slide chương 4 giải tích 2 :Lí thuyết trường cô Dung Học viện công nghệ bcvt ptit

slide chương 3 giải tích 2 :Tích phân đường tích phân mặt cô Dung Học viện công nghệ bcvt ptit slide chương 3 giải tích 2 :Tích phân đường tích phân mặt cô Dung Học viện công nghệ bcvt ptit slide chương 3 giải tích 2 :Tích phân đường tích phân mặt cô Dung Học viện công nghệ bcvt ptit slide chương 3 giải tích 2 :Tích phân đường tích phân mặt cô Dung Học viện công nghệ bcvt ptit slide chương 3 giải tích 2 :Tích phân đường tích phân mặt cô Dung Học viện công nghệ bcvt ptit slide chương 3 giải tích 2 :Tích phân đường tích phân mặt cô Dung Học viện công nghệ bcvt ptit slide chương 3 giải tích 2 :Tích phân đường tích phân mặt cô Dung Học viện công nghệ bcvt ptit

Trang 1

CHƯƠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

§1 KHÁI NIỆM CHUNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

* Phương trình vi phân là phương trình có dạng:

( )

( , , , , n ) 0

F x y y  y trong đó: x là biến số độc lập

Trang 2

* Cấp của PTVP là cấp cao nhất của đạo hàm của

Trang 3

* Hàm số y  y x ( ) là một nghiệm của PTVP nếu nóthỏa mãn PT.

Trang 4

* Nghiệm của PT có thể xác định dưới dạng:

§1 KHÁI NỆM CHUNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Trang 5

* PTVP được gọi là tuyến tính nếu nó là bậc nhất

đối với y và các đạo hàm của y.

Nếu b x  ( ) 0 thì (*) gọi là PT tuyến tính thuần nhất

Nếu b x  ( ) 0 thì (*) gọi là PT tuyến tính không thuần nhất.

§1 KHÁI NỆM CHUNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Trang 6

Trang 7

* Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm

Xét PT y   f x y ( , )

Giả sử f x y ( , ) liên tục trên miền D và  x y0, 0   D

Khi đó, trong một lân cận nào đó của x0, tồn tại ít nhất

Trang 8

y  y khi x x  0

Điều kiện gọi là ĐK ban đầu

* Bài toán tìm nghiệm của PT thỏa mãn điều kiện

gọi là bài toán Cauchy.

0

y  y khi x x  0

Trang 10

§2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT

* Hệ thức  ( , , ) 0 x y C  xác định nghiệm tổng quátdưới dạng ẩn gọi là tích phân tổng quát của PT

* Nghiệm y   ( , x C0) lấy từ họ nghiệm tổng quátkhi cho C C  0 gọi là nghiệm riêng của PT

* Hệ thức  ( , , x y C0) 0  xác định nghiệm riêng

dưới dạng ẩn gọi là tích phân riêng của PT

Trang 11

* PTVP có thể có các nghiệm không nằm trong họ nghiệm tổng quát, gọi là nghiệm kì dị

Trang 12

B) CÁCH GIẢI MỘT SỐ PTVP CẤP MỘT

1) Phương trình với biến số phân li

a) Phương trình với biến số phân li là PTVP có dạng:

Vậy F x ( )  G y ( )  C là tích phân tổng quát của PT

( ( ), ( ) F x G y lần lượt là các nguyên hàm của f x g y ( ), ( ))

Trang 15

Ví dụ: Tìm nghiệm của bài toán Cauchy

cos( ) cos( ) (0) 0.

Trang 16

2 cos cos

Trang 17

§2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT Chú ý:

Trang 18

z z

1

z z

z

 



Trang 19

3 1

Trang 22

y x

Trang 23

2 1 2

Vậy

2 2

Trang 24

Có

1

( 0) 1

y x

Trang 25

2

1 arctg ln(1 ) ln ln ( 0)

Trang 26

2 arctgln( x 1  u ) ln(  Ce u )

arctg

2 2

y x

1

y x

y

x

Trang 29

Đây là PT thuần nhất đối với z và .t

Giải PT này, tìm z theo t , suy ra y theo x .

Trang 33



Trang 35

y Ce    là nghiệm tổng quát của PT (3a)

Ta tìm nghiệm của phương trình (3) dạng y C x e  ( )  p x dx( )

Trang 37

Nhận xét này đúng với PTVP tuyến tính có cấp bất kỳ.

