Boi duong nang luc toan hoc trong day hoc DS GT

Chương trình Đại số và Giải tích ở trường THPT có nhiều tiềm năngthuận lợi cho việc bồi dưỡng một số thành tố của năng lực toán học, bởi vì,Đại số và Giải tích có nhiều chủ đề mà trong đ

Mở đầu

1 lý do chọn đề tài

Để hoàn thành trách nhiệm của mình trước cộng đồng và nâng cao cuộcsống cá nhân, con người cần có một số năng lực nhất định Năng lực cá nhân

chỉ có thể được hình thành và phát triển thông qua hoạt động, trong đó hoạt

động học tập có ý nghĩa quan trọng hàng đầu Yêu cầu then chốt đó đã đượcphản ánh trong phần mục tiêu của nền giáo dục Do vậy, mục tiêu giáo dụctrước hết phải là năng lực suy nghĩ, năng lực hành động của người học Nănglực này được phát triển trên nền tảng một hệ thống kiến thức cơ bản, vững

chắc Mặt khác, năng lực cá nhân không tự phát triển mà nền giáo dục có

trách nhiệm phát hiện và góp phần phát triển năng lực đó Nói một cách khác,

năng lực được hình thành qua các biện pháp phát hiện và nuôi dưỡng nó của

bản thân ngành giáo dục nói riêng và toàn xã hội nói chung Về phía cá nhân,mỗi người phải học tập suốt đời; thời gian học tập ở nhà trường thì có hạn màkiến thức cần có (dù là tối thiểu) lại tăng lên không ngừng, điều quan trọng lànăng lực của chính họ được bồi dưỡng một cách thường xuyên và liên tục

thông qua từng môn học cụ thể (Trần Kiều, Thông tin khoa học giáo dục, số

48/1995)

Việc phát triển năng lực toán học ở HS là một nhiệm vụ đặc biệt quan

trọng của thầy giáo vì hai lý do: Thứ nhất, Toán học có một vai trò to lớn

trong sự phát triển của các ngành khoa học, kỹ thuật; sự nghiệp cách mạng

cần thiết có một đội ngũ những người có năng lực toán học Thứ hai, như

Nghị quyết Đại hội Đảng Cộng sản Việt Nam lần IV đã ghi rõ: “Trên cơ sởnhững đòi hỏi tất yếu của cộng đồng của quyền làm chủ tập thể phải bảo đảm

sự phát triển phong phú của nhân cách, bồi dưỡng và phát huy sở trường vànăng khiếu của cá nhân” Nhà trường là nơi cung cấp cho HS những cơ sởđầu tiên của Toán học, không ai khác chính thầy giáo là những người hoặc

chăm sóc, vun xới cho những mầm mống năng khiếu Toán học của HS, hoặclàm thui chột chúng [26, tr 130].

Bồi dưỡng năng lực toán học cho HS là một vấn đề thu hút sự quan tâmcủa các nhà Toán học, các nhà khoa học giáo dục, các giáo viên dạy Toán ở

nhiều nước trên thế giới, kể cả Việt Nam Tuy nhiên, cho đến nay vẫn chưa

có được định nghĩa thống nhất về năng lực nói chung và năng lực toán học nói riêng Có rất nhiều ý kiến khác nhau đề cập tới những thành tố của năng

lực toán học mà trong số đó có nhiều tác giả nổi tiếng chẳng hạn như V A.Krutecxki, A N Kôlmôgôrôv, A I Marcusêvich, B V Gơnhedencô,

Chương trình Đại số và Giải tích ở trường THPT có nhiều tiềm năngthuận lợi cho việc bồi dưỡng một số thành tố của năng lực toán học, bởi vì,Đại số và Giải tích có nhiều chủ đề mà trong đó nổi bật lên một số kĩ năngtrong quá trình giải quyết nó

Đã có những công trình đề cập đến bồi dưỡng năng lực toán học, chẳng

hạn Luận án "Xây dựng hệ thống bài tập số học nhằm bồi dưỡng một số yếu

tố năng lực toán học cho học sinh khá, giỏi đầu cấp THCS" của Trần Đình Châu, nhưng công trình này chỉ chủ yếu nói về cách thức xây dựng hệ thống bài tập nhằm bồi dưỡng một số yếu tố năng lực toán học cho HS đầu cấp

THCS trong dạy học Số học Đến nay, vẫn chưa có một công trình nào nghiêncứu việc bồi dưỡng năng lực toán học cho HS trung học phổ thông

Vì những lý do trên đây mà chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của Luận

văn là: “Về cấu trúc năng lực toán học và việc bồi dưỡng một số thành tố năng lực toán học cho HS trung học phổ thông trong dạy học Đại số và Giải tích”.

2 mục đích nghiên cứu

Mục đích của Luận văn là nghiên cứu việc bồi dưỡng một số thành tốnăng lực toán học cho HS trung học phổ thông trong dạy học Đại số và Giảitích

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau:

3.1 Có những quan điểm nào về cấu trúc của năng lực toán học?

3.2 Từ việc tổng hợp các quan điểm nói ở 3.1, sẽ chọn ra một số thành

tố nào để bồi dưỡng cho HS trung học phổ thông trong dạy học Đại số và Giảitích?

3.3 Những căn cứ nào làm cơ sở để chọn lọc các thành tố mà ta sẽ xemxét vấn đề bồi dưỡng?

3.4 Những biện pháp nào sẽ được sử dụng để bồi dưỡng các thành tốđó?

3.5 Thực nghiệm sư phạm

4 Phương pháp nghiên cứu

Luận văn sử dụng các phương pháp sau đây trong quá trình nghiên cứu:4.1 Nghiên cứu lý luận: tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu về các vấn đềliên quan đến đề tài Luận văn

4.2 Điều tra quan sát: thực trạng về năng lực toán học của học sinh trunghọc phổ thông trong môn Đại số và Giải tích

4.3 Thực nghiệm sư phạm: tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xéttính khả thi và hiệu quả của các biện pháp sư phạm đã đề xuất

5 Giả thuyết khoa học

Nếu dựa vào những cơ sở lý luận và thực tiễn thì có thể xác định được một số thành tố năng lực toán học cần phải bồi dưỡng; đồng thời, nếu xác định được một số biện pháp sư phạm thích hợp thì có thể góp phần bồi dưỡng

cho HS trung học phổ thông những thành tố này trong quá trình dạy Đại số vàGiải tích

6 Đóng góp của luận văn

6.1 Góp phần làm rõ thêm về sơ đồ cấu trúc năng lực toán học của họcsinh;

6.2 Đã nêu lên được những khó khăn, những sai lầm phổ biến của họcsinh khi đứng trước các vấn đề toán học – mà việc giải quyết các vấn đề đóđòi hỏi một sự thể hiện về các năng lực thành tố toán học;

6.3 Đưa ra được những biện pháp sư phạm nhằm góp phần phát triểnbốn năng lực thành tố cho học sinh THPT trong dạy học môn Đại số và Giảitích;

6.4 Luận văn có thể được sử dụng làm tài liệu tham khảo cho giáo viênToán nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường trunghọc phổ thông

7 cấu trúc của luận văn

Luận văn, ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, có 3chương:

Chương 1: Tổng quan các quan điểm về cấu trúc năng lực toán học

1.1 Khái niệm năng lực

1.2 Khái niệm năng lực toán học

1.3 Các quan điểm về cấu trúc năng lực toán học

2.2 Các thành tố năng lực cần bồi dưỡng cho học sinh

2.3 Góp phần bồi dưỡng một số thành tố của năng lực toán học

2.4 Kết luận chương 2

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

3.1 Mục đích thực nghiệm

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm

3.4 Kết luận.

Chương 1 Tổng quan các quan điểm

về cấu trúc của năng lực toán học1.1 Khái niệm năng lực

Kết quả nghiên cứu của các công trình tâm lý học và giáo dục học chothấy, từ nền tảng là các khả năng ban đầu, trẻ em bước vào hoạt động Qua

quá trình hoạt động mà dần hình thành cho mình những tri thức, kỹ năng, kỹ

xảo cần thiết và ngày càng phong phú, rồi từ đó nảy sinh những khả năng mớivới mức độ mới cao hơn Đến một lúc nào đó, trẻ em đủ khả năng bên trong

