slide chương 3 giải tích 2 :Tích phân đường tích phân mặt cô Dung Học viện công nghệ bcvt ptit

slide chương 3 giải tích 2 :Tích phân đường tích phân mặt cô Dung Học viện công nghệ bcvt ptit slide chương 3 giải tích 2 :Tích phân đường tích phân mặt cô Dung Học viện công nghệ bcvt ptit slide chương 3 giải tích 2 :Tích phân đường tích phân mặt cô Dung Học viện công nghệ bcvt ptit slide chương 3 giải tích 2 :Tích phân đường tích phân mặt cô Dung Học viện công nghệ bcvt ptit slide chương 3 giải tích 2 :Tích phân đường tích phân mặt cô Dung Học viện công nghệ bcvt ptit slide chương 3 giải tích 2 :Tích phân đường tích phân mặt cô Dung Học viện công nghệ bcvt ptit slide chương 3 giải tích 2 :Tích phân đường tích phân mặt cô Dung Học viện công nghệ bcvt ptit slide chương 3 giải tích 2 :Tích phân đường tích phân mặt cô Dung Học viện công nghệ bcvt ptit slide chương 3 giải tích 2 :Tích phân đường tích phân mặt cô Dung Học viện công nghệ bcvt ptit slide chương 3 giải tích 2 :Tích phân đường tích phân mặt cô Dung Học viện công nghệ bcvt ptit

Trang 1

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH PHÂN MẶT

Trang 2

§1 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT

Cung

0

gọi là cung trơn nếu hàm số y x ( ) có đạo hàm liên

tục trên  a b , 

Cung

0

gọi là cung trơn nếu các hàm số x t y t ( ), ( ) có đạo hàmliên tục trên    , 

Trang 3

Cung

0

hữu hạn cung trơn

Trang 4

I) TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TRONG MẶT PHẲNG

1) Định nghĩa:

Cho hàm số f x y ( , ) xác định trên cung phẳng  AB

Chia AB thành n cung nhỏ bởi các điểm chia A A  0,

Trang 5

Trang 6

* Nhận xét:

Nếu hàm số f x y ( , ) liên tục trên AB và cung AB

trơn thì f khả tích trên  AB .

Trang 7

Trang 8

Trang 9

f x y ds  f x y x  y x dx 

Trang 10

Trang 11

Trang 12

( x  0) 1 0  dx



1 2 0

1

( x   1 x ) 1 ( 1)   dx 

Trang 13

(0  y ) 1 0  dy



1 2 0

1

Trang 14

a

(0   t 2 ) 

Trang 15

( )

x t  

2 2 0

Trang 16

4) Ứng dụng của tích phân đường loại một

Trang 17

II Tích phân đường loại một trong không gian

* Tích phân đường loại 1 của hàm số f x y z ( , , ) trên

AB ( trong 3) kí hiệu là:

Trang 18

Trang 19

§2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI HAI CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH PHÂN MẶT

I TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI HAI TRONG MẶT PHẲNG

Trang 20

§2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI HAI

Trang 21

phép chọn các điểm ( , )  i i   A Ai1 i thì giới hạn đó được

gọi là tích phân đường loại hai của các hàm số P x y ( , ), ( , )

Trang 22

§2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI HAI b) Nhận xét:

Nếu AB trơn và các hàm số P x y Q x y ( , ), ( , ) liên

tục trên AB thì tồn tại

Trang 23

§2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI HAI c) Tính chất:

Trang 24

§2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI HAI d) Chú ý:

Nếu đường cong L kín thì ta quy ước chiều dương

trên L là chiều

ấy thì thấy miền giới hạn bởi L ở bên trái.

sao cho khi ta đi trên L theo chiều

Trang 25

Trang 26

Trang 27

b) Nếu cung trơn AB có phương trình y  y x ( )

Trang 28

2 x dx

1 3 0

Trang 29

Trang 30

cos cos sin ( sin )

Trang 31

3) Công thức Green

Định lí: Cho D là miền liên thông, bị chặn, có biên L

là một hoặc nhiều đường cong kín, trơn từng khúc, rờinhau từng đôi một

Chiều dương trên L là chiều sao cho khi ta đi trên L

theo chiều ấy thì thấy miền D ở bên trái.

