Khảo sát quá trình lấy mẫu và nghiên cứu một số phương pháp khôi phục tín hiệu tương tự từ tín hiệu số

MỞ ĐẦU 1 Chương 1 TỔNG QUAN VỀ TÍN HIỆU VÀ XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ 1.1. Tín hiệu 3 1.1.1. Khái niệm và phân loại tín hiệu 3 1.1.2. Xử lý tín hiệu số 4 1.1.3. Tín hiệu rời rạc theo thời gian 5 1.2. Hệ thống xử lý tín hiệu 7 1.2.1. Khái niệm và phân loại hệ thống xử lý tín hiệu 7 1.2.2. Hệ thống rời rạc theo thời gian 9 1.2.3. Phân tích hệ thống rời rạc tuyến tính bất biến theo thời gian 11 1.3. Một số phương pháp xử lý tín hiệu 12 1.3.1. Phân tích Hệ thống LTI trong miền thời gian 12 1.3.2. Phân tích Hệ thống LTI trong miền Z 13 1.3.3. Phân tích Hệ thống LTI trong miền tần số 18 1.4. Kết luận 20 Chương 2 KHẢO SÁT QUÁ TRÌNH LẤY MẪU VÀ PHƯƠNG PHÁP KHÔI PHỤC TÍN HIỆU TƯƠNG TỰ TỪ TÍN HIỆU SỐ 2.1 Lấy mẫu 21 2.1.1 Răng cưa 23 2.1.2 Folding 26 2.1.3 Vị trí lặp lại của tín hiệu khi lấy mẫu 28 2.1.4 Tốc độ Nyquist 34 2.1.5 Lấy mẫu thông thấp 35 2.2. Các phương pháp khôi phục tín hiệu tương tự từ tín hiệu số 41 2.2.1. Bộ lọc thông thấp lý tưởng 42 2.2.2. ZeroOrder Hold (ZOH) 44 2.2.3. Firstorder Hold (FOH) 47 2.2.4. Cubic Spline Interpolation 51 2.3. Kết luận 53 Chương 3 THỬ NGHIỆM BẰNG PHẦN MỀM MATLAB 3.1 Lấy mẫu 54 3.2 Thực hiện với Matlab 56 3.3 Khôi phục 59 3.4 Thực hiện trên Matlab 61 KẾT LUẬN 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO 69

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI

HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ

Cán bộ hướng dẫn chính: TS Dương Tử Cường

Cán bộ chấm phản biện 1: ………

Cán bộ chấm phản biện 2: ………

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại:

HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨHỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰNgày 5 tháng 7 năm 2015

LỜI CAM ĐOAN

Những kết quả nghiên cứu được trình bày trong luận văn là hoàn toàntrung thực, của tôi, không vi phạm bất cứ điều gì trong luật sở hữu trí tuệ vàpháp luật Việt Nam Nếu sai, tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật

TÁC GIẢ LUẬN VĂN

Nguyễn Thị Thu Huyền

TÓM TẮT LUẬN VĂN

Họ và tên học viên: Nguyễn Thị Thu Huyền

Chuyên ngành: Hệ thống thông tin Khóa: 25aCán bộ hướng dẫn: TS Dương Tử Cường

Tên đề tài: Khảo sát quá trình lấy mẫu và nghiên cứu một số phương pháp khôi phục tín hiệu tương tự từ tín hiệu số

Tóm tắt: nghiên cứu khái quát về tín hiệu và hệ thống xử lý tín hiệu nóichung, các phương pháp xử lý tín hiệu trong miền thời gian, trong miền tần

số, trong miền Z nói riêng để nắm những kiến thức cơ bản liên quan đến tínhiệu và xử lý tín hiệu số Khảo sát quá trình lấy mẫu và nghiên cứu quá trìnhchuyển đổi tín hiệu số sang tín hiệu tương tự và tiến hành xây dựng một ứngdụng thử nghiệm mô tả những lý thuyết đã nghiên cứu và trình bày trong luậnvăn, đánh giá và nhận xét kết quả

MỤC LỤC

Trang phụ bìa……….………

Bản cam đoan………

Mục lục……… ……

Tóm tắt luận văn………

Danh mục các ký hiệu, viết tắt, các bảng, hình vẽ………

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 TỔNG QUAN VỀ TÍN HIỆU VÀ XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ 1.1 Tín hiệu 3

