xi, 0), i =

0, 1, , N và hàm xấp xỉ ∂u∂y(xbi, 0), i = 1, 2, với γ1 =

10, γ2 = 1, h1 = h2 = 1/32, ε = 0.01, τ = 0.5, N(10) = 40

trong Ví dụ 3.2.3 913.15 (a) Đồ thị nghiệm xấp xỉ, (b) Đồ thị hàm ∂u∂y(xi, 0), i =

0, 1, , N và hàm xấp xỉ ∂u∂y(xbi, 0), i = 1, 2, với γ1 =

1, γ2 = 10, h1 = h2 = 1/32, ε = 0.01, τ = 0.5, N(10) = 41

trong Ví dụ 3.2.4 923.16 (a) Đồ thị nghiệm xấp xỉ, (b) Đồ thị hàm ∂u∂y(xi, 0), i =

0, 1, , N và hàm xấp xỉ ∂u∂y(xbi, 0), i = 1, 2, với γ1 =

10, γ2 = 1, h1 = h2 = 1/32, ε = 0.01, τ = 0.5, N(10) = 41

trong Ví dụ 3.2.4 923.17 Đồ thị hàm β

1 i,j

1−α 1 i,j

, β

0 i,j

1−α 0 i,j

và đồ thị nghiệm xấp xỉ với h2 =0.1, ε = 0.01 trong Ví dụ 3.3.1 1003.18 Đồ thị hàm β

1 i,j

1−α 1 i,j

, β

0 i,j

1−α 0 i,j

và đồ thị nghiệm xấp xỉ với h2 =0.1, ε = 0.1 trong Ví dụ 3.3.2 1013.19 Đồ thị hàm β

1 i,j

1−α1i,j, β

0 i,j

1−α0i,j và đồ thị nghiệm xấp xỉ với h2 =0.1, ε = 0.01 trong Ví dụ 3.3.3 102

Danh sách bảng

1.1 Kết quả kiểm tra độ chính xác của hàm RC0000.m (Biên

Dirichlet) 24

1.2 Kết quả kiểm tra độ chính xác của hàm RC0001.m (Một biên Neumann) 26

1.3 Kết quả kiểm tra độ chính xác của hàm RC0002.m (Hai biên Neumann) 27

2.1 Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 2.1.1 41

2.2 Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 2.1.2 42

2.3 Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 2.2.1 49

2.4 Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 2.2.2 51

2.5 Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 2.2.3 52

3.1 Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 3.1.1 73

3.2 Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 3.1.2 74

3.3 Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 3.1.3 75

3.4 Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 3.1.4 77

3.5 Sự hội tụ của 2 phương pháp trong Ví dụ 3.1.5 80

3.6 Sự hội tụ của 2 phương pháp trong Ví dụ 3.1.6 81

3.7 Sự hội tụ của 2 phương pháp trong Ví dụ 3.1.7 81

3.8 Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 3.2.1 88

3.9 Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 3.2.2 89

3.10 Sự hội tụ của phương pháp với γ1 = 1, γ2 = 10 trong Ví dụ 3.2.3903.11 Sự hội tụ của phương pháp với γ1 = 10, γ2 = 1 trong Ví dụ 3.2.4913.12 Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 3.3.1 1003.13 Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 3.3.2 1013.14 Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 3.3.3 102

Mục lục

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Danh mục các chữ viết tắt và các ký hiệu iii

Mở đầu 1

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị và kết quả bổ trợ 8

1.1 Phương pháp truy đuổi (phương pháp khử đuổi) giải hệ phương trình vô hướng ba điểm 8

1.1.1 Phương pháp truy đuổi từ phải 9

1.1.2 Phương pháp truy đuổi từ hai phía 10

1.1.3 Tính khả thi và ổn định của phương pháp 11

1.2 Hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính 12

1.2.1 Khái niệm 14

1.2.2 Các định lý so sánh 15

1.2.3 Hệ chính quy và hoàn toàn chính quy 17

1.3 Lưới tựa đều 19

1.4 Giới thiệu về thư viện chương trình giải bài toán elliptic trong miền chữ nhật 21

1.4.1 Bài toán biên Dirichlet 22

1.4.2 Bài toán với điều kiện biên Neumann 24

Chương 2 Phương pháp hệ vô hạn giải một số bài toán biên tuyến tính một chiều trên nửa trục 28 2.0 Phương pháp chặt cụt một loại phương trình sai phân ba điểm 29

2.1 Phương pháp hệ vô hạn giải bài toán dừng một chiều trên nửa trục 33

2.1.1 Mô tả phương pháp hệ vô hạn 33

2.1.2 Sử dụng lưới không đều và lưới tựa đều 38

2.1.3 Kết quả thử nghiệm và so sánh hai phương pháp hệ vô hạn và lưới tựa đều 40

2.2 Phương pháp hệ vô hạn giải phương trình parabolic trên thanh nửa vô hạn 44

2.2.1 Mô tả phương pháp 46

2.2.2 Kết quả thử nghiệm và so sánh hai phương pháp hệ vô hạn và lưới tựa đều 49

2.3 Phương pháp hệ vô hạn giải phương trình dạng phức hợp 54

2.3.1 Phát biểu bài toán và mô tả phương pháp 54

2.3.2 Ví dụ số và so sánh các phương pháp 56

Chương 3 Phương pháp gần đúng giải một số bài toán biên tuyến tính hai chiều trong nửa dải 61