để giải quyết những hoạt động ở những yêu cầu khác xuất hiện trong học tập

và cuộc sống thì lúc đó học sinh sẽ có được một năng lực nhất định Dưới đây

là một số cách hiểu về năng lực:

+) Định nghĩa 1: Năng lực là phẩm chất tâm lý tạo ra cho con người khả

năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao [56]

+) Định nghĩa 2: Năng lực là một tổ hợp những đặc điểm tâm lý của con

người, đáp ứng được yêu cầu của một hoạt động nhất định và là điều kiện cầnthiết để hoàn thành có kết quả một số hoạt động nào đó [1]

+) Định nghĩa 3: Năng lực là những đặc điểm cá nhân của con người đáp

ứng yêu cầu của một loại hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết đểhoàn thành xuất sắc một số loại hoạt động nào đó (Dẫn theo[2])

Như vậy, cả ba định nghĩa đó đều có điểm chung là: năng lực chỉ nảy sinh và quan sát được trong hoạt động giải quyết những yêu cầu mới mẽ, và

do đó nó gắn liền với tính sáng tạo, tuy nó có khác nhau về mức độ (địnhnghĩa 3 gắn với mức độ hoàn thành xuất sắc)

Mọi năng lực của con người được biểu lộ ở những tiêu chí cơ bản nhưtính dễ dàng, nhẹ nhàng, linh hoạt, thông minh, tính nhanh nhẹn, hợp lý, sángtạo và độc đáo trong giải quyết nhiệm vụ

Phần lớn các công trình nghiên cứu tâm lý học và giáo dục học đều thừanhận rằng con người có những năng lực khác nhau vì có những tố chất riêng,tức là sự thừa nhận sự tồn tại của những tố chất tự nhiên của cá nhân thuận lợicho sự hình thành và phát triển của những năng lực khác nhau

1.2 Khái niệm năng lực toán học

Theo V A Krutecxki [33, tr 13] năng lực toán học được hiểu theo 2 ýnghĩa, 2 mức độ:

Một là, theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực đối với

việc học Toán, đối với việc nắm giáo trình Toán học ở trường phổ thông, nắmmột cách nhanh và tốt các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng

Hai là, theo ý nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học), tức là năng lực hoạt

động sáng tạo Toán học, tạo ra những kết quả mới, khách quan có giá trị lớnđối với xã hội loài người

Giữa hai mức độ hoạt động toán học đó không có một sự ngăn cách tuyệtđối Nói đến năng lực học tập Toán không phải là không đề cập tới năng lựcsáng tạo Có nhiều em học sinh có năng lực, đã nắm giáo trình Toán học một

cách độc lập và sáng tạo, đã tự đặt và giải các bài toán không phức tạp lắm;

đã tự tìm ra các con đường, các phương pháp sáng tạo để chứng minh các định lý, độc lập suy ra các công thức, tự tìm ra các phương pháp giải độc đáo những bài toán không mẫu mực

Với mức độ học sinh trung bình và khá, Luận văn chỉ chủ yếu tiếp cậnNLTH theo góc độ thứ nhất (năng lực học Toán) Sau đây là một số địnhnghĩa về NLTH:

Định nghĩa 1: Năng lực học tập Toán học là các đặc điểm tâm lý cá nhân

(trước hết là các đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu hoạt động toán

học và giúp cho việc nắm giáo trình Toán một cách sáng tạo, giúp cho việcnắm một cách tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng và kỹxảo toán học [33, tr 14].

Định nghĩa 2: Những năng lực học Toán được hiểu là những đặc điểm

tâm lý cá nhân (trước hết là những đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêucầu của hoạt động toán học, và trong những điều kiện vững chắc như nhau thì

là nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững một cách sáng tạoToán học với tư cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, dễdàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực Toán học [26, tr 126].Nói đến HS có năng lực toán học là nói đến HS có trí thông minh trongviệc học Toán Tất cả mọi HS đều có khả năng và phải nắm được chươngtrình trung học, nhưng các khả năng đó khác nhau từ HS này qua HS khác.Các khả năng này không phải cố định, không thay đổi: Các năng lực này

không phải nhất thành bất biến mà hình thành và phát triển trong quá trình học tập, luyện tập để nắm được hoạt động tương ứng; vì vậy, cần nghiên cứu

để nắm được bản chất của năng lực và các con đường hình thành, phát triển,hoàn thiện năng lực

Tuy nhiên, ở mỗi người cũng có khác nhau về mức độ NLTH Do vậy,

trong dạy học Toán, vấn đề quan trọng là chọn lựa nội dung và phương pháp thích hợp để sao cho mọi đối tượng HS đều được nâng cao dần về mặt

NLTH Về vấn đề này nhà Toán học Xôviết nổi tiếng, Viện sĩ A N.Kôlmôgôrôv cho rằng: “Năng lực bình thường của HS trung học đủ để chocác em đó tiếp thu, nắm được Toán học trong trường trung học với sự hướngdẫn tốt của thầy giáo hay với sách tốt”

1.3 Các quan điểm về cấu trúc năng lực toán học

1.3.1 Quan điểm của V A Krutecxki

V A Krutecxki – nguyên Phó Viện trưởng Viện nghiên cứu Tâm lý họcthuộc Viện Hàn lâm khoa học giáo dục Liên Xô trước đây, đã nghiên cứu tâm

lý năng lực toán học với công trình đồ sộ “Tâm lý năng lực toán học” – Luận

án Tiến sĩ của ông được Hội đồng bác học Liên Xô đánh giá rất cao Côngtrình là kết quả của việc nghiên cứu lý luận và thực tiễn, có tiến hành thựcnghiệm hết sức công phu, được tiến hành từ năm 1955 đến 1968 Ông đãnghiên cứu sâu sắc về mặt lý luận, tham khảo hơn 747 tài liệu trong và ngoài

nước Về mặt thực tiễn, Ông đã quan sát tự nhiên; theo dõi sự phát triển của

HS có năng khiếu về Toán; thực nghiệm trên 157 HS giỏi, trung bình và kém;nghiên cứu tình trạng học tập (qua tài liệu) về các bộ môn của khoảng 1000

HS từ lớp VII đến lớp X; tiến hành tọa đàm với 62 giáo viên dạy Toán; phỏngvấn bằng giấy đối với 56 giáo viên Toán; phỏng vấn bằng giấy đối với 21 nhàToán học; nghiên cứu và phân tích tiểu sử của 84 nhà toán học và vật lý họcnổi tiếng trong và ngoài nước Chính vì độ tin cậy trên về những kết luậnkhoa học của V A Krutecxki nên Luận văn sẽ kế thừa kết quả và là điểm tựaquan trọng về cơ sở khoa học của đề tài

Kết quả chủ yếu và quan trọng nhất là Ông đã chỉ ra cấu trúc năng lực toán học của học sinh bao gồm những thành phần sau (dựa theo quan điểm

của Lý thuyết thông tin):

* Về mặt thu nhận thông tin toán học

Đó là năng lực tri giác hình thức hoá tài liệu Toán học, năng lực nắm cấu trúc hình thức của bài toán.

