Dao ham va bai toan tiep tuyen cho lop 11day du

Ta cần tìm đợc hệ số góc và tiếp điểm trong trờng hợp này nếu muốn viết phơng trình tiếp tuyến với đờng cong nào đó.. Các bài tập hay gặp trong phần này: Cho hoành độ tiếp điểm; tung đ

y = sinu u’.cosu y = au u’.au lna

y = cosu - u’.sinu y = lnu 1 'u

u

y = logau lna 'u

u

Chú ý: Khi áp dụng tính đạo hàm của hàm hợp ta chú ý ban đầu tính đạo hàm của

hàm số theo biến u rồi nhân với đạo hàm của hàm số u theo biến x

3 Các phép toán đạo hàm.

Cho hai hàm số y = u(x), y = v(x) Khi đó

Tổ Toán _ Tin trờng thpt lục ngạn số 2

4 Đạo hàm bậc cao của hàm số.

Đạo hàm bậc n của hàm số y = f(x) là đạo hàm bậc 1 của đạo hàm bậc n – 1 của hàm số y = f(x) ( n > 1)

II Các dạng toán cơ bản.

1 Dạng 1 Tính đạo hàm của hàm số.

Phơng pháp Ta vận dụng các quy tắc và phép tính đạo hàm, đặc biệt là đạo hàm

của hàm hợp Nếu yêu cầu tính đạo hàm tại một điểm ta cần tính đạo hàm rồi thay vào đe đợc kết quả

Ví dụ 1 Tính đạo hàm các hàm số sau

a) y x= −3 2x2+3x+4 b) y =sinx−cosx+tanx

' sin 2 cos 2cos 2 sin

Phơng pháp.Ta tính y’ sau đó giải phơng trình y’ = 0.

Ví dụ 1 Giải phơng trình y’ = 0 biết.

Tæ To¸n _ Tin trêng thpt lôc ng¹n sè 2a)

21

x y

y x

+

=+

21

x

x x

0 12 24 9 0

12

21

x

x x

=

+

21

x

x x

=

+

VËy ph¬ng tr×nh y’ = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt x = 0 vµ x = -2

f) Ta cã

' 4

x

x x

a) y’ – y2 -1 = 0 víi y = tanx

b) y’ + 2y2 + 2 = 0 víi y = cot2x

c) y’2 + 4y2 = 4 víi y = sin2x

Tổ Toán _ Tin trờng thpt lục ngạn số 2

Vậy ta có điều cần chứng minh

III Bài tập tự luyện.

Bài 1 Tính đạo hàm các hàm số sau

y x

x y x

=+

d) 3 1

2

x y

x y

I Kiến thức cơ bản.

1 Tiếp tuyến tại một điểm: Cho hàm số y= f(x) (C), x0 là một điểm thuộc vào

TXĐ của hàm số trên và tồn tại đạo hàm tại đó Khi đó ta có tiếp tuyến với (C) tại

điểm

(x0; f(x0)) có phơng trình là y = y/(x0)(x-x0) + f(x0)

Nhận xét: ở trên ta có y / (x 0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến Ta cần tìm đợc hệ số góc

và tiếp điểm trong trờng hợp này nếu muốn viết phơng trình tiếp tuyến với đờng cong nào đó Các bài tập hay gặp trong phần này: Cho hoành độ tiếp điểm; tung

độ tiếp điểm; hay tại giao điểm của đồ thị hàm số với đờng thẳng nào đó.

2 Điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị.

1 Dạng 1 Viết phơng trình tiếp tuyến tại một điểm.

Phơng pháp: Ta cần tìm đợc toạ độ tiếp điểm dựa vào các dữ kiện bài toán đã cho Nhận xét: Trong dạng này ta thờng gặp các trờng hợp sau

+ Cho biết tọa độ của tiếp điểm

+ Cho biết hoành độ của tiếp điểm hoặc điều kiện nào đó để tìm đợc hoành

độ tiếp điểm

+ Biết tung độ tiếp điểm hoặc điều kiện nào đó để tìm đợc tung độ tiếp điểm.+ Tiếp điểm là giao điểm của đồ thị với một đồ thị khác Khi đó ta cần giải

hệ phơng trình để tìm toạ độ của tiếp điểm

2 Dạng 2 Tiếp tuyến đi qua một điểm: Cho hàm số y= f(x) (C) viết phơng trình

tiếp tuyến với (C) đi qua điểm M(xM; yM)