3.1 Phương pháp hệ vô hạn giải một bài toán elliptic trong nửa dải 62 3.1.1 Xây dựng lược đồ sai phân 62

3.1.2 Sự ổn định và hội tụ 64

3.1.3 Phương pháp giải 67

3.1.4 Ví dụ số 72

3.1.5 So sánh phương pháp hệ vô hạn trên lưới không đều và phương pháp lưới tựa đều 77

3.2 Phương pháp số giải phương trình elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh trong nửa dải 83

3.2.1 Phương pháp lặp 85

3.2.2 Ví dụ số 87

3.3 Phương pháp số giải một bài toán cho phương trình song điều hòa

trong nửa dải 92

3.3.1 Xây dựng lược đồ sai phân 95

3.3.2 Phương pháp giải 96

3.3.3 Ví dụ số 99

Kết luận chung 104

Danh mục các công trình đã công bố 106

Tài liệu tham khảo 107

MỞ ĐẦU

Nhiều bài toán vật lý, cơ học, môi trường, được đặt ra trong cácmiền không giới nội (hay còn gọi là các miền vô hạn), chẳng hạn, bài toántruyền nhiệt trong thanh dài vô hạn hoặc nửa vô hạn, bài toán lan truyềnkhí thải trong khí quyển, bài toán thăm dò địa chất bằng điện trường, bàitoán lan truyền sóng trong các lĩnh vực: âm học, khí động học, địa vật lýchất rắn, hải dương học, khí tượng học, điện từ, Để giải quyết các bàitoán này, người ta thường hạn chế xét bài toán trong miền giới nội và sửdụng nhiều phương pháp đã có để tìm nghiệm chính xác hoặc nghiệm gầnđúng trong miền hữu hạn này Khi đó một loạt vấn đề đặt ra là xét miềnrộng bao nhiêu là đủ và đặt điều kiện trên biên ảo như thế nào để thuđược nghiệm gần đúng xấp xỉ tốt nghiệm của bài toán trong miền khônggiới nội Cách làm đơn giản nhất là chuyển nguyên điều kiện biên tại vôcùng vào biên ảo Cách làm thô thiển này tất nhiên có thể dẫn đến sự saikhác lớn của nghiệm bài toán gốc Vì thế, thay cho việc chuyển nguyênđiều kiện biên người ta tìm cách đặt điều kiện biên thích hợp trên biên ảo.Những điều kiện biên này được gọi là điều kiện biên nhân tạo hay điềukiện biên hấp thụ (ABC) (artificial or absorbing boundary condition) khimột số "năng lượng" bị hấp thụ trên biên [2] Hiện nay, hầu hết các kỹthuật được áp dụng để thiết lập ABC có thể chia thành hai cách thực hiện:Cách thứ nhất (ABC toàn cục), ABC thường được cho dưới dạng các biểu

thức tích phân trên biên ảo ABC toàn cục thường đạt được độ chính xáccao và thuật toán số tin cậy nhưng lại khá phức tạp và khó thực hiện tínhtoán Cách thứ hai (ABC địa phương), ABC thường được cho dưới dạngmột phương trình trên biên ảo ABC địa phương có thuật toán đơn giản,

dễ dàng thực hiện giải số tuy nhiên chúng lại có độ chính xác không caobằng Tsynkov [53] đã thực hiện so sánh một số bài toán đánh giá sự khácbiệt của hai cách thực hiện trên Nếu nghiệm xấp xỉ hạn chế trên miền giớinội trùng với nghiệm chính xác trên miền không giới nội thì các ABC nàyđược gọi là các ABC chính xác hay điều kiện biên trong suốt (transparentboundary condition)

Trong các bài toán về phương trình sóng (điện từ, âm thanh, địachấn, ), ABC thường được đề cập đến như các điều kiện biên không phản

xạ (NRBC) (non-reflecting boundary condition) Chúng được xây dựngvới mục đích xấp xỉ nghiệm chính xác của bài toán trong miền không giớinội giới hạn trong miền giới nội Sử dụng NRBC, miền không giới nội đượcchia thành hai phần, miền hữu hạn tính toán và miền vô hạn còn lại Điềukiện biên đặc biệt được thiết lập trên ABC đảm bảo nghiệm trong miềnhữu hạn là duy nhất và không có (hoặc rất ít) sự phản xạ của sóng ảo xảy

ra từ ABC Đây là hướng nghiên cứu được rất nhiều nhà toán học, cơ học,vật lý quan tâm Trước những năm 1980 một số NRBC bậc thấp được

