HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAMĐỀ BÀI TẬP ĐIỀU KIỆN Môn học: Toán cao cấp A2 Lớp: D13TXQT1-2 Thời hạn nộp bài:26/03/2014 Nội dung: PHẦN 1
Trang 1HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
ĐỀ BÀI TẬP ĐIỀU KIỆN
Môn học: Toán cao cấp A2
Lớp: D13TXQT1-2
Thời hạn nộp bài:26/03/2014
Nội dung:
PHẦN 1: Sinh viên tùy chọn 2 trong các câu hỏi dưới đây
Câu 1:
Trình bày các khái niệm: Không gian véc tơ, không gian véc tơ con, độc lập tuyến tính
phụ thuộc tuyến tính Điều kiện cần và đủ để hệ 2 véc tơ là phụ thuộc tuyến tính Cho ví
dụ
Câu 2:
Trình bày các khái niệm: Cơ sở của không gian véc tơ, số chiều của không gian véc tơ,
tọa độ của véc tơ trong một cơ sở Cơ sở của không gian véc tơ 3n
Câu 3:
Trình bày các khái niệm: Giá trị riêng, véc tơ riêng Điều kiện để một ma trận chéo hóa
được, cho ví dụ
Câu 4:
Khái niệm dạng toàn phương, đưa biểu thức tọa độ của dạng toàn phương về dạng chính
tắc Cho ví dụ
Câu 5:
Trình bày các khái niệm: Ánh xạ tuyến tính, nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính, hạng của
ánh xạ tuyến tính, ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính, ma trận của ánh xạ tuyến tính
trong hai cơ sở khác nhau Cho ví dụ
PHẦN 2: Sinh viên làm 2 trong các câu dưới đây
Câu 1:
a) Đặt V1, V2 lần lượt là hai không gian vectơ con của 4
gồm các véctơ )
, ,
,
(x1 x2 x3 x4
v thoả mãn hệ phương trình (I) và hệ phương trình (II):
0 2
2
0 4
4 5
3
0 2
3 3
2 )
(
4 3
2 1
4 3
2 1
4 3
2 1
x x
x x
x x
x x
x x
x x
0 4
6 5
3
0 3
4 2
0 9
10 2
)
(
4 3
2 1
4 3
2 1
4 3
2 1
x x
x x
x x
x x
x x
x x
Hãy tìm số chiều của các không gian con V , 1 V , 2 V + 1 V , 2 V 1 V 2
Trang 2b) Cho ma trận
4 1 1
1 2 1
2 2 1
A , tìm ma trận P sao cho P 1AP có dạng chéo
Câu 2:
a) Cho ma trận
3 1 3
3 1
1
5 1 3
m m
m
i) Với giá trị nào của m thì tồn tại ma trận nghịch đảo A 1
ii) Cho m1 tìm A 1
b) Cho ánh xạ tuyến tính f : 4 4 xác định bởi:
) 9 5 4 , ,
2 3 , 8 5 3 2 ( )
,
,
,
(x y z t x y z t x y z t x y t x y z t
a) Viết ma trận của f trong cơ sở chính tắc của 4
b) Tìm một cơ sở của Kerf và Imf
Câu 3:
a) Cho ánh xạ tuyến tính f: 3 3 có công thức xác định ảnh
) 8 , 3 5 2 , 3 2 ( ) , ,
i) Chứng minh rằng f là một đẳng cấu
ii) Tìm công thức xác định ảnh của ánh xạ ngược f1(x,y,z)
b) Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho mặt bậc hai (S ) có phương trình: 7x2 7y2 10z2 2xy 4xz 4yz 36 Hãy tìm hệ trục toạ độ trực chuẩn sao cho phương trình của (S ) trong hệ trục toạ độ này có dạng chính tắc, gọi tên mặt bậc hai (
Câu 4:
a) Cho hai hệ vectơ: v1 (1,1,1,1),v2 (1,1,1,1),v3 (1,3,1,3)
và u1 (1,2,0,2),u2 (1,2,1,2),u3 (3,1,3,1)
Đặt V1 là không gian vectơ con của 4
sinh bởi hệ vectơ v1,v2,v3 và V2
là không gian vectơ con của 4sinh bởi hệ vectơ u1,u2,u3
Hãy tìm số chiều của các không gian con V , 1 V , 2 V + 1 V , 2 V 1 V 2
b) Cho ánh xạ tuyến tính f : 3 3 xác định bởi:
f(x,y,z)(3xyz,2x4y2z,xy3z)
i) Hãy viết ma trận A của ánh xạ f trong cơ sở chính tắc
ii) Tìm ma trận P sao cho P 1AP có dạng chéo
Trang 3Câu 5:
a) Cho ánh xạ tuyến tính f : 3 2 sao cho f( 1 , 0 , 0 ) ( 1 , 1 ),
) 0 , 3 ( ) 0
,
1
,
0
a) Tìm ma trận chính tắc của f
b) Tính f( 1 , 3 , 8 ), f(x,y,z)
b) Cho ánh xạ tuyến tính f: 3 3 có ma trận trong cơ sở chính tắc là
0 0
3
0 4
1
1 2
0
A Hãy tìm ma trận của f trong cơ sở v1,v2,v3;
)
1
,
1
,
1
(
1
v , v2 (1,1,0), v3 (1,0,0)
c) Tìm hạng r ( A) của ma trận
20 9
6 1
8 6 3 2
4 1 4
4 5 2 3
m
Ghi chú:
- 01 trang ngoài ghi thông tin cá nhân: họ tên SV, lớp-khoá, nội dung các câu hỏi đã chọn.
- Phần nội dung trả lời nếu có các mục, tiểu mục phải được phân rõ và đánh số thứ tự; các hình vẽ, bảng, biểu, ảnh, sơ đồ minh hoạ cần đánh số thứ tự kèm theo chú thích.
- Phần cuối bài làm mỗi câu liệt kê danh mục tài liệu tham khảo và phụ lục (nếu có).
- Bài làm sao chép toàn bộ nội dung trong tài liệu học tập không được đánh giá cao
- Sinh viên nộp bài làm bằng viết tay, bài làm đánh máy không chấm điểm./.
- Sinh viên có thể nộp bài trực tiếp hoặc qua đường Bưu điện cho giáo viên phụ trách lớp
theo địa chỉ : Trương Mạnh Giáp Trung tâm Đào tạo Mở, Học viện Bưu chính Viễn thông,
Km 10, Nguyễn Trãi, Hà Đông, Hà Nội