* Về mặt chế biến thông tin toán học

1) Năng lực tư duy lôgic trong lĩnh vực các quan hệ số lượng và không gian, hệ thống ký hiệu số và dấu Năng lực tư duy bằng các ký hiệu toán học; 2) Năng lực khái quát hóa nhanh và rộng các đối tượng, quan hệ toán học và các phép toán;

3) Năng lực rút gọn quá trình suy luận toán học và hệ thống các phép toán tương ứng Năng lực tư duy bằng các cấu trúc rút gọn;

4) Tính linh hoạt của quá trình tư duy trong hoạt động toán học;

5) Khuynh hướng vươn tới tính rõ ràng đơn giản, tiết kiệm, hợp lý của lời giải;

6) Năng lực nhanh chóng và dễ dàng sửa lại phương hướng của quá trình tư duy, năng lực chuyển từ tiến trình tư duy thuận sang tiến trình tư duy đảo (trong suy luận toán học).

* Về mặt lưu trữ thông tin toán học

Trí nhớ toán học (trí nhớ khái quát về các: quan hệ toán học; đặc điểm

về loại; sơ đồ suy luận và chứng minh; phương pháp giải toán; nguyên tắc, đường lối giải toán).

* Về thành phần tổng hợp khái quát

Khuynh hướng toán học của trí tuệ.

Các thành phần nêu ở trên có quan hệ mật thiết lẫn nhau, ảnh hưởng lẫnnhau và hợp thành hệ thống định nghĩa một cấu trúc toàn vẹn của năng lựctoán học

Sơ đồ triển khai của cấu trúc NLTH có thể được biểu thị bằng một côngthức khác, cô đọng hơn: Năng lực toán học được đặc trưng bởi tư duy kháiquát, gọn, tắt và linh hoạt trong lĩnh vực các quan hệ toán học, hệ thống kýhiệu số và dấu, và bởi khuynh hướng toán học của trí tuệ [33, tr 170]

Cùng với cấu trúc nói trên, V A Krutecxki cũng đưa ra những gợi ý vềphương pháp bồi dưỡng NLTH cho HS

Nghiên cứu quan điểm của V A Krutecxki về năng lực toán học, có thểthấy một số vấn đề quan trọng sau:

+) Về mặt lý luận

1) Theo V A Krutecxki thì nói đến HS có NLTH là nói đến HS có tríthông minh trong việc học toán;

2) Vấn đề năng lực chính là vấn đề khác biệt cá nhân Khi nói về năng

lực tức là giả định rằng có sự khác biệt về những mặt nào đó giữa các cánhân, chẳng hạn về NLTH Điều quan trọng năng lực không chỉ là bẩm sinh

mà còn được phát sinh và phát triển trong hoạt động, trong đời sống của mỗi

cá nhân;

3) Khi nói đến năng lực tức là nói đến năng lực trong một loại hoạt độngnhất định của con người Năng lực toán học cũng vậy, nó chỉ tồn tại tronghoạt động toán học và chỉ trên cơ sở phân tích hoạt động toán học mới thấyđược biểu hiện của năng lực toán học;

4) Hiệu quả hoạt động trong một lĩnh vực nào đó của con người thường

phụ thuộc vào một tổ hợp năng lực Kết quả học tập Toán cũng không nằm

ngoài quy luật đó, ngoài ra còn phụ thuộc vào một số yếu tố khác, chẳng hạnniềm say mê, thái độ chăm chỉ trong học tập, sự khuyến khích hỗ trợ của giáoviên, của gia đình và xã hội

* Về mặt thực tiễn

1) Trong lĩnh vực đào tạo con người phải nghiên cứu NL của mỗi ngườitrong lĩnh vực đào tạo, phải biết những phương pháp tốt nhất để bồi dưỡngnăng lực đó;

2) Năng lực toán học là năng lực tạo thành các mối liên tưởng khái quát,tắt, linh hoạt, ngược và hệ thống của chúng dựa trên tài liệu toán học Cácnăng lực đã nêu biểu hiện với các mức độ khác nhau ở các em HS giỏi, trungbình, kém ở các em năng khiếu và giỏi thì các mối liên tưởng đó được tạothành ngay tức khắc sau một số ít bài tập, ở các em trung bình thì muốn hìnhthành các mối liên tưởng phải cần cả một hệ thống bài tập và phải có sự rènluyện

1.3.2 Quan điểm của A N Kôlmôgôrôv

Trong cuốn sách Về nghề nghiệp của nhà Toán học, A N Kôlmôgôrôv

đã chỉ ra rằng, năng lực ghi nhớ máy móc một số lượng lớn các sự kiện, côngthức, cộng và nhân nhẩm hàng dãy dài các số có nhiều chữ số không quan hệđến NLTH Trong thành phần các năng lực toán học, ông nêu ra:

1) Năng lực biến đổi thành thạo các biểu thức chữ phức tạp, năng lực tìm kiếm các cách hay để giải các phương trình không phù hợp với qui tắc giải thông thường, hoặc như các nhà Toán học gọi là năng lực tính toán hay năng lực “angôrit”;

2) Trí tưởng tượng hình học hoặc “trực giác hình học”;

3) Nghệ thuật suy luận lôgic, được phân nhỏ hợp lý, tuần tự Có thể nói rằng tiêu chuẩn của sự trưởng thành lôgic cần thiết cho nhà Toán học là hiểu nguyên nhân quy nạp toán học và có kỹ năng vận dụng nó một cách đúng đắn.

Ông còn nhấn mạnh rằng: các khía cạnh khác nhau của năng lực toán họcthường được gặp trong các tổ hợp khác nhau và các năng lực này thường bộc

lộ rất sớm và đòi hỏi phải luyện tập liên tục

1.3.3 Quan điểm của A I Marcusêvich

Viện sĩ A I Marcusêvich đã chỉ ra 6 phẩm chất sau đây của trí tuệ vàtính cách cần được giáo dục cùng với việc dạy Toán:

1) Có kỹ năng biết tách ra cái bản chất của vấn đề và loại bỏ các chi tiết không cơ bản (kỹ năng trừu tượng hoá);

2) Kỹ năng xây dựng được sơ đồ của hiện tượng sao cho trong đó chỉ giữ lại những gì cần thiết cho việc giải thích vấn đề về mặt Toán học, đó chính là các quan hệ thuộc, thứ tự, số lượng và độ đo, phân bố không gian (kỹ năng sơ đồ hoá);

3) Kỹ năng rút ra các hệ quả lôgic từ các tiên đề đã cho (tư duy suy diễn);

4) Kỹ năng phân tích vấn đề đã cho thành các trường hợp riêng, kỹ năng phân biệt được khi nào chúng bao quát được mọi khả năng, khi nào chúng chỉ là các ví dụ chứ không bao quát hết mọi khả năng;

5) Kỹ năng vận dụng các kết quả rút ra được từ các suy luận lý thuyết cho các vấn đề cụ thể và đối chiếu các kết quả đó với các kết quả dự kiến, kỹ

năng đánh giá ảnh hưởng của việc thay đổi các điều kiện đến độ tin cậy của các kết quả;

6) Khái quát hoá các kết quả nhận được và đặt ra những vấn đề mới ở dạng khái quát.

1.3.4 Quan điểm của X I Svacxbuốc

X I Svacxbuốc sau khi khái quát hoá ý kiến của các nhà Toán học, đãnghiên cứu các yếu tố sau đây trong sự phát triển Toán học:

1) Các biểu tượng không gian;

2) Tư duy trừu tượng;

3) Chuyển thành sơ đồ toán học;

4) Tư duy suy diễn;

5) Phân tích, xem xét các trường hợp riêng;

6) áp dụng các kết luận;

7) Tính phê phán;

8) Ngôn ngữ toán học;

9) Kiên trì khi giải toán.

1.3.5 Quan điểm của B V Gơnhedencô

Viện sĩ B V Gơnhedencô trong một loạt bài báo đăng trên Tạp chí

“Toán học trong nhà trường” trong các năm từ 1962 đến 1965 đã đưa ra các

tính chất sau đây của tư duy toán học:

1) Năng lực nhìn thấy được tính không rõ ràng của suy luận, thấy được

sự thiếu vắng các mắt xích cần thiết của chứng minh;

2) Có thói quen lý giải lôgic một cách đầy đủ;

3) Chia nhỏ một cách rõ ràng tiến trình suy luận;

4) Sự cô đọng;

5) Sự chính xác của kí hiệu.