đề xuất như Engquist-Majda NRBC [26] và Bayliss-Turkel NRBC [3] Sau

đó, trong những năm 1990, Berenger [4] trình bày một miền hấp thụ haycòn được gọi là "lớp khớp hoàn chỉnh" Hiện nay NRBC địa phương bậccao cho các phương trình sóng được phát triển ngày càng tinh vi (xem[7, 30, 34, 35, 53]) Các ABC chính xác cũng được nghiên cứu cho phươngtrình truyền nhiệt trong [39, 56], cho phương trình khuếch tán-truyền tải

trong [10, 38] và cho phương trình Schrodinger trong [2, 24] Gần đây dati et al [32, 33] sử dụng một dạng ABC đặc biệt được gọi là ABC phân

Gud-số liên tục, một dạng ABC có hiệu quả cao áp dụng cho mô hình sóng hấpthụ trong miền không giới nội Chúng được phát triển cho các miền đagiác lồi

Trong các bài toán trong miền không giới nội sử dụng ABC, có mộtnhận xét rằng trong các giả thiết của bài toán gốc, hàm vế phải và cácđiều kiện biên ban đầu thông thường được giả thiết có giá compact trongkhông gian Đây là điều kiện quan trọng trong việc chia miền không giớinội thành hai miền tính toán con giới nội và không giới nội trong cácphương pháp sử dụng ABC

Gần đây một số nhà toán học Nga đã đề xuất một cách xử lý mới cácbài toán trong miền vô hạn, đó là sử dụng lưới tính toán tựa đều Phươngpháp này dựa trên việc biến đổi tọa độ, ánh xạ miền không giới nội tớimiền giới nội Một lưới đều trong miền bị chặn ánh xạ tới một lưới khôngđều được gọi là lưới tựa đều trong miền vô hạn Theo lưới tựa đều, điềukiện biên tại vô cùng được xử lý một cách dễ dàng Ý tưởng của phươngpháp này xuất hiện từ những năm bảy mươi của thế kỷ trước nhưng việc

sử dụng nó để giải các bài toán trong miền không giới nội chỉ mới cáchđây hơn một thập kỷ trong các công trình [1, 28, 40, 41, 44] Fazio vàJannelli [28] xét lược đồ sai phân hữu hạn trên lưới tựa đều, xác định bởiviệc biến đổi tọa độ, áp dụng cho nghiệm số của bài toán giá trị biên trêncác khoảng vô hạn Các tác giả áp dụng phương pháp trên cho hai bàitoán kiểm tra Bài toán đầu tiên là mô hình Falkner-Skan của lý thuyếtlớp biên Bài toán thứ hai là một vấn đề được quan tâm trong kỹ thuậtnền móng Ngoài ra, các tác giả đã áp dụng ngoại suy Richardson để cải

tiến độ chính xác của các kết quả thu được Đồng thời chỉ ra một cách

mở rộng bài toán trên toàn bộ trục thực Koleva [44] sử dụng lưới tựa đềucho các bài toán truyền nhiệt 1D và 2D với các điều kiện biên phi tuyếnđơn giản Thuật toán được đề xuất hiệu quả đối với nghiệm bùng nổ do

sử dụng bước thời gian giảm, tương ứng với sự phát triển của nghiệm.Zadorin và Chekanov [58] đã đề xuất một phương pháp giải lược đồ saiphân véc tơ ba điểm trên một khoảng vô hạn và sử dụng một phương phápcắt cụt để giải lược đồ này Phương pháp được áp dụng cho một bài toánelliptic trong một dải Tuy nhiên để thực hiện phương pháp đòi hỏi việctìm nghiệm của các phương trình véc tơ rất phức tạp

Khác với các cách làm trên, chúng tôi tiếp cận tới các bài toán biêntuyến tính trong miền không giới nội bởi hệ vô hạn các phương trình đại

số tuyến tính [43] Nói chính xác hơn là chúng tôi xây dựng lược đồ saiphân của bài toán trong toàn miền không giới nội và giải hệ vô hạn phươngtrình đại số tuyến tính thu được thông qua việc chặt cụt hệ phương trình

vô hạn, thu được nghiệm của bài toán sai phân với sai số cho trước Một

số kết quả đối với các bài toán ô nhiễm khí quyển dừng [11], [12] và một

số bài toán không dừng một chiều không gian [13] đã được công bố gầnđây Trong [14] chúng tôi đã phát triển thành công phương pháp cho mộtbài toán elliptic trong nửa dải Cụ thể là, sau khi rời rạc hóa bài toán bởiphương pháp sai phân, sử dụng ý tưởng của Polozhii [48] trong phươngpháp biểu diễn tổng chúng tôi đã đưa được hệ vô hạn phương trình véc

tơ ba điểm về các hệ phương trình sai phân vô hướng ba điểm và thunhận được nghiệm gần đúng của bài toán với sai số cho trước Cần nhấnmạnh ở đây rằng, trong phương pháp này các hàm vế phải và các điềukiện ban đầu không cần giả thiết có giá compact - điều kiện tiên quyết

trong các phương pháp sử dụng ABC Có thể nói đây là một phương phápmới, áp dụng có hiệu quả đối với các bài toán trong miền không giới nội

mà phương trình cuối được đưa về dạng hệ phương trình vô hạn ba điểm.Phương pháp này cũng có thể được sử dụng một cách linh hoạt khi kếthợp với các phương pháp khác như phương pháp chia miền giải các bàitoán biên hỗn hợp mạnh trong miền không giới nội Hơn nữa, thuật toán

số có thể dễ dàng lập trình tính toán trên máy tính điện tử Tuy nhiênchúng tôi mới chỉ áp dụng thành công phương pháp này cho các bài toánbiên tuyến tính trong miền không giới nội

