Phương pháp phần tử hữu hạn giải bài toán biên một chiều

Phương pháp phần tử hữu hạn giải bài toán biên một chiều

MỤC LỤC

A MỞ ĐẦU 2

B NỘI DUNG 3

I BÀI TOÁN BIÊN LOẠI I 3

1 Bài toán biên loại 1 với điều kiện thuần nhất 3

2 Trường hợp không thuần nhất 4

II BÀI TOÁN YẾU VÀ NGHIỆM SUY RỘNG 5

1 Bài toán yếu 5

2 Nghiệm suy rộng và quan hệ với nghiệm cổ điển 6

3 Sự tồn tại của nghiệm suy rộng 7

III PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN CHO BÀI TOÁN YẾU 10

1 Mở đầu 10

2 Xây dựng không gianHN ⊂W01 (0,1) 10

3 Bài toán yếu trênH N 11

4 Tính trực tiếp các B ij và F i 13

5 Công thức tích lũy 13

6 TínhBij k và Fk j bằng phép đổi biến 14

7 Đánh giá sai số 16

8 Ví dụ 16

IV BÀI TOÁN BIÊN LOẠI BA 23

1 Phát biểu bài toán 23

2 Bài toán yếu 23

3 Nghiệm suy rộng 25

4 Sự tồn tại của nghiệm suy rộng 25

5 Tính gần đúng nghiệm suy rộng bằng phương pháp phần tử hữu hạn 28

6 Công thức tích lũy 30

7 TínhBij k và Fk j bằng phép đổi biến 32

8 Đánh giá sai số 34

Phương pháp phần tử hữu hạn là một phương pháp được dùng rất phổ biếnhiện nay khi tính toán các bài toán cơ học Nó cũng đã được áp dụng để có đượcnhiều chương trình tính cho các dạng bài toán cơ học khác nhau: Tính cho dànthanh, khung không gian, các kết cấu dạng tấm , vỏ

Phương pháp phần tử hữu hạn là môn học cơ sở của các ngành kỹ thuậtliên quan đến tính toán các kết cấu và hiện cũng là một môn học Viện Toán Ứngdụng và Tin học trường Đại học Bách Khoa Hà Nội

Với đề tài nghiên cứu: “Phương pháp phần tử hữu hạng giải bài toán biên

một chiều” Đây là đề tài mà em cảm thấy phù hợp với kiến thức hiện tại của bản

thân mình và là một đề tài nghiên cứu thú vị giúp em có thêm cơ sở về lý thuyết

về môn phương pháp phần tử hữu hạn, cùng với đó là trau dồi thêm tư duy cũngnhư khả năng lập trình bằng ngôn ngữ C++

Để hoàn thành được đồ án này ngoài sự cố gắng của chính bản thân em còn

có một phần không nhỏ là nhờ vào sự hướng dẫn chỉ bảo nhiệt tình của thầy

Phan Xuân Thành.

B.NỘI DUNG

1 Bài toán biên loại 1 với điều kiện thuần nhất

Xét khoảng số thực [0,1] Xét phương trình vi phân cấp hai:

Lu :=−( p u '

)'+qu=f ( x ) , 0<x <1(1.1.1)

và điều kiện biên

u (0)=0,u (1)=0(1.1 2) trong đó p, q, f các hàm số cho trước thỏa mãn

p, p’, q, f ϵ L2(0,1) (1.1.3)

C0≤ p (x ) ≤C1, 0≤ q ( x ) ≤C2, 0<x <1(1.1.4)

C0, C1, C2c á c h ằ ng s ố d ươ ng

Bài toán biên loại một đối với phương trinh vi phân (1.1.1) phát biểu:

Tìm hàm số u ∈W02(0,1) ∩W01(0,1) thỏa mãn phương trình vi phân (1.1.1) cùng với các điều kiện (1.1.2).

