Giải tích 2 chương 2: Tích phân bội Học viện công nghệ bcvt ptit

Giải tích 2 chương 2: Tích phân bội Học viện công nghệ bcvt ptit Giải tích 2 chương 2: Tích phân bội Học viện công nghệ bcvt ptit vGiải tích 2 chương 2: Tích phân bội Học viện công nghệ bcvt ptit Giải tích 2 chương 2: Tích phân bội Học viện công nghệ bcvt ptit Giải tích 2 chương 2: Tích phân bội Học viện công nghệ bcvt ptit Giải tích 2 chương 2: Tích phân bội Học viện công nghệ bcvt ptit Giải tích 2 chương 2: Tích phân bội Học viện công nghệ bcvt ptit Giải tích 2 chương 2: Tích phân bội Học viện công nghệ bcvt ptit Giải tích 2 chương 2: Tích phân bội Học viện công nghệ bcvt ptitGiải tích 2 chương 2: Tích phân bội Học viện công nghệ bcvt ptit Giải tích 2 chương 2: Tích phân bội Học viện công nghệ bcvt ptit Giải tích 2 chương 2: Tích phân bội Học viện công nghệ bcvt ptit Giải tích 2 chương 2: Tích phân bội Học viện công nghệ bcvt ptit v Giải tích 2 chương 2: Tích phân bội Học viện công nghệ bcvt ptit

CHƯƠNG II TÍCH PHÂN BỘI

Ta đã biết, ứng dụng của tích phân xác định, từ hình học, đến các bài toán cơ học, đặc biệt trong kỹ thuật điện tử là rất đa dạng Tuy nhiên các đại lượng đề cập đến chỉ phụ thuộc vào một biến số, đó là sự hạn chế đáng kể Sự mở rộng tự nhiên của hàm một biến kéo theo sự mở rộng của tích phân đơn (tích phân xác định) đã làm tăng khả năng ứng dụng, chẳng hạn tính khối lượng của vật thể hai chiều, ba chiều, từ đó có thể xác định được trọng tâm, các mô men quán tính của vật thể, v.v Chương này cho chúng ta phương pháp tính tích phân bội hai, bội ba và trên nguyên tắc có thể mở rộng cho tích phân bội n (n lớp) Các khái niệm về tích phân bội cũng giống như tích phân xác định, đều dựa trên sơ đồ vi phân (tính yếu tố vi phân rồi lấy tổng) Sự tồn tại, cũng như tính chất của tích phân bội giống như tích phân xác định Chính vì thế, để học tốt chương này, chúng ta cần nắm vững các phương pháp tính tích phân xác định và các kiến thức

cơ bản của hình học giải tích

2.1 TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ

2.1.1 Tích phân xác định phụ thuộc tham số

A Định nghĩa

Cho hàm số f x y , xác định trên hình chữ nhật    a b,  c d, , (ab, cd) đồng thời

khả tích theo x trên  a b, với mọi y c d, Tích phân dạng

   ,

b

a

I y  f x y dx (2.1) được gọi là tích phân phụ thuộc tham số y

 Vậy I y( )liên tục trên khoảng  c d ,

Dễ dàng chứng minh hàm số liên tục bên phải tại c và liên tục bên trái tại d Từ đó suy ra hàm số liên tục trên đoạn  c d ,

Định lí 2.2: Nếu hàm số f x y( , ) thỏa mãn các điều kiện:

1 Liên tục theo x trên  a b với mọi , y cố định trên  c d ,

2 Tồn tại đạo hàm riêng f y/( , )x y liên tục trên    a b,  c d,

Khi đó /  / 

,

b y a

I y  f x y dx (2.2) Chứng minh: Theo giả thiết a với h đủ bé, ta nhận được:

Qua giới hạn khi h0, ta nhận được /  / 

,

b y a

I y  f x y dx

Công thức (2.2) cho ta phép lấy đạo hàm dưới dấu tích phân

Định lí 2.3: Nếu hàm số f x y liên tục trên hình chữ nhật  ,    a b,  c d, thì

nhận được I( ) liên tục trên  c d và từ tính chất của tích phân theo cận trên suy ra , ( , )x khả

vi theo  trên  c d Công thức (2.3) bây giờ sẽ là: ,

Chứng tỏ hai vế của hệ thức (2.3) khác nhau một hằng số cộng C, tuy nhiên đặt 0

vào hai vế của hệ thức này ta sẽ nhận được C0 Vậy công thức (2.3) được chứng minh