1.3.6 Quan điểm của UNESCO

Theo quan điểm của Tổ chức UNESCO thì 10 yếu tố cơ bản của NLTH

đó là:

1) Năng lực phát biểu và tái hiện định nghĩa, kí hiệu, các phép toán và các khái niệm;

2) Năng lực tính nhanh, cẩn thận, và sử dụng các kí hiệu;

3) Năng lực dịch chuyển dữ kiện kí hiệu;

4) Năng lực biểu diễn dữ kiện bằng các kí hiệu;

5) Năng lực theo dõi một hướng suy luận hay chứng minh;

6) Năng lực xây dựng một chứng minh;

7) Năng lực áp dụng quan niệm cho bài toán toán học;

8) Năng lực áp dụng cho bài toán không toán học;

9) Năng lực phân tích bài toán và xác định các phép toán có thể áp dụng;

10) Năng lực tìm cách khái quát hoá toán học.

1.3.7 Quan điểm của một số tác giả khác

1.3.7.1 Quan điểm của E L Thorndike

So với các tác giả đề cập ở trên, khi nghiên cứu về năng lực toán học củahọc sinh, E L Thorndike đã đi sâu vào lĩnh vực Đại số Theo E L.Thorndike, những thành tố của năng lực Đại số gồm:

1) Năng lực hiểu và thiết lập công thức;

2) Năng lực biểu diễn các tương quan số lượng thành công thức;

3) Năng lực biến đổi công thức;

4) Năng lực thiết lập các phương trình biểu diễn các quan hệ số lượng

đã cho;

5) Năng lực giải phương trình;

6) Năng lực thực hiện các phép biến đổi đại số đồng nhất;

7) Năng lực biểu diễn bằng đồ thị phụ thuộc hàm của hai đại lượng.

1.3.7.2 Quan điểm của G Tômac

G Tômac đưa ra cấu trúc năng lực toán học bao gồm các thành tố sau:

1) Năng lực trừu tượng hóa;

2) Năng lực suy luận lôgic;

3) Tri giác đặc thù;

4) Có kỹ năng sử dụng các công thức;

5) Năng lực trực giác;

6) Trí tưởng tượng toán học.

1.3.7.3 Quan điểm của Pellery

1) Nhìn thấy những quan hệ, những điều cần phải phân biệt (chẳng hạn giả thiết và kết luận);

2) Lưu trữ và dịch chuyển (qua lời, đồ thị và kí hiệu);

3) Năng lực theo dõi một số hướng suy luận;

4) Năng lực hiểu bài toán;

5) Năng lực theo dõi những con đường giải toán;

6) Khái quát hoá, mở rộng bằng tương tự Tìm một mô hình thích hợp (trong các mô hình đã biết);

7) Xây dựng một mô hình toán học có thể giải bài toán;

8) Xây dựng một thuật toán để giải toán.

đề toán học theo những cách khác nhau có trong quan điểm của X I.

Svacxbuốc, Pellery, …

Tuy nhiên, giữa các quan điểm vẫn có những thành tố năng lực chưathống nhất hoặc có những quan điểm vẫn chưa thể đưa ra đầy đủ các thành tốtrong cấu trúc năng lực toán học của HS Chẳng hạn, năng lực khái quát hoátheo V A Krutecxki là một trong những năng lực cơ bản trong cấu trúc nănglực toán học, đó là năng lực khái quát hoá các đối tượng, quan hệ toán học vàcác phép toán; Ông cũng cho rằng năng lực khái quát hóa tài liệu toán học lànăng lực đặc thù Nhưng khi đưa ra cấu trúc năng lực toán học của HS, Viện

sĩ A I Marcusêvich lại không đề cập năng lực khái quát hoá mà chỉ coi trọng năng lực trừu tượng hoá (kỹ năng biết tách ra cái bản chất của vấn đề và loại

bỏ các chi tiết không cơ bản)

Mặt khác, khi bắt đầu quá trình tư duy và trong mỗi lần chuyển hướngtương tự, thường phải đánh giá tình huống với mục đích lựa chọn một tìm tòihợp lý hơn Trong các tình huống toán học hoàn toàn mới mà kinh nghiệmkhông có đủ để giải quyết, lúc này vai trò chính lại là trực giác toán học, sựnhạy bén của tư duy, năng lực dự đoán phương hướng tìm kiếm có thể đưađến mục đích Mặc dù, trực giác toán học cho đến nay vẫn còn ít được nghiêncứu (cũng như bản chất, cơ chế của quá trình tư duy nói chung) nhưng sự tồntại của nó đã được khẳng định bởi các nhà Toán học vĩ đại có kinh nghiệmsáng tạo khoa học cũng như các nhà Sư phạm Toán có nhiều kinh nghiệm và

đã có thời gian dài theo dõi tư duy của các em HS có năng lực về Toán.Chẳng hạn, nhà toán học Pháp vĩ đại A Poăngcarê thừa nhận có tính đặc thù

của năng lực sáng tạo toán học và đã chỉ ra thành phần quan trọng nhất của chúng là trực giác toán học; trong sơ đồ cấu trúc về năng lực toán học của HS

của Viện sĩ A N Kôlmôgôrôv cũng đã nói về trực giác nhưng trực giác theomột nghĩa hẹp (trực giác hình học) Nhưng trên thực tế, như chúng ta đã biếttrực giác có thể mang tính lôgic ở đây, trực giác toán học cần được coi như

một năng lực phức hợp đoán định trước các kết quả mà cách thức dẫn đến

mục đích của tư duy sáng tạo trong lĩnh vực Toán học Tư duy lôgic khôngtham gia trực tiếp vào hành động trực giác (vai trò của nó chưa nhận thứcđược), nhưng nhất thiết sau đó nó phải được lôi cuốn vào để kiểm tra tínhđúng đắn của dự đoán trực giác; G Tômac cũng rất coi trọng vai trò của trựcgiác trong việc sáng tạo Toán học Vì vậy, trực giác toán học không chỉ là

nhân tố phức hợp quan trọng nhất trong năng lực sáng tạo khoa học mà nó

cần phải có trong thành phần sơ đồ khái quát của cấu trúc năng lực toán học

1.5 Kết luận chương 1

Trong Chương I, Luận văn trình bày một số cách hiểu về khái niệm nănglực toán học và các quan điểm về những thành phần của năng lực toán họccủa một số nhà khoa học

Sự so sánh, đối chiếu các quan điểm đã cho thấy rằng, đến nay vẫn chưa

có một quan điểm thống nhất về những thành tố của năng lực toán học Có rấtnhiều quan điểm, mỗi quan điểm nhấn mạnh một số loại thành tố nào đó, mỗiquan điểm đều có những nét hợp lý riêng khi ta đối chiếu với một bậc học nào

đó (chẳng hạn, V A Krutecxki thì thiên về các giai đoạn cơ bản của việc giảibài tập của HS cấp I hoặc cấp II)

Chương 2Góp phần bồi dưỡng một số thành tố của năng lực toán học cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học Đại số và Giải tích 2.1 Các điểm tựa để xác định các năng lực thành tố

Để xác định được các năng lực thành tố cần bồi dưỡng cho học sinhtrung học phổ thông trong dạy học Đại số và Giải tích, chúng tôi dựa vào cácđiểm tựa sau:

- Những thành tố đưa ra phải thực sự có ý nghĩa đối với dạy học Đại số

và Giải tích ở trường trung học phổ thông;

- Chương trình Đại số và Giải tích có nhiều tiềm năng để bồi dưỡng cácnăng lực thành tố đó;

- Các năng lực thành tố phải xuất hiện trong những quan điểm của cácnhà khoa học;

- Trong thực tiễn học Toán, học sinh còn có những hạn chế về nhữngnăng lực thành tố này