Vì các điều kiện biên (1.1.2) có vế phải bằng 0 ta nói điều kiện biên đó là thuầnnhất và bài toán trên cũng có thể phát biểu:

Tìm hàm số u ∈W02

(0,1) ∩W01(0,1) thỏa mã phương trình vi phân (1.1.1)

Nghiệm của bài toán vi phân định nghĩa như vậy gọi là nghiệm cổ điển của bài

toán (1.1.1) (1.1.2)

Bài toán (1.1.1) (1.1.2) là mô hình toán học của bài toán truyền nhiệt dừng mộtchiều

2 Trường hợp không thuần nhất

Trong trường hợp điều kiện biên (1.1.2) thay bởi

u (0)=A ,u (1)=B

trong đó A và B không đồng thời bằng 0 ta nói điều kiện biên không thuần nhất.

Ta tìm cách đổi hàm để đưa nó về trường hợp thuần nhất Muốn thế ta xét hàm số

Đó là bài toán với điều kiện biên thuần nhất

Như vậy là trong trường hợp điều kiện biên không thuần nhất ta luôn tìmđược cách đổi hàm để đưa nó về trường hợp điều kiện thuần nhất Do đó từ nay

về sau ta chỉ xét các bài toán biên loại một với điều kiện biên thuần nhất

II BÀI TOÁN YẾU VÀ NGHIỆM SUY RỘNG

1 Bài toán yếu

Giả sử bài toán (1.1.1)(1.1.2) có nghiệm cổ điển u∈W02(0,1) ∩W01(0,1) Khi đó

Lu và f ∈ L2(0,1) Trong L2(0,1) nhân vô hướng hai vế của (1.1.1) với v ∈ D (0,1),

Ta phát biểu bài toán mới:

Với α (u , v ) và L(v) xác đinh bởi (1.2.3) và (1.2.4) hãy tìm u ∈W01

(0,1) sao cho

α (u , v )=L (v ) ∀ v ∈ D( 0,1)(1.2.5)

tức là (1.2.2) thỏa mãn

Bài toán (1.2.5) gọi là bài toán yếu ứng bài toán (1.1.1) (1.1.2).

2 Nghiệm suy rộng và quan hệ với nghiệm cổ điển

Nghiệm của bài toán yếu (1.2.5) gọi là nghiệm suy rộng của bài toán (1.1.1) (1.1.2) Theo phân tích ở trên nếu u là nghiệm cổ điển của bài toán (1.1.1)

(1.1.2) thì nó cũng là nghiệm suy rộng của nó

Ngược lại giả sử uϵ W01(0,1) là nghiệm suy rộng, tức là u thỏa mãn (1.2.5)

đồng thời lại thuộc W01(0,1) nữa Khi đó u thỏa mãn (1.2.2) Thực vậy.

Vì D(0,1) ⊂W0

1(0,1) nên từ (1.2.2) ta có

Đó là (1.1.1) Còn điều kiện ban biên (1.1.2) thỏa mãn vì u ∈W01(0,1) Vậynghiệm suy rộng của bài toán (1.1.1)(1.1.2) mà ∈W0

1(0,1) thì sẽ là nghiệm cổđiển của nó

Vì tập hợp tất chứa nghiệm ở bài toán (1.2.5) là W0

1(0,1) rộng hơn tập chứanghiệmW01(0,1)∪∈W02(0,1) ở bài toán (1.1.1) (1.1.2), trong khi hàm thử W01(0,1)

ở bài toán (1.2.5) hẹp hơn tập hàm thử L2(0,1) ở bài toán (1.1.1) (1.1.2) cho nênviệc tìm kiếm nghiệm ở bài toán (1.2.5) sẽ dễ dàng hơn

3 Sự tồn tại của nghiệm suy rộng

Để chứng minh sự tồn tại nghiệm suy rộng ta sẽ áp dụng định lý sau:

Xét không gian Hilbert V Cho α (u,v) là một dạng song tuyến tính trên α (u,v), Cho L(v) là một phiếm hàm tuyến tính trên V.

Bài toán :

Tìm u ∈V thỏa mãn

α (u , v )=L (v ) , ∀ v ∈ V Gọi là bài toán yếu trong không gian Hilbert V.