Cách 2: Sử dụng điều kiện tiếp xúc

Giả sử đờng thẳng qua M(xM; yM) có hệ số góc k khi đó nó có phơng trình

y = k(x-xM) + yM

Tổ Toán _ Tin trờng thpt lục ngạn số 2

Ta có đờng thẳng y = k(x-xM) + yM là tiếp tuyến của đờng cong (C)

 giải hệ này ta tìm đợc hoành độ của tiếp điểm sau đó

viết phơng trình tiếp tuyến tơng ứng

Nhận xét: ở trên có bao nhiêu nghiệm x ta có bấy nhiêu tiếp tuyến đi qua điểm M.

3 Dạng 3 Tiếp tuyến cho trớc hệ số góc:

Phơng pháp.

Cách 1 Tìm tiếp điểm

Giả sử tiếp tuyến cần tìm có tiếp điểm là M0(x0; y0) Khi đó tiếp tuyến cần tìm có phơng trình y = f/(x0)(x-x0) + f(x0)

Khi đó theo giải thiết ta có f/(x0) = k Giải phơng trình này ta tìm đợc hoành độ tiếp

điểm sau đó tìm y0 = f(x0) rồi viết phơng trình tiếp tuyến cần tìm theo dạng 1

Nhận xét: Trong dạng này ta có thể gặp các bài tập nh sau:

*) Tiếp tuyến có hệ số góc k khi đó ta tìm tiếp điểm M0(x0; y0) bằng cách giải

ph-ơng trình f/(x0) = k sau đó viết phơng trình tiếp tuyến tơng ứng

*) Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng y = ax + b khi đó tiếp tuyến có hệ số góc

*) Tiếp tuyến tạo với chiều dơng trục hoành góc α khi đó hệ số góc của tiếp tuyến

là k = tanα sau đó tìm tiếp điểm M0(x0; y0) bằng cách giải phơng trình f/(x0) = k và viết phơng trình tiếp tuyến tơng ứng

*) Tiếp tuyến tạo với đờng thẳng y = ax +b một góc α khi đó hệ số hóc của tiếp tuyến là k thoả mãn tan

1

k a

− =+ hoặc chúng ta dùng tích vô hớng của hai véctơ

pháp tuyến để tìm hệ số góc k sau đó tìm tiếp điểm M0(x0; y0) bằng cách giải phơng trình f/(x0) = k và viết phơng trình tiếp tuyến tơng ứng

III Ví dụ.

Ví dụ 1: Cho hàm số y = f x( )= +x3 2x2 + −x 4 ( )C Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết

a) Hoành độ tiếp điểm lần lợt là -1; 3; 2

b) Tung độ tiếp điểm lần lợt là -4

c) Tiếp điểm là giao của (C) với trục hoành

f x = f − =

suy ra tiếp tuyến với (C) khi đó có phơng trình y = f/(-1)(x+1) – 4 hay y = - 4 Với hoành độ tiếp điểm x0 = 3 ta có y0 = f(x0) = f(3) = 44; / /

0( ) (3) 40

f x = f = suy

ra tiếp tuyến với (C) khi đó có phơng trình y = f/(3)(x-3) + 44 hay y = 40x – 76

b) Với tung độ tiếp điểm y0 = - 4 ta có x0 = -1 hoặc x0 = 0

Với hoành độ tiếp điểm x0 = -1 ta có / /

0( ) ( 1) 0

f x = f − = suy ra tiếp tuyến với (C) khi đó có phơng trình y = f/(-1)(x+1) – 4 hay y = - 4

Với x0 = 0 ta có / /

0( ) (0) 1

f x = f = suy ra tiếp tuyến với (C) khi đó có phơng trình y

Với m = 0 thì đồ thị hàm số đã cho không cắt trục hoành suy ra không tồn tại tam

giác OAB Vậy với 9 4 5

7 4 3

m m

 = ±



= ±

 thì tiếp tuyến cần tìm cắt hai trục tọa độ tạo ra

tam giác có diện tích bằng 8

Ví dụ 3: Cho hàm số y = f x( )= −x3 3 ( )x C2 viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết

Tổ Toán _ Tin trờng thpt lục ngạn số 2Với xA = 3 ta có yA = 0 khi đó tiếp tuyến với (C ) cần tìm là y =9(x-3) hay y= 9x – 27

Vậy có hai tiếp tuyến với (C) có hệ số góc là k = 9 là

y=9x+5 và y= 9x – 27

b) Gọi M(xM ;yM) là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm

Tiếp tuyến cần tìm vuông góc với đờng thẳng 1

a) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = 6x – 4

b) Tiếp tuyến tạo với đờng thẳng 1 5

1 132

y = − khi đó tiếp tuyến cần tìm là

y = − + khi đó tiếp tuyến cần tìm là

sau đó làm tơng tự nh phần a (Tìm tiếp điểm)

Ví dụ 5: Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) : y=2x3 −3x2 +5 đi qua điểm

a) CMR: Không tồn tại hai điểm nào trên (C ) sao cho tiếp tuyến tại hai điểm

đó vuông góc với nhau

b) Tìm k sao cho trên (C) có ít nhất một điểm sao cho tiếp tuyến tại đó vuông góc với đờng thẳng y = kx + m

Giải

Đờng thẳng (∆) đi qua A(3; 0) và có hệ số góc k có dạng: y = k(x - 3)

+) (∆) là tếp tuyến với (C)

Tổ Toán _ Tin trờng thpt lục ngạn số 2

2

x 22x = (1)( 1)

1

(2)1

x x

Vậy với a = -1 đồ thị (1) tiếp xúc với (P).

Ví dụ 9 Cho đờng cong = − +

−

2 2 21

Gọi M(a; 0) ∈ Ox; ∆ là đờng thẳng qua M có hệ số góc k: y = k(x - a)

(∆) là tiếp tuyến của (C) ⇔  = −

(I) 1

11( ) 1 (2)

4

1 a = -1, a = 3(1 )

x theo a và k thay vào phơng trình (1) thì đợc một hệ

mới tơng đơng trong đó có một phơng trình chỉ chứa a và k từ đó ta có phép biến đổi nh trên và cách giải này là ngắn gọn

Ví dụ 10 Cho đờng cong = − +

−

2 2 21

(∆) là đờng thẳng đi qua M(a; b) và có hệ số góc k nên PT (∆): y = k(x - a) + b

(∆) là tiếp tuyến của (C) ⇔

1( ) 1 (2)

Tổ Toán _ Tin trờng thpt lục ngạn số 2

11( ) 1 (4)

1 4

1 (8) 1

(1 ) 2((1 ) 2) 4 0 (9)

a b a

Vậy ta có tập hợp các điểm M cần tìm là đờng tròn tâm I(1; 0) bán kính R = 2, bỏ

đi 4 điểm là giao các đờng thẳng x = 1 và - x + y + 1 = 0 với đờng tròn đó là các điểm (1; ±2); (1+ 2; 2 ); (1− 2;− 2 )

Ví dụ 11 Cho đờng cong: = − +

Tìm tất cả các điểm trên đờng thẳng y = 7 mà từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến với ờng cong (C) mà hai tiếp tuyến đó hợp với nhau góc ϕ = 450.

2( ) 7 2 1 (2)

12( ) 7 2 1 (4)

2

11

k k

Tổ Toán _ Tin trờng thpt lục ngạn số 2Vậy từ (6) ⇒

100

a k k

100

a k k

01

10

k k

a a

a a

x'0(2) = ⇒ =3 a2 1;b2 = −2

Kết luận: Tiếp tuyến chung là: y = 3x - 7 và y = x – 2.

Ví dụ 13 Tìm tiếp tuyến cố định của họ đờng cong có phơng trình:

1( 1) 0

a

b b

Kết luận: Vậy họ đờng cong có một tiếp tuyến cố định là: y = - x - 1

IV Bài tập tự luyện.

Bài 1 Cho (C m) :y x= +3 mx2 +1 Tìm m để (C cắt đờng thẳng y = -x + 1 tại ba m)

điểm A(0; 1), B, C sao cho tiếp tuyến với (C tại B và C vuông góc với nhau m)

Bài 4 Cho y x= +3 3x2 −9x+5 ( )C Tìm tiếp tuyến với (C) có hệ số góc nhỏ nhất

 Viết phơng trình tiếp tuyến với hai đồ thị

trên tại giao điểm của chúng

Bài 6 Viết phơng trình tiếp tuyến với ( )C y x= + −3 1 k x( +1) tại giao điểm của nó với trục Oy Tìm k để tiếp tuyến đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8

Tổ Toán _ Tin trờng thpt lục ngạn số 2

b) Tiếp tuyến tạo với chiều dơng trục hoành góc 600

c) Tiếp tuyến tạo với chiều dơng trục hoành góc 150

d) Tiếp tuyến tạo với chiều dơng trục hoành góc 750

e) Tiếp tuyến tạo song song với đờng thẳng y = - x + 2

f) Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng y = 2x – 3

g) Tiếp tuyến tạo với đờng thẳng y= 3x + 7 góc 450

Bài 9 Cho hàm số ( ) :C y = − +x3 3x+2 Tìm trên trục hoành những điểm kẻ đợc

ba tiếp tuyến với (C) (ĐH SPHN2- KB-1999)

Bài 10 Cho hàm số ( ) :C y x= − −3 x 6 Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) đi qua

− Tìm M trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C)

tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A, B tạo ra tam giác OAB vuông cân

(HVBCVTHN - 1997).

Bài 15 Cho hàm số

2

2 5( ) :

tùy ý luôn tạo với hai tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi

(ĐH Ngoại Thơng TPHCM 1998) Bài 18 Tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất với đồ thị

(C) tai M đi qua gốc tọa độ ( ĐH Công Đoàn 2001).

Bài 20 Viết phơng trình tiếp tuyến tại các điểm cố định mà đồ thị

b) Tìm trên đờng thẳng y = -2 điểm mà từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến với (C)

và chúng vuông góc với nhau

Bài 22 Cho hàm số y x= −3 3 ( )x C Tìm các điểm trên đờng thẳng x = 2 kẻ đợc

đúng ba tiếp tuyến với (C) ( ĐH cần thơ 2000_ k A).

tuyến song song với đờng thẳng y = -x ( ĐH đà lạt 2000_ k A).

Bài 24 Cho hàm số y =3x−4 ( )x C3 Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua điểm A(1; 3) ( ĐH tây nguyên 2000_ k A) Bài 25 Cho hàm số y x= +3 3x+1 ( )C Đờng thẳng y = 5 tiếp xúc với (C) tại A và

cắt (C ) tại điểm B, tìm tọa độ điểm B ( ĐH tây nguyên 2000_ k D).

Bài 26 Cho hàm số y x= −3 3x+2 ( )C Viết phơng trình tiếp tuyến với (C ) đi qua

điểm A(1; 0) ( ĐH an ninh nhân dân 2000_ k D) Bài 27 Tìm các điểm trên trục hoành kẻ đợc đúng một tiếp tuyến với đồ thị

a) Từ đó không kẻ đợc tiếp tuyến nào với đồ thị (C)

b) Từ đó kẻ đợc ít nhất một tiếp tuyến với đồ thị (C)

c) Từ đó kẻ đợc đúng một tiếp tuyến với đồ thị (C)

d) Từ đó kẻ đợc đúng hai tiếp tuyến với đồ thị (C)

e) Từ đó kẻ đợc đúng hai tiếp tuyến với đồ thị (C) và hai tiếp tuyến đo vuông góc với nhau

Tổ Toán _ Tin trờng thpt lục ngạn số 2

Bài 30 Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua điểm A(1; 0) tới đồ thị

+ Trong khai triển trên số mũ của a giảm dần từ trái sang phải, ngợc lại số

mũ của b tăng dần từ trái sang phải Số mũ của a và b trong mỗi số hạng cộng lại

đều bằng n

+ Trong khai triển trên có n + 1 số hạng

+ Số hạng tổng quát trong khai triển (1) là k k n k (0 )

n

T C a b= − ≤ ≤k n + Số hạng thức k trong khai triển (1) là k 1 k 1 n k 1 (1 1)

Ta có hai hàm số y = f(x) và y = g(x).

Nếu f(x) = g(x) thì f’(x) = g’(x)

II Dạng toán tính tổng của tổ hợp liên quan tới đạo hàm.

Ta có một vài chú ý khi gặp tính tổng của tổ hợp

+ Nếu trong vế tính tổng không có 0

n

C thì ta cần dùng khai triển rồi đạo hàm

hai vế theo x cả hai vế sau đó thay x bằng một giá trị thích hợp

+ Nếu trong một vế tính tổng không có 0

n

C và 1

n

C thì ta dùng khai triển rồi

đạo hàm hai vế theo x hai lần sau đó thãy bằng một giá trị thích hợp