Công thức tính tích phân lặp (2.3) được kí hiệu gọn hơn trong dạng

a y  a b b y, ,   a b, ,  y  c d,

Chúng ta có thể chứng minh được các kết quả sau đây:

Định lí 2.4: Nếu hàm số f x y liên tục trên hình chữ nhật  ,    a b,  c d, và các hàm

a y   , b y liên tục trên  c d thì , I y là hàm số liên tục trên  c d ,

Định lí 2.5: Nếu hàm số f x y liên tục cùng với đạo hàm riêng , / 

,

y

f x y trên hình chữ nhật    a b,  c d, và các hàm a y   , b y khả vi trên  c d thì , I y là hàm số khả vi trên  

a y

I y   f x y dx f b y y b y  f a y y a y (2.5)

Ví dụ 2.1: Kiểm tra công thức (2.2) đối với tích phân

1 0

x dy x

Để có được các tính chất tương tự như tích phân xác định phụ thuộc tham số, sự hội tụ của tích phân suy rộng là chưa đủ mà phải thêm tính hội tụ đều theo tham số y

Tích phân suy rộng (2.6) được gọi là hội tụ đều đối với y c d, nếu:

(  0) B( ) 0  (  b B  f x y dx( , ) ,  y  c d, )

Định lí 2.7: Nếu hàm số f x y( , ) thỏa mãn các điều kiện:

trong đó I I I tương ứng là các tích phân ở vế phải 1, 2, 3

I1 là tích phân xác định với biểu thức dưới dấu tích phân liên tục theo ynên với h đủ

Công thức (2.8) cho phép ta thay đổi thứ tự lấy tích phân

Định lí 2.9: Cho hàm số f x y( , ) thỏa mãn các điều kiện:

1 Liên tục theo x trên a, với mọi y cố định trên  c d ,

2 Tồn tại đạo hàm riêng f y/( , )x y liên tục trên a,   c d,

3 Tích phân suy rộng (2.6) hội tụ,



  (2.9) Chứng minh: Áp dụng định lí 2.8 cho hàm số /

( , )

y

f x y và thay d bởi y c d, , ta có

f x y dx I y





 Công thức (2.9) cho phép ta chuyển phép lấy đạo hàm qua dấu tích phân

Ví dụ 2.3: Chứng minh tích phân sau đây hội tụ đều

2 2 2

2 2 1

x bx

dx x

Tích phân thứ nhất ở vế phải là tích phân xác định,

Tích phân thứ hai hội tụ bởi vì 0( 12) khi

x e

2.2 TÍCH PHÂN BỘI HAI ( TÍCH PHÂN KÉP )

2.2.1 Bài toán mở đầu

Bài toán: Cho vật thể V  3

3 giới hạn bởi các mặt sau đây: mặt phẳng Oxy, mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz và đường chuẩn L là biên của miền đóng hữu hạn D Oxy và mặt cong cho bởi phương trình z = f(x,y), (x,y)D, trong đó f(x,y) liên tục và không âm trên miền

D ( H.2.1 ) Hãy tính thể tích vật thể V ( ta thường gọi V là hình trụ cong )

x

y z

0

H.2.1 Nhận xét: Lấy tuỳ ý Mi( x , i y i) S i ( i = 1, n ) Vì miền S i là nhỏ và hàm f(x,y) liên tục nên trên miền S i nên các giá trị f(x,y) khác f(x , i y i) rất ít, do đó V i  f(x i,y i) S i Do đó

V ( , )

1

i i n

i

y x f





Gọi di là đường kính của mảnh S i (i = 1,n)

Người ta gọi đường kính của miền E là số d Supd P Q( , ) ,  PE Q, E

Rõ ràng sự xấp xỉ theo công thức trên của V càng chính xác nếu ta chia càng nhỏ miền D Vậy thể tích V sẽ bằng giới hạn nếu có của tổng ở vế phải khi n sao cho maxd i 0

1 Chia miền D thành n miền nhỏ bởi một lưới các đường cong, gọi tên và diện tích các

miền là S i ( i = 1, n ) đồng thời kí hiệu di là đường kính mảnh thứ i, ( i = 1, n )

2 Lấy tuỳ ý Mi( x , i y i) S i ( i = 1, n )

3 In= ( , )

1

i i n

i

y x f

hội tụ về I không phụ thuộc vào phân hoạch S ivà cách chọn Mi S i, ( i = 1, n ) thì số I