Nếu dạng song tuyến α (u,v) đối xứng, liên tục trên V và V- eliptic, đồng thời phiếm hàm tuyến tính L(v) liên tục trên V thì bài toán trên có nghiệm duy nhất.

Bây giờ xét với bài toán (1.2.5)

III PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN CHO BÀI TOÁN YẾU

1 Mở đầu.

Để xây dựng nghiệm gần đúng của bài toán yếu (1.2.5) tức là (1.2.2), ta thaykhông gian W01(0,1) bằng một không gian hữu hạn chiều V N mà ở đây ta gọi là

H N, của nó Ta sẽ làm việc đó theo phương pháp phần tử hữu hạn

Để tìm một đại lượng dưới dạng một hàm số trong một niềm nào đó người tachia nhỏ miền đó thành nhiều phần tử có hình thù đơn giản như một đoạn thẳngtrong một chiều và những tam giác trong môi trường hai chiều Mỗi phần tử đóđược gọi phần tử hữu hạn Sau đó người ta xem ẩn hàm là những hàm tuyến tínhtrong mỗi phần nhỏ và được lắp ráp lại tại các biên giới của các phần tử nhỏ theoyêu cầu của bài toán phải giải quyết, chẳng hạn thành hàm liên tục

2 Xây dựng không gianH N ⊂W01(0,1)

Ta chia miền xác định [0,1] của ẩn hàm u(x ) thành N+1 đoạn con bởi các điểm x i ∈[0,1]:

0=x0<x1¿x2< <xi−1<x i<x i+ 1< <xN<x N +1=1(1.3 1)

x i−x i−1=h i , h≔ max

i {h i}

Mỗi đoạn con [x i−1, x i ] gọi là một phần tử hữu hạn (phần tử hữu hạn một chiều).

Tập các điểm x i lập thành một phân hoạch của đoạn [0,1].

Hình 1.3.1

Sau đó ta xét bài toán (1.2.5) tên H N.

3 Bài toán yếu trênH N

Tìm w N ∈ H N sao cho

α(w N , v)=(f , v ) ,∀ v ∈ H N (1.3.4 )

trong đó c j cần được xác định sao cho (1.3.4) thỏa mãn với mọi v ∈ H N Vì họS N

là một cơ sở của H N nên chỉ cần (1.3.4) thỏa mãn với v=φ i , i=1,2, ., N, nghĩa là

Ma trận B gọi là ma trận cứng Các hàm φ j, là sơ sở của không gian H N, còn

được gọi là các hàm tọa độ.

4 Tính trực tiếp các B ij và F i

Vì các hàm φ i cho bởi (1.3.2), đạo hàm của chúng cho bởi (1.3.3) nên φ j=0

khi x ∉(x¿¿i−1 , x i +1)¿ và khi φ ' j=0 khi x ∉(x¿¿i−1 , x i +1)¿, do đó B ij=0 khi ¿i− j

|≥ 2 Vậy B là một ma trận thưa B là ma trận ba đường chéo và hệ (1.3.6) là một

hệ ba đường chéo, giải bằng phương pháp truy đổi ổn định

Bây giờ theo (1.3.7) ta có

Các tích phân xác định (2.3.13) chỉ thức hiện trên một phần tử hữu hạn [

x k−1 , x k ] Muốn tính chúng ta có thể dùng phép đổi biến x=x (E) xác định bởi

x=¿ ¿)E+x k−1(1.3 17)

để đưa đoạn x k−1 ≤ x ≤ x k về đoạn 0≤ E ≤ 1

Qua phép đổi biến (2.3.22) ta có:

´f ( E)(1−E)h k d E(1.3 23)

7 Đánh giá sai số

Giả sử u∈W01(0,1 ) là nghiệm của bài toán (1.2.5) (trênW01(0,1)), và w N ∈ H N lànghiệm gần đúng bằng phương pháp phần tử hữu hạn, tức là nghiệm của bài toán(1.2.5) nhưng trên không gian con của W0

dx)+q ( x )u=f ( x ) , a<x <b u (a)=0, u (b )=0(1.3 26 a)

thay vì trên đoạn [0,1] Trong trường hợp như vậy, lẽ ra trước khi áp dụngphương pháp phần tử hữu hạn ta phải biến đổi để đưa bài toán đã cho về bài toántrên đoạn [0,1] Nhưng việc ta biến đổi hay không biến đổi sẽ không ảnh hưởngđến kết quả

