Phát biểu và chứng minh điều kiện cần của hàm số khả vi tại một điểm.. Phát biểu các định lí về đạo hàm của hàm số hợp,đạo hàm của hàm số ẩn.. Định nghĩa đạo hàm theo hướng.. Câu 2: a Đị
Trang 1HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
ĐỀ BÀI TẬP ĐIỀU KIỆN
Môn học: Giải tích 2
Lớp: D13TXCN1-2
Thời hạn nộp bài:26/03/2014
Yêu cầu Sinh viên làm 2trong 5 câu sau.
Nội dung:
Câu 1:
a) Định nghĩa vi phân của hàm số f(x,y) tại điểm (x , y )0 0
Phát biểu và chứng minh điều kiện cần của hàm số khả vi tại một điểm
Phát biểu các định lí về đạo hàm của hàm số hợp,đạo hàm của hàm số ẩn
Định nghĩa đạo hàm theo hướng
b) Tính các đạo hàm riêng z , z x y biết 2 2 x
z ln(u v ), u xy, v
y
c) Tính tích phân bội ba sau: 2 2 2
V
(x y z )dxdydz
V xác định bởi
2
2 2 z
3
d) Chứng minh rằng biểu thức (x2 2xy2 5)dx (y 3 2x y 1)dy2 là vi phân toàn phần của
một hàm số u(x,y) nào đó.Tìm u(x,y)
e) Giải phương trình vi phân y xe2x
Câu 2:
a) Định nghĩa tích phân hai lớp Trình bày các tính chất của tích phân 2 lớp Nêu công thức tính tích
phân hai lớp( trong hệ tọa độ Đề các, hệ tọa độ cực).Ứng dụng của tích phân hai lớp
b) Tính các đạo hàm riêng của hàm số ẩn z = z(x,y) xác định từ hệ thức
x3 y3 z3 3xyz
c) Tính 2
V
z dxdydz
V là miền giới hạn bởi các mặt z = 0, z = 2, x2 y2 1
d) Tính 2 2
L
(x y )dx (4xy 1)dy
L là biên của tam giác ABC với A(0,0) , B(1,0) , C(0,1)
e) Giải phương trình vi phân x y2 2xy 2y 0
Câu 3:
a) Viết các công thức tính tích phân đường loại một, tích phân đường loại hai.Phát biểu và chứng minh
công thức Green Nêu định lí bốn mệnh đề tương đương
b) Tìm cực trị của hàm số f (x, y) x 4 y3 2x y2
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x y y , x 0 2
Trang 2d) Tính 2
S
z dydz 2ydzdx xdxdy
, S là phía ngoài mặt cầu x2 y2 z2 4
e) Giải phương trình vi phân y xy xy 3
Câu 4 :
a) Trình bày cách giải các phương trình vi phân cấp một sau: Phương trình với biến số phân li, phương
trình đẳng cấp, phương trình tuyến tính, phương trình Bernoulli, phương trình vi phân toàn phần
b) Tính đạo hàm của hàm số u xy z 2 4 tại điểm M (1, 2, 1)0 theo hướng xác định bởi M M 0 1
với
M1(0,4,-3)
c) Đổi thứ tự lấy tích phân trong tích phân sau :
2
3 x
0 (x 1) 1
dx f (x, y)dy
d) Tính thông lượng của trường véc tơ F(x, y, z) xi y j z k 2 qua phía ngoài biên của hình lập phương 0 x 1, 0 y 1, 0 z 1
e) Giải phương trình vi phân y 2y 2y sinx
Câu 5 :
a) Trình bày cách giải các phương trình vi phân cấp hai sau: Phương trình vi phân tuyến tính, phương
trình vi phân tuyến tính có hệ số không đổi
b) Cho z f (x 2 y )2 với f là hàm số khả vi Tính x y 2
x y y .
D
(x y )dxdy
, D là miền giới hạn bởi đường x2 y2 2x 0
d) Tính
S
zdS
S là phần mặt phẳng x + y + z = 1 nằm trong góc phần tám thứ nhất
e) Tìm nghiệm của phương trình vi phân xy y x cosx 2
thỏa mãn điều kiện y( )
Ghi chú:
bảng, biểu, ảnh, sơ đồ minh hoạ cần đánh số thứ tự kèm theo chú thích.
- Sinh viên nộp bài làm bằng viết tay, bài làm đánh máy không chấm điểm./.
- Sinh viên có thể nộp bài trực tiếp hoặc qua đường Bưu điện cho giáo viên phụ trách lớp
theo địa chỉ : Trương Mạnh Giáp Trung tâm Đào tạo Mở, Học viện Bưu chính Viễn thông,
Km 10, Nguyễn Trãi, Hà Đông, Hà Nội