* Nhận xét: Nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất (3) bằng một nghiệm riêng bất kìcủa nó cộng với nghiệm tổng quát của phương trìnhtuyến tính thuần nhất tương ứng (3a)

Trang 39

ln y  ln sin x  ln C

sin

y C  x là nghiệm tổng quát của phương trình (2)

( )sin ( )cos ( )cos 2 sin

Trang 40

2( )

Trang 42



 là nghiệm tổng quát của PT (2)

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) là

2 1

1

C y

Trang 47

Nhân cả hai vế của phương trình với y 

( hay chia cho

Trang 49

Xét phương trình 2

0 1

z C x   là nghiệm tổng quát của phương trình (2)

( ) 1

C x    x

Thay z C x x  ( ).(  1)2 vào phương trình (1), ta có:

Trang 50

2( 1) ( )

Trang 52

b) Cách giải

Biểu thức P x y dx Q x y dy ( , )  ( , ) là vi phân toàn phần của

một hàm số u x y ( , ) nào đó trên D

Phương trình (5) tương đương với PT du  0

Vậy tích phân tổng quát của PT có dạng

( , )

u x y  C (C: hằng số)

Trang 53

y x

u x y   P x y dx   Q x y dy

với ( , ) x y0 0 bất kì thuộc D.

Trang 57

Ta tìm hàm số u x y ( , ) sao cho

u x u y

Trang 58

1 ( )

Trang 59

§2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘTc) Thừa số tích phân

* Nếu tồn tại hàm số  ( , ) x y để phương trình:

thì hàm số  ( , ) x y được gọi là thừa số tích phân của PT (5)

Khi đó, tích phân tổng quát của phương trình (5a) là

tích phân tổng quát của phương trình (5).

Trang 60

số trường hợp như sau:

Có thể tìm thừa số tích phân trong một

Trang 63

Chọn  ( , ) x y 

2

dy y

Trang 64

f y

y



Trang 65

7 ( )

Đó chính là tích phân tổng quát của PT đã cho

Ngoài ra, PT đã cho còn có nghiệm y  0 (nghiệm kì dị)

Trang 66

§3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI

A Đại cương về phương trình vi phân cấp hai

* PTVP cấp 2 có dạng: F x y y y ( , , , ) 0   

hoặc y   f x y y ( , , ) 

Trang 67

* Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm:

Thế thì trong một lân cận nào đó của x0, tồn tại duy

nhất một hàm số y  y x ( ) là nghiệm của phương trình,

nó thỏa mãn điều kiện y x ( )0  y0, y x  ( )0  y0

Trang 68

* Nghiệm tổng quát của PTVP cấp 2 có dạng

1 2( , , )

một nghiệm riêng của PT

Trang 69

B CÁCH GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI

Trang 70

§3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI Định nghĩa:

* Hai hàm số không độc lập tuyến tính trên ( , )a b

gọi là phụ thuộc tuyến tính trên ( , )a b

Trang 71

Trang 72

Trang 73

1 1 2 2

y C y   C y

Định lý: Nếu y y1, 2 là hai nghiệm độc lập tuyến tính

của PT (1a) thì nghiệm tổng quát của PT (1a) là:

Trang 74

Định lý: Nếu y x 1( ) 0 là nghiệm của PT (1a) thì

cũng là một nghiệm của PT (1a), nó độc lập tuyến tính

1( ).

y x

với

Trang 75

Trang 76

Xét y x 2 ( )

2

2 1 2

y x cũng là một nghiệm của phương trình đã cho, nó

độc lập tuyến tính đối với y x1( ).

Vậy nghiệm tổng quát của PT đã cho là:

Trang 77

b Phương trình tuyến tính không thuần nhất

* Dạng y   p x y ( )   q x y ( )  f x ( ) (1 ) b

( ( ), ( ), ( ) p x q x f x liên tục)

Trang 78

Trang 79

Cách giải phương trình (1b)

* Cách 1:

Nghiệm tổng quát của PT tuyến tính không thuần nhất

(1 ) b bằng một nghiệm riêng bất kì của nó cộng nghiệm

tổng quát của PT tuyến tính thuần nhất (1a).

Trang 80

Để tìm nghiệm của PT tuyến tính không thuần nhất (1b),

trước tiên ta tìm nghiệm tổng quát của PT tuyến tính

thuần nhất (1a).

Giả sử PT (1a) có nghiệm tổng quát là:

1 1( ) 2 2 ( )

y C y x   C y x ( , y y1 2 đltt)

Trang 81

Coi C1  C x C1( ), 2  C x2 ( ) là các hàm số của xsao cho

Trang 82

Trang 83

Trang 84

Trang 85

1( )

C x  2

2

1 1

x

dx x

Trang 86

2 PT VP tuyến tính cấp hai với hệ số không đổi

a) PTVP tuyến tính thuần nhất với hệ số không đổi

 Dạng: y   py   qy  0 (2 ) a (p, q là các hằng số )

 Cách giải:

PT (*) được gọi là phương trình đặc trưng của PT (2a)

Xét phương trình k 2  pk q   0 (*)

Trang 87

+) Nếu PT đặc trưng có hai nghiệm thực phân biệt k k1, 2

thì nghiệm tổng quát của PT (2a) là:

k x k x

y C e   C e

+ Nếu PT đặc trưng có nghiệm thực kép k1  k2  k

thì PT (2a) có nghiệm tổng quát là:

1 2( ) kx

y  C  C x e

Trang 88

+ Nếu PT đặc trưng có hai nghiệm phức k1,2    i 

thì PT (2a) có nghiệm tổng quát là:

Trang 89

Ví dụ: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình

Trang 90

Trang 91

Ví dụ: Tìm nghiệm của bài toán Côsi:

Trang 92

Nghiệm cần tìm là y e x (cos x 2sin ) x

1 2

C C

Trang 93

b) PTVP tuyến tính không thuần nhất với hệ số không đổi

Trang 94

Ví dụ: Giải phương trình:

(1) 1

x x

Phương trình đặc trưng: k  2 1 0 có nghiệm k  1.