Nội dung chính của luận án trình bày các kết quả nghiên cứu về lý thuyết

và thực nghiệm tính toán đối với phương pháp hệ vô hạn các phương trìnhđại số tuyến tính, phương pháp lưới tựa đều và so sánh hai phương pháp

áp dụng đối với một số bài toán biên tuyến tính trong miền không giớinội: Các bài toán một chiều truyền nhiệt dừng, không dừng, phương trìnhdạng phức hợp, các bài toán hai chiều elliptic, song điều hòa với các điềukiện biên khác nhau: Dirichlet, Neumann hay điều kiện biên hỗn hợp.Luận án được viết trên cơ sở các công trình [13, 14, 15, 16, 17, 18] đãđược công bố gần đây Nội dung luận án gồm 3 chương:

Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị và kết quả bổ trợ bao gồmmột số kiến thức cơ bản về phương pháp truy đuổi giải hệ phương trình

vô hướng ba điểm, hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính, lưới tựa đều

và giới thiệu về thư viện chương trình giải số bài toán elliptic với các điềukiện biên hỗn hợp yếu Các kiến thức cơ bản và kết quả thu được trongchương 1 sẽ đóng vai trò rất quan trọng, làm nền tảng cho các kết quả sẽđược trình bày trong chương 2 và chương 3

Chương 2 đề xuất phương pháp hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến

tính và trình bày phương pháp sử dụng lưới tựa đều giải một số bài toánmột chiều trên nửa trục là mô hình của các quá trình vật lý như truyềnnhiệt dừng, truyền nhiệt không dừng, bài toán mô phỏng hiện tượng sóng,

so sánh phương pháp hệ vô hạn trên lưới đều, lưới không đều với các nútlưới tăng dần và phương pháp lưới tựa đều

Chương 3 trình bày các kết quả nghiên cứu về giải gần đúng một số bàitoán hai chiều trong miền không giới nội Đầu tiên chúng tôi giải một bàitoán elliptic trong nửa dải, trong đó sử dụng ý tưởng của Polozhii trongphương pháp biểu diễn tổng để đưa hệ phương trình véc tơ ba điểm về

hệ phương trình vô hướng ba điểm Tiếp theo chúng tôi giải bài toán biênhỗn hợp mạnh trong nửa dải, trong đó có một điểm trên biên vô hạn phâncách các loại điều kiện biên, sử dụng phương pháp chia miền đưa về haibài toán elliptic trong miền giới nội và miền không giới nội Đồng thờitrong chương này cũng trình bày phương pháp số giải bài toán song điềuhòa với điều kiện biên hỗn hợp yếu trong nửa dải thông qua việc giải haibài toán cấp hai trong nửa dải

Trong luận án, các kết quả lý thuyết đã được kiểm tra bằng các thựcnghiệm tính toán được lập trình trong môi trường MATLAB 7.0 trên máytính Intel Core i7-2670QM CPU 2.2GHz

Các kết quả trong luận án đã được báo cáo và thảo luận tại:

1 Hội nghị khoa học quốc gia lần thứ VI "Nghiên cứu cơ bản và ứngdụng CNTT", 20 - 21/6/2013 - Huế

2 Vietnam International Applied Mathematics Conference, December

19 to 20, 2013 - Ho Chi Minh City, Vietnam

3 Hội thảo Tối ưu và Tính toán Khoa học lần thứ 12, 23 25/4/2014

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị và kết

quả bổ trợ

Chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị, kết quả bổ trợ thực

sự cần thiết cho các chương tiếp theo được tham khảo từ các tài liệu[1, 41, 43, 50, 51]

giải hệ phương trình vô hướng ba điểm

Hệ phương trình ba điểm phát sinh từ xấp xỉ ba điểm cho bài toángiá trị biên của các phương trình vi phân thường cấp hai với các hệ sốhằng hoặc biến thiên Nó cũng xuất hiện khi rời rạc hóa các phương trình

vi phân đạo hàm riêng cấp hai theo từng hướng Trong trường hợp sau,chúng ta thường phải giải không chỉ một hệ phương trình sai phân ba điểmduy nhất mà phải giải một dãy các hệ phương trình với hàm vế phải khácnhau, trong đó số lượng các hệ phương trình trong dãy có thể là hàng chụchoặc hàng trăm và số lượng của các ẩn trong mỗi hệ phương trình là rấtlớn Điều này dẫn tới cần thiết phải tìm các phương pháp hữu hiệu để giảicác hệ phương trình sai phân ba điểm, trong đó số lượng các phép toán tỷ

lệ thuận với số lượng ẩn số Một trong các phương pháp trực tiếp hữu hiệu

xử lý bài toán giá trị biên cho các phương trình sai phân ba điểm với các

hệ số hằng số là phương pháp truy đuổi (một dạng đặc biệt của phươngpháp khử) Dưới đây chúng tôi sẽ trình bày tóm tắt phương pháp này

