Về sự tồn tại của nghiệm bài toán cân bằng vectơ

1997, Vector Equilibrium Problems with Generalized Monotone Bifunctions, Journal of Optimization Theory and Applications, vol.. 1993, Superefficiency in vector optimization, Transactions

1

Tôi xin cam đoan:

(i) Lu n v n đã đ c hoàn thành v i s h c t p, nghiên c u, s u t m tài li u c a tôi d i s h ng d n c a PGS.TS V n L u

(ii) Lu n v n trình bày các k t qu m i đây v t i u

H c viên

Vy Thanh H ng

L I C M N

Tr c tiên tôi xin đ c g i l i c m n đ n t t c quý Th y Cô đã gi ng

d y trong ch ng trình Cao h c Toán ng d ng khóa 1 – Tr ng i h c

Th ng Long, nh ng ng i đã truy n đ t ki n th c h u ích v ngành Toán ng

d ng làm c s cho tôi hoàn thành lu n v n này

c bi t tôi xin chân thành c m n Th y giáo PGS.TS V n L u –

Gi ng viên Tr ng i h c Th ng Long Th y đã dành nhi u th i gian quý báu t n tình h ng d n tôi trong su t quá trình th c hi n luân v n, đ ng th i còn là ng i giúp tôi l nh h i đ c nh ng ki n th c chuyên môn và rèn luy n cho tôi tác phong nghiên c u khoa h c

Qua đây, tôi c ng xin đ c bày t lòng bi t n sâu s c t i gia đình, b n

bè thân thi t là nh ng ng i luôn sát cánh bên tôi, t o m i đi u ki n t t nh t cho tôi, đã nhi t tình giúp đ , chia s , đ ng viên tôi trong su t quá trình h c

t p, c ng nh khi tôi th c hi n và hoàn thành luân v n nay

M c dù đã r t c g ng song luân v n không kh i có nh ng thi u sót, r t mong nh n đ c ý ki n góp ý c a các Th y giáo, Cô giáo và các anh ch h c viên đ luân v n đ c hoàn thi n h n

H c viên th c hiên

Vy Thanh H ng

3

M C L C

VECT .6

1.1 Các khái ni m và k t qu b tr 6

1.2 S t n t i nghi m c a bài toán cân b ng vect v i gi thi t gi đ n đi u 14

1.3 S t n t i nghi m c a bài toán cân b ng vect v i gi thi t t a đ n đi u 19

1.4 Tr ng h p t ng quát h n 23

C h ng 2 CÁC NGHI M H U HI U VÀ H U HI U HENIG C A BÀI TOÁN CÂN B NG VECT 27

2.1 Các khái ni m và đ nh ngh a 27

2.2 Phép vô h ng hóa bài toán cân b ng vect 30

2.3 S t n t i nghi m 34

2.4 Tính liên thông c a t p nghi m 41

K T LU N 46

TÀI LI U THAM KH O 47

Nhi u k t qu v s t n t i nghi m c a bài toán cân b ng đã nh n

đ c Bianchi, Hadjisavvas và Schaible (1997) đã ch ng minh các k t qu v

s t n t i nghi m h u hi u y u c a bài toán cân b ng vect v i các gi thi t

v tính gi đ n đi u ho c t a đ n đi u Gong (2001) đã thi t l p m t s k t

qu v s t n t i nghi m h u hi u, nghi m h u hi u Henig c a bài toán cân

b ng vect và tính liên thông c a t p nghi m h u hi u Henig c a b t đ ng

th c bi n phân vect ây là đ tài đ c nhi u tác gi trong và ngoài n c quan tâm nghiên c u Chính vì v y tôi ch n đ tài: “V s t n t i nghi m c a bài toán cân b ng vect ”

Lu n v n trình bày các k t qu nghiên c u v s t n t i nghi m và tính liên thông c a t p nghi m c a bài toán cân b ng vect c a Bianchi, Hadjisavvas, Schaible (1997) và Gong (2001)

Lu n v n bao g m ph n m đ u, hai ch ng, k t lu n và danh m c các tài li u tham kh o

Ch ng 1 S t n t i nghi m c a bài toán cân b ng vect Trình bày các k t qu c a M Bianchi, N Hadjisavvas và Schaible [3] v s

t n t i nghi m h u hi u y u c a bài toán cân b ng vect v i các song hàm gi

đ n đi u ho c t a đ n đi u cùng v i m t đi u ki n b c

t n t i nghi m h u hi u và tính liên thông c a t p nghi m h u hi u Henig và

t p nghi m h u hi u y u c a b t đ ng th c bi n phân Hartman – Stampacchia vect Các k t qu trình bày trong ch ng này là c a X Gong [7]

Ch ng 1

S T N T I NGHI M C A BÀI TOÁN CÂN B NG VECT

Ch ng 1 trình bày các k t qu v s t n t i nghi m h u hi u y u c a bài toán cân b ng vect v i các song hàm gi đ n đi u ho c t a đ n đi u và

đi u ki n b c Các k t qu trình bày trong ch ng này là c a M Bianchi, N Hadjisavvas và Schaible [3]

1.1 Các khái ni m vƠ k t qu b tr

Cho X là m t không gian vect tôpô Hausdorff th c, Y là m t không gian vect l i đ a ph ng th c Xét nón C nh n, đóng, l i trong Y, int C  Khi đó, C sinh ra m t th t vect trong Y, xác đ nh b i:

 khi và ch khi (y) 0 (   C*);

y int C khi và ch khi *  

Gi s K  X là m t t p không r ng, đóng, l i, và xét song hàm F:K K Ysao cho F(x, x)  0 v i m i x  K Chúng ta s trình bày các k t

qu v s t n t i nghi m c a bài toán cân b ng vect (kí hi u là VEP) nh sau: Tìm x* K sao cho

F(x*, y) 0, v i m i, y K ,

hay t ng đ ng

F(x*, y)  -int C

Bài toán b t đ ng th c bi n phân vect (kí hi u là VVI) là m t tr ng h p

đ c bi t c a bài toán (VEP) v i

F(x, y) = A x y x( ),  ,

trong đó A là m t ánh x t K vào L(X, Y), không gian c a t t c các toán t tuy n tính liên t c t X vào Y Các bài toán (VEP) và (VVI) t ng quát hóa các

bài toán t ng ng trong tr ng h p vô h ng (Y = R), ta ký hi u các bài

toán vô h ng đó l n l t là (EP) và (VI)

B đ 1.1.1 Gi s a, b  Y, v i a < 0 và b < 0 Khi đó, t p h p các

c n trên c a a và b là không r ng và giao v i (-int C)

Ch ng minh Ta ph i ch ra t n t i c < 0 sao cho a c b,  c Ta ch

c n ch n c =  b, v i  > 0 g n v i 0

B đ 1.1.2 Gi s a, b  Y, v i a < 0 và b 0 Khi đó, t p h p các

c n trên c a a và b là không r ng và giao v i Y C

Ch ng minh Ta ph i ch ra r ng t n t i c 0 sao cho a c b, c Vì int C0, t n t i d  int C sao cho d – b  C V i t  [0, 1], ta đ t

Rõ ràng, tính gi đ n đi u kéo theo tính t a đ n đi u và tính gi đ n

đi u ch t kéo theo tính gi đ n đi u trong tr ng h p vô h ng i u ng c

l i không đúng

M t hàm f : K  Y đ c g i là n a liên t c d i n u v i m i Y,

t p h p

H n n a, f là C - liên t c trên K n u nó là C - liên t c t i m i x  K

B đ 1.1.3 Hàm f : K  Y n a liên t c d i khi và ch khi nó là C - liên t c

Gi s f là C - liên t c L y x*L( )c Khi đó, a + int C là m t lân

c n c a f(x*) Do đó, t n t i m t lân c n U c a x* sao cho, v i m i x U K

f (x)  (a + int C) + C =  + int C;

t c là, v i m i x U K, ta có x L( )c Do đó, L( )c là m trong K

Ng c l i, gi s f là n a liên t c d i Xét m t lân c n V c a f(x*) v i x* K Khi đó, t n t i m t  V sao cho  < f(x*) Vì L( )c là m trong K nên t n t i m t lân c n U c a x* sao cho, v i m i x U K, x L( )c , t c

này kéo theo f là t a l i Ta c n ch ra r ng: v i m i x, y  K sao cho f (x) < f(y) thì

Bây gi ta xét đi u ki n b c sau:

(C) T n t i m t t p h p comp c BK và vect y* sao cho F(x, yB *) <

0 v i  x K {0}

T đi u ki n b c (C) ta suy ra (y*) DB o đó, n u gi thi t c a B

đ 1.2.1 th a mãn thì B đ Fan [6] kéo theo

(ii) N u F(x, y) < F(x, z) và F(x, z) 0 thì F(x, zt) < F(x, z) v i

zt = ty + (1 - t)z và (0,1)t

Nh n xét 1.2.2 Gi thi t (i) kéo theo tính l i c a t p W(x),  x K

Các gi thi t (i) và (ii) đ c suy ra t tính t a l i hi n c a hàm F(x, ),

F(yt, x) 0,  t (0,1) (1.1)

Ta ph i ch ng minh r ng

( , )t

F y y 0,  t (0,1)

F y x c F y y c T gi thi t (i), ta suy ra F y( t*,yt*)c, cho nên 0

c , ta đi đ n m t mâu thu n

Nh n xét 1.2.3 Ch ng minh trên ch ra r ng, trong tr ng h p các

song hàm gi đ n đi u, t p nghi m ( ) *( )

v i x = (x1, x2) và y = (y1, y2), th a mãn các gi thi t c a nh lí 1.2.2 Các vect x*= (0, 1) và x(1,0) là các nghi m c a (VEP), vì

1.3 S t n t i nghi m c a bƠi toán cơn b ng vect v i gi thi t t a đ n

Khi chúng ta chuy n t tính gi đ n đi u sang gi thi t y u h n là tính

t a đ n đi u c a F, thì c n có đi u ki n m nh h n (A3) c a nh lí 1.2.2 Chúng ta c n thêm hai gi thi t n a nh trong tr ng h p vô h ng [2] i u này d n đ n các gi thi t sau:

(A1) F( , y) là hemi – liên t c v i y K  ; (A2’) F(x, y) là t a đ n đi u;

(A3’) F(x, ) là n a liên t c d i và * - t a l i bán ch t v i  x K;

(A4) F(x, ) là * - t a lõm bán ch t v i  x K; (A5) i u ki n b c (C) th a mãn;

(A6) Ph n trong đ i s Ai(K) c a K là không r ng

B đ 1.3.1 Gi s F th a mãn các gi thi t (A1), (A2’), (A4) Xét x, y

 K sao cho x( ),y x*( )y , thì t n t i C* {0} sao cho

( ( , )) 0,F x y

( ( , '))F x y ( ( , )),F x y y' K

21

Ch ng minh B t đ ng th c đ u tiên là đúng vì x( )y , và do đó ( , )

F x y 0 i u này kéo theo t n t i C* khác không sao cho ( ( , )) F x y0

nh lí 1.3.1 Gi s F th a mãn các gi thi t (A1), (A2’), (A3’), (A4),

(A5), (A6) Khi đó, (VEP) có nghi m

Ch ng minh Gi s ng c l i r ng (VEP) không có nghi m Theo B

Khi đó, x( )z Do đó, t n t i m t l i  x , x( )z sao cho x x

Gi s r ng, v i , x*( )z Khi đó B đ 1.3.1 kéo theo t n t i

t c là (VEP) có m t nghi m i u này mâu thu n v i gi thi t

Nh n xét 1.3.1 Gi thi t (A4) có th làm y u đi nh sau: v i m i

Trong ph n ti p theo, chúng ta c n có đ nh ngh a sau M t song hàm G đ c

g i là gi đ n đi u theo H (H – gi đ n đi u ) n u, v i m i ,x y K :

( , ) ( , )

G x y H x y 0 kéo theo ( , )G y x H x y( , ) 0

Chú ý r ng v i H = 0, đ nh ngh a này quy v đ nh ngh a c a song hàm gi

đ n đi u H n n a, d th y r ng m i song hàm C – đ n đi u là tr ng h p

đ c bi t c a H – gi đ n đi u Chúng ta đ a vào các gi thi t sau:

(I) G x x( , ) 0,   ; x K(II) G( , y) là hemi – liên t c v i y K  ; (III) G(x, y) là H – gi đ n đi u;

(IV) G(x, ) là n a liên t c d i và l i v i  x K; (V) H(x, x) = 0 v i  x K;

M nh đ 1.4.1 N u song hàm G th a mãn các gi thi t (I), (II), (IV)

và n u song hàm H th a mãn các gi thi t (V) và (VII) thì

nh lí 1.4.1 N u các gi thi t (I) – (VIII) th a mãn thì bài toán cân

b ng vect trong tr ng h p (1.2), có m t nghi m

Do các gi thi t n a liên t c (IV), (VI) và s ki n: t ng c a hai hàm n a liên

t c d i là n a liên t c d i, nên *( )y là đóng trong K B i v y, suy ra đi u

Nón C sinh ra m t th t trong Y đ c xác đ nh b i

u  v n u và ch n u v - u  C

Cho D là m t t p h p không r ng trong Y Ký hi u int D và cl D t ng ng là

ph n trong và bao đóng c a D Bao nón c a m t t p D  Y đ c xác đ nh b i

29

Bây gi , gi s A là m t t p h p con không r ng c a X, và F: AA Y

là m t song hàm Chúng ta s xét bài toán cân b ng vect (VEP) nh sau: Tìm x  A sao cho

F(x, y)  - K, v i m i y  A,

trong đó K  {0} là m t nón l i trong Y

nh ngh a 2.1.1 Gi s int C   M t vect x A, th a mãn F(x, y)

 -int C, v i m i y  A đ c g i là m t nghi m h u hi u y u c a (VEP) Ký

hi u b i V (A, F) w là t p t t c các nghi m h u hi u y u c a (VEP)

Ký hi u b i V (A, FH ) là t p t t c nghi m h u hi u Henig c a (VEP)

Nh n xét 2.1.1 Khái ni m nghi m h u hi u Henig c a t i u vect

đ c đ a vào trong [4]

Cho f  C*\{0} Chúng ta xét bài toán cân b ng (vô h ng) sau:

Tìm x  A sao cho f (F(x, y))  0, v i m i y  A (2.1)

nh ngh a 2.1.4 Gi s f  C*\{0} N u x  A là m t nghi m c a bài

toán cân b ng (2.1), thì ta nói r ng x là m t nghi m f - h u hi u c a (VEP)

Kí hi u V (A, F) f là t p t t c nghi m f - h u hi u c a (VEP)

M nh đ 2.1.1 N u int C  thì V(A, F)  V (A, F) và w

{V (A, F): f  C* {0}}  f V (A, F) N u Cw   thì {V (A, F): f Cf }

 V(A, F) và V (A, F)  V(A, F) H

2.2 Phép vô h ng hóa bƠi toán cơn b ng vect

t F(x, A) = {F(x, y): y  A}, x  A

inf {f (F(x, y) + c): y  A, c  C} > sup {f ( c): c  int C}

(F(x, A) + C)  ( int C(B)) = 

Theo gi thi t, F(x, A) + C là m t t p h p l i Ta có th áp d ng đ nh lý tách

c a các t p l i, t n t i f  Y*\{0} sao cho

inf {f(F(x, y) + c): y  A, c  C} > sup {f( z): z  int C(B)}

(ho c trên ) t i x0  A n u v i b t k lân c n V c a q(x0) trong Y, t n t i lân

c n U(x0) c a x0 trong X sao cho

q(x)  V + C, v i m i x  U(x0)  A,

[q(x)  V - C, v i m i x  U(x0)  A]

Ta nói q là C – n a liên t c d i (C - n a liên t c trên) trên A n u nó là

C – n a liên t c d i (C - n a liên t c trên) t i m i x  A

Cho f  C*\{0} Ánh x q đ c g i là f – n a liên t c d i trên A n u hàm f q: AR là n a liên t c d i trên A

Nh n xét 2.3.1 N u q là C – n a liên t c d i t i x0 A thì -q là C -

n a liên t c trên t i x0 Ta có th th y r ng, n u q1, q 2 là C – n a liên t c

d i trên A thì q1 q2 là C – n a liên t c d i trên A N u f  C*\{0} và n u

q là C – n a liên t c d i trên A thì hàm f q: AR là n a liên t c d i

trên A [3]

Cho A  X là m t t p h p con l i c a X Ánh x q: A  Y đ c g i là

C - l i trên A n u v i m i x1, x2 A, t  [0, 1], ta có

q(tx + (1- t) x1 2)  tq(x ) + (1- t) q(1 x2)

B đ 2.3.1 (Fan) Trong m t không gian vect tôpô Hausdorff, cho A

là m t t p l i,A0 là m t t p con không r ng c a A V i m i x A0, g i E(x)

là m t t p con đóng c a A sao cho bao l i c a m i t p con h u h n

{ x1, , xn} c a A0 n m trong

1

n

i E(x ) i

N u t n t i m t đi m x0A0 sao cho E(x0) là comp c thì

{E(x): x A0}  

nh lỦ 2.3.1 Gi s A là m t t p con l i, không r ng, comp c y u c a

X, f  C Gi s T: A  L(X, Y) là f –hemi liên t c trên A, q: A  Y là f -

n a liên t c d i y u trên A [X đ c trang b tôpô y u (X, X*)], và q là C –

l i H n n a, gi s T là f - đ n đi u trên A Khi đó, V (A, F)   , f và do đó

V(A, F)   , trong đó F(x, y) = (Tx, y - x) + q(y) - q(x), x, y  A

Ch ng minh Ta c n ch ra, t n t i x  A, đó là m t nghi m c a bài

toán b t đ ng th c bi n phân vô h ng

f(F(x, y)) = f((Tx, y - x)) + f(q(y)) - f(q(x)) ≥ 0, v i m i y  A

Tr c h t, chúng ta xác đ nh các ánh x đa tr E, G: A  2A b i

E(y) = {x  A: f((Tx, x - y)) + f(q(x)) ≤ f(q(y))},

G(y) = {x  A: f((Ty, y - x)) + f(q(y)) ≥ f(q(x))}

Khi đó, b ng cách ch ng minh t ng t nh lý 2.4 trong [10], chúng ta có E

0  g(A) + int Rn Theo đ nh lý tách các t p l i, ta có th tìm đ c t t1, , ,2 tn0, v i n1 1

2.4 Tính liên thông c a t p nghi m

Bây gi , chúng ta nghiên c u tính liên thông c a t p h p các nghi m

h u hi u Henig và t p h p các nghi m h u hi u y u c a b t đ ng th c bi n phân Hartman- Stampacchia giá tr vect

nh lỦ 2.4.1 Cho A là m t t p h p con l i, không r ng, comp c y u

c a X Gi s T: A L (X, Y) là v - hemi liên t c và đ n đi u trên A, q: A Y

là C – n a liên t c d i y u trên A [X đ c trang b tôpô  (X, X*)], q là C –

l i H n n a, q(A) là t p con b ch n c a Y và C Khi đó, {V (A, F): f

f C} là t p liên thông theo  (X, X*), trong đó F(x, y) = (Tx, y - x) + q(y) -

VH (A, F) là t p liên thông H n n a, n u int C  thì Vw (A, F) là m t t p

h p liên thông theo (X, X*)

Ch ng minh Theo gi thi t, ta có F(x, A) + C là m t t p h p l i v i

T ch ng minh c a nh lý 2.4.1, ta có H(f) là n a liên t c trên trên C Do

đó, theo nh lý 3.1 [11], VH(A, F) là m t t p liên thông theo (X, X*)

N u int C   , t B đ 2.2.1, ta có

- Các k t qu v tính liên thông c a t p nghi m h u hi u Henig và t p nghi m

h u hi u y u c a b t đ ng th c bi n phân Hartman – Stampacchia c a Gong [7]

S t n t i nghi m và c u trúc t p nghi m c a bài toán cân b ng vect là

đ tài đ c nhi u tác gi quan tâm nghiên c u và phát tri n

[3] Bianchi, M., Hadjisavvas, N., and Schaible, S (1997), Vector Equilibrium Problems with Generalized Monotone Bifunctions, Journal of Optimization Theory and Applications, vol 92, pp 527–542

[4] Borwein, J M., and Zhuang, D (1993), Superefficiency in vector optimization, Transactions of the American Mathematical Society, vol

338, pp 105 –122

[5] Chen, G Y (1992), Existence of solutions for a vector variational inequality: An extension of the Hartman – Stampacchia theorem, Journal of

Optimization Theory and Applications, vol 74, pp 445 – 456

[6] F a n , K (1961), A Generalization of Tychonoff's fixed - point theorem, Mathematische Annalen, vol 142, pp 305 – 310