2.2 Các thành tố năng lực toán học cần bồi dưỡng cho học sinh 2.2.1 Năng lực phân chia trường hợp

2.2.1.1 Trong việc trình bày lý thuyết, hệ thống hoá các kiến thức, cũng

như khi giải toán biện luận, ta cần phải phân chia một khái niệm

Trong lôgic học, người ta quan niệm: “Phân chia khái niệm là thao tác

lôgic, chia các đối tượng thuộc ngoại diên khái niệm cần phải phân chia thànhcác nhóm theo những tiêu chuẩn nhất định” [45, tr 72]

Nói cách khác, phân chia một khái niệm tức là đem ngoại diên của khái

niệm ấy chia thành nhiều bộ phận [11, tr 141]

Phân loại là phân chia một tập hợp đối tượng cho trước thành những tập

hợp con, dựa trên cơ sở một dấu hiệu chung

Giữa phân chia khái niệm và phân loại thường không có sự phân biệt rõ

ràng, người ta thường dùng phân loại theo nghĩa phân chia khái niệm

Việc phân chia, phân loại phải tuân theo một số quy tắc nhất định:

+ Sự phân chia (phân loại) phải triệt để, không bỏ sót;

+ Sự phân chia (phân loại) không trùng lặp;

+ Cùng một lúc không được đưa vào nhiều dấu hiệu khác nhau để phânchia (phân loại);

+ Phân chia phải liên tục [45, tr 141]

2.2.1.2 Trong môn Toán THPT, nói riêng trong môn Đại số và Giải tích,

có nhiều tình huống liên quan đến việc phân chia và xem xét các trường hợp

- Lớp các bài toán về giải phương trình, bất phương trình mà tập xác định của nó cần phải được tách thành các bộ phận để thuận lợi cho việc sử dụng các phép biến đổi tương đương;

- Lớp các bài toán tích phân liên quan đến việc chọn cận trung gian;

- Lớp các bài toán về đại số tổ hợp

Trong khi ở trường THCS học sinh chủ yếu làm việc với phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình với hệ số bằng số thì ở

các lớp THPT, đi sâu vào những phương trình, bất phương trình hệ phương

trình có chứa tham số đòi hỏi học sinh phải biện luận trong khi giải, “phép biện luận đòi hỏi phép ứng xử linh hoạt trong mỗi hoàn cảnh cụ thể, và biết cách phân tích đầy đủ các tình huống có thể xảy ra , không thể không dạy

cho học sinh làm quen và học tập phương pháp biện luận” [7, tr 78, 79]

2.2.1.3 Thực tiễn Sư phạm và những cuộc điều tra, thăm dò đã cho thấy:

Toán biện luận (giải và biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương

trình, chứa tham số; tìm điều kiện của tham số để phương trình, bất phươngtrình, hệ có nghiệm thoả mãn yêu cầu nào đó ) là một trong những dạngtoán khó khăn nhất đối với học sinh THPT Đặc trưng của dạng toán này làphải biết phân chia thành những trường hợp riêng và lần lượt giải trong nhữngtrường hợp đó

Chương trình Đại số THPT không đưa thêm nhiều khái niệm mới, màchủ yếu đi sâu vào các khái niệm cơ bản như hàm số, phương trình, bấtphương trình, nhằm chính xác hoá và hệ thống hoá chúng lại, theo một quan

điểm thống nhất: Quan điểm hàm số Sách giáo khoa Toán phổ thông cũng

không nói gì về việc phải cần thiết phân chia trường hợp trong giải toán haycũng không nói gì cách thức hoặc tiêu chí làm cơ sở cho sự phân chia, đây làyếu tố gây khó khăn rất lớn cho HS trong quá trình giải loại toán này

Học sinh thường gặp những khó khăn hoặc sai lầm sau đây khi giảinhững bài toán có liên quan đến việc phân chia trường hợp riêng

a) Không ý thức được sự suy biến của phương trình, bất phương trình

Ví dụ: Giải và biện luận phương trình:

(m + 2)x2 – 2(m – 1)x + 3 – m = 0Đứng trước bài toán này học sinh thường cho rằng đây là phương trìnhbậc hai và đi thẳng vào phân tích ∆'= (m – 1)2 – (3 – m)(m + 2) = 2m2 – 3m – 5 = (m + 1)(2m – 5)

Từ đó họ xét các trường hợp của '∆ Trường hợp này học sinh không

nghĩ rằng m là tham số thì nó có thể nhận bất kì giá trị nào và như vậy họ

nắm được các phép biến đổi nào là tương đương, thậm chí có thể “nhầm”

rằng phép biến đổi nào là tương đương đối với phương trình thì cũng là phépbiến đổi tương đương đối với bất phương trình Thực ra hai bất phương trình

có thể tương đương với điều kiện này, nhưng không tương đương với điềukiện khác Nói cách khác, các trường hợp được xem xét mà hai phương trình,bất phương trình có phải là đương tương hay không

Ví dụ: Giải bất phương trình:

x2 + −x 2 + x2 +2x−3 ≤ x2 +4x−5 (1)

Nói chung không khó để nhận ra rằng, các biểu thức trong dấu “ ” đều

có hạng tử x – 1 Cũng vì thế mà họ sẵn sàng rút gọn cả hai vế cho x −1 đểnói rằng bất phương trình đã cho tương đương với x+2+ x+ ≤3 x+5.Thực chất thì tập xác định của bất phương trình là x≥1hoặc x ≤ −5 Để

bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình nào, thì phải xét

Thực ra để biết bất phương trình tương đương với bất phương trình nào,

ta cần phải chia tập xác định làm hai trường hợp: x < -1, x > 3

c) Không ý thức được sự biến thiên của hàm số

Ví dụ: Tìm m để bất phương trình log (m x2 −2x+2m+ <1) 0 có nghiệmvới mọi x

Nhiều học sinh có sự biến đổi ngay là:

2

log (m x −2x+2m+ <1) 0 ⇔ x2 −2x+2m<1⇔ x2 −2x+2m<0

Hầu hết học sinh cho rằng đây là bất phương trình bậc hai có hệ số bậchai a = 1 > 0 mà chiều bất phương trình bé hơn 0 nên không thể tồn tại m để

bất phương trình có nghiệm với x∀ ∈¡ Thực ra khi ( ;1)1

2

m∈ thì bấtphương trình sẽ có nghiệm ∀ ∈x ¡

Như vậy, sai lầm bắt nguồn từ chỗ không nắm vững sự biến thiên của

hàm số lôgarit nên không xét được các trường hợp cho tham số m.

Một ví dụ khác, giải bất phương trình 2

1log ( )

Nhiều học sinh cho rằng đây là bất phương trình chứa ẩn ở cả cơ số và

biểu thức dưới dấu log nên họ đặt điều kiện rất cẩn thận là:

2

03

x x x

x x x x

x x x

− (2), chỗ này ta thấy xuất hiện hai sai lầm: đó là (1) chỉ tương

đương với (2) khi x2 > 1(hàm số lôgarit đồng biến), ngoài ra x2 =x chỉ khi

x 0≥

d) Chưa nắm vững một số khái niệm toán học cơ bản, chẳng hạn các

khái niệm có cấu trúc hội, vì vậy không ý thức được tác động của tham số

đối với kết quả bài toán.