1.1.1 Khái niệm và phân loại tín hiệu 3

1.1.2 Xử lý tín hiệu số 4

1.1.3 Tín hiệu rời rạc theo thời gian 5

1.2 Hệ thống xử lý tín hiệu 7

1.2.1 Khái niệm và phân loại hệ thống xử lý tín hiệu 7

1.2.2 Hệ thống rời rạc theo thời gian 9

1.2.3 Phân tích hệ thống rời rạc tuyến tính bất biến theo thời gian 11

1.3 Một số phương pháp xử lý tín hiệu 12

1.3.1 Phân tích Hệ thống LTI trong miền thời gian 12

1.3.2 Phân tích Hệ thống LTI trong miền Z 13

1.3.3 Phân tích Hệ thống LTI trong miền tần số 18

1.4 Kết luận 20

Chương 2 KHẢO SÁT QUÁ TRÌNH LẤY MẪU VÀ PHƯƠNG PHÁP KHÔI PHỤC TÍN HIỆU TƯƠNG TỰ TỪ TÍN HIỆU SỐ 2.1 Lấy mẫu 21

2.1.1 Răng cưa 23

2.1.2 Folding 26

2.1.3 Vị trí lặp lại của tín hiệu khi lấy mẫu 28

2.1.4 Tốc độ Nyquist 34

2.1.5 Lấy mẫu thông thấp 35

2.2 Các phương pháp khôi phục tín hiệu tương tự từ tín hiệu số 41

2.2.1 Bộ lọc thông thấp lý tưởng 42

2.2.2 Zero-Order Hold (ZOH) 44

2.2.3 First-order Hold (FOH) 47

2.2.4 Cubic Spline Interpolation 51

2.3 Kết luận 53

Chương 3 THỬ NGHIỆM BẰNG PHẦN MỀM MATLAB 3.1 Lấy mẫu 54

3.2 Thực hiện với Matlab 56

3.3 Khôi phục 59

3.4 Thực hiện trên Matlab 61

KẾT LUẬN 68

TÀI LIỆU THAM KHẢO 69

DANH MỤC BẢNG BIỂU, HÌNH VẼ

Bảng 2.1: Khảo sát tần số với lấy mẫu thông thấp 41

Hình 1.1: Mô hình chuyển đổi tín hiệu A/D 4

Hình 1.2: Biểu diễn đồ thị của tín hiệu rời rạc theo thời gian 6

Hình 1.3: Hệ thống xử lý tín hiệu tương tự 8

Hình 1.4: Hệ thống xử lý tín hiệu số 8

Hình 1.5: Quan hệ vào ra trong miền thời gian và tần số của hệ thống LTI 19

Hình 2.1: Hiện tượng răng cưa 26

Hình 2.2: Hiện tượng gấp (folding) 27

Hình 2.3: Quá trình lấy mẫu tín hiệu ở miền thời gian 30

Hình 2.4: Quá trình lấy mẫu tín hiệu ở miền tần số 31

Hình 2.5: Hiệu quả của việc lấy mẫu và hiện tượng răng cưa / gấp 33

Hình 2.6: Ví dụ tín hiệu lấy mẫu tại 2.081 Hz 36

Hình 2.7: Ví dụ tín hiệu lấy mẫu tại 100 Hz 36

Hình 2.8: Ví dụ tín hiệu lấy mẫu tại 103 Hz 38

Hình 2.9: Ví dụ tín hiệu lấy mẫu tại 105 Hz 40

Hình 2.10: Ví dụ tín hiệu lấy mẫu tại 110 Hz 40

Hình 2.11: Khôi phục tín hiệu nhìn nhận như một quá trình xử lý lọc 43

Hình 2.12: Đáp ứng tần số (a) và đáp ứng xung (b) của một bộ lọc thông thấp lý tưởng 44

Hình 2.13: Tín hiệu đầu ra của phương pháp ZOH 45

Hình 2.14: Hệ thống LTI có đáp ứng xung hình chữ nhật 45

Hình 2.15: Đáp ứng xung của mạch giữ bậc 0 45

Hình 2.16: Khôi phục tín hiệu với mạch giữ bậc 0 47

Hình 2.17: Khôi phục tín hiệu với một mạch giữ bậc 1 47

Hình 2.18: Đáp ứng xung (a) và các đặc tính đáp ứng tần số (b) và (c) cho

mạch giữ bậc một 48

Hình 2.19: Đáp ứng xung (a) và đáp ứng tần số (b) cho một mạch giữ bậc một đã thay đổi 50

Hình 3.1: Hoạt động lấy mẫu trong miền thời gian và tần số 55

Hình 3.2: Biến đổi Fourier xa(t) = e−1000|t| cho ví dụ 3.1 57

Hình 3.3: vẽ X1(ejω) ω) ) cho ví dụ 3.2a 58

Hình 3.4: vẽ X2(ejω) ω) ) cho ví dụ 3.2 b 59

Hình 3.5: Khôi phục tín hiệu x1(n) sử dụng hàm sinc cho ví dụ 3.3 62

Hình 3.6: Khôi phục tín hiệu x2(n) sử dụng hàm sinc cho ví dụ 3.4 63

Hình 3.7: Khôi phục tín hiệu x1(n), x2(n) sử dụng phương pháp ZOH cho ví dụ 3.5 64

Hình 3.8: Khôi phục tín hiệu x1(n), x2(n) sử dụng phương pháp FOH 65

cho ví dụ 3.5 65

Hình 3.9: Khôi phục tín hiệu x1(n) sử dụng hàm cubic spline

cho ví dụ 3.6 66

Hình 3.10: Khôi phục tín hiệu x2(n) sử dụng hàm cubic spline

cho ví dụ 3.6 66

Hình 3.11: Kết quả tổng hợp tín hiệu được khôi phục 67

MỞ ĐẦU

Sự phát triển mạnh mẽ của các thế hệ máy tính điện tử (số) đã tạo điềukiện cho kỹ thuật xử lý tín hiệu số bước sang một bước ngoặt mới và được sửdụng trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau Hiện nay rất nhiều hệ thống thôngtin liên lạc, radar, xử lý ảnh, xử lý tiếng nói, trên thế giới đã được số hóahoàn toàn

Tuy nhiên, để có thể áp dụng được các kỹ thuật xử lý tín hiệu số thì tínhiệu tương tự phải được chuyển sang tín hiệu số Sau đó, tín hiệu số này được

bộ xử lý hoặc phần mềm thao tác như loại nhiễu tín hiệu, loại bỏ nhiễu xuyênkênh, Cuối cùng, tín hiệu số được chuyển sang tín hiệu tương tự và xử lýcác bước tiếp theo tùy thuộc vào ứng dụng cụ thể

Bài toán quan trọng nhất đặt cơ sở cho việc xử lý tín hiệu số đó là quátrình lấy mẫu tín hiệu và khôi phục lại tín hiệu tương tự Chất lượng của việc

xử lý và ứng dụng trên thực tế phụ thuộc trước hết vào quá trình lấy mẫu vàkhôi phục tín hiệu

Có thể thấy từ những vấn đề trên, tôi đã chọn đề tài: “Khảo sát quá trình

lấy mẫu và nghiên cứu một số phương pháp khôi phục tín hiệu tương tự từ tín hiệu số”.

Mục tiêu: nghiên cứu khái quát về tín hiệu và hệ thống xử lý tín hiệunói chung, các phương pháp xử lý tín hiệu trong miền thời gian, trong miềntần số, trong miền Z nói riêng để nắm những kiến thức cơ bản liên quan đếntín hiệu và xử lý tín hiệu số Khảo sát quá trình lấy mẫu và nghiên cứu quátrình chuyển đổi tín hiệu số sang tín hiệu tương tự và tiến hành xây dựng mộtứng dụng thử nghiệm mô tả những lý thuyết đã nghiên cứu và trình bày trongluận văn, đánh giá và nhận xét kết quả

Sau khi nghiên cứu những tài liệu có liên quan tôi đã phân tích, tổnghợp, chọn lọc những nội dung cơ bản phục vụ cho đề tài Lập đề cương dự

1

kiến, tìm hiểu và chạy thử một số chương trình trên Matlab Tiến hành sắpxếp lại các vấn đề, điều chỉnh bổ sung các đoạn chương trình và viết hoànchỉnh nội dung của luận văn.