1.1.1 Phương pháp truy đuổi từ phải

trong đó αi và βi được xác định từ công thức

Các công thức (1.1.3)-(1.1.5) chứa 3N phép nhân, 2N + 1 phép chia,

3N phép cộng và trừ Khi đó tổng số phép tính toán là Q = 8N + 1, trong

đó 3N − 2 phép toán được sử dụng để tính αi và 5N + 3 phép toán đểtính βi và yi

1.1.2 Phương pháp truy đuổi từ hai phía

Tương tự như trên ta cũng có công thức truy đuổi từ trái hay công thứckhử từ trái như sau:

sử 1 ≤ m ≤ N, ta viết các công thức (1.1.3) và (1.1.8) tại i = m − 1:

yi = αi+1yi+1 + βi+1, i = m − 1, m − 2, , 0,

yi+1 = ξi+1yi + ηi+1, i = m, m + 1, , N − 1,

1.1.3 Tính khả thi và ổn định của phương pháp

Phương pháp truy đuổi từ phải được gọi là khả thi nếu ci − aiαi 6=

0, i = 1, 2, , N và nó được gọi là ổn định nếu |αi| ≤ 1

Bổ đề sau là điều kiện đủ cho tính khả thi và ổn định của công thứctruy đuổi từ phải

Bổ đề 1.1.1 [51] Giả sử các hệ số của hệ (1.1.1) là số thực và thỏa mãnđiều kiện

|b0| ≥ 0, |aN| ≥ 0, |c0| > 0, |cN| > 0, |ai| > 0, |bi| > 0, i = 1, 2, , N − 1,

|ci| ≥ |ai| + |bi|, i = 1, 2, , N − 1, (1.1.11)

|c0| ≥ |b0|, |cN| ≥ |aN|, (1.1.12)trong đó có ít nhất một bất đẳng thức trong (1.1.11) hoặc (1.1.12) là chặt,tức là ma trận A là chéo trội Khi đó trong công thức (1.1.3)-(1.1.5) củaphương pháp truy đuổi ta có

ci − aiαi 6= 0, |αi| ≤ 1, i = 1, 2, , N − 1

Điều này đảm bảo tính khả thi và ổn định của phương pháp

Chú ý 1.1.2 Các điều kiện của Bổ đề 1.1.1 cũng đảm bảo cho tính khảthi và ổn định của phương pháp truy đuổi từ trái và từ hai phía Bổ đề1.1.1 cũng áp dụng được trong trường hợp các hệ số ai, bi, ci là số phứctrong hệ (1.1.1)

Chú ý 1.1.3 Nếu các điều kiện trong Bổ đề 1.1.1 thỏa mãn thì hệ (1.1.1)

có nghiệm duy nhất với mọi vế phải

Lý thuyết hệ vô hạn phương trình tuyến tính nảy sinh và phát triểnxuất phát từ các ứng dụng của nó đối với các bài toán lấy tích phân củaphương trình vi phân Hệ vô hạn đóng vai trò quan trọng trong việc giảicác phương trình tích phân và đặc biệt trong việc tìm nghiệm của các bài

toán giá trị biên của phương trình vật lý toán.

Các nghiên cứu về hệ vô hạn phương trình tuyến tính bắt đầu pháttriển từ cuối thế kỷ 19 cho đến nay Vào những năm 1960, Kantorovich[43] đã nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp lặp cho hệ vô hạn phươngtrình chính quy

i=1|xi|2 < ∞}.Sau đó trong [42], Kantorovich đã chứng minh sự hội tụ của phươngtrình cắt cụt

Trong [57], Yingzhen và các cộng sự đã nghiên cứu biểu diễn nghiệmchính xác của hệ vô hạn các phương trình tuyến tính Ay = b bằng cách

thiết lập song ánh ρ : l2 → W1

2[0, 1], sau đó biến đổi phương trình gốcthành phương trình toán tử trong W21[0, 1]: Ku = f với u ∈ W21[0, 1], f =

ρb, K = ρAρ−1 và thu được nghiệmy = ρ−1u Ở đâyW21[0, 1] = {u|u, u0 ∈

L2[0, 1]} Các tác giả đã đưa ra điều kiện cần và đủ để hệ vô hạn phươngtrình tuyến tính có nghiệm Bài báo cũng đưa ra một số ví dụ số chặt cụt

hệ vô hạn để nhận được nghiệm xấp xỉ được đưa ra dưới dạng ẩn và đảmbảo tính hội tụ