Ví dụ, Xét Bài toán: “Tuỳ theo giá trị của m, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức

F = ((m+1)x−2y + −1 m)2 +(m x y m2 − − 2 −2 )m 2”

Suy nghĩ để giải bài toán có thể được mô tả như sau: Do F là tổng cácbình phương, nên F 0≥ với mọi x và mọi y, tuy nhiên chưa khẳng định đượcgiá trị nhỏ nhất của F có phải bằng không hay không, giá trị nhỏ nhất của F

bằng 0 khi và chỉ khi tồn tại (x0; y0) thoả mãn: 2 0 02

m m

m m

Khi đó F = 5t2 - 6t + 9 = ( 5 3 )2 36 36

5 55

t− + ≥ Vậy giá trị nhỏ nhấtcủa F bằng 36/5 khi x – y = 3/5

Trong thực tế, rất nhiều học sinh đã mắc sai lầm khi giải bài toán này Có

em cho rằng vì F 0≥ với mọi x và mọi y nên giá trị nhỏ nhất của F bằng 0,cũng có em suy luận:

F 0≥ với mọi x và mọi y, F = 0 ⇔ ( )

+) Nếu m = 1 thì hệ vô nghiệm, nên F không có giá trị nhỏ nhất (!?)

e) Không biết chia thành những trường hợp nào, nói cách khác không

biết tìm tiêu chí làm cơ sở cho sự phân chia.

Có rất nhiều dạng toán mà khi giải nó chúng ta cần phải phân chia thành các trường hợp, nhưng cái khó là HS thường gặp là không biết phân thành

những trường hợp nào cho hợp lý

Ví dụ: Giải và biện luận phương trình x m− +2m= x+2m (1)

Ta phải xét ba trường hợp (TH) m < 0; m = 0; m > 0

TH1: m = 0, phương trình có nghiệm duy nhất x = 0;

TH2: m > 0, điều kiện của phương trình là x ≥ m Khi đó phương trình (1)tương đương với x m− +4m x m− + 4m2 = +x 2m⇔4 x m− = −3 4m (2)Bình phương hai vế của (2) ta được:

Tuy nhiên, (2) không tương đương với (3) bởi vì 3 – 4m có thể âm, do đó

TH2 phải chia thành các khả năng (KN) sau:

KN1: 3 – 4m < 0 ⇔m > 3/4 thì (2) vô nghiệm nên (1) vô nghiệm;

KN1: 4m + 3 < 0 ⇔m < -3/4 khi đó (4) vô nghiệm nên (1) vô nghiệm

KN2: 4m + 3 ≥ 0 ⇔m ≥ -3/4 thì (4) tương đương với (5) do đó (1) cónghiệm:

Một ví dụ khác, cho các chữ số 1, 2, , 8, 9 Hãy tìm các số chẵn có 3

chữ số đôi một khác khau không lớn hơn 789 thành lập từ các số trên

Số cần tìm có dạng abc , đứng trước bài toán này HS thường rất khó khăn trong việc tìm ra tiêu chí để phân số cần tìm thành các trường hợp Thật vậy, nếu chọn chữ số c trước thì có 4 cách chọn nhưng vì a ≤ 7 nên a có 6, 7 hay bao nhiêu cách chọn? Ngoài ra khi chọn a trước thì c sẽ chọn thế nào?

2.2.2 Năng lực suy luận lôgic

2.2.2.1 Trong lôgic học người ta quan niệm rằng: “Suy luận là quá trình

suy nghĩ để rút ra một mệnh đề từ một hoặc nhiều mệnh đề đã có trước” [16, tr.

140]

Các mệnh đề có trước gọi là tiền đề của suy luận, các mệnh đề mới rút ra gọi là hệ quả hay kết luận của suy luận.

Một suy luận bất kỳ nói chung có cấu trúc lôgic A⇒B, trong đó A là

tiên đề, B là kết luận Cấu trúc lôgic phản ánh cách thức rút ra kết luận tức là

a) Suy luận diễn dịch (hay phép suy diễn) là suy luận theo những quy tắc

(quy tắc suy diễn) xác định rằng nếu tiền đề (các tiền đề) là đúng thì kết luậnrút ra cũng đúng [11, tr 59]

Suy luận suy diễn đi từ cái tổng quát đến cái riêng Vậy để đảm bảo tínhchất đúng đắn của một suy diễn thì các tiền đề của suy luận phải đúng đồng

thời suy luận phải hợp lôgic.

Một suy luận hợp lôgic dạng A⇒B hoặc A A A1 2 n ⇒B được ký hiệu

Một số quy tắc suy diễn thường dùng:

* Quy tắc modus ponens: P Q P,

Q

⇒

Quy tắc suy luận modus ponens thường được sử dụng trong chứng minhmột mệnh đề toán học bằng cách đi từ các mệnh đề đúng đã biết, suy diễn tớimệnh đề cần chứng minh

Chẳng hạn, chứng minh rằng nếu x và y thoả mãn phương trình: x2 + y2 = 1thì ta có bất đẳng thức: x y+ ≤ 2

n không tối giản (mâu thuẫn).

* Quy tắc kết luận từ mệnh đề phổ biến: , ( ),

mọi x > 3 đều không phải là nghiệm

Do các giá trị x mà x > 3 hoặc x < 3 đều không phải là nghiệm, x = 3 lànghiệm của phương trình theo quy tắc lựa chọn ta suy ra x = 3 là nghiệm củaphương trình

* Quy nạp hoàn toàn được sử dụng rộng rải để chứng minh các định lý

và giải Toán Trong phương pháp quy nạp hoàn toàn, khẳng định chung được

chứng minh là đúng trong mỗi trường hợp riêng có thể xảy ra, do đó, mặc dù

được gọi là quy nạp, nhưng ta vẫn phải xem quy nạp hoàn toàn là suy luậnthuộc loại suy diễn [16, tr 142].

Thật vậy, để có thể áp dụng được phương pháp suy luận này, ta phải đưa

về việc phân chia các trường hợp chung thành một số hữu hạn các trường hợp riêng có thể có và chứng minh khẳng định đúng trong tất cả các trường

hợp riêng

Từ những đặc điểm trên về suy luận quy nạp hoàn toàn, để tránh sự trùnglặp nhiều, trong Luận văn chúng tôi sẽ không bàn nhiều về phát triển năng lựcsuy luận lôgic ở góc độ này Vì năng lực này được phát triển nếu chúng taphát triển được ở học sinh năng lực suy diễn, năng lực phân chia các trườnghợp riêng

luận cho cái chung, đi từ một hiện tượng đơn nhất cho các hiện tượngphổ biến [16, tr 145]

Đối với phép quy nạp không hoàn toàn, đặc biệt hoá và khái quát hoá,tương tự hoá, được xem là các thủ thuật lôgic tư duy chủ yếu, có ý nghĩa cực

kỳ quan trọng trong khi tiến hành suy luận

Khi cần rút ra một kết luận về mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên

n a≥ , người ta thường dùng phép quy nạp toán học theo quy tắc sau:

Tiên đề: 1 P(n) đúng

2 Nếu P(k) đúng thì P(k+1) cũng đúng với k

Kết luận: P(n) đúng với mọi n a≥

Tiên đề 1 gọi là mệnh đề cơ sở, tiên đề 2 gọi là mệnh đề quy nạp, P(k)đúng là giả thiết quy nạp

2.2.2.2 Theo GS TS Nguyễn Cảnh Toàn: “Để đi đến cái mới trong

Toán học phải biết được tư duy lôgic và tư duy biện chứng Trong việc pháthiện vấn đề và định hướng giải quyết vấn đề thì tư duy biện chứng giữ vai trò

chủ đạo, còn hướng giải quyết vấn đề đã rõ thì tư duy lôgic giữ vai trò chính”[49, tr 5].

Ngoài ra, trong quá trình giải Toán, khi đứng trước một vấn đề cần giảiquyết thì hoặc phải biến đổi giả thiết và kết luận sao cho chúng xích lại gầnnhau hơn, hoặc biến đổi tìm kiếm nhiều thông tin liên quan đến bài toán Cónghĩa, vai trò của suy luận lôgic là rất quan trọng trong quá trình học vànghiên cứu Toán

Chẳng hạn, cho ,x y∈¡ thỏa mãn * xy x y( + =) x2 −xy y+ 2(1) Tìm giá

3 3

1 1 x y A

+

= + = , mà vế trái của giả

thiết là bình phương thiếu của một hiệu nên họ nghĩ đến việc nhân hai vế của

(1) với x y+ (khi nhận xét x y+ ≠0) để làm xuất hiện x3 +y3 có mặt trongkết luận

ý thức một cách đầy đủ và đúng mức Thật vậy, nhìn chung vẫn còn tồn tạicác vấn đề sau:

Một là, vẫn nặng về lối “thầy giảng, trò nghe” Chẳng hạn khi dạy định

lý hoặc bài tập toán còn thiên về lối diễn giảng - đúng như lời nhận xét của

GS TS Nguyễn Cảnh Toàn: “Cách dạy phổ biến hiện nay là thầy đưa ra kiếnthức (định lý, khái niệm) rồi giải thích chứng minh, trò cố gắng tiếp thu nộidung khái niệm, nội dung định lý, hiểu chứng minh định lý, cố gắng tập vậndụng các công thức, các định lý để tính toán, để chứng minh khi làm bài tập

mà ở đó cái gì cho biết, phải tìm, phải chứng minh là rõ ràng” [49, tr 4]

Hai là, thầy giáo thường “bao biện” thời gian thì có hạn, kiến thức phải dạy phải luyện thì nhiều, thôi thì cứ trình diễn cho học sinh thấy hợp lý là

được

Ba là, có những bước suy luận mà đối với thầy thì rất “tầm thường”, bởi

thế nhầm tưởng rằng đối với học sinh thì cũng như vậy, do đó lướt qua rấtnhanh, không để cho học sinh có thời gian suy nghĩ “Thực ra không phải như

vậy, trước khi trình bày một kiến thức nào đó thì thầy giáo đã làm việc với nó

khá nhiều lần rồi, nhưng còn với học sinh thì đây là lần đầu tiên được tiếp

xúc với nó”

Bốn là, chưa sử dụng được một hệ thống câu hỏi và bài tập hợp lý, mềm

dẻo và linh hoạt với từng đối tượng học sinh Nhiều bài tập còn trùng lặp vềdạng, chỉ đòi hỏi áp dụng theo công thức Còn thiếu những câu hỏi và bài tậprèn luyện năng lực suy luận lôgic, chưa khai thác triệt để những tình huống cóthể phát triển năng lực suy luận lôgic cho học sinh

Năm là, chưa khai thác tốt mối liên hệ giữa các chủ đề kiến thức với nhau

thông qua những bước suy diễn không đến nỗi phức tạp “Lôgic của Toán họckhông chỉ bao gồm các cách diễn đạt và chứng minh riêng lẽ, mà còn tính đến

cả hệ thống và hoàn chỉnh của nó” (dẫn theo [48])

Sáu là, chưa khai thác được tiềm năng của phương pháp suy luận quy

nạp không hoàn toàn để phát hiện vấn đề và phát triển năng lực tư duy sángtạo cho học sinh “Trong việc giảng dạy và học tập môn Toán việc tách rờigiữa suy luận quy nạp và suy diễn là một nguyên nhân rất cơ bản trong việckìm hãm sự phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh” [33, tr 90]

2.2.3 Năng lực khái quát hoá

2.2.3.1 Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: “Khái quát hoá là chuyển từ một

tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng

cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất

phát” [32, tr 55]

Có thể nói trong cuộc sống và học tập, khắp nơi và mọi lúc đều cần đếnphương pháp tư duy khái quát Đúng như Đại văn hào Nga - Lep Tônxtôi đãnói: “Chỉ khi trí tuệ của con người tự khái quát hoặc đã kiểm tra sự khái quátthì con người mới có thể hiểu được nó” Không có khái quát thì không cókhoa học; không biết khái quát là không biết cách học Khả năng khái quát là

khả năng học tập vô cùng quan trọng, khả năng khái quát Toán học là một khảnăng đặc biệt” [54, tr.170].

Trong số các năng lực trí tuệ thì năng lực khái quát hoá tài liệu Toán học

là thành phần cơ bản nhất của năng lực toán học; điều này đã được các nhà Sưphạm, nhà Toán học như: V A Krutecxki, A I Marcusêvich, Pellery, Tổchức quốc tế UNESCO, khẳng định trong sơ đồ cấu trúc năng lực toán họccủa mình

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim trong Nghiên cứu giáo dục số 5/1982 thì

những dạng khái quát hoá thường gặp trong môn Toán được biểu diễn bằng

- Khái quát hoá để hình thành khái niệm;

- Khái quát hoá để hình thành định lý;

- Khái quát hoá các bài toán Toán học;

- Khái quát hoá để hình thành phương pháp giải lớp các bài toán;

- Khái quát hoá hướng suy nghĩ giải bài tập toán

Khái quát hoá

Khái quát hóa t cái ừ

riêng l n cái t ng quátẻ đế ổ quát n cái t ng quát h nKhái quát hoá t cái t ng đế ổ ừ ổơ

Khái quát hoá t i cái ớ

t ng quát ã bi tổ đ ế Khái quát hoá t i cái t ng quát ch a bi tổ ư ớ ế

2.2.3.2 Phân tích mối quan hệ hữu cơ giữa khái quát hoá với những hoạt

động trí tuệ khác, có thể khẳng định rằng, những hoạt động sau đây cần đượcchú ý trong khi tập luyện hoạt động khái quát hoá: Phân tích, tổng hợp, sosánh, tương tự, trừu tượng hoá, đặc biệt hoá và hệ thống hoá, trong đó phântích và tổng hợp đóng vai trò nền tảng Vì vậy, cần tạo điều kiện cho HS tậpluyện hoạt động khái quát hoá trong mối quan hệ hữu cơ với những hoạt độngtrí tuệ khác trên cơ sở phân tích và tổng hợp Sau đây sẽ trình bày mối quan

hệ khái quát hoá với các hoạt động trí tuệ trên:

+) Khái quát hoá và so sánh

So sánh bao gồm hai thành phần: phát hiện những đặc điểm chung vàphát hiện những đặc điểm khác nhau ở một số đối tượng Thành phần thứ nhấtthường diễn ra trong quá trình khái quát hoá Thật vậy, nhiều khi người ta hayxuất phát từ việc phát hiện những đặc điểm chung của một số đối tượng để điđến nhận thức cái tổng quát Ta cần khai thác mối liên hệ này giúp HS tậpluyện khái quát hoá trên cơ sở so sánh những đối tượng, hiện tượng riêng lẻ

Ví dụ: Sau khi học sinh được học về cách giải phương trình lượng giác

cơ bản, thầy giáo có thể dẫn dắt HS giải các phương trình sau:

222

π π Tuy nhiên, sang câu b) thì đây là tình huống có vấn đề

đối với HS Nhưng nếu tích cực suy nghĩ, tìm tòi thì HS có thể giải quyết bởi

lẽ trong phương trình có hệ số 3 gợi HS đến sự biến đổi 3 tg

3

π

= và dẫnđến phương trình tương đương với:

sin sin x cosx cos 1

Sau đó thầy giáo có thể hỏi HS: phương trình (1) có thể giải như cách giải đã

thực hiện cho phương trình (2) được không? Từ đó cho HS phát hiện 1 tg

4

π

=

và dẫn ra kết quả

Trên cơ sở hai bài toán trên thầy giáo cho HS khái quát hoá bằng câu hỏi

gợi mở như “Em hãy so sánh đặc điểm của hai phương trình trên, từ đó phát biểu bài toán tổng quát và cách giải phương trình tổng quát?” Với cách dẫn

dắt này thì HS sẽ nêu được phương trình tổng quát của hai phương trình là:

c x x

asin +cos = (3) (khái quát hoá lần 1) và HS có thể nêu cách giải củaphương trình tổng quát là: đặt a=tgα , sau đó HS có thể đưa phương trình về

phương trình cơ bản là cos(x−α)=ccosα =m Tuy nhiên, lúc này thầy giáo

có thể hỏi tiếp “có cách nào đưa phương trình asinx+bcosx=c về dạng phương trình (3) được không?”, với câu hỏi dẫn dắt trên HS có thể phát hiện

ra cách giải của phương trình tổng quát asinx+bcosx=c (khái quá hoá từ

cái tổng quát đến cái tổng quát hơn)

Tuy nhiên, nếu thầy giáo biết gợi HS đến cách đưa phương trình

sinx +cosx = (1) về phương trình cơ bản 1 sin(x + ) 1

p

= ở góc độ khác,

đó là: Để xuất hiện 1

2 ở vế phải ta có thể làm thế nào? Từ đó HS có thểphát hiện ra cách đưa phương trình (1) về phương trình cơ bản bằng cách chia

cả hai vế của phương trình cho 2 ; trên cơ sở này thầy giáo có thể đặt vấn đề

liệu phương trình (2) có thể đưa về phương trình cơ bản bằng kiểu như thế được không? Nếu HS gặp khó khăn thầy giáo có thể dẫn dắt tiếp như sau:

- Em hãy quan sát phương trình (2) và phương trình cơ bản của nó?