Nếu không biến đổi thì ta giải bài toán (1.3.24a) Bài toán yếu tương ứng là

Bước đi thứ k là h k=x k−x k−1 Hàm cơ sở tương ứng là φ i cho bởi (1.3.2) Hệ đại

số cần giải Bc=F với

B ij=α(φ i , φ i), F i=L(φ i)

Nếu đổi biến thì ta đưa đoạn [a,b] về đoạn [0,1] bằng công thức x=(b−a )t +a

Khi đó nếu g ( x ) thì ´g (t ):=g ( x)∨¿x=(b−a)t +a¿

−1

(b−a)2 ´p (t) d

dt(d ´u dt )+ ´q (t ) ´u=´f (t) , ´u (0)=0, ´u (1)=0 (1.3.26 b)

Bài toán yếu tương ứng là

Vậy hệ đại số khi có đổi biến viết ´B ´c= ´F i còn hệ đại khi không biến đổi viết

Bc =F viết (b−a) ´Bc =(b−a) ´F Do đó c=c Ta chú ý nghiệm của bài toán ´

khi không biến đổilà w N=∑

Giải hệ này ta tìm được

(6,256,25

6,256,256,256,256,25)

Giải nghiệm phương trình

b, Ví dụ 2:

Xét bài toán truyền nhiệt dừng:

−u ' '

=π2sin ( πx ) 0<x<2,u (0 )=0, u(2 )=0.

Nghiệm chính xác của bài toán là

u ( x )=sin(πx ).

Bằng cách chia đoạn [0, 2] thành 8 đoạn bằng nhau (8 phần tử hữu hạn), và dùng phương pháp phần tử hữu hạn ta tính được nghiệm gần đúng, sai số như trong hình vẽ dưới

IV BÀI TOÁN BIÊN LOẠI BA

1 Phát biểu bài toán

Cho khoảng số thực [0,1] Xét phương trình vi phân cấp hai

2 Bài toán yếu

Giả sử bài toán (2.4.1) (2.4.2) có nghiệm cổ điển u ∈W02(0,1) Khi đó Luvà

f ∈ L2(0,1) Trong đó L2(0,1) nhân vô hướng hai vế của (2.4.1) với v ∈ D([0,1], gọi làhàm thử, ta được

Ta phát biểu bài toán mới:

Với α (u , v ) và L (v ) xác định bởi (2.4.8) và (2.4.9) hãy tìm u ∈W01

Theo lập luận mục 2 Bài toán yếu trong phần IV Bài toán biên loại ba thì

nghiệm cổ điển của bài toán (2.4.1) (2.4.2) cũng là nghiệm suy rộng của nó

Có thể chứng minh được rằng nếu nghiệm suy rộng u lại thuộc W02(0,1) thì nócũng là nghiệm cổ điển

Vì không gian hàm thử W0

1

(0,1)∈ L2(0,1) và không gian chứa nghiệm

W01(0,1)⊃W02(0,1) nên nghiệm suy rộng dễ tìm hơn nghiệm cổ điển

4 Sự tồn tại của nghiệm suy rộng.

Rõ ràng α (u , v ) xác định bởi (2.4.8) là một song tuyến tính đối xứng trên W2(0,1)

Ta chứng minh rằng nó liên tục trên W01(0,1) và W02(0,1) - eliptic.

Trước hết theo lập luận mục 3 Sự tồn tại nghiệm suy rộng trong phần II Bài

toán yếu và nghiệm suy rộng ta có

Ta chứng minh tính liên tục của L(v) xác định bởi (2.4.9) Rõ ràng L(v) là một

phiến hàm tuyến tính trên W1

Vậy bài toán (2.4.10) có nghiệm duy nhất, do đó bài toán (2.4.1) (2.4.2) cónghiệm suy rộng duy nhất.