Cấu trúc của luận văn được chia thành bốn chương cụ thể như sau:

Chương 1: Tổng quan về tín hiệu và xử lý tín hiệu số

Trình bày một cách khái quát về tín hiệu và hệ thống xử lý tín hiệu Sau

đó, trình bày một số phương pháp xử lý tín hiệu số trong miền thời gian, trongmiền tần số và trong miền Z

Chương 2: Khảo sát quá trình lấy mẫu và phương pháp khôi phục tín hiệu tương tự từ tín hiệu số

Trình bày các kỹ thuật lấy mẫu trong các thiết bị xử lý tín hiệu số thực

tế Đồng thời, trình bày chi tiết các phương pháp khôi phục tín hiệu tương tự

từ tín hiệu số trong các thiết bị chuyển đổi D/A thực tế

Chương 3: Thử nghiệm bằng phần mềm MATLAB

Trình bày khái quát về phần mềm MATLAB trong xử lý tín hiệu số vàxây dựng một ứng dụng thử nghiệm mô tả những lý thuyết đã nghiên cứu vàtrình bày trong các chương 1 và 2 Từ đó, đưa ra kết quả và nhận xét

Để hoàn thành được luận văn, tôi xin được gửi lời cảm ơn tới các Thầygiáo trong khoa công nghệ thông tin – Học viện kỹ thuật quân sự đã tận tìnhgiảng dạy, cung cấp nguồn kiến thức quý giá trong suốt quá trình học tập

Đặc biệt tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo TS Dương Tử Cường đãtận tình hướng dẫn, góp ý tạo điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này

2

Chương 1 TỔNG QUAN VỀ TÍN HIỆU VÀ XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ

Trong chương này, luận văn sẽ tập trung nghiên cứu và trình bày nhữngkiến thức cơ bản liên quan đến tín hiệu và hệ thống tín hiệu Đồng thời, chúngtôi cũng sẽ nghiên cứu và trình bày các phương pháp xử lý tín hiệu số trongmiền thời gian, miền Z và miền tần số

1.1 Tín hiệu

1.1.1 Khái niệm và phân loại tín hiệu

Tín hiệu được định nghĩa như một thực thể vật lý phụ thuộc vào thờigian, khoảng cách hoặc một số biến độc lập khác Về phương diện toán học,tín hiệu được mô tả như một hàm của một hoặc nhiều biến độc lập Ngoài cáctín hiệu chỉ phụ thuộc vào một biến như đã chỉ ra ở trên còn tồn tại tín hiệucủa nhiều biến khác nhau Nếu tín hiệu được biểu diễn qua hàm của một biếnđộc lập thì tín hiệu đó được gọi là tín hiệu một chiều Trong trường hợp

ngược lại nếu tín hiệu được biểu diễn qua hàm toán học với M biến độc lập, tín hiệu được gọi là tín hiệu M chiều.

Tín hiệu có thể được phân thành một số loại sau:

Các tín hiệu tuần hoàn có thể được mô tả một cách đầy đủ thông quamột chu kỳ và có thể được phân rã và biểu diễn bằng các thành phần hình sin

Các tín hiệu có độ dài hữu hạn được định nghĩa một khoảng thời gianhữu hạn và không được xác định bên ngoài khoảng thời gian này.

Tín hiệu quá độ là các tín hiệu có giá trị khác không bên trong khoảngthời gian hữu hạn nào đó hoặc thay đổi trong một khoảng thời gian ngắn sau

đó sẽ tiến tới một giá trị không đổi

Nhóm tín hiệu gần như tuần hoàn bao gồm tổng các tín hiệu hình sin vàkhông phải là tín hiệu điều hòa Loại tín hiệu này thường ít gặp trong các ứngdụng trên thực tế

 Tín hiệu ngẫu nhiên

Là tín hiệu không thể được biểu diễn chính xác và rõ ràng qua các côngthức toán học Xác suất của các tín hiệu này là thường nhỏ hơn 1 và do đóthường chứa các thông tin chưa được biết trước Các tín hiệu ngẫu nhiên cóthể là các bản tin thu được từ các thiết bị vô tuyến như đài, tivi,…

Ngoài ra, tín hiệu còng có thể được phân loại thành tín hiệu tương tự,rời rạc, tín hiệu đa kênh, đa chiều,

1.1.2 Xử lý tín hiệu số

Để có thể thực hiện việc xử lý tín hiệu số, các tín hiệu tương tự cầnphải được chuyển đổi về dãy các số Quá trình chuyển đổi này được thực hiệnbởi bộ chuyển đổi tương tự số (analog-to-digital: A/D) hoặc lấy mẫu

Hình 1.1: Mô hình chuyển đổi tín hiệu A/DQuá trình chuyển đổi A/D được mô tả thông qua hộp đen trên Hình 1.1

Sau khoảng thời gian T giây, tín hiệu liên tục x(t) được lấy mẫu Giá trị biên

độ này được biểu thị bởi x(kT); như vậy x(kT) = x(t) với t = kT Trong trường

hợp tổng quát, quá trình lấy mẫu thường dẫn đến các sai số lượng tử hóa Sai

số này là hàm của số lượng bit được sử dụng để biểu diễn mẫu Vì lý do nàycác thuật toán xử lý tín hiệu số thường được biểu diễn trên các mẫu lượng tửhóa ^ x(kT ) chứ không phải trên các mẫu chính xác x(kT) Mặc dù độ phân

giải của bộ lượng tử hóa sẽ tác động lên độ chính xác của dữ liệu nhưng sựphân biệt giữa ^ x(kT ) và x(kT) ít khi được đề cập đến trong các giải thuật

xử lý tín hiệu vì vậy trong luận văn đại lượng x(kT) sẽ được dùng để biểu thị

cho giá trị mẫu được sử dụng trong quá trình xử lý

Tham số T là bước thời gian hay khoảng lấy mẫu và giá trị nguyên k biểu thị số mẫu Đại lượng 1/T được gọi là tần số lấy mẫu hay tốc độ lấy mẫu

và có thứ nguyên là Hz Ký hiệu x(k) trong đó T được ẩn hoàn toàn thường được sử dụng thay cho x(kT).