Trang 32

L L  L

Trang 33

Trang 34

2

1

( ) ( )

y x b

y

D

Trang 35

y x b

Trang 36

( , )

P

dxdy P x y dx y

Trang 37

Trường hợp 3: D là miền đa liên, giới hạn bởi các

Trang 38

Trang 39

D xác định bởi:

Trang 40

Trang 41

Trang 42

1 3

Trang 43

4) Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc

đường lấy tích phân

Định lí:

Giả sử P x y Q x y ( , ), ( , ) là các hàm số liên tục, có các

đạo hàm riêng cấp một liên tục trên một miền đơn liên D.

Các mệnh đề sau là tương đương:

Trang 44

(miền giới hạn bởi L cũng nằm trong D)

không phụ thuộc đường nối chúng (   AB  D )

Trang 45

Trang 46



0

thuộc đường nối chúng

Trang 47

Trang 48

Trang 49

Trang 50

Hệ quả 2: Giả sử P x y Q x y ( , ), ( , ) là các hàm số liên

tục, có các đạo hàm riêng cấp một liên tục trên 2.

0

y x

Trang 51

P Q và các ĐHR cấp một của chúng liên tục trên 2.

Trang 52

Trang 53

a) L là cung AB nằm trong góc phần tư thứ nhất và

không đi qua gốc tọa độ, với A (1,0), (2,2) B

b) L là đường cong kín bất kì không bao quanh gốc tọa

độ và tích phân lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ

Trang 54

c) L là đường tròn tâm O bán kính R và tích phân lấy

theo chiều ngược chiều kim đồng hồ

d) L là đường cong kín bao quanh gốc tọa độ và tích

phân lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ

Trang 55

§2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI HAI Giải:

Trang 56

1

dx x

Trang 57

2 4

y

dy y

Trang 58

Trang 59

§2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI HAI c)

Trang 60

§2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI HAI d)

kính r nằm trong miền giới hạn bởi L.

E là miền giới hạn bởi L và C.

Trang 61

I Pdx Qdy Pdx Qdy

          ( 2 ) 2   

Trang 62

II TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI HAI TRONG KHÔNG GIAN

* Giả sử AB là một cung trong trong 3.

Trang 63

B

Trang 64

Trang 65

* Mặt có phương trình dạng (1) được gọi là liên tục nếuhàm số F x y z ( , , ) liên tục trên S.

Trang 66

§3 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ MẶT

* Cho mặt S xác định bởi phương trình F x y z  ( , , ) 0.

Điểm M0  S được gọi là điểm chính quy nếu F F Fx , ,y z

tại

Điểm không chính quy gọi là điểm kì dị

tồn tại và không đồng thời bằng 0

0

M

Trang 67

chỉ phương là:  F Mx ( 0), F My ( 0), ( F Mz 0) 

* Mặt S được gọi là trơn nếu nó liên tục, có pháp tuyến

biến thiên liên tục ( mọi điểm của S đều là điểm

chính quy)

Trang 68

2) Mặt định hướng

* Cho mặt cong S Lấy điểm M0 bất kì thuộc S.

Gọi n 

là vectơ pháp tuyến của mặt S tại M0.

Cho n  di chuyển theo một đường cong kín L bất kì

trên S (L không cắt biên của S) sao cho n 

vẫn là

pháp tuyến của mặt S Khi trở về vị trí M0,

nếu n  không đổi hướng thì S là mặt có hai phía,

nếu n  đổi hướng thì S là mặt một phía.

Trang 69

Ví dụ: (Lá Mobius)

Vặn băng giấy rồi dán hai cạnh AB CD , sao cho A C  ,

Trang 70

* Ta thường gặp những mặt có hai phía Nếu mặt kín thì

có phía trong, phía ngoài Nếu mặt không kín thì có phía trên, phía dưới

* Mặt đã xác định phía bằng cách chỉ rõ vectơ pháp

tuyến tương ứng gọi là mặt định hướng

Trang 71

hướng hướng lên trên

(tạo với tia Oz góc nhọn)

Mặt dưới

Véc tơ pháp tuyến xác định hướng hướng xuống dưới

(tạo với tia Oz góc tù)

Trang 74

( , , ) x y zi i i  Si thì giới hạn này gọi là tích phân mặt loạimột của hàm f x y z ( , , ) trên mặt S.

Trang 82

cos sin cos

Trang 84

§5 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI HAI

Trang 85

Trang 86

Nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn, không phụ thuộc phép

chia S, phép chọn các điểm M i  S i thì nó được gọi làtích phân mặt loại hai của hàm ( , , ) f x y z

Trang 87

hoặc gọi là tích phân mặt loại hai của các hàm số

Trang 88

trong đó n  (cos , cos , cos )   

là vectơ pháp tuyến đơn vị

ứng với hướng đã chọn của mặt S tại ( , , ) x y z

(   ( ,O ), n x    ( ,O ), n y    ( ,O )) n z 

Trang 89

0

đổi dấu

Trang 90

0

3 ) Nếu S là một mặt định hướng, liên tục, có véc tơ

pháp tuyến tương ứng biến thiên liên tục, P,Q, R là các hàm số liên tục trên S thì

4 ) Tích phân mặt loại hai có các tính chất tương tự

tích phân đường loại hai

Trang 91

Trang 92

D là hình chiếu của S lên mặt phẳng x y O

+) Nếu véctơ pháp tuyến xác định hướng của mặt S

tạo với tia Oz góc nhọn thì

Trang 93

+) Nếu véctơ pháp tuyến xác định hướng của mặt S tạo với tia Oz góc tù thì

Trang 94

* Cách khác:

Trong nhiều trường hợp, khi tính tích phân mặt loại hai,

có thể đưa về tích phân mặt loại một

với n  (cos , cos , cos )   

là vectơ pháp tuyến đơn vị

xác định hướng của mặt S tại ( , , ) x y z

Trang 95

Trang 96

1 :

x y D

Hình chiếu của S lên mặt phằng x y O là miền:

Trang 97

Vectơ pháp tuyến xác định hướng của mặt S tạo với tia Oz góc nhọn.

Trang 98

Trang 99

1 :

0, 0

y z D

2 2

1  y  z ( y  0, z  0)

nhọn

Trang 100

2 2

0

2 1

Trang 101

1 :

0, 0

x z D

Trang 102

Trang 103

Trang 104

vectơ pháp tuyến đơn vị xác định hướng của mặt S

Trang 105

Do tính đối xứng của mặt S và do biểu thức dưới dấu

Trang 106

Trang 107

Trang 108

Trang 109

4 x dx

   4 3 .

Trang 110

Trang 111

Chiều lấy tích phân trên L là chiều sao cho khi ta đi trên

L theo chiều ấy thì thấy mặt S ở bên trái.

Trang 112

Ví dụ: Tính

L

I   ydx zdy xdz  

L là giao tuyến của hai mặt x y z    0, x2  y2  z2  a2.

Chiều trên L là ngược chiều kim đồng hồ nhìn về

Trang 113

Trang 114

S là phía trên của mặt phẳng x y z    0.

Vectơ pháp tuyến xác định hướng của mặt S là (1,1,1).

Trang 115

Trang 116

Trang 117

Trang 118

của một hàm số u x y z ( , , ) nào đó trên V.

Trang 119

Trang 120

Trang 121

Hệ quả:

Nếu mặt kín, trơn từng mảnh S là biên của miền V thì thể tích miền V là:

1

3 S xdydz ydzdx zdxdy  

(Tích phân mặt lấy theo mặt ngoài của S)

Trang 122

S

I   y zdxdy xzdydz x ydzdx  

S là phía ngoài biên của vật thể giới hạn bởi các mặt

Trang 123

Gọi V là vật thể giới hạn bởi S.

Trang 124

Đặt

cos sin

Trang 125

3 2

2

r dr



1 6 0





Trang 126

§6 LÍ THUYẾT TRƯỜNG

1) Trường vô hướng

* Cho V  3.

Hàm số ba biến u x y z ( , , ) xác định trên V gọi là

trường vô hướng trên V.

Trang 129

2) Trường vectơ

* Cho V  3.

Một trường vectơ  F

ứng mỗi điểm M x y z ( , , )  V một vectơ duy nhất

Trang 131

§6 LÍ THUYẾT TRƯỜNG b) Thông lượng

Cho trường vectơ F x y z( , , )  P x y z Q x y z R x y z( , , ), ( , , ), ( , , )

Thông lượng của trường vectơ F

Trang 132

§6 LÍ THUYẾT TRƯỜNG c) Dive, Rôta, lưu số

Cho trường vectơ F x y z( , , )  P x y z Q x y z R x y z( , , ), ( , , ), ( , , )

Trang 135

được gọi là trường thế.

u được gọi là hàm số thế vị của trường  F



Trang 137

qua mặt ngoài của

một mặt kín S bằng tích phân ba lớp của div F 



trên

miền V giới hạn bởi S.

Trang 144

Đặt

sin cos sin sin cos

5



5





Trang 150

Ví dụ: Cho trường vô hướng u x y ( , )  x3  y2.

Tính hoàn lưu của  grad u

theo nửa trên đường tròn

Trang 151

y

1 1



cos sin

Định dạng
Số trang	151
Dung lượng	4,41 MB