được gọi là tích phân kép của f(x,y) trên miền D và kí hiệu là 

D

dS y x

i D

 (2.10)

Khi đó ta nói rằng f(x,y) khả tích trên miền D; f(x,y) là hàm dưới dấu tích phân còn x, y là

các biến tích phân, dS là yếu tố diện tích

Chú ý:

a Vì tích phân kép không phụ thuộc vào cách chia miền D nên có thể chia D bởi một

lưới các đường thẳng song song với các trục toạ độ Ox, Oy Khi đó S i x iy i suy ra dS =

dx.dy Do đó tích phân kép thường kí hiệu là: 

D

dxdy y x

f( , )

b Cũng như tích phân xác định, kí hiệu biến lấy tích phân kép cũng không làm tích

phân kép thay đổi, tức là: 

D

dxdy y x

f( , ) = 

D

dudv v u

f( , ) (2.12)

2.2.3 Điều kiện khả tích

Tương tự như tích phân xác định, suy ra:

1 Nếu hàm số f(x,y) khả tích trên miền D thì f(x,y) bị chặn trên miền D ( điều kiện cần

của hàm khả tích )

2 Nếu hàm số f(x,y) liên tục trên miền D, tổng quát hơn: nếu hàm số f(x,y) chỉ cógián

đoạn loại 1 trên một số hữu hạn cung cong của miền D thì khả tích trên miền D

2.2.4 Tính chất của tích phân kép

Từ định nghĩa của tích phân kép, tương tự như tích phân xác định, ta suy ra được các

tính chất sau:

1 Nếu D được chia thành 2 miền D1, D2 mà D1D2  thì f(x,y) khả tích trên D khi

và chỉ khi nó khả tích trên D1 và D2 đồng thời

2 1

),()

,()

,(

D D

D

dxdy y x f dxdy y x f dxdy y x

2.3.1 Công thức tính tích phân kép trong tọa độ đề các (Descartes)

Định lí 2.10: Nếu hàm số f(x,y) liên tục trên miền D cho bởi hệ bất phương trình

b x a





) (

) ( 2

1

),()

,(

)

2x



) (

1x



H.2.2 Chứng minh: Trước hết xét f(x,y)0 và liên tục trên miền D :

1 x y x

b x a



trong đó 1(x),2(x) liên tục trên [a,b]

Theo ý nghĩa hình học ta có: V f x y dxdy

đường cong z = f(x,y), x cố định.Theo ý nghĩa tích phân xác định ta có: S x f x y dy

) (

2

1

),()

x D

dx dy y x f dy

dx y x f

) (

) (

2

1

),()

,(

) (

) (

2

1 2

1

),()

,(

x

x b

a b

a x

x

dy y x f dx dx dy y x f

( , ) khi ( , ) 0, ( , )( , )

0 khi ( , ) 0, ( , )( , ) khi ( , ) 0, ( , )( , )

),(),(

),()

,(

),()

,()

,(

) (

) (

) (

) (

2 1

) (

) ( 2

) (

) ( 1

2 1

a

x

x b

a

x

x b

a x

x b

a

D D

D

dy y x f dx

dy y x f y x f dx

dy y x f dx dy y x f dx

dy dx y x f dy dx y x f dy dx y x f

) (

2

1

),()

,(

y

y d

c D

dx y x f dy dxdy y x f

Trước tiên ta xét miền D có tính chất: Mỗi đường thẳng song song với các trục toạ độ cắt biên của miền D nhiều nhất ở hai điểm ( trừ ra các đoạn biên song song với các trục tọa độ ) Khi

b x a

có cạnh tiếp xúc với biên của miền D (H.2.3)

Giả sử ACB ADB có phương trình là: , y  1( ), x y  2( ), x a   x b CAD CBD có phương trình là: , x  1( ), y x  2( ), y c   y d

Từ công thức (2.19), (2.20) nhận được công thức Fubini sau đây:

   

) (

) (

) (

) (

2

1 2

1

),()

,(

y

y d

c x

x b

a

dx y x f dy dy y x f dx

H.2.3

c Khi miền D không có tính chất đã nêu trên thì có thể chia miền D thành một số hữu

hạn các miền D1, D2, , Dn có tính chất mô tả ở hình H.2.3 sau đó áp dụng tính chất 1 của tích phân kép

dy y h dx x h dxdy y x

trong đó D là miền giới hạn bởi các đường y = 0, y = 2x và x = a, a>0

Giải: Để có hệ phương trình mô tả miền D trước hết ta phải vẽ miền D (H.2.4)

a x

20

a y

2

20

5 5

0 4 0

2 2 2

0 2 0 2

5

205

2

20

22

a

a x

dx x dx x y x ydy x dx dxdy y x

a a

x a

x y

24

2

2 2

y y

y x

2420

822

2 2

2

y x y x

y y

y x

y y

y x

42

2

y x y

x D

22

20

x D

24

82

4)24

83

84

1(2

1

)4168(2

1

2

42

6 2 3 4

4

2

4 2

4

2

2 2 4

dy

y y

y y

dx y

y x y xydx dy

),(

x

dy y x f dx

Giải: Ta vẽ miền D khi đã biết các cận của tích phân Theo đầu bài miền D giới hạn bởi các

y

y x

1 0

1 0 1

0

2

),()

,()

,(

y y

x

x

dx y x f dy dx y x f dy dy y x f dx I

Ví dụ 2.9: Tính thể tích V của vật thể giới hạn bởi các mặt 2 2 2 2

z  x  y  R z  y

Giải: Vật thể được mô tả bởi hình H.2.7 Vật thể đối xứng qua mặt tọa độ Oxz và Oyz Ta xét

phần vật thể trong góc phần tám thứ nhất, phần vật thể này được giới hạn bởi các mặt

R R

2 3 0

2 2 0

2 0

)(

3

44

2 2

R

!4!

!3!

2

R3

4

sin3

4sin

34

4 4

2 0

4 4 0

2

4 4

(Xem công thức Wallis, Mục 4.2.2 Giải tích 1)

2.3.2 Công thức tính tích phân kép trong toạ độ cực

Trước khi đưa ra công thức tính tích phân kép trong toạ độ cực, ta thừa nhận định lý sau liên quan đến phép đổi biến tích phân kép

Định lý 211: Giả sử f(x,y) liên tục trên miền DOxy đồng thời tồn tại các hàm số

),(

v u y y

v u x x

thoả mãn các điều kiện :

1 Là các song ánh từ D lên 

2 Có đạo hàm riêng liên tục trong miền  Ouv và định thức Jacobi 0

),(

),(



v u D

y x D

trong miền ( hoặc chỉ bằng 0 ở một số điểm cô lập) khi đó:

v u D

y x D v u y v u x f dxdy y x f

),(.),(),,()

I ( ) trong đó D là miền giới hạn bởi các đường thẳng:

độ Descartes sẽ tương đối phức tạp vì ta phải chia miền D làm 3 miền nhỏ Ta thực hiện phép biến hình bình hành D trong mặt phẳng Oxy thành hình chữ nhật trong mặt phẳng Ouv bằng phép đổi biến

y x u

30

:

v u

Suy ra 3

0

323

2

3

13

1

2 3

0 1 1

1 1 2

1 Hệ toạ độ cực

Để xác định vị trí của các điểm trong mặt phẳng, ngoài hệ toạ độ Descartes, người ta còn

dùng hệ toạ độ cực được định nghĩa như sau: Chọn điểm O tuỳ ý gọi là cực và một trục Ox gọi là trục cực Vị trí của điểm M bất kỳ được xác bởi hai số: góc giữa trục Ox và véctơ OM gọi là

góc cực và r  OM gọi là bán kính véctơ Cặp (r,) gọi là toạ độ cực của M và kí kiệu

Nếu chọn hệ trục toạ độ Descartes Oxy tức là O trùng với cực, trục hoành trùng với trục

cực thì ta nhận được liên hệ sau đây giữa các toạ độ Descartes và toạ độ cực của điểm M , H.2.9)

r x

, x cùng dấu với cos hoặc y cùng dấu với sin

2 Phương trình đường cong trong hệ toạ độ cực

Hệ thức F(r,)0 hoặc rr() hay  (r) được gọi là phương trình đường cong

trong toạ độ cực, chẳng hạn r = a là phương trình đường tròn bán kính bằng a và tâm ở gốc toạ

độ,  0 là phương trình nửa đường thẳng xuất phát từ gốc toạ độ và lập với trục cực một góc

là 0

3 Công thức tích phân kép trong toạ độ cực

Ta thực hiện phép đổi biến số:

r x

r

r r

D

y x D

),(

),(

Từ công thức (2.23) ta suy ra:

D

)sin,cos()