Định lý lấy mẫu đòi hỏi tín hiệu tương tự phải được lấy mẫu với tốc độlớn hơn hai lần thành phần tần số cao nhất của tín hiệu Nếu điều kiện nàythỏa mãn, về lý thuyết tín hiệu tương tự có thể được khôi phục lại một cáchchính xác từ dãy mẫu của nó

1.1.3 Tín hiệu rời rạc theo thời gian

Tín hiệu rời rạc theo thời gian x(n) thực chất là hàm của biến độc lập có

kiểu số nguyên Hình 1.2 mô tả tín hiệu bằng phương pháp đồ thị Một điềurất quan trọng cần phải lưu ý là tín hiệu rời rạc theo thời gian không đượcđịnh nghĩa ở các thời điểm nằm giữa hai mẫu liên tiếp nhau Cũng sẽ không

đúng nếu cho rằng x(n) sẽ có giá trị bằng 0 nếu giá trị của n không phải là số nguyên Rất đơn giản, tín hiệu x(n) chỉ được định nghĩa đối với các giá trị nguyên của n.

Trong khi nghiên cứu, chúng tôi sẽ giả sử tín hiệu rời rạc theo thời gian

được định nghĩa đối với giá trị nguyên của n thuộc khoảng −∞ <n <∞

Theo qui ước x(n) sẽ được xem như là “mẫu thứ n” của tín hiệu, thậm chí nếu

tín hiệu này vốn đã là tín hiệu rời rạc (không phải là kết quả của quá trình lấy

mẫu tín hiệu rời rạc) Nếu cho rằng x(n) là tín hiệu nhận được do quá trình lấy

mẫu của tín hiệu tương tự xa( t ) thì x(n)≡x(nT ) , trong đó T là chu kỳ

lấy mẫu (thời gian giữa hai lần lấy mẫu liên tiếp nhau) (để ngắn gọn trong

chúng tôi sẽ sử dụng x(n) như là cách viết đơn giản của x(nT) hoặc hiểu là

T=1).

Hình 1.2: Biểu diễn đồ thị của tín hiệu rời rạc theo thời gian

Ngoài phương pháp sử dụng đồ thị như mô tả Hình 1.2 còn có một sốphương pháp khác tương đối thuận tiện được sử dụng để biểu diễn tín hiệu(hoặc dãy) rời rạc theo thời gian Các phương pháp này bao gồm:

- Biểu diễn bằng hàm

- Biểu diễn bằng bảng

- Biểu diễn qua dãy số

Dưới đây là một số tín hiệu cơ bản rất hay xuất hiện và sử dụng trong

lý thuyết về tín hiệu và hệ thống rời rạc theo thời gian vì vậy các tín hiệu nàyđóng một vai trò hết sức quan trọng

 Dãy mẫu đơn vị

Tín hiệu này còn được gọi là dãy xung đơn vị và được định nghĩa nhưsau:

δ(n)≡ ¿ { 1, if n=0 ¿¿¿¿

 Dãy nhảy bậc đơn vị

Dãy này còn được gọi là tín hiệu nhảy bậc đơn vị hay hàm bậc thang vàđược định nghĩa qua hàm sau:

1.2.1 Khái niệm và phân loại hệ thống xử lý tín hiệu

Hệ thống có thể được định nghĩa như một thiết bị vật lý (phần cứng),một chương trình (phần mềm), hoặc có thể là sự kết hợp giữa phần cứng vàphần mềm dùng để thực hiện các thao tác đối với tín hiệu

Dựa vào loại tín hiệu được xử lý người ta chia hệ thống xử lý tín hiệu

ra làm hai loại chính:

 Hệ thống xử lý tín hiệu tương tự

Hầu hết các tín hiệu được sử dụng trong việc nghiên cứu và ứng dụng

kỹ thuật đều là tín hiệu tương tự theo nguồn gốc phát sinh của chúng Các tínhiệu này được xử lý trực tiếp thông qua các hệ thống tương tự thích hợp nhằmthay đổi các đặc tính của tín hiệu (lọc tần số, nhân tần số, ) hoặc nhận các

Bộ xử lý tín hiệu tương tự Tín hiệu ra

tương tự

Tín hiệu vào

tương tự

Chuyển đổi A/D

Bộ xử lý tín hiệu số

Chuyển đổi D/A Tín hiệu vào

tương tự

Tín hiệu ra dạng số

Tín hiệu vào dạng số

thông tin cần thiết từ tín hiệu Trong các trường hợp như thế, tín hiệu sẽ được

xử lý trực tiếp từ dạng tương tự của nó Cả hai tín hiệu ra và vào trong trườnghợp này đều là tín hiệu tương tự Quá trình này được mô tả ở hình 1.3

Bộ xử lý số có thể là máy tính số lớn với khả năng lập trình hoặc một

hệ vi xử lý lập trình được có khăng thực hiện các thao tác cần thiết trên tínhiệu đầu vào Việc kết hợp phần cứng và phần mềm vào một hệ thống xử lý

số là một giải pháp mang tính kỹ thuật và kinh tế cao Trong khi phần cứng

của bộ xử lý số có nhiệm vụ thực hiện một số công việc cụ thể đối với tín hiệuđầu vào thì khả năng lập trình của bộ xử lý số (phần mềm) sẽ cho phép bổsung và dễ dàng thay đổi các thao tác xử lý tín hiệu thông qua các thay đổiđược thực hiện trong chương trình phần mềm ngay cả đối với các thao tác màphần cứng đã được thiết kế chưa đáp ứng được

1.2.2 Hệ thống rời rạc theo thời gian

Các hệ thống rời rạc theo thời gian bao gồm các thiết bị hoặc thuật toán

mà qua đó một tín hiệu rời rạc x(n) được gọi là tín hiệu đầu vào được chuyển đổi thành một tín hiệu rời rạc khác y(n) được gọi là tín hiệu đầu ra hoặc đáp ứng của

hệ thống Quan hệ vào ra này có thể được biểu diễn bằng biểu thức toán học:

y(n)≡T [ x(n) ]

trong đó T là ký hiệu của phép biến đổi hoặc toán tử.

Mô tả vào/ra của hệ thống rời rạc theo thời gian bao gồm các công thứctoán học hoặc các quy tắc mà qua đó có thể định nghĩa một cách chính xácquan hệ giữa tín hiệu đầu vào và tín hiệu đầu ra Trong trường hợp này hệthống được xem như một hộp đen mà không cần quan tâm đến cấu trúc bêntrong Như vậy chỉ còn có một phương pháp duy nhất để làm việc và nghiêncứu hệ thống là sử dụng các thiết bị đầu cuối và đầu vào của hệ thống Đểphản ánh quan hệ vào ra của hệ thống qua cách biểu diễn:

quá khứ hoặc tương lại Trong trường hợp ngược lại hệ thống được gọi là cónhớ.