- Từ phương trình (2) mà đưa về phương trình cơ bản tương ứng có thể chia hai vế của phương trình cho bao nhiêu?

Những câu hỏi kiểu như trên nhằm làm cho HS có thể ý thức được việcđưa các phương trình (1) và (2) về phương trình cơ bản được tự nhiên hơn.Trên cơ sở này giáo viên có thể yêu cầu HS phát biểu kết quả khái quát Việcgiải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx còn có nhiều cách giải khácnhau, tuy nhiên ở đây chúng tôi muốn nhờ vào nó để hình thành ở HS vai tròcủa so sánh với khái quát hoá

Từ trên cho thấy rằng việc chuyển từ so sánh sang khái quát hoá khôngdiễn ra một cách tự động HS không những phải phát hiện những đặc điểmchung ở những đối tượng riêng lẻ mà còn phải khám phá mối liên hệ giữanhững đặc điểm đó thể hiện thành quy luật bao quát, không những các đốitượng đã khảo sát mà còn các đối tượng khác nữa

+) Khái quát hoá và phép tương tự

Phép tương tự là phép suy luận đi từ một số thuộc tính giống nhau củahai đối tượng để rút ra kết luận về những thuộc tính giống nhau khác của haiđối tượng đó Kết luận của phép tương tự có thể đúng, có thể sai, nó có tínhchất dự đoán [11, tr 148]

Sơ đồ của phép suy luận tương tự như sau:

* Đối tượng A có các thuộc tính a1, a2, a3;

* Đối tượng B có các thuộc tính a1, a2, a3, a4;

Kết luận đối tượng A có thuộc tính a4.

Nói về vai trò của phép tương tự, nhà Sư phạm đồng thời là nhà Toánhọc nổi tiếng người Mỹ G Pôlya có nhận xét: “Trong Toán học sơ cấp cũng

như trong Toán học cao cấp, phép tương tự có lẽ có mặt trong mọi phát minh.

Trong một số phát minh, phép tương tự đóng vai trò quan trọng hơn cả”; cònđối với nhà Thiên văn học tài ba Kepler (người Đức), người đã phát minh ra

ba định luật nổi tiếng trong Thiên văn học thì: “Tôi vô cùng biết ơn các phéptương tự, những người thầy đáng tin cậy nhất của tôi, các phép tương tự đã

giúp tôi khám phá ra các bí mật của tự nhiên, đã giúp tôi vượt qua mọi trở

ngại” (dẫn theo [16, tr 148])

ở đây, chúng ta chỉ xét những phép tương tự theo nghĩa là chuyển từ mộttrường hợp riêng này sang một trường hợp riêng khác của cùng một cái tổngquát

³ (trung bình cộng của ba số không âm lớn hơn hoặc

bằng trung bình nhân của chúng) (b); Trung bình cộng của n số không âm lớn

hơn hoặc bằng trung bình nhân của nó (c)"

Việc chuyển từ mệnh đề (a) hay (b) sang (c) là khái quát hoá; việcchuyển từ (a) sang (b) là một phép tương tự Phép tương tự ở đây rất gần vớikhái quát hoá; phép tương tự có thể xem là tiền thân của khái quát hoá, bởi vì,việc chuyển từ một trường hợp riêng này sang một trường hợp riêng khác củacùng một cái tổng quát là một bước để đi tới những trường hợp riêng bất kỳcủa cái tổng quát đó

Ví dụ: Sau khi cho HS chứng minh:

Nếu a1 0,a2 0 th× a1 a2 a a1 2

2

+

phát biểu và chứng minh bất đẳng thức tương tự cho ba số và bốn sốkhông âm Tức là, CMR nếu a1, a2, a3, a4 là các số không âm thì

Để sử dụng bất đẳng thức đối với hai số buộc HS phải tạo ra các tỉ số

Việc chứng minh bất đẳng thức đối với ba số ta có thể gợi HS đến việcchứng minh trong trường hợp tổng quát hơn (với 4 số) rồi từ đó áp dụng chotrường hợp 3 số hoặc liên hệ HS đến sự phân tích:

+) Khái quát hoá và trừu tượng hoá

Trừu tượng hoá là sự nêu bật và tách những đặc điểm bản chất khỏinhững đặc điểm không bản chất Khái quát hoá có mối liên hệ mật thiết với

trừu tượng hoá, trừu tượng hoá chính là để khái quát hoá, sẽ không khái quát hoá được theo những phương hướng đúng đắn nếu không nắm được phương pháp trừu tượng hoá, trừu tượng hoá là điều kiện ắt có nhưng chưa đủ để khái quát hoá Khai thác mối liên hệ này có thể tạo điều kiện cho HS tập luyện trừu tượng hoá cùng với khái quát hoá Trong khi đòi hỏi HS khái quát hoá

trên cơ sở so sánh những trường hợp riêng lẻ có thể nâng cao yêu cầu trừutượng hoá bằng cách bố trí những trường hợp riêng lẻ mang một số đặc điểmchung nổi bật nhưng không cần thiết cho việc dự đoán quy luật tổng quát

+ Khái quát hoá cùng với đặc biệt hoá và hệ thống hoá.

Một trong những phương diện của hệ thống hoá là làm rõ những mốiquan hệ giữa những kiến thức khác nhau liên quan với khái quát hoá, ở đây tachỉ xét hoạt động phát hiện mối quan hệ chung - riêng, khái quát hoá và đặcbiệt hoá là ba hoạt động trái ngược nhau từng đôi một Điều này thể hiện rõqua bảng sau:

Phát hiện mối quan hệ - A - Mối quan hệ

chung-chung - riêng - B riêng giữa A và B

Khái quát hoá - A

- Mối quan hệ riêng: B tổng quát hơn A

đề xuất phát: ở mệnh đề tìm được, nếu số mũ nhận giá trị 2 thì được mộttrường hợp riêng, đó chính là mệnh đề xuất phát Nhiều khi nên yêu cầu họcsinh đặc biệt hoá mệnh đề khái quát tìm được thành nhiều trường hợp riêng đadạng để sơ bộ kiểm nghiệm (chứ chưa phải là chứng minh) tính chân thực củamệnh đề khái quát đó

Các hoạt động khái quát hoá và đặc biệt hoá còn có thể được tập luyện ở

những bài toán chứng minh toán học Ví dụ, để chứng minh mệnh đề: “Bình phương của một số âm luôn là một số dương” (khái quát hoá) và xét trường

hợp riêng khi hai thừa số bằng nhau để quay về mệnh đề xuất phát (đặc biệthoá) Nếu tận dụng những cơ hội như thế để làm cho HS ý thức được mốiquan hệ chung riêng giữa mệnh đề xuất phát với mệnh đề tìm được thì tức là

đã đồng thời góp phần phát triển ở họ khả năng hệ thống hoá