Trong phần này chúng tôi trình bày các kết quả cơ bản về hệ vô hạncác phương trình đại số tuyến tính, bao gồm các định lý về sự tồn tại, tínhduy nhất nghiệm và cơ sở lý luận của việc tìm nghiệm bằng phương phápxấp xỉ liên tiếp Nội dung của mục này được hình thành từ tài liệu [43,Chương 1, §2]

trong đó xi là các ẩn số cần tìm, ci,k và bi là các số đã biết

Định nghĩa 1.2.1 Dãy số x1, x2, được gọi là nghiệm của hệ (1.2.2)nếu khi thay những số đó vào vế phải của (1.2.2) ta nhận được các chuỗihội tụ và tất cả các đẳng thức được thỏa mãn

Khi nghiên cứu và giải hệ (1.2.2) ta cần làm sáng tỏ các vấn đề sau:

• Hệ có nghiệm thỏa mãn các điều kiện đã cho hay không?

• Hệ có nghiệm duy nhất hay không?

• Chỉ ra phương pháp tìm được nghiệm của hệ, nói chung điều này đòihỏi vô hạn các phép toán

• Chỉ ra cách thức cho phép tìm nghiệm gần đúng của hệ bằng một sốhữu hạn các phép toán, trong đó có thể đánh giá được sai số của cácnghiệm.

Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày các vấn đề trên đối với một lớpquan trọng của hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính, đó là hệchính quy, hay hệ đều (regular)

Nếu hệ trội (1.2.3) có nghiệm không âm Xi0 ≥ 0, thì hệ phương trình (1.2.2)

có nghiệm x∗i tìm được bởi phương pháp xấp xỉ liên tiếp:

và nghiệm này thỏa mãn đánh giá

|x∗i| ≤ Xi0

Định nghĩa 1.2.4 Các nghiệm x∗i và Xi∗ tương ứng của các hệ phươngtrình (1.2.2) và (1.2.3) tìm được bởi phương pháp xấp xỉ liên tiếp cùng vớinhững giá trị ban đầu bằng không được gọi là nghiệm chính của các hệ đó

Định lý 1.2.5 (Tính duy nhất nghiệm)

Với các điều kiện và ký hiệu như trong định lý 1.2.3, hệ (1.2.2) có nghiệmduy nhất thỏa mãn bất đẳng thức |xi| ≤ P X∗

i (P là hằng số, P ≥ 1) và lànghiệm chính x∗i Mọi nghiệm gần đúng khác của hệ được giải bằng phươngpháp xấp xỉ liên tiếp với điều kiện ban đầu x(0)i tùy ý thỏa mãn điều kiện

|x(0)i | ≤ P X∗ thì hội tụ đến nghiệm chính x∗i

Định lý 1.2.6 (Chuyển qua giới hạn)

Cùng với hệ vô hạn (1.2.2), xét hệ vô hạn

1.2.3 Hệ chính quy và hoàn toàn chính quy

Định nghĩa 1.2.8 Hệ vô hạn (1.2.2) được gọi là hệ chính quy nếu

Hệ chính quy cho ρi > 0, hệ hoàn toàn chính quy cho ρi ≥ θ > 0 Giả sử

hệ (1.2.2) là hệ chính quy và các hệ số tự do bi thỏa mãn điều kiện

|bi| ≤ Kρi (i = 1, 2, ) (K = const > 0) (1.2.13)Khi đó hệ phương trình

Nếu các hệ số tự do của hệ vô hạn chính quy (1.2.2) thỏa mãn điều kiện(1.2.13) thì nó có nghiệm bị chặn |xi| ≤ K và nghiệm này có thể tìm bằngphương pháp xấp xỉ liên tiếp

Nhận xét 1.2.10 Trong trường hợp hệ (1.2.2) hoàn toàn chính quy và cóđiều kiện (1.2.13), vì ρi ≥ θ nên có thể thay điều kiện này bằng điều kiện

|bi| ≤ Kθ := P Vì P là tùy ý nên nghiệm xi của hệ hoàn toàn chính quytồn tại với mọi vế phải bị chặn tổng thể và nếu|bi| ≤ P thì|xi| ≤ Pθ(= K)

Chú ý 1.2.11 Đối với hệ chính quy (1.2.2) điều kiện (1.2.13) thỏa mãnnếu chọn K một cách thích hợp trong trường hợp các số hạng tự do của

hệ, trừ một số hữu hạn, đều bằng không Như vậy, trong trường hợp này

hệ chính quy (1.2.2) có nghiệm bị chặn duy nhất

Chú ý 1.2.12 Chúng ta đã có Định lý 1.2.9 nói về sự tồn tại nghiệm của

hệ chính quy với điều kiện (1.2.13), các hệ như vậy là các trường hợp riêngcủa các hệ có hệ làm trội với nghiệm không âm Nhưng thực tế trườnghợp riêng này hầu như trùng với tổng quát Cụ thể là mỗi hệ vô hạn cácphương trình đại số tuyến tính dạng (1.2.2) có hệ trội với các hệ số tự do

Bi > 0 và nghiệm dương Xi0 có thể đưa đến hệ chính quy

Định lý 1.2.13 (Tính duy nhất của nghiệm bị chặn)

Nếu nghiệm chính của hệ (1.2.14) bị chặn dưới:

thì hệ chính quy (1.2.2) có nghiệm bị chặn duy nhất Nghiệm này có thểtìm được bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp cùng với những giá trị bị chặnban đầu x(0)i Trong trường hợp này Xi∗ = K

Chú ý 1.2.14 Đối với hệ hoàn toàn chính quy điều kiện (1.2.15) luônthỏa mãn

Chú ý 1.2.15 Hệ chính quy gồm hữu hạn phương trình luôn là hệ hoàntoàn chính quy

Định lý 1.2.16 (Bondarenko P.S.)

Hệ chính quy chỉ có thể có không quá một nghiệm tiến tới 0, nghĩa là

limi→∞xi = 0

Hơn nữa nếu các hệ số và các hệ số tự do của hệ chính quy là dương thìnghiệm dương dần tới 0 của nó là nghiệm chính

Tương tự Định lý 1.2.7 đối với hệ chính quy ta có định lý "chặt cụt":

Gần đây một số nhà toán học Nga đã đề xuất một cách xử lý mới cácbài toán trong miền vô hạn, đó là sử dụng lưới tính toán tựa đều Phươngpháp này dựa trên việc biến đổi tọa độ, ánh xạ miền không giới nội tớimiền giới nội Một lưới đều trong miền bị chặn ánh xạ tới một lưới khôngđều được gọi là lưới tựa đều trong miền vô hạn

Cho x(ξ)e là hàm trơn, đơn điệu chặt của biến ξ ∈ [0, 1] Lưới khôngđều

ωNq = {xei = x(i/Ne q), i = 0, 1, , Nq}, (1.3.1)với x(0) = 0,e x(1) = +∞e được gọi là lưới tựa đều trên [0, +∞] Trong

đó, điểm cuối xeNq của lưới được đặt tại vô cùng

Để xây dựng các lưới tựa đều, ta có thể xét 3 hàm [1], [40]

xNq−1 ≈ cNq đối với lưới HG

Đối với 3 ánh xạ, các lưới tương đương trong xei không đều và tăngnhanh khi c  exi Lưới LG cho nghiệm tốt nhất gần 0, lưới TG và HG

cho nghiệm tốt hơn lưới LG khi exi → ∞, lưới TG cho nghiệm tốt hơn lưới

Sử dụng các xấp xỉ đạo hàm sau [41]

(∂u

∂xe)i+1/2 ≈ ui+1 − ui

2(xei+3/4 −xei+1/4),(∂

2(xei−1/4 −xei−3/4)).

(1.3.5)Xấp xỉ giá trị của u tại điểm giữa của lưới:

ui+1/2 ≈ xi+1 − xi+1/2

xi+1 − xn ui +

xi+1/2 − xi

xi+1 − xi ui+1. (1.3.6)

Các công thức trên chứa uNq = u∞ nhưng không chứa xeNq = ∞ Các xấp

xỉ sai phân hữu hạn (1.3.5), (1.3.6) có bậc chính xác O(Nq−2)

toán elliptic trong miền chữ nhật

Trên cơ sở của phương pháp thu gọn khối lượng tính toán Nikolaev [51] và thư viện chương trình TK2004 của tác giả Vũ Vinh Quanggiải phương trình elliptic trong miền chữ nhật trong trường hợp toán tử

Samarskij-vi phân là toán tử Laplace, trong phần này chúng tôi sẽ giới thiệu tóm tắt

về các kết quả khi mở rộng các thuật toán để xây dựng thư viện chươngtrình RC2009 giải số các bài toán biên trong trường hợp toán tử vi phân

là toán tử elliptic với hệ số là hằng số [37] Trong mục 3.2 chương 3, quátrình giải bài toán elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh trong nửa dảiđược đưa về việc giải một dãy hai bài toán elliptic trong hình chữ nhật

và trong nửa dải Chúng tôi sẽ sử dụng thư viện này để giải bài toán thứnhất khi xuất hiện hai điều kiện Neumann trên cạnh dưới và cạnh phảicủa hình chữ nhật

Xét bài toán biên của phương trình elliptic

Xuất phát từ phương pháp lưới, chia miền Ω thành (M × N ) điểm lưới,trong đó N = 2n, n > 0 Ký hiệu h1 = L1/M, h2 = L2/N là các bướclưới, b1, b2, b3, b4 lần lượt là các véc tơ giá trị điều kiện biên Dirichlet hoặcNeumann trên các biên trái, phải, dưới và trên của miền chữ nhật, f làvéc tơ hàm vế phải của phương trình Ngôn ngữ được lựa chọn để cài đặtcác thuật toán là Matlab version 7.0

1.4.1 Bài toán biên Dirichlet

(1.4.2)