Nghiệm tổng quát của PT (2) là y C e1 x C e2  x

Trang 95

Dùng phương pháp biến thiên hằng số, coi C C1, 2 là

các hàm số của x sao cho

Trang 96

x x

e e

Trang 97

e

dx e

e

dx e





x x

Trang 98

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là

Trang 99

Trang 100

* Khi tìm nghiệm riêng của PT tuyến tính không thuần

nhất (2b), ta chú ý các trường hợp đặc biệt sau:

Trang 101

k  pk q  thì ta tìm một nghiệm riêng của (2b) dạng:

i) Nếu  không là nghiệm của PT đặc trưng

Trang 102

một nghiệm riêng của (2b) dạng:

ii) Nếu  là nghiệm đơn của PT đặc trưng thì ta tìm

2 x n ( )



một nghiệm riêng của (2b) dạng:

iii) Nếu  là nghiệm kép của PT đặc trưng thì ta tìm

Trang 103

Trang 104

i) Nếu  i  không là nghiệm của PT đặc trưng thì tìm

một nghiệm riêng của PT (2b) dạng:

ii) Nếu  i  là nghiệm của PT đặc trưng thì tìm một

nghiệm riêng của PT (2b) dạng:

Trang 105

Trang 106

Vì   0 không là nghiệm của PT đặc trưng nên ta tìm

nghiệm riêng của PT (1) dạng Y 

Trang 107

A B

0

Trang 108

Vì   1 là nghiệm đơn của PT đặc trưng nên ta tìm

nghiệm riêng của PT (1) dạng

Y  xe Q x x 1( ) xe Ax Bx (  )  e Axx ( 2  Bx )

Trang 109

0

Trang 110

Trang 111

ta tìm nghiệm riêng của PT (1) dạng:

thỏa mãn điều kiện y (0) 0,  y (0) 1 

Trang 112

Trang 113

Nghiệm tổng quát của PT đã cho là:

y 

Với điều kiện y (0) 0, (0) 1  y  ta có:

1 2

0 1

C C

Trang 114

Ví dụ: Giải phương trình y   y   2cos2x

Giải:

Ta có: y   y    1 cos2 x

Xét PT y   y   0 (1)

PT đặc trưng k 2  k  0 có nghiệm k  0, k  1

Nghiệm tổng quát của PT (1) là y C  1  C e2 x

Dễ thấy PT y   y   1 có một nghiệm riêng là Y1  x

Trang 115

Vì  i   không là nghiệm của PT đặc trưng nên

ta tìm nghiệm riêng của PT (2) dạng

Trang 116

Thay vào (2), ta có:

Cân bằng các hệ số của sin 2 ,cos2 x x

2 10 1 10

Trang 117

Trang 118

Ví dụ: Tìm nghiệm tổng quát của PTVP

Trang 119

Vì  i   i không là nghiệm của PT đặc trưng nên

ta tìm nghiệm riêng của PT đã cho dạng

Trang 120

Trang 121

Trang 122

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:

Trang 123

Ví dụ: Giải phương trình y y e x (sin x 3cos ) x

Trang 124

Xét PT z   z   0 (**)

PT đặc trưng k 2  k  0 có nghiệm k  0, k  1

 nghiệm tổng quát của PT (**) là z C  1  C e2 x

Ta tìm nghiệm riêng của (*) dạng Z 

Trang 125

Thay vào phương trình (*), ta có:

3 1

A B

Trang 126

Vậy nghiệm tổng quát của PT đã cho là

Trang 127

( Đổi biến để đưa về PT tuyến tính hệ số không đổi)

Trang 128

Trang 129

Trang 130

Trang 131

Ví dụ: Tìm nghiệm tổng quát của PTVP

Trang 133

* Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm

§4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Trang 134

* Nghiệm tổng quát của hệ là bộ n hàm số y y1, , ,2 yn

có dạng yi  i ( , , x C C1 2, , Cn )

trong đó C C1, 2, , Cn là các hằng số

sao cho…

Trang 135

* Nghiệm riêng của hệ là nghiệm lấy từ họ nghiệmtổng quát khi cho C C1, 2, , Cn các giá trị cụ thể

Trang 139

Vậy nghiệm tổng quát của hệ PT đã cho là

Trang 140

* Chú ý:

Trong một số trường hợp, có thể tổ hợp các PT của

hệ để được một hệ dễ giải (Phương pháp tổ hợp)

Trang 143



Trang 144

C y

Trang 145

3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất

hệ số không đổi

Trang 146

Định dạng
Số trang	150
Dung lượng	3,68 MB