Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 Chuyên đề Dãysố

Dãy Số Viết theo quy luật : Tính các tổng sau I... Oguyén Oiét Cuong Qrường FICS... Oguyén Oiét Cuong Qrường FICS.. Trong bài toán này ta không nhân A với một số mà tách ngay một thừa số

Dãy Số Viết theo quy luật : Tính các tổng sau

I A=l1+2+22+21+2f+2?+25+27+2#+29+2!9 2.B=I+3+32+33+32+ +43!9

Từ đó ta có công thức : ga I=(a-I)(l+a+a°+a`+ +a")

Bài tập áp dụng : Tớnh cỏc tông sau:

a)A=l+7+7?+7+ +7 b)B=lI+4+4 '+4'+ +4e

c) Chứng minh rằng : 14'*~ 1 chia hết cho 3 d) Ching minh rang: 2009° — 1 chia hét cho 2008 [Bai todn 2 :| Tính các tong sau

1) A=14+374+344+394+384 431

2)B=7+7+71+77+7?+ +7

Giải : 1) A=14374+3°4+3°4384 4+3' Vấn đề đặt ra là nhân hai về của A với số nào

để khi trừ cho A thì một loạt các lũy thừa bị triệt tiêu ?.Ta thấy các số mũ liền nhau

cách nhau 2 đơn vị nên ta nhân hai về với 3, rồi trừ cho A ta được :

3?A= 374.344 35438 4 + 3100 4 3102 A=1437°4+344+3°4+38+ 4+31

; 3ŸA—A=3”—1 Hay A(3Ÿ—1)=3”°—1 Vậy A=(3'"-1):8

Từ kết quả này suy ra 3'” chia hét cho 8 `

2 ) Tương tự như trên ta nhân hai về của B với 7” rồi trừ cho B, ta được :

7B=7?Ì+7Ì+77+77+ + 77+ 700 B=7+7+7+71+7?+ +7

7B-B=7''~7, hay B(7ˆ-1)=7'"!~7 Vậy B=(7''—7):48 Tương tự như trên ta cũng suy ra 7'”'— 7 chia hết cho 48 ; 7'°°- 1 chia hết cho 48 Bài tập áp dụng : Tính các tông sau :

A=2+21+21+27+2+ +2»

B=I+22+21+29+21+2" + +2

Oguyén Oiét Cuong Qrường FICS Phiie Doug

(eee eee

— D=13 +139 +13°+ 137+ 13° + + 13”

Tong quot : Tonh *

b) S,=l+a° +a +a°+ +a”, voi (a22, nEN)

c) S)=atatat ta”" với(a>2, neN”)

3A=3.(1.2+2.3+3.4+4.5 +5.6 +6.7+7.8 + 8.9+9.10)

= 1.2.03 - 0) +2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + 4.5.(6 - 3) + 5.6.(7 - 4) + 6.7.(8 - 5) + 7.8.9 - 6) + 8.9.(10 - 7)+9.10.(11 - 8)

= 1.2.3 - 1.2.3+2.3.4-2.3.4+ 3.4.5- + 8.9.10 - 8.9.10+9.10.11

=9.10.11= 990

A = 990/3 =330

Ta chỳ ý tới đỏp số 990 = 9.10.11, trong đú 9.10 là số hạng cuối cựng của A và 11 là

số tự nhiờn kể sau của 10, tạo thành tớch ba số tự nhiờn liờn tiếp Ta có kết quả tổng quát sau :

A=I.2+2.3+ +(n- IL).n = (n - I).n.(n + L)⁄3 |

Lời giải khỏc :

Lời giải 2 : 3.A=3.(12+2.3+3.4+ 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.0 + 9.10)

Theo cỏch tớnh A của bài toỏn 2, ta được kết quả là : C = 10.11.12/3

Theo cách giải 2 của bài toỏn 2, ta lại có :

S=1.1+2.2+3.3+44+ +n.n = 12-1) + 2-1) + 3(4-1) +4(5-1) + n[(@+1)-1] 1⁄2-1+23-2+3.4-3+4.5—4+ +nn+1)—n

Oguyén Oiét Cuong Qrường FICS Phiie Doug

khoảng cỏch giữa hai thừa số đú Học tap cach dé , trong bai này ta nhõn hai về cia A với 4 lần khoảng cóch đú vỡ ở đõy mỗi hạng tử cú 3 thừa số Ta giải được bài toỏn như

= 1.3.5(7+ 1) + 3.5.79-1) + 5.7.9(11 -3) + + 95.97.99(101 - 93)

=1.3.5.7+ 15 + 3.5.7.9 - 13.5.7 + 5.7.9.11- 3.5.7.9 + + 95.97.99.101 - 93.95.97.99

= 15 +95.97.99.101

—_—_—_————————_

Trong bài toán này ta không nhân A với một số mà tách ngay một thừa số trong mỗi

số hạng làm xuất hiện các dãy số mà ta đã biết cách tính hoặc dễ dàng tính được

Bài tap 6p dung

Oguyén Oiét Cuong Qrường FICS Phiie Doug

7 Tính E=1,3°+3.5°+5.77+ +49.51°

§ Tính F=1.992+2.98?+3.972+ +49.517

Tính tổng S = 13 +23 +33 +43 +53 + + n2

Lời giải : Trước hết ta chứng minh một kờt quả sau doy: với n là số tự nhiờn thé ta cú

n—n=(n- I)(n+1) Thật vậy : n—n=n(nˆ- I)=n(n~n+n—I)= n{Ÿ —n)+(n- I)] = n[n{(n — I)+(n~ I)]= (n— 1)n(n+ 1) dpem

