bài tập ứng dụng phương pháp liên hợp với nghiệm vô tỉ

Giải phương trình trên tập số thực:... Giải phương trình trên tập số thực: Bài 18.. Giải phương trình trên tập số thực: Bài 23.. Giải phương trình trên tập số thực:... Giải phương trìn

*Liên hợp với nghiệm vô tỷ

Khi thực hiện liên hợp ax + b− A(x) n sẽ sinh ra ax + b+ A(x) ở mẫu thức; vì chưa biết chắc chắn ax + b + A(x) ≠ 0 hay không? Do vậy cần xét ax + b + A(x) = 0 trước khi tiến hành liên

Bài 1 Giải phương trình trên tập số thực: 2x2− x − 3 = 2 − x

Bài 2 Giải phương trình

(Trích đề thi THPT Quốc Gia 2015)

Bài 3. Giải phương trình trên tập số thực: x + 3 − x = x2− x − 2

Bài 4. Giải phương trình trên tập số thực: x2+ 4x + 3 = (x + 1) 8x + 5 + 6x + 2

Bài 5. Giải phương trình trên tập số thực: 3x −1 = x4− 3x3+ x2+ x

Bài 6. Giải phương trình trên tập số thực: 5x2− 5x + 3 + 4x2+ 1 = 7x − 2 + 6x

Bài 7. Giải phương trình trên tập số thực: x3− 3x + 1 = 8 − 3x2

Bài 8. Giải phương trình trên tập số thực: 12x3 2+ 46x −15 − x3 3− 5x + 1 = 2(x + 1)

Bài 9 Giải phương trình trên tập số thực:

Bài 14. Giải phương trình trên tập số thực: 4x3 2+ 4x −1 + 1 = 8x3+ 2

Bài 15 Giải phương trình trên tập số thực:

Bài 18. Giải bất phương trình 3x3− 6x2− 3x −17 ≥ 3 −27x3 2+ 189x + 45

Bài 19 Giải phương trình trên tập số thực:

Bài 23. Giải phương trình trên tập số thực: 3( 5x + 4 + x + 4) + 4x2−18x −12 = 0

Bài 24 Giải phương trình trên tập số thực:

Bài 28 Giải bất phương trình

x − 3 − x 2x − 3 >

1

x2− x − 2

Bài 29. Giải phương trình trên tập số thực: 3x2− 6x − 5 = (3x2− 5x − 6) 2 − x

Bài 30. Giải phương trình trên tập số thực: 2x3+ 9x2+ 9x − 2 = 12 − 2x2

Bài 31. Giải phương trình trên tập số thực: x3+ x2− 4x = 8 − 3x2

Bài 32. Giải phương trình trên tập số thực: 2x3+ 7x2+ 4x − 3 = 15 − 3x2

Bài 33. Giải phương trình trên tập số thực: x3+ x2− 6x − 4 = 16 − 3x2

Bài 34. Giải bất phương trình −2x3+ 13x2− 25x + 15 ≤ 2 (8 − 3x2)3

Bài 35. Giải phương trình trên tập số thực: x2− 3x − 2 = (x2− 2x − 4) 3 − x

Bài 36. Giải phương trình ( 3 − x − 4 − 2x)( x2+ 1 + 2) = (x −1)(1 + 2 − x)

Bài 37 Giải phương trình

Bài 39 Giải phương trình trên tập số thực: 2x2+ 48x − 27 + x 2x2− 24x + 67 = 2(2x + 3)

Bài 40. Giải bất phương trình x3+ 4x2+ x + 7 > x2 2x + 9 + 8x + 42

Bài 41. Giải bất phương trình 2x2 2x + 1 + 12x + 5 ≤ 2x3+ 2x + 1

Bài 42. Giải phương trình trên tập số thực: 2x2−12x − 8 + 2x + 4 + 3 6x + 4 = 0

Bài 43 Giải phương trình trên tập số thực:

x + 1 − 2 2x + 1

3

− 3=

1

x + 2

Bài 44. Giải phương trình trên tập số thực: 8(x + 2− x2+ 4x) = ( x + 2 − x − 2)4

Bài 45 Giải phương trình trên tập số thực:

Bài 47. Giải phương trình x3− 2x235x + 4 + x(2 (5x + 4)3 2− 5) = 4

Bài 48. Giải phương trình −x2+ 4x + 2 + 2x3 2− 6x + 7 = x + 1 trên tập số thực

Bài 49 Giải phương trình

Bài 50 Giải phương trình (2x2− 2x + 1)(2x −1) + (8x2− 8x + 1) −x2+ x = 0

Bài 51 Giải phương trình trên tập số thực (x + 1)(x + 1− x3) + (x2+ 2x) x3− x = 0

Bài 52 Giải phương trình trên tập số thực:

x

2− 3x − 2 + x −1 + x = x + 3 + 3x + 2

Bài 53. Giải bất phương trình (x +1) x2− x + x (x −1)2(x + 1) = 2x + 1

Bài 54 Giải phương trình

Hướng dẫn giải – đáp án – Liên hợp với nghiệm vô tỷ

Bài 1 *Nhập biểu thức phương trình shift + solve với x = 1 ta được x0 ! 1,61803398lưu

nghiệm này vào biến A; ta cần tìm đại lượng liên hợp dạng 2− x = ax + b nhận x0 là nghiệm;

và (a,b) là các số hữu tỷ; muốn vậy

2− x0 = ax0+ b ⇒ b = 2 − x0 − ax0 = 2 − A − A.X ;

*Vậy ta tìm giá trị của X (tức là a) sao cho b = F(X) = 2− A − AX nhận giá trị hữu tỷ

*Sử dụng chức năng Table; cho X chạy từ - 9 đến +9 với bước nhảy là +1; ta có bảng kết quả:

F(1) = −1 ⇒ 2− A − A.1 = −1 ⇔ 2− A = A −1; vậy ta có đại lượng liên hợp cần tìm

Bài 2 *Điều kiện: x ≥ −2

*Phương trình tương đương với:

Kết hợp với 0 ≤ x ≤ 3ta suy ra điều kiện để phương trình có nghiệm là 2 ≤ x ≤ 3

Viết lại phương trình dưới dạng:

Bài 4 Điều kiện:

x ≥ − 13 Phương trình tương đương với:

Vậy nghiệm phương trình x = 2 ± 5

Bài 5 Điều kiện:

x ≥ 13 Phương trình tương đương với:

Bài 6 Điều kiện:

x ≥ 27 Phương trình đã cho tương đương với

*Vậy phương trình có nghiệm x = 1 + 3

Bài 10 *Điều kiện:

Bài 12 *Biểu thức liên hợp: x3 4+ x3+ 9x + 13 − (x + 3) ; 2x + 7 − x

*Phương trình tương đương với:

*Vậy phương trình có nghiệm dương x = 1 + 2 2

Bài 13 Điều kiện:

Bài 14 *Điều kiện:

4sin t.cos t.cos 2t = sin3t ⇔ sin 4t = sin3t

⇔ 4t = 3t + k2π 4t = π − 3t + k2π

Xét hàm số f (t) = t3+ (t + 1)2 trên

⎡⎣⎢−1;+∞), ta có: f '(t) = 3t2+ 2(t + 1) > 0, ∀t ≥ −1

Vì vậy (1) tương đương với:

f (a) = f (2x) ⇔ a = 2x ⇔ 4x3 2+ 4x −1 = 2x ⇔ 8x3− 4x2− 4x + 1 = 0

Ta có kết quả tương tự trên

Bài 15 Điều kiện:

x ≥ 134

3 Phương trình tương đương:

4x3−13

12

*Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 + 33

Bài 16 Điều kiện: x ≥ 63

Phương trình tương đương:

x3

3 − 2 − x −

12

Bài 17 Phương trình tương đương với:

x3− 3x2−1

13

(*) ⇔ ( 8 − 3x2)3+ 8 − 3x2 = (−x + 2)3+ (−x + 2)