 Hệ thống tuyến tính và không tuyến tính

Hệ thống được gọi là tuyến tính nếu nó thỏa mãn nguyên lý xếp chồng.Nguyên lý này đòi hỏi rằng đáp ứng của hệ thống với tác động là tổng của cáctín hiệu sẽ bằng tổng các đáp ứng của hệ thống khi tác động đầu vào là từngtín hiệu riêng lẻ

 Hệ thống bất biến theo thời gian

Một hệ được gọi là bất biến theo thời gian nếu như đặc trưng vào ra của

nó không thay đổi theo thời gian Đối với các hệ này nếu như đáp ứng của hệ

đối với tác động x(n) là y(n) thì với tín hiệu đầu vào bị dịch trễ k đơn vị thời gian x(n-k), tín hiệu đầu ra cũng bị trễ k đơn vị y(n-k) Tức là nếu:

x (n)⃗T y (n)

thì suy ra:

x(n−k)⃗ y(n−k )

đối với mọi tín hiệu đầu vào x(n) và mọi thời gian dịch chuyển k.

 Hệ nhân quả và không nhân quả

Một hệ thống được gọi là nhân quả nếu tín hiệu đầu ra y(n) của nó tại một thời điểm bất kỳ n chỉ phụ thuộc vào tín hiệu đầu vào trong quá khứ và

tại thời điểm đang xét và không phụ thuộc vào các tín hiệu đầu vào trongtương lai [ x(n+1), x(n+2),… ] Trong trường hợp ngược lại hệ thống sẽ

được gọi là hệ không nhân quả

 Hệ ổn định và không ổn định

Một hệ thống được gọi là ổn định nếu và chỉ nếu với dãy đầu vào giớihạn ta có dãy đầu ra giới hạn

Theo toán học, điều kiện này tương đương với việc tồn tại hai số hữuhạn Mx và My để:

| x(n)|≤Mx<∞ , |y(n)|≤My<∞

đối với mọi n

Nếu dãy đầu vào x(n) là hữu hạn và dãy đầu ra là vô hạn thì hệ thống được

gọi là hệ không ổn định

1.2.3 Phân tích hệ thống rời rạc tuyến tính bất biến theo thời gian

Hệ thống rời rạc tuyến tính bất biến theo thời gian gọi tắt là hệ thốngLTI (Linear Time-Invariant Systems) là hệ thống rời rạc vừa tuyến tính, vừabất biến

Có hai phương pháp cơ bản thường được sử dụng trong việc phân tíchcác đáp ứng của hệ thống tuyến tính đối với một tín hiệu đầu vào cho trước

 Phương pháp thứ nhất dựa trên cách giải quyết trực tiếp đối với biểuthức biểu diễn quan hệ vào/ra của hệ thống Biểu thức này thông thường códạng sau:

y(n)=F [ y(n−1), y(n−2),…, y(n−N ), x(n), x(n−1),…, x(n−M ) ]

trong đó F [ ] là hàm với các biến là các thành phần được chỉ ra trong dấu

ngoặc vuông Cụ thể hơn, đối với các hệ thống LTI thì say này ta có thể thấyrằng quan hệ vào/ra có thể được biểu diễn bằng công thức:

Quan hệ vào ra trong (1.1) được gọi là biểu thức sai phân và được dùng

để mô tả đáp ứng của hệ thống tuyến tính bất biến rời rạc theo thời gian

(1.1)

 Phương pháp thứ hai được sử dụng để phân tích đáp ứng của hệthống tuyến tính đối với một tín hiệu đầu vào cho trước được tiến hành thôngqua hai bước cơ bản:

- Phân tích tín hiệu đầu vào thành tổng các tín hiệu đơn giản cơ bản.Việc phân tích này sẽ đưa đến việc xác định đáp ứng của tín hiệu đầu vàothông qua các đáp ứng của hệ đối với các tín hiệu cơ bản mà thông thường sẽđơn giản và dễ dàng hơn rất nhiều

- Sử dụng tính chất tuyến tính của hệ thống để xác định đáp ứng tổngcủa hệ thống thông qua các đáp ứng riêng lẻ đối với từng tín hiệu cơ bản.Phương pháp thứ hai sẽ được trình bày phần này 1.3.1

1.3 Một số phương pháp xử lý tín hiệu

1.3.1 Phân tích Hệ thống LTI trong miền thời gian

Sau khi phân tích từng tín hiệu rời rạc cơ bản thành các xung, đáp ứngcủa hệ thống LTI có thể được xác định theo công thức:

y(n)= ∑

k=−∞

∞

x(k)h(n−k )

Công thức (1.2) được gọi là tổng chập hoặc tích chập và nó cho phép

xác định đáp ứng y(n) của hệ thống LTI như là hàm của tác động đầu vào x(n)

và đáp ứng xung đơn vị h(n).

Đối với hệ thống LTI, ta có thể xác định tính nhân quả và tính ổn địnhcủa hệ thống thông qua các tiêu chuẩn trên đáp ứng xung của hệ thống

Một hệ thống LTI được gọi là nhân quả nếu đáp ứng xung của nó bằng

0 với mọi giá trị âm của n, tức là h(n) = 0 với ∀n<0. Khi đó:

Dưới đây, chúng tôi sẽ trình bày quá trình xác định y(n) theo phương pháp đồ thị khi đã biết trước xung tác động x(n) và đáp ứng xung h(n) của hệ

thống

 Phương pháp đồ thị

Giả sử rằng ta cần phải xác định đầu ra của hệ thống tại một thời điểm

n=n 0 nào đó Theo công thức (1.2) đáp ứng của hệ thống tại thời điểm này sẽ

Từ công thức (1.3) có thể đưa ra các nhận xét sau:

- Chỉ số của ∑ là k và vì vậy cả tác động đầu vào x(k) cũng như

đáp ứng xung h(n 0 -k) đều là hàm của k.

- Các dãy x(k) và h(n 0 -k) được nhân với nhau với kết quả là một dãy

tích Đầu ra y(n 0 ) đơn giản chỉ là tổng của tất cả các dãy tích này.

Dãy h(n 0 -k) có thể được nhận từ h(k) nếu đầu tiên lấy biến đảo của h(k)

(kết quả nhận được sẽ là h(-k)) và sau đó dãy kết quả này được dịch đi n 0 để

nhận được h(n 0 -k) Như vậy việc xác định tổng chập của x(k) và h(k) có thể

được tiến hành theo các bước dưới đây:

1 Lấy biến đảo: Thiết lập dãy biến đảo h(-k) của h(k) để nhận được

h(−k ) .