áp dụng kết quả trên để tinh S

Tacú S=13+23+33+43+53+ +n3

S=l'-1+2!-2+3'-3+4'-4+5°—-5+ +n~n +(1+2+3+ +n) S=0+2(22-1)+3(32-1)+4(4'—-1)+ +n(n—1)+(1+2+3+4+ +n) S=0+1.23+2.3.4+3.4.5+4.5.6+ +(n-1)n(n+l)+(1+2+3+4+ +n)

mm Dane ra) 4 nent) _ n(n 4 1) —=*= =2 +i|=

10 chữ số 9 b)BE=El+lI+llI+llll+ + 111 1 —

10 chữ sô 1

c)C=4+44+444+4444 + + +44 4

10 chữ số4

Giải : a) A=9+99+ 999 + 9990 + + 399 9

Oguyén Oiét Cuong Qrường FICS Phiie Doug

ID) Khai thác bài toán 1

Trong bài toan | Cac thừa số trong mỗi hạng tử hơn kém nhau I hay cách nhau

1 đơn vị Thay đổi khoảng cách giữa các thừa số trong mỗi hạng tử ta có bài toán 2

3kn(n + k)=n(n + k)(r + 2k) - (n - k)n(n + k)

Thay đổi số các thừa số trong tích ta có bài toán 3

Bài toán 3: TinhA=1.2.3 +2.3.4 + + 98.99.100

(quên (0iê† Cuong Cường ©7200 !ƒ)luúc Dong

4kn(n + k)(n + 2k)=n(n + k}(n + 2k)(n + 3k) - (n - k)(n + k)n(n + 2k) Thay đối sự kế tiếp lặp lại ở các thừa số trong bài toán I ta có bài toán:

TU TT "TT TEEN

Bai todn 6: Tinh

A=1.3.(5—3)+3.5.(7— 3) + 5.7.(9 -3) + +99.101.( 103 —3)

=( 1.3.5 + 3.5.7 + + 5.7.9 + + 99.101.103 )

—xn

Oguyén Oiét Cuong Qrường FICS Phiie Doug

Với khoảng cách là a ta tách : (n - a)n(n + a) = nỶ - a”n

ở bài toán 8, 9 ta có thể làm như bài toán 6, 7

Thay đối số mũ của một thừa số trong bài toán l ta có:

Bai todn 11: Tinh

Oguyén Oiét Cuong Qrường FICS Phiie Doug

một số phương pháp tính tổng

I> Phương pháp dự đoán và quy nap:

Trong một số trường hợp khi gặp bài toán tính tổng hữu hạn Sn= ai +az+ an (l)

Bằng cách nào đó ta biết được kết quả (dự đoán , hoặc bài toán chứng minh khi đã cho biết kêt quả) Thì ta nên sử dụng phương pháp này và hâu như thê nào cũng chứng minh được

Ví dụ 1: Tính tổng Sạ=l+3+5 + + (2n -l ) Thử trực tiếp ta thấy : S¡ = I

theo nguyên lý quy nạp bài toán được chứng minh

IL> Phwong phap khir lién tiếp :

Giả sử ta cần tính tổng (1) mà ta có thể biểu diễn a; , i = 1,2,3 n , qua hiéu hai số hạng liên tiêp của I dãy sô khác , chính xác hơn, giả sử : ai = bị - bạ

Oguyén Oiét Cuong Qrường FICS Phiie Doug

Oguyén Oiét Cuong Qrường FICS Phiie Doug

IV > Phuong phap tinh qua cac tong da biét

e Các kí hiệu : Ya, =a, +a, +4, + tees +a

ta có : Sn= YiGi-1) = YGF -i)

e© Cơ sở lý thuyết :

+ để đếm số hạng của 1 đãy số mà 2 số hạng liên tiếp của dãy cách nhau cùng 1 số đơn

vị , ta dùng công thức:

Số số hạng = ( số cuối - số đầu 0 : ( khoảng cách ) + 1

+ Để tính tổng các số hạng của một dãy số mà 2 số hạng liên tiếp cách nhau cùng 1 số don vi, ta dung công thức:

Ví dụ 14 : Chứng minh rằng : k ( k+1) (k+20 -9k-1)k(k+1) = 3k (k +1)

Từ đó tính tổng S = 1 2+2.3 + 3.4 + + n (n + 1)

Oguyén Oiét Cuong Qrường FICS Phiie Doug Chứng minh : cach 1 : VT = k(k+1)(k+2) -+(k-1) k(k+1)

3 3

n(n+l) = Let + 2) (a= Da(n+D

3 3 s= 1⁄20 ứ+2)nữr+D _ ứ+ Da(n + 2)

Oguyén Oiét Cuong Qrường FICS Phiie Doug

15, Chứng minh :a, A=4+ 2?+2 +2! + + 2” là luỹ thừa của 2

b, B=2+27+2}+ +2?:3:7; 15

c C=3+3123'+ +3"”':13; 4I

d, D=IIP+IIŸ+I17+ +11+1 : 5

—————============

—_ee—_—_=— Twa ————V———_—_—