,

2

r

)(

(

:

2 1

2 1

D

Khi đó công thức (2.24) sẽ có dạng:

rdr r

r f d dxdy y x f

r

r D

)sin,cos()

,(

) (

) (

2

1 2

),(.),(

),

y x D

v u D v u D

y x D

b Nếu cực là điểm trong của miền D và mọi bán kính cực cắt biên miền D tại một điểm

có bán kính r() thì

rdr r

r f d dxdy y x f

r

D

)sin,cos()

,(

) ( 0 2 0

2 2

2 2sin)

cos(r R r  R hay 2 cos ,

22

R r

Theo công thức (2.15) sẽ có:

2 cos 2

0 2

Trong hệ toạ độ cực, miền D D lần lượt được mô tả bởi hệ bất phương trình 1, 2

2.4 TÍCH PHÂN BỘI BA ( TÍCH PHÂN BA LỚP )

2.4.1 Bài toán mở đầu: Tính khối lƣợng vật thể

Bài toán: Cho vật thể V không đồng chất, biết khối lượng riêng là

(x,y,z), (x,y,z)V

Hãy tính khối lượng của vật thể V

Cách tính: Tương tự như tích phân bội hai, ta chia V tuỳ ý làm n phần không dẫm lên nhau bởi

một hệ thống các mặt cong Gọi tên và thể tích các phần đó là V i (i1, )n Trong mỗi phần

thứ i lấy điểm P i(x i,y i,z i) tuỳ ý và gọi đường kính của phần đó là d i, (i1, )n Khối lượng của vật thể là M thì

2.4.2 Định nghĩa tích phân bội ba

Cho hàm số f(x,y,z) xác định trên miền V 33

1 Chia V tuỳ ý thành n mảnh nhỏ.Gọi tên và thể tích các mảnh đó là V i i, ( 1, )n , ký hiệu đường kính mảnh V i là d i

2 Lấy tuỳ ý P x y z i( ,i i, )i V i, (i1, )n

n f x y z V I

1

),,( , được gọi là tổng tích phân bội ba của hàm f(x,y,z) lấy trên miền V ứng với một phân hoạch và các điểm P iV i, (i1, )n

Khi n sao cho Maxd i 0 mà I n hội tụ về I không phụ thuộc vào phân hoạch  Vi

và cách chọn điểm P iV i, (i1, )n thì số I gọi là tích phân bội ba của f(x,y,z) trên miền V và

được ký hiệu là 

V

dV z y x

i V

a Giống như tích phân kép, yếu tố thể tích dV được thay bằng dxdydz và khi đó thường

ký hiệu tích phân bội ba là: f x y z dx dydz

dudvd v

u f dxdydz

z y x

c Rõ ràng thể tích V của vật thể V tính theo công thức: 

V dxdydz

V (2.27)

d Điều kiện khả tích và tính chất của tích phân bội ba tương tự như tích phân kép

2.5 TÍNH TÍCH PHÂN BỘI BA

2.5.1 Công thức tính tích phân bội ba trong hệ toạ độ đề các

Định lý 2.12: Nếu f(x,y,z) liên tục trong miền V cho bởi hệ bất phương trình:

,(

)()

(

2 1

2 1

y x z y y x z

x y y x y

b x a

thì    

) , ( ) ( 2

2

),,()

,,(

y z x y b

dz z y x f dy dx dxdydz z

y x

Hệ bất phương trình (2.28) mô tả miền V là một vật thể giới hạn phía trên bởi mặt

z , giới hạn phía dưới bởi mặt zz1(x,y)và giới hạn xung quanh bởi mặt trụ có

đường sinh song song với trục Oz, đường chuẩn là biên của miền D xy (miền D xy là hình chiếu của

V trên mặt phẳng Oxy (H.2.12), cụ thể miền D xy cho bởi hệ bất phương trình:

1 x y y x y

b x a

x

y z

0

) , (

2 y z

) , (

1x y z

a

b y1(x) y2(x)

H.2.12

Công thức (2.29) chứng tỏ để tính tích phân bội ba ta đưa về tính tích phân lặp Khi tính

tích phân theo biến z ta coi x, y là hằng số Khi tính tích phân theo biến y coi x là hằng số Cuối cùng tính tích phân theo biến x

) , (

) , (

) , (

2

1 2

1

),,()

,,(

z y x

z y x D

y z

y x z D

dx z y x f dydz dz

z y x f dxdy

yz xy

(2.29)”