2 Dịch chuyển: Dịch h(-k) n 0 lần về bên phải (trái) nếu n 0 lớn hơn

không (nhỏ hơn không) để nhận được h(n 0 -k).

3 Nhân: Nhân x(k) với h(n 0 -k) để nhận được dãy tích

1.3.2 Phân tích Hệ thống LTI trong miền Z

Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày việc sử dụng hàm hệ thốngtrong việc xác định đáp ứng của hệ thống đối với một tín hiệu tác động nào

đó Đặc biệt chúng tôi sẽ tập trung vào trình bày vào loại hệ thống quan trọng,

đó là hệ thống cực-không được biểu diễn bởi phương trình sai phân tuyến tính

với hệ số hằng khi điều kiện khởi tạo là bất kỳ

1.3.3.1 Đáp ứng của hệ thống với hàm hệ thống hữu tỷ khi điều kiện khởi tạo bằng không

Hãy nghiên cứu một hệ thống cực – không được mô tả bởi phươngtrình sai phân tuyến tính hệ số hằng tổng quát

x(n) có biến đổi Z dạng hữu tỷ:

X ( z)= N ( z )

Q( z)

Điều giả sử này sẽ không làm hạn chế dạng tổng quát của bài toán vì

hầy hết các tín hiệu trên thực tế đều là các tín hiệu có dạng biến đổi Z hữu tỷ.

Nếu hệ thống được khởi tạo relaxed, nghĩa là các điều kiện khởi tạo củaphương trình sai phân bằng không [ y(−1)= y(−2)=…= y(−N )=0 ] , biếnđổi Z của đầu ra của hệ thống sẽ có dạng:

Y ( z )=H ( z )X (z )= B ( z)N (z )

A ( z)Q( z )

Bây giờ giả sử rằng hệ thống có chứa các cực đơn p1, p2,…, pN vàbiến đổi Z của tín hiệu vào có chứa các cực q1,q2 ,… ,qL, trong đó

pk≠ qm. với mọi k=1, 2, , N và m = 1, 2, , L Thêm vào đó chúng ta giả

sử rằng các không của các đa thức tử số B(z), N(z), và các cực {p k} và{q k} không loại trừ lẫn nhau Như vậy khai triển thành phần thức của Y(z)

Để ý thấy, trong công thức này dãy đầu ra y(n) có thể được chia làm hai

phần Phần đầu làm hàm của các cực {p k} của hệ thống và được gọi là đápứng tự nhiên Ảnh hưởng của tín hiệu vào đối với phần này được thực hiệnthông qua các hệ số tỷ lệ {A k} Phần còn lại là hàm của các cực {q k} của

tín hiệu vào và được gọi là đáp ứng cưỡng bức (bắt buộc) Ảnh hưởng của hệthống đối với đáp ứng này được thể hiện thông qua các hệ số tỷ lệ {Q k}.

Cần nhấn mạnh một điều là các hệ số tỷ lệ {A k} và {Q k} đều làhàm của các cực {p k} và {q k} Nếu X(z) = 0 để cho tín hiệu vào bằng 0

thì suy ra rằng Y(z) = 0 và do vậy đầu ra cũng bằng 0 Rõ ràng rằng đáp ứng

tự nhiên của hệ thống cũng bằng 0 Như vậy có thể thấy rằng đáp ứng tựnhiên trong trường hợp này sẽ khác với đáp ứng với tín hiệu vào bằng khôngđối với hệ thống không phải là relaxed

Khi X(z) và H(z) có một hoặc một số cực chung hoặc khi X(z) và H(z) hay một trong hai có chứa cực bội thì Y(z) sẽ có cực bội Suy ra rằng khai

triển dưới dạng phân thức của Y(z) sẽ chứa các phần tử với dạng

1

(1− p l z−1)k , k=1, 2, , m Ở đây m là bậc của các cực Biến đổi ngược của

các phần tử này sẽ làm xuất hiện trong x(n) các phần tử với dạng n k−1 p l n .

1.3.3.2 Đáp ứng của hệ thống cực-không với điều kiện khởi tạo khác không

Giả sử tín hiệu vào x(n) được tác động lên hệ thống bắt đầu từ thời điểm n=0, hay x(n) là dãy nhân quả Tác động của tất cả các tín hiệu tại thời điểm n=0 đối với hệ thống được phản ánh thông qua các điều kiện khởi tạo

y(-1), y(-2), , y(-N) Bởi vì tín hiệu x(n) là nhân quả do vậy ta chỉ quan tâm

đến việc xác định tín hiệu ra khi n≥0 Với điều kiện này việc sử dụng

biến đổi Z một phía sẽ cho phép làm việc với điều kiện khởi tạo Lấy biến đổi

Z một phía cả hai vế của y (n )=−∑

Bởi vì x(n) là nhân quả do vậy X+

( z)= X ( z). Trong mọi trường

hợp, (1.4) có thể được biểu diễn dưới dạng:

Từ (1.5) chúng ta thấy đầu ra của hệ thống với điều kiện khởi tạo khác

không có thể được chia thành hai phần Phần đầu là đáp ứng trạng thái không của hệ thống và được định nghĩa trong miền Z bởi:

Yzs( z)= H ( z) X ( z)

Thành phần thứ hai là đầu ra do kết quả của điều kiện khởi tạo khác

không Đầu ra này là đáp ứng đầu vào bằng không của hệ thống và được định

nghĩa trong miền Z bởi:

Y+zi

(z)= N0(z) A( z )

(1.4)

(1.5)

Bởi vì đáp ứng của hệ thống là tổng của hai thành phần đầu ra này, dovậy miền thời gian có thể được xác định bằng cách lấy biến đổi Z ngược của

Yzs( z) và Yzi( z) sau đó cộng các kết quả này lại với nhau Như vậy ta có:

y(n)= yzs( n)+ yzi( n)Mẫu số của Y+zi(z) là A(z) với các cực là p1, p2, , pN. Từ đây suy

ra đáp ứng đầu vào bằng không sẽ có dạng:

1.3.3 Phân tích Hệ thống LTI trong miền tần số

Định lý tổng chập đưa ra quan hệ trong miền tần số để xác định đầu racủa hệ thống LTI đối với tín hiệu vào có năng lượng hữu hạn và không tuầnhoàn

(1.6)

(1.7)(1.8)

Nếu ký hiệu { x(n) } là dãy đầu vào, { y(n) } là dãy đầu ra và h(n) làđáp ứng mẫu đơn vị của hệ thống thì từ định lý tổng chập ta có:

Y (ω)=H(ω) X(ω)

Trong đó Y (ω), X(ω) và H(ω) là các biến đổi Fourier tương ứng của

{ y(n) } , { x(n) } và h(n) Từ quan hệ này có thể thấy rằng phổ của tín hiệu ra

bằng phổ của tín hiệu vào nhân với đáp ứng tần số của hệ thống

Nếu biểu diễn Y (ω), X(ω) và H(ω) dưới dạng cực thì biên độ và

pha của tín hiệu ra được biểu diễn dưới dạng:

| Y (ω)|=|H(ω)||X(ω)|

∠Y (ω)=∠ X(ω)+∠ H(ω)

Theo tính chất tự nhiên thì tín hiệu không tuần hoàn với năng lượnghữu hạn bao gồm các thành phần tần số liên tục Hệ thống tuyến tính bất biếnvới hàm đáp ứng tần số của nó sẽ làm suy giảm một vài thành phần tần số củatín hiệu vào và khuếch đại các thành phần tần số khác Hệ thống như vậy cótác dụng như bộ lọc đối với tín hiệu vào Hiệu quả lọc của hệ thống đối vớicác thành phần tần số khác nhau sẽ được thể hiện rõ thông qua đồ thị của

| H(ω)| Mặt khác góc của H(ω) sẽ xác định độ lệch pha trong chuỗi liên

tục của các thành phần tần số của tín hiệu vào Nếu phổ của tín hiệu vào bịthay đổi bởi hệ thống một cách không theo ý muốn ta nói rằng hệ thống đãlàm méo về pha và biên độ

Hình 1.5 mô tả quan hệ giữa miền thời gian và miền tần số được sửdụng trong việc phân tích các hệ thống LTI và ổn định BIBO Có thể nhậnthấy rằng, khi phân tích hệ thống trong miền thời gian chúng ta đã sử dụngtổng chập của tín hiệu vào và đáp ứng xung của hệ thống để nhận dãy tín hiệu

(1.9)

(1.10)(1.11)

) ( ),

(

) (

* ) ( ) (

Hình 1.5: Quan hệ vào ra trong miền thời gian và tần số của hệ thống LTI

Như vậy, có thể sử dụng quan hệ (1.9) để xác định phổ Y (ω) của tín

hiệu ra Sau khi đã xác định được Y (ω) thì dãy tín hiệu ra { y(n) } có thểđược xác định thông qua biểu thức biến đổi Fourier ngược:

Quan hệ (1.10) có thể được sử dụng để xác định năng lượng của tínhiệu ra

Từ | H (ω)|2= H (ω)∗H (ω)=H (ω)H (−ω)=H ( z)H (z−1)|z=e jωnω

chúng ta có:

| Y (ω)|2=| H( ω)|2| X(ω)|2

Ở đây Sxx( ω) và Syy( ω) là phổ mật độ năng lượng của tín hiệu vào và

tín hiệu ra Bằng cách lấy tích phân (1.12) trong khoảng ( − π ,π ) có thể

nhận được năng lượng của tín hiệu ra theo công thức:

Trong chương này, đầu tiên chúng tôi trình bày khái quát về tín hiệu và

hệ thống tín hiệu Sau đó, chúng tôi tập trung vào trình bày chi tiết cácphương pháp xử lý tín hiệu số

Như vậy chương 1 đã trình bày một cách có hệ thống các nền tảng lýthuyết có liên quan tới tín hiệu và phương pháp xử lý tín hiệu số Các lýthuyết này đã cho chúng ta cái nhìn tổng thể về vấn đề nghiên cứu và một sốkhái niệm, kiến thức làm tiền đề cho nội dung ở các chương sau

Chương 2 KHẢO SÁT QUÁ TRÌNH LẤY MẪU VÀ PHƯƠNG PHÁP

KHÔI PHỤC TÍN HIỆU TƯƠNG TỰ TỪ TÍN HIỆU SỐ

Đặt vấn đề

Trong nội dung của đề tài, chương này luận văn đề cập tới hai vấn đềchính đó là khảo sát quá trình lấy mẫu và nghiên cứu một số phương phápkhôi phục tín hiệu tương tự từ tín hiệu số

2.1 Lấy mẫu

Lấy mẫu là quá trình để thu được một tín hiệu số từ một tín hiệu tương

tự Lấy mẫu có thể dẫn đến nhiều giá trị dữ liệu

Ví dụ, một bài hát 1 phút, lấy mẫu 16 bit ở tần số 44.100 Hz (hai kênh),

sẽ có dung lượng:

44100 x 2 bytes x 60 giây x 2 kênh = 10.584.000 bytes ~10.1 MB

Nhưng để lưu trữ hơn 10 MB dữ liệu cho một bài hát 1 phút ?

Hiện nay có nhiều cách để lưu trữ dữ liệu này ví dụ như định dạng MP3

Nó tương đối phổ biến vì bài hát được lưu trữ dưới dạng MP3 có âm thanhrất gần với bản gốc, mà chúng chỉ chiếm khoảng 10% của không gian bộ nhớ.Mỗi định dạng âm thanh đó lại sử dụng một thuật toán khác nhau để lấy mẫu,

mã hoá và có cách riêng để giữ lại đặc trưng của file nhạc gốc Tai con người

có khả năng cảm nhận những âm thành có tần số nằm trong khoảng 16kHz 20kHz, âm thanh nằm ngoài dải đó coi như vô nghĩa đối với tai người Người

-ta đã tìm cách loại bỏ thành phần tần số nằm ngoài dải đó đi, chính vì vậy giúp cho các định dạng âm thanh nén kiểu mất dữ liệu như MP3,WMA tiết kiệm được số lần lấy mẫu cũng như tiết kiệm được rất nhiều số bit để mã hoá các mẫu đó, dẫn đến tiết kiệm được dung lượng

Trước khi đề cập đến việc lấy mẫu, ta gọi khoảng tần số của tín hiệu mà

ta khảo sát là băng thông Thông thường, ta hay dùng khoảng tần số tối đa là

băng thông nghĩa là chúng ta đang khảo sát tất cả các tần số từ 0 Hz đến tối

đa Trong hàm liên tục x (t), chúng ta thay t ( là 1 biến liên tục) bằng giá trị rời rạc nTs,

n: chỉ số mảng rời rạc

Ts là khoảng thời gian giữa hai mẫu Thời gian lấy mẫu là nghịch đảo

của tần số lấy mẫu fs hay Ts = 1/fs

Thuật ngữ lấy mẫu giới hạn để áp dụng đối với các trường hợp khi tỷ lệ

lấy mẫu gấp đôi băng thông (gấp đôi tần số lớn nhất của tín hiệu) ký hiệu là

B Nghĩ là ta sẽ ghi lại các tín hiệu đủ nhanh để tái tạo lại nó hay fs = 2B.