⇔ 8 − 3x2 = −x + 2 ⇔ x =1 ± 5

Bài 21 Điều kiện: −2 3 ≤ x ≤ 2 3

Để bất phương trình có nghiệm ta phải có: 54x3+ 123x2+ 90x + 4 ≥ 0 ⇒ 3x + 2 > 0

Bất phương trình tương đương với:

Bài 22 *Các đại lượng liên hợp tương ứng: x − 2− 3 − x; x −1− x

*Bất phương trình tương đương với:

+) Với

3 + 5

2 ≤ x ≤ 3 ⇒ x − 2 − 3 − x ≥ 0; x −1 − x ≥ 0 ⇒ VT ≥ 0 ; bất phương trình luôn đúng

*Vậy tập nghiệm bất phương trình

x ≥ − 45 Phương trình tương đương với:

Chú ý Trước khi liên hợp ta cần xem xét các mẫu số có thể bằng 0 hay không?

x ≥ − 47 Nhận thấy x = 0không là nghiệm của phương trình:

Ta xét x ≠ 0, phương trình tương đương với:

Bài 26 Điều kiện: x ≥ 1

Bất phương trình đã cho tương đương với:

Bài 27 Điều kiện:

x ≥ − 47 Phương trình tương đương với:

+) Nếu x2− x − 2 > 0←⎯⎯⎯ x > 2 0≤x≤3 → khi đó bất phương trình tương đương với:

Bài 29 Tìm được chính xác nghiệm là nghiệm của phương trình: 3x2− 5x − 7 = 0

Khi đó vế phải của phương trình có sẵn (3x2− 5x − 6) do vậy cần thêm vào đại lượng − 2− x

Tức viết lại phương trình dưới dạng:

Vậy nghiệm phương trình x = −1 ± 2

Bài 31 Điều kiện:

Vậy nghiệm phương trình

Vậy nghiệm phương trình

Vậy nghiệm phương trình

*Phương trình có hai nghiệm x = 1− 6; x = 1 + 6

Bài 37 *Phương trình tương đương với:

*Vì (*) là phương trình đa thức bậc ba nên có tối đa ba nghiệm, suy ra

⎪⎪ là các nghiệm của phương trình (*)

*Vậy phương trình có nghiệm

Bài 38 *Điều kiện: x > 0.

*Phương trình tương đương với:

Bài 40 Điều kiện:

x ≥ − 92 Bất phương trình tương đương với:

*Vậy tập nghiệm của bất phương trình S = (−3 + 2;+∞)

Bài 41 *Điều kiện:

x ≥ − 512.

*Bất phương trình tương đương với:

*Vậy nghiệm phương trình x = 0; x = 2+ 7

Bài 43. *Điều kiện: x ≥ −1, x ≠ 13

*Phương trình tương đương với:

*Cộng theo vế hai bất đẳng trên ta được:

*Nhận xét. Nếu để ý đây là phương trình có tính đẳng cấp với a = x,b = 2x + 13

Bài 47 *Phương trình tương đương với:

*Nhận xét. Nếu để ý đây là phương trình có tính đẳng cấp với a = x,b = 5x + 43

Bài 48. *Điều kiện: −x2+ 4x + 2 ≥ 0 ⇔ 2 − 6 ≤ x ≤ 2 + 6

*Phương trình tương đương với:

4 ,b = 12x2+ 12x + 9

4

Bài 50 *Điều kiện: 0 ≤ x ≤ 1

*Đại lượng liên hợp: x − x2 − (2x −1)

*Phương trình tương đương với:

*Vậy nghiệm phương trình x = −1; x = 1 ± 2

Bài 52 *Điều kiện:

Vậy với mọi x ∈ !, ta có A > 0

Vì vậy (1) tương đương với: x −1 > 0 ⇔ x > 1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình S = (1;+∞)

Chú ý Sử dụng hàm số nhanh như sau: