Đối tượng và phương pháp trong toán học cổ điển

Hai cái cùng b ng cái th ba thì b ng nhau.. Thêm nh ng cái b ng nhau vào nh ng cái b ng nhau thì đ c nh ng cái.

I T NG VÀ PH NG PHÁP TRONG TOÁN

H C C I N

M C L C

M U 1

CH NG I M T S KHÁI NI M VÀ PH NG PHÁP C B N 2

1.1 S kh i sinh c a các t t ng ti n Toán h c 5

1.2 T t ng ch ng minh 8

1.3 Các tiên đ vƠ đ nh ngh a 10

1.4 Hình h c, t Euclid đ n Hilbert 13

1.5 S vƠ đ i l ng 18

CH NG II M T S T T NG TRONG I S VÀ GI I TÍCH 25

2.1 T t ng v x p x 25

2.2 Nh ng ti n b trong đ i s 29

2.3 Ph ng pháp t a đ 32

2.4 Quan đi m v gi i h n vƠ phép tính vô cùng bé 38

K T LU N 49

DANH M C CÁC TÀI LI U THAM KH O 50

có th đi xa h n S hi u bi t đó c ng s giúp ích r t nhi u cho nh ng ng i làm công tác gi ng d y toán h c nhà tr ng

Vì nh ng l đó, chúng tôi ch n đ tài cho lu n v n này là “ i t ng và

ph ng pháp trong toán h c c đi n”

T t nhiên, không th đ c p đ n toàn b v n đ r ng l n nh tên g i c a

lu n v n Chúng tôi ch t p trung trình bày đây m t s v n đ sau:

N i dung c a lu n v n đ c vi t d a vào các tài li u li t kê trong ph n Tài

li u tham kh o, đ c bi t là cu n sách ”Mathematics – the music of reason” c a

J Dieudonné

2

CH NG I M T S KHÁI NI M VÀ PH NG PHÁP C B N

Vào th i v n minh c đ i, nh m đáp ng các nhu c u trong cu c s ng hàng ngày và xây d ng quy trình tính toán s h c và các phép đo l ng không gian, t th k th 6 tr c Công nguyên, ng i Hy L p, b ng cách phân tích chu i suy lu n n sau nh ng qui trình đó, đã t o ra m t ph ng th c t duy hoàn toàn m i Trong ch ng này, chúng tôi s c g ng làm rõ nh ng khía c nh thi t y u trong toán h c Hy L p và s phát tri n đ n m c không ng , đ c bi t

hi u qu , mà nó mang l i cho các nhà toán h c vào gi a th i k ph c h ng cho

đ n cu i th k th 18

Chúng ta s ch t p trung vào 2 n n t ng đ c tr ng c a Toán h c Hy L p

1) Ý t ng v ch ng minh: b ng m t chu i suy lu n lô gic xu t phát t

nh ng m nh đ , đ nh đ , tiên đ ch a đ c ch ng minh C n ph i nh n

m nh r ng ý t ng này ch có th tr thành hi n th c nh vào k n ng suy lu n logic b i nh ng ng i đã đ c nuôi d ng t nh ng tr ng phái Tri t h c Hy L p M t ví d n i b t là nguyên t c “ch ng minh ph n

ch ng”, m t ph ng pháp đã đ c các nhà logic h c làm sâu s c thêm và

đã tr thành m t trong nh ng tr c t c a l p lu n toán h c

2) Nh ng đ i t ng mà các nhà toán h c cùng quan tâm đ u mang nh ng tên g i th ng đ c s d ng trong các tính toán th c t nh : s , hình h c

và đ l n Tuy nhiên, ngay t th i c a Plato, các nhà toán h c đã l u ý

r ng d i nh ng tên g i đó, h đang l p lu n v nh ng th c th hoàn toàn khác, nh ng th c th phi v t ch t, nh n đ c “b ng cách tr u t ng” t

đ i t ng c m nh n b i giác quan c a chúng ta, nh ng chúng ch là hình

nh c a nh ng đ i t ng đó

Nh s ch ra trong m c 1.3, ph n nói v l c đ trong hình h c, s khác nhau đ n m c nào c a nh ng tính ch t đ c gán b i các tiên đ cho các đ i

t ng “trìu t ng” c a hình h c v i nh ng “hình nh” c a chúng, và nh ng khó

kh n phát sinh trong vi c tìm ki m m t t phù h p đ đ nh ngh a nh ng đ i

t ng này có th hi u rõ h n v nh ng ý t ng này, chúng ta s không

d ng l i đây đ theo dõi chi ti t th ng tr m l ch s c a nh ng khái ni m Thay vào đó, chúng ta s trình bày nh ng ý t ng mà Pasch và Hilbert đã th c hi n vào cu i th k th 19 Hai nhà toán h c này đã kh c ph c nh ng thi u sót

nh ng v n gi nguyên ph ng pháp tiên đ Euclid trong tinh th n ban đ u c a

nó H đã xóa b v nh vi n nh ng khó kh n, b ng cách nêu rõ chính các tiên đ xác đ nh các đ i t ng toán h c

C ng t ng t nh v y, m c 1.4 đ c dành đ trình bày các đ i t ng toán h c mà “hình nh” c a chúng là các s và nh ng đ i l ng c a các th c th thông qua nh n th c b ng c m quan c a chúng ta c tính “tr u t ng” c a toàn b các con s đã luôn hi n h u trong Toán h c Hy l p, và s trình bày c a Euclid v quan h chia h t c a các s và s nguyên t v n còn thích h p trong

vi c gi ng d y ngày nay M c dù v y, không gi ng nh trong hình h c, các con

s không đ c đ t trong d ng lý thuy t tiên đ

Ng c l i, vi c khám phá ra đ i l ng vô c đã mang l i m t cu c

kh ng ho ng trong quan ni m c a các nhà Toán h c Hy L p v phép đo đ l n

Có v nh trên th c t nh ng ng i theo tr ng phái Pytagore tr c kia đã luôn

ch p nh n r ng khi m t đ n v đ c ch n cho m t lo i đ i l ng, thì m i đ i

l ng cùng lo i là “thông c” v i đ n v này –có th g i đó là m t s h u t

v t qua nh ng khó kh n này, ng i Hy L p đã t o ra nh ng đ i t ng

Toán h c m i, c th là t s gi a các đ i l ng cùng m t lo i Các t s này

đ c đ nh ngh a m t cách tiên đ sao cho t s gi a các đ i l ng cùng lo i v i

m t đ n v đã ch n cho chúng l p nên m t ph n c a cái mà ta g i là t p các s

th c d ng Ph n này ch a các s h u t và m t s s vô t , tuy nhiên nó ch a

cho phép ch ra rõ đ c h t các ph n t ch a trong đó

4

Ch c ch n vì lý do tri t h c, nên các nhà toán h c c a tr ng Plato đã quan sát th y nh ng đi u c m k trong vi c v n d ng ba lo i đ l n hình h c là: chi u dài, di n tích và th tích Ví d , b n không th c ng các s chi u dài v i

s đo di n tích, và tích c a s đo hai chi u dài l i là s đo m t di n tích (ho c tích c a ba chi u dài là s đo m t th tích), ch không ph i là s đo chi u dài

M c dù hình h c có th t thích nghi v i nh ng h n ch trên, nh ng nh ng h n

ch đó đã làm cho không th th c hi n các phép tính đ i s nh chúng ta v n

th c hi n các s th c Ph i đ n Descartes m i ng n vi c th c hi n nh ng phép toán nh v y, m c dù có m t s các nhà toán h c đã đ ngh vi c này t hàng

th k tr c T th i k này tr đi “t s ” gi a các đ i l ng cùng m t lo i

đ c đ ng nh t v i các s th c, mà không c n thi t ph i ch rõ lo i c n đ c xem xét

Trong m c 2.2 và 2.3, chúng ta s ch ra, cùng v i vi c phát minh ra các

ký hi u thu n ti n vào th i Trung c và th i k Ph c h ng, cu c c i cách này đã

t o nên không ch s phát tri n c a đ i s , mà còn t o ra phát minh v ph ng pháp to đ , m t m t cho ta m t mô hình đ i s c a hình h c Euclid, m t khác

hi n th c hóa m t t t ng chung v hàm th c c a m t bi n s th c, m t ý

t ng v n ch a đ c ng i Hy L p bi t đ n

Cu i cùng trong m c 2.1 và 2.4 chúng ta gi i thi u v hai trong nh ng t

t ng c b n nh t c a toán h c, là x p x và gi i h n, cái này suy ra t cái kia

th 17, và nó c ng giúp cho vi c ch ng minh s t n t i c a c n b c n v i n ≥4, cái mà ng i Hy L p không th làm đ c b ng các ph ng pháp hình h c

ch ng minh c s pháp lý c a nh ng quy trình này, rõ ràng c n ph i đ a ra m t tiên đ , v n còn ch a đ c t ng minh cho đ n th k th 19, khi mà Cauchy

làm sáng t v i tên g i “Tiên đ dãy đo n th t” Tiên đ này k t h p v i nh ng tiên đ tr c đây c a Euclid, đã hoàn ch nh đ nh ngh a tiên đ c a t p h p t t c các s th c Nó đã cung c p m t c s v ng ch c cho gi i tích, m t l nh v c đã

đ c sáng t o vào th k th 17 và tr thành m t công c m nh m nh t c a toán h c thu n túy và nh ng ng d ng c a nó

Trong xã h i ngày nay, nh ng ý t ng v s và đ i l ng đã đ c con

ng i ti p thu t r t s m T khi m i hai hay m i ba tu i, nh ng khái ni m này đã tr nên quá “t nhiên” đ i v i chúng ta và chúng ta s d ng chúng m t cách t đ ng Tuy nhiên, Piaget ch ra b ng th c nghi m r ng, trong khi nh n

th c v m t s t nhiên “b t k ” có th đ c n m b t t r t s m, thì v i m t s

đ i l ng nh th tích ho c tr ng l ng, các em nh d i 12 tu i v n g p nhi u khó kh n v nh n th c khi so sánh hai đ l n c a đ i l ng cùng lo i V ph n mình, các nhà dân t c h c đã phát hi n nh ng xã h i nguyên th y mà trong các

s c a h , nh ng s v t đ n v m c nào đó đ u không có tên g i, và t t

nhiên là không s d ng đ c trong tính toán

xã h i nông nghi p phát tri n cao: các v n đ v trao đ i, thuê m n, tranh

ch p, phân chia tài s n

Trong nh ng viên g ch c a ng i Babylon, th m chí ta còn tìm th y l i

gi i nh ng bài toán t ng đ ng v i ph ng trình b c hai Ví d nh có m t viên g ch cho th y s đ hình vuông, v i dòng ch sau: “Tôi c ng chi u dài

c a c nh hình vuông v i di n tích c a nó và đ c k t qu là ¾, v y c nh c a hình vuông dài bao nhiêu?” Ph ng trình mà nhà h c gi đang suy ngh s đ c chúng ta vi t nh sau:

v i vi c s d ng các d ng c , nh bàn xoay c a th g m, hình vuông quang h c

c a ng i th n M t ý t ng t ng t đ c nh n th y trong nh ng viên g ch

c a ng i Babylon, nói r ng n i nào chúng ta có c u thang thì t l gi a chi u cao và chi u r ng c a m t b c thang c ng b ng t l gi a t ng chi u cao c a c u thang và phép chi u n m ngang c a nó (Hình 1) M t khác, ng i Hy L p đã cho r ng Talet có m t th thu t đ đo chi u cao kim t tháp, đi u mà ch c ch n

đã đ c ng i Ai C p bi t đ n: “chúng tôi quan sát chi u dài cái bóng c a kim

t tháp, t l gi a chi u cao c a kim t tháp và chi u dài này b ng t l gi a chi u cao c a m t chi c g y và chi u dài c a cái bóng c a nó” (Hình 2)

Trong hình h c ba chi u, nh ng l ng m còn l i chính là nhân ch ng cho

ki n th c v không gian ba chi u đ c rút ra t kinh nghi m c a các ki n trúc

s và th xây d ng

S

s

P p

Có nh ng khái ni m phát sinh mà ch a bao gi liên quan đ n b t k đ i

t ng c th nào: vi c li t kê các đ i t ng, đo nh ng đ i l ng có th c ng vào

ho c tr đ c, nh chi u dài, di n tích, th tích, tr ng l ng, góc, và v i m i

m t trong chúng, ng i ta ch n m t đ n v , th ng đó là b i ho c c c a nó

Các công th c liên quan đ n các ví d trong đó các d li u đã đ c đ c

bi t hóa; đó là quy t c tính toán không có c s cho tr ng h p t ng quát, ch ng

h n tính di n tích hình có d ng và kích th c cho tr c, nh tam giác cân, hình

ch nh t, hình thang ho c hình tròn ng nhiên, chúng ta không th tìm th y

công th c theo ngh a mà chúng ta hi u v t đó: công th c ph i đúng cho d

8

li u tùy ý ho c không xác đ nh B n ch t chung c a quy t c tính toán này ch có

th đoán đ c khi có m t chu i các ví d đ a ra v i các d li u bi n thiên

Vào th k VI và VII tr c Công nguyên các h c gi Hy L p đã đ a ra cái

mà chúng ta g i là suy lu n logic: đó là chu i các suy lu n – sau đó đ c mã

hóa nh các các phép tam đo n lu n (hình th c l p lu n trong đó k t lu n đ c

rút ra t hai đo n trình bày) – chúng bu c ng i đ i tho i đ ng ý xác nh n Q

m t khi anh ta đã đ ng ý m t kh ng đ nh P khác Ta bi t r ng, t th k th V

tr c công nguyên, các nhà t t ng Hy L p là b c th y v ngh thu t s p x p

lý lu n thành m t chu i liên ti p các k t lu n logic, đi u này đ c th y rõ trong các tác ph m c a nh ng nhà ng y bi n, c ng nh trong các đo n đ i tho i c a Plato H đã khám phá ra r ng nh ng lý lu n này có th l y b t c ho t đ ng nào c a con ng i làm đ i t ng, đ c bi t là nh ng công th c toán h c và hình

h c, h u h t trong s đó đ n t n n v n minh Ai C p và Babylon Nh ng lý lu n

này tr thành ch ng minh k t n i nh ng đ nh lý v i nhau Ng i ta bi t đ n

nh ng đ nh lý đ u t th i Talet vào cu i th k th VII tr c công nguyên,

nh ng nh ng ph ng pháp ch ng minh v n ch a đ c bi t đ n, n u gi thi t chúng t n t i Tuy nhiên, ng i ta th a nh n r ng, các đ nh lý c a tr ng phái Pythagore, và t t nhiên trong s đó có đ nh lý mang tên “ nh lý Pytagore” , đã

có ch ng minh, m c dù ch ng minh th nào v n ch a đ c bi t Nh ng v n b n

đ u tiên ch a cách ch ng minh ch đ c tìm th y trong b n th o c a Plato và

Aristotle

Trong b n đ i tho i n i ti ng d i tên g i Meno, Socrates mu n m t nô

l tr không có h c th c tìm hi u xem làm cách nào có th d ng hình vuông có

di n tích g p đôi di n tích m t hình vuông ABCD đã cho (Hình 3) C u bé nô l lúc đ u tr l i r ng đi u này có th th c hi n b ng cách t ng g p đôi c nh, và Socrates đã ch cho c u ta th y r ng di n tích c a hình vuông m i này s không

th g p đôi mà s là g p 4 l n di n tích c a hình vuông ABCD đã cho Sau đó

ông ta cho c u bé v m t hình vuông A’B’C’D’, m i c nh c a nó b ng đ ng chéo c a hình vuông ABCD, và ông ch ng minh r ng hình vuông này có các

đ c đi m nh đã yêu c u (g p đôi hình c ) ó là tr ng h p đ c bi t c a đ nh

lý Pythagore áp d ng cho tam giác vuông cân Ch ng minh bao g m vi c ch ra

r ng hình vuông ABCD có th đ c chia b i các đ ng chéo c a nó thành b n hình tam giác b ng nhau, và m i m t trong chúng, ch ng h n OAB b ng

A’AB d ng trên phía khác c a c nh huy n c a nó, t đó chúng ta có t t c 8 tam giác b ng nhau và b ng OAB, t o thành hình vuông A’B’C’D’ T t nhiên sau đó, vào th i Euclid, s b ng nhau c a các tam giác OAB và A’AB đ c rút ra t chu i đ nh lý đây Socrates m i ch hài lòng r ng s b ng nhau này

đ c ch p nh n b i ng i đ i tho i

C' D'

A'

B A

Hình 3

Ch ng minh th hai đ c Aristotle ghi l i, c ng t tr ng phái Pythagore, liên quan đ n hình tam giác vuông cân đó, và tr thành ví d đ u tiên

v “ph n ch ng”, v sau tr thành m t công c thi t y u c a toán h c ó c ng

là ví d đ u tiên kh ng đ nh s không th th c hi n đ c nh lý nói r ng trong

m t tam giác vuông cân, t l gi a c nh huy n và c nh góc vuông không th là phân s p/q (trong đó p và q là các s t nhiên) Th t v y, theo đ nh lý Pythago, phân s nh v y s có tính ch t (p/q)2 = 2 Ta có th gi s v n đ “rút g n” t i

10

cho 2 mà không làm bi n đ i giá tr c a p/q, và b ng cách làm nh v y nhi u l n

n u c n, ta đi đ n khi tr ng h p “rút g n” Bây gi p2=2q2, và t đó p ch n, gi

s p=2p’ Bây gi 4p’2= 2q2, suy ra q2=2p’2 và vì th q c ng ph i là s ch n: ta

đ t đ n k t lu n vô lý, và vì th gi thi t ban đ u là không th Xu t phát đi m đây là xét nh ng tính ch t s c p c a s ch n và s l , đi u có v nh đ c

tr ng phái Pythagore a chu ng S a chu ng nh v y c ng đ c tìm th y

trong cu n sách th 9 c a b C s c a Eucid, m c dù ngày nay ch đ đã tr

lo t các l p lu n, h đi đ n k t lu n cu i cùng mà h đã đ t ra đ nghiên c u

Ph ng pháp này v n gi nguyên đ i v i các nhà toán h c m i th i đ i

Nh ng th nào là b n ch t c a nh ng “gi thi t” mà Plato nói đ n (Plato ch a bao gi dùng thu t ng “chân lý”) và nh ng th c th mà nh ng gi thi t này

đ c áp d ng thì luôn là v n đ tranh cãi c a các nhà toán h c và tri t h c cho

đ n t n ngày hôm nay Ng i ta th ng nói nh ng v n đ đó thu c vào “c s

c a toán h c”

Nhi u đ i tho i c a Plato nh m m c đích làm sáng t các t ‘tr u t ng’

đ c s d ng trong khi nói mà không có khái ni m rõ ràng nào v ý ngh a c a chúng, nh s c đ p, lòng can đ m, tình yêu, lòng hi u th o, s công b ng, đ o

đ c C ng t ng t nh v y, các nhà toán h c c n ph i làm rõ ngh a c a các

t : hình, v trí, đ l n, s l ng, kích th c, là nh ng khái ni m c b n xu t

hi n trong “các gi thi t”

N u nh ng t này mô t nh ng khái ni m thu c v kinh nghi m c m quan, chúng s không khó hi u h n nh ng kinh nghi m này Nh ng cu i đo n trích t Republic đã d n trên đây, Plato c n th n gi i thích ngay (VI, 510, d)

r ng các nhà toán h c dùng nh ng hình có th nhìn th y đ c, và bi n lu n v chúng, m c dù cái mà h th c s ngh đ n trong đ u là ngu n g c c a nh ng cái mà các hình đang nói đ n ch là hình nh c a chúng

minh h a thêm đi u này chúng ta c n nhìn không gì khác h n là b i

c nh trong Meno mà Plato đang nói đ n, đ th y đi u Socrate nói hoàn toàn không ph i v nh ng hình mà ông v , có l là trên cát

Ông y th c s s g p khó kh n trong vi c ch ng minh “b ng th c

nghi m” s b ng nhau c a các tam giác OAB và A’AB

Plato k t h p s mô t c a ông v i nh ng xem xét liên quan đ n lý thuy t v các

Ý t ng, mà chúng ta không nói đ n đây Ngay c Aristole, ng i không ch p

nh n lý thuy t này, v n đ ng tình v i đo n tr c đó trong Republic:

ông vi t (Metaph K3, 1062a 20-b3: Nh ng nghiên c u c a các nhà toán h c,

ph i ti n hành v i nh ng cái có đ c thông qua tr u t ng hóa, và đ làm đi u

đó, h nghiên c u chúng sau khi đã lo i b ý ngh a c a d li u, nh cân n ng,

đ sáng, đ c ng không gi l i cái gì ngoài s l ng và tính liên t c; và tính liên t c này có th nh n th c b ng m t, hai hay ba cách )

B ng cách này, các “đ i t ng toán h c” đ u tiên đ c đ a ra Nh ng đ

hi u chúng là gì và có th nói gì v chúng thì l i g p ph i vô s nh ng khó kh n, cho đ n t n cu i th k XIX

Trong khi chúng ta có m t l ng đáng k công trình c a Plato và Aristotle, thì g n nh không có b t c tài li u vi t v toán h c tr c Euclid Do

đó, ch nh C s c a Euclid mà chúng ta m i có nh ng thông tin t ng đ i

chính xác v nh ng quan ni m c a các nhà toán h c Hy L p c a th k th IV hay th V, m c dù tác ph m này có l là s t ng h p

C D

tr c quan, đ làm nh ng m nh đ xu t phát c b n Nh ng m nh đ xu t phát

đ c th a nh n không ch ng minh g i là các tiên đ và đ nh đ Nh cách đó

mà Euclid đã đúc k t thành công nh ng v n đ c t lõi c a toán h c đ c tích t

cho đ n th i đi m đó

1.4 Hình h c, t Euclid đ n Hilbert

B ng cách ch n l c, phân bi t các lo i ki n th c hình h c đã có, b sung, khái quát và s p x p chúng l i thành m t h th ng ch t ch , dùng các tính ch t

tr c đ suy ra tính ch t sau, b sách C s đ s c a Euclid đã đ t n n móng

cho môn hình h c c ng nh toàn b toán h c c đ i B sách g m 13 cu n: sáu

cu n đ u g m các ki n th c v hình h c ph ng, ba cu n ti p theo có n i dung s

h c đ c trình bày d i d ng hình h c, cu n th m i g m các phép d ng hình

có liên quan đ n đ i s , 3 cu n cu i cùng nói v hình h c không gian

Trong cu n th nh t, Euclid đ a ra 5 đ nh đ :

1 Qua hai đi m b t kì, luôn luôn v đ c m t đ ng th ng

2 ng th ng có th kéo dài vô h n

3 V i tâm b t kì và bán kính b t kì, luôn luôn v đ c m t đ ng tròn

4 M i góc vuông đ u b ng nhau

5 N u hai đ ng th ng t o thành v i m t đ ng th ng th ba hai góc trong cùng phía có t ng nh h n 180 đ thì chúng s c t nhau v phía đó

Và 5 tiên đ :

1 Hai cái cùng b ng cái th ba thì b ng nhau

2 Thêm nh ng cái b ng nhau vào nh ng cái b ng nhau thì đ c nh ng cái

14

Con đ ng suy di n h th ng và ch t ch c a b c b n làm cho t p sách

đ c chép tay và truy n đi các n c Tuy nhiên, các đ nh đ và tiên đ c a Euclid còn quá ít, đ c bi t là không có các tiên đ v liên t c, nên trong nhi u

ch ng minh, ông ph i d a vào tr c giác ho c th a nh n nh ng đi u mà ông không nêu thành tiên đ

Euclid đã phát tri n theo ph ng pháp suy lu n các tính ch t c a “Y u t toán h c” trong suy ngh c a Plato và Aristotle Khái ni m c a ông trong quy n

I đ n VI đã li t kê các đ i t ng thu c hình h c ph ng: đi m, đ ng th ng, góc, hình tròn, hình đa giác

T nh ng khái ni m, tiên đ và đ nh đ này, Euclid ch ng minh m t chu i các đ nh lý, và thông th ng có kèm theo nh ng hình v ho c s đ đ

giúp cho ng i đ c d hình dung

Và đi u này c ng có th tìm th y hình h c c a n , Trung Qu c khi

h v bi u đ và sau đó nói đ n gi n là “nhìn” vào ta th y đi u c n ch ng minh

Ví d đ ch ng minh đ nh lý Pythagore thì h có th nói r ng nhìn vào hình s 5, có th th y r ng (b-c)2 = b2- 2bc + c2, và trong hình s 6, tam giác góc bên ph i có c nh huy n a và hai c nh bên b, c ta có a2 = (b-c)2 + 2bc= b2 +

c2, theo hình 6, t đó ch ng minh đ nh lý Pythagore

Trong quy n III, 17; quy n VI, 13 Euclid cho là hi n nhiên r ng đ ng

th ng đi qua m t đi m n m bên trong m t hình tròn giao v i hình tròn này; theo cách th c t ng t , thì n u hình tròn C có m t đi m n m bên trong và m t đi m

n m bên ngoài hình tròn C ' , thì C và C ' giao nhau (quy n I, 1 và 22) Vi c xem xét các đ i t ng “có th nhìn th y” đ c trình bày rõ ràng h n trong Cu n sách III, 8, mà Euclid nghiên c u các đo n th ng n i m t đi m n m ngoài hình tròn

v i m t đi m trên hình tròn (Hình s 7), và phân bi t trên đ ng tròn này “chu

vi m t l i” (trong h th c v i đi m bên ngoài) t chu vi m t lõm (khái ni m mà Plato đã g p khó kh n trong xác đ nh “s tuy t đ i”) Nh ng ví d này có th tìm đ c r t nhi u, chúng ch ra nh ng khó kh n ông ph i kh c ph c đ t o ra

m t b ng t v ng phù h p v i b n ch t c a các đ i t ng ch “có th th y đ c trong t t ng” và c t ngh a các tính ch t phù h p v i b n ch t c a chúng,

ngh a là không có s đ

H n n a, Euclid công nh n s “hi n nhiên” d a trên vi c nghiên c u m t

s ít tr ng h p, và m t s ít các “l c đ ” Nh ng ng i đi sau ông th i c đ i

đã làm phong phú thêm l nh v c hình h c b ng vi c khám phá và nghiên c u

nh ng đ ng và m t m i, và nh v y đã chu n b n n t ng cho b c nh y v t trong l nh v c toán h c sau th i k Ph c h ng Nh ng n u chúng ta xem xét nó

Hình 7

16

Tuy nhiên, do s hi u bi t c a chúng ta v tính chính xác trong h tiên đ

hi n đ i làm chúng ta chú ý đ n nh ng khuy t đi m này M t ph n t câu h i hóc búa v đ nh đ đ ng th ng song song - “đ nh đ ” th n m c a Euclid “Qua

m t đi m n m ngoài m t đ ng th ng có không quá m t đ ng th ng cùng n m trong m t ph ng v i đ ng th ng đã cho và không c t đ ng th ng y” - không

th t s hi n nhiên, nh ng tr c th k 16 ch a có nhi u ph n bi n v các công trình c a Euclid Nh n th c nh v y có th là rõ ràng v i Plato và Aristotle,

nh ng th t đáng ng c nhiên khi nh ng nhà t t ng sâu s c nh Descartes và

Pascal – nh ng ng i không h do d t n công tr c di n vào tri t h c kinh vi n – c ng tuyên b m nh m v “chân lý hi n nhiên” c a các tiên đ hình h c! H n

th n a, h bày t quan đi m chung c a các nhà toán h c cùng th i,và quan

đi m đó v n ti p t c đ c nh n m nh trong th k ti p theo th i đi m đó các nhà toán h c Gauss và Cauchy đã c đ ng cho “tính ch t ch hình h c” nh là

mô hình cho các l nh v c khác c a toán h c

Nh ng ch trích các c u trúc c a Euclid ngày càng nhi u, đ c bi t su t

th k XIX trong phong trào ti n đ n s “ch t ch ” l n h n trong toán h c, tuy nhiên không nh m m c đích s a nh ng suy lu n c a Euclid trong quá trình

ch ng minh c a ông, mà ch y u ch nh s a s ki n r ng các ch ng minh không

d a m c đ đ y đ vào các đ nh ngh a và tiên đ đã đ c phát bi u t ng

minh C m nh n chung là n u chúng ta có th hoàn thi n m t cách thích h p

nh ng c s c a lý lu n, thì ta có th đi đ n m t tình hình hoàn toàn th a mãn

i u đó không th c hi n đ c cho đ n cu i th k 19, v i vi c nghiên

c u sâu s c v s th c, ng i ta có th th c hi n phép toán c a h phân cách

“hình h c tr c giác” t nh ng tiên đ đ c cho là đ a ra c s h p lý

ó là s m nh đ c Pasch và Hilbert th c hi n vào cu i th k 19, khi h

li t kê ra h th ng tiên đ hoàn toàn t ng minh (23 tiên đ , trong tr ng h p

c a Hilbert), nh đó, t t c các đ nh lý c a Euclid có th đ c ch ng minh mà

không c n t i l c đ

Gi ng nh Euclid, Hilbert b t đ u v i nh ng khái ni m không đ nh ngh a

đ c, nh ng danh sách c a ông là vét c n Có ba lo i “đ i t ng nguyên th y”:

các đi m, các đ ng th ng và các m t ph ng, và ba “quan h nguyên th y”: thu c vào (ví d , đi m thu c m t đ ng th ng hay m t m t ph ng), “n m gi a” (nh là m t đi m đ i v i hai đi m khác, khi c ba đi m n m trên cùng đ ng

th ng), và “b ng nhau” (nh hai đo n th ng hay hai góc)

M t câu h i ngay l p t c n y sinh là làm th nào chúng ta có th suy lu n

m t cách chính xác khi t ch i đ nh ngh a nh ng đi u đ c xem xét, và vì th tránh đ c m t phép h i quy vô h n các đ nh ngh a Câu tr l i r t đ n gi n: ch

c n không bao gi c tình đ a ra b t c m nh đ nào v các đ i t ng hình h c

và nh ng quan h c a chúng mà không ph i là h qu logic c a h tiên đ ki m

Hilber, ti p theo Pascal, đã ch ra ph ng pháp l ai b nh ng k t lu n mà

có th đ c g i ý b ng tr c giác hình h c, mà không suy ra t các tiên đ : đi u này có th s làm thay đ i tên g i thông th ng c a các đ i t ng hình h c và các quan h c a chúng Hilbert đã đ ngh nói “cái bàn” “cái gh ” và “cái c c” thay vì “đi m”, “đ ng th ng” và “m t ph ng”

Ví d , hai tiên đ đ u tiên trong danh m c c a Hilbert:

1) “Hai đi m phân bi t thu c m t và ch m t đ ng th ng”

2) “Có ít nh t hai đi m phân bi t thu c cùng m t đ ng th ng”

s thành

1) “Hai cái bàn phân bi t thu c m t và ch m t cái gh ”

18

Rõ ràng không có nguy c g p sai sót trong các m nh đ nh v y, vì chúng không có ngh a trong đ i th ng

i u này gi ng nh nói đùa, nh ng th c ra đi u này tách bi t gi a ý ngh a

và tên g i, đ i v i hình h c s c p, là m t quá trình c b n, nó gi i phóng toán

h c kh i vi c g n quá g n v i th c ti n i u này làm nên nh ng th ng l i không ng trong th k XIX, và nh ng ng d ng đáng kinh ng c trong v t lý

S là công c luôn g n li n v i n n v n minh c a loài ng i, là khái ni m

c b n và là c s c a toán h c Xu t hi n đ n gi n nh t ngay trong xã h i nguyên th y, khái ni m s và kho tàng s c a loài ng i t ng b c đ c làm giàu thêm Thành t u đó có đ c , m t m t là do ph m vi ho t đ ng th c ti n

c a con ng i ngày càng m r ng và m t khác là do nh ng yêu c u n i t i c a

b n thân toán h c

L ch s khoa h c ch ra r ng s phát tri n khái ni m đ u tiên v s t nhiên đã đi theo sau s phát tri n và hoàn thi n nh ng phép đ m thô s Nói cách khác nhu c u đ m các v t đã d n đ n s hình thành khái ni m s t nhiên

S m r ng đ u tiên đ i v i khái ni m s là vi c ghép thêm các phân s vào t p h p s t nhiên Vi c đ a ra các phân s vào là đ đo đ c các đ i l ng

nh đo đ dài, th i gian, di n tích và nó đ c bi t đ n s m h n các s âm

Trong khi các nhà toán h c Hy L p đang c g ng đ a h th ng “gi thi t

- suy di n” vào các tr ng h c tri t h c, thì nhu c u trong đ i s ng hàng ngày các thành ph Hy L p, c ng nh các n n v n minh khác, là c n m t t ng l p

nh ng nhà “tính toán chuyên nghi p” Trong cu n Republic (VII, 525), Plato nói

r ng, trong khi nh ng ng i đ c g i là “logisticians” bi t tính toán các phân

s , thì nh ng nhà toán h c quan tâm không gì khác h n ngoài các s t nhiên

Trong các tài li u toán h c c a Hy L p c đ i, ng i ta th ng dùng hai thu t ng khác nhau : logistic – t c là ngh thu t tính toán và s h c là khoa h c

v các tính ch t c a các s Thu t ng đ u ch ph n th c ti n, thu t ng sau ch

ph n lí thuy t, trong đó không có ph n k thu t tính toán S phân chia y đ c

du nh p vào châu Âu th i k trung c Ch t i th i kì Ph c H ng, hai ph n trên

m i đ c hòa nh p l i v i tên g i chung là s h c

V n đ này đ c tìm th y trong Quy n th VII C s c a Euclid (Euclid

ký hi u các s t nhiên b ng các ch cái, và miêu t chúng b ng các đo n

th ng), trong tác ph m đó chúng ta đã th y nh ng lý thuy t c b n v phép chia

h t c a các s t nhiên, s nguyên, và phân tích s t nhiên thành các tích các s

nguyên t

Nói đ n s h c th i kì Hy L p c đ i, ta không th không đ c p đ n b

“S h c” c a Diophantus (Kho ng th k 4 sau Công nguyên) ó là b sách

ph ng trình sau

xy + 1= u2 yz + 1= v2 zx + 1 = w2

Chúng ta không đi vào chi ti t các ph ng pháp c a Diophantus, chúng

r t ít khi d a trên m t lý thuy t t ng quát Chúng ta ch mu n nh n m nh r ng ông ch tìm m t nghi m cho m i bài toán (ngay c khi bài đó có nhi u nghi m), trong đó các đ i l ng ch a bi t là nh ng s t nhiên, ho c phân s d ng p/q ( p

và q là các s t nhiên), nh ng cái mà ta g i là s h u t d ng Lúc b y gi

20

đ c vì ông quan ni m r ng nghi m âm hay nghi m vô t là nghi m “không th

có đ c”, đi n hình là hai ví d sau:

4 = 4x + 20 (Quy n V, 2)

3x + 18 = 5x2(Quy n IV, 31) Trong nh ng tr ng h p này Diophantus ch nói r ng bài toán là vô lý

T m quan tr ng c a nh ng đi u không th này là ch chúng đã đ c

v t qua - l n th hai trong th i đ i c đi n, l n đ u tiên vào th i Trung c - v i

vi c t o ra nh ng đ i t ng toán h c m i, xa h n r t nhi u nh ng hình nh th c

ti n, so v i nh ng gì c a tr ng phái Pythagore

i v i Euclid và nh ng ng i đi tr c ông, nh ng ng i không mu n

tính các phân s , thì các phân s đ c thay th b ng khái ni m v t l gi a đ

dài hai đo n th ng hay đ ng g p khúc, ho c hai di n tích c a đa giác, hay hai

th tích c a v t r n Ng i Hy L p đã nói đ n chi u dài, di n tích và th tích,

kh i l ng theo khái ni m chung v “đ i l ng” (trong đó hình thành ba lo i khác nhau), và nh ng “khái ni m chung” c a Euclid có th đ c xem là kh i

đ u c a mô t tiên đ ki u Hilbert Th t v y, Euclid không đ nh ngh a khái ni m

đ i l ng ho c khái ni m hai quan h “nguyên th y” gi a các đ i l ng cùng

lo i, là “l n h n” (mà chúng ta vi t A > B) và “t ng c a hai đ i l ng ” (mà ta

vi t là C=A+B)

Nh ng gì ông làm là li t kê (nh ng không vét c n) m t s tính ch t liên

h nh ng khái ni m đó, ví d , “khái ni m chung” s 4 c a ông có th đ c vi t

b ng nh ng ký hi u c a chúng ta nh :

N u A>B, thì A + C > B + C Tích pA c a m t đ i l ng A đ t đ c b ng cách c ng các đ i l ng A p

l n Sau đó Euclid đã nói r ng hai đ i l ng cùng lo i A và B là thông c n u

t n t i m t đ i l ng C th ba cùng lo i, sao cho A = pC và B = qC v i p, q là

hai s t nhiên, và ông nói trong (Quy n X, 5) r ng A và B có “cùng t l ” nh

s t nhiên p và q (đi u mà chúng ta vi t là A/B = p/q)

Trong tr ng h p này, thay vì nói gi ng nh Diophantus, r ng đ ng chéo c a hình vuông không “t l ” v i c nh c a hình vuông, thì các nhà toán

h c Hy L p theo tr ng phái Plato đã tuyên b r ng, hai đ i l ng cùng lo i luôn luôn có m t t l , ngay c khi chúng vô c Sau đó h đã thành công, trong vi c đ nh ngh a t ng quát quan đi m v b t đ ng th c và phép c ng b ng phép d ng hình, đi u mà v n còn ch a đ c hi u h t cho đ n th k 19

Tuy nhiên, h th ng tính toán đ i v i nh ng “t s ” t ng quát này ch a s

d ng đ c đ i v i ng i Hy L p vì quan ni m c a h v tích các t s Th c

v y, khi Euclid tính toán tích c a hai t s gi a các chi u dài A/B và C/D (Quy n VI, 23), thì ông ch ra r ng đó là t s gi a di n tích hai hình ch nh t

(AxC)/ (BxD) H n th n a, Euclid không đ nh ngh a v t ng hai t s b t k ,

và trong nh ng tr ng h p c th mà ông xem xét, thì các t s có cùng m u (quy n V, 24) Trong h th ng này, các phép tính c a Diophantus (và th m chí

là c a nh ng ng i Babylon đi tr c đó) là không kh thi

Tuy nhiên, n u chúng ta b qua các t t ng tri t h c, thì hoàn toàn không khó đ dung hòa hai quan đi m, trong khi v n trung thành v i các ý

t ng c a Euclid Sau khi xem xét l i các nghiên c u khoa h c, đ u tiên th

gi i H i giáo, sau đó là ph ng Tây, nhi u nhà toán h c đã nh n th y m t cách đ c l p kh n ng đó: Nhà th - nhà toán h c Omar Khayyam th k 11,

R Bombelli ng i Italy th k 16, cu i cùng là Descartes, ng i mà uy tín c a ông đã giúp cho cu c c i cách đ c d t khoát th a nh n i u này bao g m

vi c ch xét t s gi a các chi u dài, và đ a t t c chúng v d ng OX/OU, trong

đó OU là m t đo n th ng ch n c đ nh, và X là m t đi m b t k thu c n a

đ ng th ng   kéo dài OU i u này làm đ c theo m t m nh đ Euclid,

kh ng đ nh s t n t i “theo t l th c th 4” trong (quy n VI, 12) Thay vì ti p

t c nói “t s ”, bây gi đ n gi n là nói r ng ta xét các đi m X thu c  , và

22

nh ng gì chúng ta ph i làm là xác đ nh m i quan h gi a hai đi m X<Y, và các phép toán X+Y và XY, chúng c ng ph i xác đ nh các đi m, mà không ph i là

nh ng đ i t ng ki u khác, nh trong Euclid

nh ngh a X<Y có th cho ngay: X ph i n m “gi a” O và Y, và khác Y V i

X+ Y và XY, có r t nhi u cách đ làm Cách đ n gi n nh t theo tôi là m t ph ng án thay đ i chút ít cách c a Hilbert, nó ch đòi h i d ng các đ ng song song, và ch

d a trên đ nh lý Euclid v các tam giác đ ng d ng ho c b ng nhau

Xét n a đ ng th ng th hai không là kéo dài c a n a đ ng th ng   và

m t đi m A n m trên   Vi c d ng Z=X + Y và W = XY đ c ch ra trong hình 8 và 9 (Chúng có th đ c mô t mà không c n bi u đ ) Vi c d ng  = Y + X và W= YX đ c ch ra b ng các đ ng ch m ch m Các phép d ng hình này ch ng minh hai tính ch t c b n c a các phép toán c a các đi m thu c  

Hình 10: A’U // AX, A’X’ // AU Hình 11: A’X // AY, A’Z // OA

L u ý r ng trong bi u di n trên đây không c n ph i phân bi t gi a các t

s thông c và vô c Vi c m r ng hi n nhiên nh ng phép d ng này c ng

cho phép tránh đ c tính không th x y ra mà Diphantus đã tính đ n Chính

v n đ này đã d n các nhà toán h c n th k 4 sau công nguyên đ a ra

Ngày nay chúng ta nói r ng các đi m thu c  đ c đ a ra theo công th c

này là các s th c, nh ng đi m thu c   là d ng và thu c   là âm L u ý

r ng các công th c này “gi i thích” ngay “các quy t c v d u”