5 Tính gần đúng nghiệm suy rộng bằng phương pháp phần tử hữu hạn

Để xây dựng nghiệm gần đúng của bài toán (2.4.10) ta thay không gian

theo phương pháp phần tử hữu hạn, giống như trong bào toán yếu.

Ta chia miền xác định [0,1] của ẩn hàm u(x ) thành N đoạn con bởi các điểm

Các hàm φ i chỉ khác 0 tại x ∈(x i−1 , x i+1). Nói cách khác φ i là hàm số có giá đỡ nhỏ.

Hình 2.4.1Các hàm φi ∈W01(0,1) và độc lập tuyến tính Họ

trong đó c j cần được xác định sao cho (2.4.18) thỏa mãn với moi v ∈ H N +1 Vì họ

S N+ 1 là một cơ sở của H N+1 nên chỉ cần (2.4.18) thỏa mãn với v=φ i , i=1,2, ., N

α(w N +1 , φ i)=L(φ i),i=1,2 , … , N

F i k (2.4 27)

x=¿ ¿)E+x k−1(2.4 32)

để đưa đoạn x k−1 ≤ x ≤ x k về đoạn 0≤ E ≤ 1.

Qua phép đổi biến (2.3.22) ta có:

H N+1 :=span {φ1φ2… φ N},

trong đó φ i là hàm mái nhà (1.3.2).

sĐịnh lý: Giả sử u ∈W2(0,1) ∩W01(0,1) Khi đó

‖u '−w ' N‖L2(0,1)≤ Kαh[‖f‖¿¿L2(0,1)+ g a+g b](2.4 49)¿

‖u−w N‖L2(0,1)≤ Kα h2

[‖f‖¿¿L2(0,1)+ga+g b](2.4 50)¿Trong đó K là các hằng số dương

9 Hướng giải quyết bài toán biên loại 3 bằng lập trình.

Bài toán biên loại 3 về hướng giải quyết tương đối giống với bài toán yếu,

ta áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn vào để giải quyết, tức là chia thành nhiều phần tử nhỏ, biến đổi và tính các tích phân bằng công thức hình thang

hoặc bằng phương pháp gauss, sau đó tính ma trận B ij k và vector F k jgiống nhưbài toán yếu chỉ thêm vào như sau:

B001 :=B001 +σ a ; B NN N :=BNN N +σ b , F01=F01+g a , F NN N =F NN N +g b

Sau đó giải hệ phương trình ta được Cij

C KẾT LUẬN

Việc thực hiện đồ án với đề tài: Phương pháp phần tử hữu hạng giải bài toán

biên một chiều” giúp em tìm hiểu thêm được cơ sở lý thuyết về môn Phương pháp

phần tử hữu hạn, nắm và hiểu rõ công thức cũng như chứng minh và áp dụng cáccông thức vào bài toán thực tiễn sau này Cùng với yêu cầu tính toán và lập trình bàitoán thực tế trên máy tính bằng ngôn ngữ C++

Với sự trợ giúp của ngành Công nghệ thông tin và hệ thống CAD, nhiều kết cấuphức tạp cũng đã được tính toán và thiết kế chi tiết một cách dễ dàng

Hiện có nhiều phần mềm PTHH nổi tiếng như: ANSYS, ABAQAUS, SAP, v.v

Để có thể khai thác hiệu quả những phần mềm PTHH hiện có hoặc tự xây dựnglấy một chương trình tính toán bằng PTHH, ta cần phải nắm được cơ sở lý thuyết,

kỹ thuật mô hình hoá cũng như các bước tính cơ bản của phương pháp Từ đó pháttriển và ứng dụng vào các mô hình bài toán thực tiến

D.TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Giáo Trình Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn – Tạ Văn Đình – NXB Khoa

Học Kỹ Thuật – 2002

2 Numerical Approximation Methods for Elliptic Boundary Value Problems.

Olaf Steinbach Springer – 2007

3 The Finite Element Method for Elliptic Problems, Philippe G.Ciaret –

North Holland – 1978