Sử dụng phương pháp sai phân với độ chính xác O(h21+ h22), đưa bài toán

vi phân (1.4.2) về bài toán sai phân tương ứng với hệ phương trình véc tơ

véc tơ giá trị điều kiện biên Dirichlet hoặc Neumann trên các biêntrái, phải, dưới, trên của miền chữ nhật.

max u∗i,j − ui,j , 0 6 i 6 M, 0 6 j 6 N, thời gian tính toán là t giây Đểphục vụ cho các kết quả của mục 3.2, chúng tôi thử nghiệm với các dữkiện như trong các ví dụ 3.2.1 và 3.2.2 Kết quả thử nghiệm được đưa ratrong Bảng 1.1

Bảng 1.1: Kết quả kiểm tra độ chính xác của hàm RC0000.m (Biên Dirichlet) Nghiệm đúng k1, k2, b Lưới 16 × 16 Lưới 32 × 32 Lưới 64 × 64

error, t error, t error, t

e−y

x+1 + ye−x 1,3,2 5.875e − 05, 0.062 1.478e − 05, 0.078 3.7e − 06, 0.218

1

x 2 +y 2 +1 5,1,100 6.385e − 05, 0.078 1.657e − 05, 0.078 4.159e − 06, 0.203

1.4.2 Bài toán với điều kiện biên Neumann

(1.4.4)

trong đó l là toán tử điều kiện biên (lu = u nếu điều kiện biên là Dirichlet,

lu = ∂u/∂ν nếu điều kiện biên là Neumann)

Trường hợp 1: Điều kiện biên trên cạnh trên của hình chữ nhật làdạng Neumann

Sử dụng phương pháp sai phân với độ chính xác O(h21+ h22), đưa bài toán(1.4.4) về bài toán sai phân tương ứng với hệ phương trình véc tơ ba điểm

• Hàm RC0001(f, b1, b2, b3, b4, l1, l2, k1, k2, c, M, N, n) thực hiện thuậttoán thu gọn

hàm chuẩn RC0001 xây dựng các hàm v0010(), v0100(), v1000() trả lạinghiệm số của các bài toán tương ứng Bảng 1.2 dưới đây cho ta kết quảkiểm tra độ chính xác với giả thiết điều kiện Neumann ở cạnh dưới củahình chữ nhật, dữ liệu được lấy theo các ví dụ 3.2.1 và 3.2.2.

Bảng 1.2: Kết quả kiểm tra độ chính xác của hàm RC0001.m (Một biên Neumann) Nghiệm đúng k1, k2, b Lưới 16 × 16 Lưới 32 × 32 Lưới 64 × 64

error, t error, t error, t

e−y

x+1 + ye−x 1,3,2 1.28e − 04, 0.094 3.208e − 05, 0.094 8.023e − 06, 0.25

1

x 2 +y 2 +1 5,1,100 7.657e − 05, 0.062 1.979e − 05, 0.078 4.953e − 06, 0.234

Trường hợp 2: Điều kiện biên trên cạnh phải và cạnh trên của hìnhchữ nhật là dạng Neumann

Sử dụng phương pháp sai phân với độ chính xác O(h21+ h22), đưa bài toán(1.4.4) về bài toán sai phân tương ứng với hệ phương trình véc tơ ba điểm(1.4.5), trong đó các véc tơ Yj, Fj và FN được xác định như sau

• Hàm RC0002(f, b1, b2, b3, b4, l1, l2, k1, k2, c, M, N, n) thực hiện thuậttoán thu gọn.

• Hàm v0101(f, b1, b2, b3, b4, l1, l2, k1, k2, c, M, N, n, p1, p2, q1, q2) trả về

ma trận nghiệm xấp xỉ của bài toán (1.4.5) từ tọa độ (p1, q1) đến

(p2, q2)

Trong trường hợp điều kiện biên trên hai cạnh khác thuộc loại Neumann,

ta sử dụng phương pháp biến đổi tọa độ trên cơ sở của hàm chuẩnRC0002

xây dựng các hàm v1100(), v1010(), v1001(), v0110(), v0011() trả lạinghiệm số của các bài toán tương ứng Bảng 1.3 dưới đây cho ta kết quảkiểm tra độ chính xác với giả thiết hai điều kiện Neumann ở cạnh dưới vàcạnh phải của hình chữ nhật, dữ liệu được lấy theo Ví dụ 3.2.1 và 3.2.2

Bảng 1.3: Kết quả kiểm tra độ chính xác của hàm RC0002.m (Hai biên Neumann) Nghiệm đúng k1, k2, b Lưới 16 × 16 Lưới 32 × 32 Lưới 64 × 64

error, t error, t error, t

số phương trình elliptic với các điều kiện biên Dirichlet, Neumann hoặcbiên hỗn hợp yếu trong miền chữ nhật Đây sẽ là những kiến thức và kếtquả rất quan trọng làm nền tảng cho các nghiên cứu sẽ được trình bàytrong chương 2 và chương 3 của luận án