Chúng ta có giá trị này dựa trên giới hạn Nyquist fs ≥ 2B và ta chọn có thể lấy tần số lấy mẫu thấp nhất ( = 2B )

Tăng tần số lấy mẫu (Oversampling) để chỉ việc lấy mẫu nhiều hơn cầnthiết (hay nhiều hơn 2 lần băng thông) Kết quả sẽ có nhiều mẫu hơn cần thiết

và sẽ bị những hạn chế về phần cứng như không thể xử lý đủ nhanh hoặckhông có khả năng lưu trữ nó trong bộ nhớ

Ví dụ cho Oversampling là một đĩa CD thường có dung lượng 750Mbchỉ lưu trữ được 74 phút nhạc do chúng phải làm việc với nhiều mẫu hơn, thờigian giữa các mẫu ít hơn nhưng chúng khá giống với bản gốc

Giảm tần số lấy mẫu (Undersampling) xảy ra khi chúng ta lấy mẫu ít hơnhai lần băng thông Điều này không thể tái tạo lại tín hiệu và bất kỳ phân tíchnào được thực hiện trên một tín hiệu undersampled sẽ có thể bị sai lệch

x [n] = x (n T s ) mô tả quá trình lấy mẫu

Tín hiệu liên tục x được chuyển đổi thành một dạng kỹ thuật số

x [n] không chính xác giống x(t) vì x(t) là liên tục

x [n] là một giá trị gần đúng của x (t).

Ts là thời gian lấy mẫu, n là chỉ số

Chu kỳ của một tín hiệu là độ dài của thời gian trước khi nó được lặp lại.

Đối với sóng hình sin ta chỉ cần biết tần số f thì có thể suy ra chu kỳ T = 1/f

VD: Nếu sử dụng hàm x(t) dưới đây và lấy mẫu tại tần số 20HZ Vậycần phải lấy bao nhiêu mẫu sau 60ms?

X(t) = 3cos (2π 404 t +π /4) + 2 cos (2π 6510t) + cos(2π 660t−π /5)

Trả lời: Điều đầu tiên cần chú ý là số lượng mẫu không phụ thuộc và bảnthân tín hiệu Nghĩa là tất cả những gì chúng ta cần để trả lời câu hỏi này làlấy mẫu tần số 20HZ với tỷ lệ fs trong tổng thời gian 60ms

Chu kỳ là 1/20kHz hay 1/20.000Hz Vì Hz có đơn vị là chukỳ/giây, nên1/Hz sẽ có đơn vị là giây/chukỳ hay đơn giản là giây Chúng ta lấy mẫu ở thờigian =0, sau đó chờ 1/20.000 giây rồi lấy tiếp mẫu khác và cứ tiếp tục như thếcho đến 60ms = 60x10^-3 giây = 0,060 giây thì kết thúc

0,060 x 20.000 + 1 = 1201 mẫu (vì mẫu đầu tiên ta lấy ở thời gian =0) Vậy cần phải lấy 1201 mẫu cho 60ms

Vì lý thuyết lấy mẫu giữ một vai trò quan trọng trong xác định độ chínhxác và tính khả thi của bất kỳ một hệ xử lý tín hiệu số nào nên chúng ta cầnhiểu rõ sâu sắc về những khả năng mắc lỗi của lấy mẫu theo chu kỳ

Ta giải thích chúng bằng một ví dụ Giả sử chúng ta có một tín hiệu hình

sin x(t) = cos (2π800t) Khi lấy mẫu nó ta thay t trong các tín hiệu liên tục x(t)

bằng khoảng cách mốc thời gian n T s tức là x[n] = x(n T s ).

Giả sử ta lấy mẫu hình sin 800Hz tại fs = 600 mẫu/giây Khi xem xét

các tần số của tín hiệu lấy mẫu, ta thấy nó hiển thị giống hình sin 200Hz Điều

gì đã xảy ra? Thay vì nhìn thấy những hình sin 800Hz chúng ta thấy tín hiệuhình sin ở 200Hz Ta có:

x[n] = cos(2π200n T s¿ với n là số nguyên

Khi ta lấy mẫu một hình sin 800 Hz tại 600 mẫu / giây, chúng ta khôngthể phân biệt nó với một hình sin 200 Hz Nếu một tín hiệu có thành phần 200

Hz thì sau đó các tín hiệu có thành phần 800 Hz sẽ trùng lặp với nó

Hiện tượng răng cưa xảy ra trên TV mà chúng ta nhìn thấy ví dụ nhưmột chiếc xe mà lốp xe nhìn có vẻ như quay sai hướng Chúng chuyển độngquay nhanh trong điều kiện quan sát không liên tục ở các thời điểm cách đềunhau, kết quả là ta nhìn thấy nó đang quay chậm cùng hoặc ngược chiều quaythực Chương trình phát sóng truyền hình có thể được coi như một loạt cáchình ảnh được lấy mẫu tại một tỷ lệ thông thường Nhìn những hình ảnh kếtiếp ở những thời điểm khác nhau của một vật chuyển động, vẫn thấy nóchuyển động liên tục Hiệu ứng này được ứng dụng trong phim ảnh và vôtuyến truyền hình

Xét tần số của một thành phần hình sin được thay thế bởi các tần sốcộng với một bội số của tần số lấy mẫu hay ta có thể thay thế f0 + k f s ở vị trícủa f.

Nói cách khác, khi chúng ta lấy mẫu một tín hiệu 800 Hz từ một hình sin

có chứa một số nguyên của tần số lấy mẫu trong trường hợp này là 600 Hz thì

nó xuất hiện như tần số 200Hz Rõ ràng điều này có nghĩa là tần số lấy lấymẫu f s ít nhất phải lớn hơn các thành phần tần số lớn nhất, nếu ta có phổ bắtđầu từ 0 Hz thì chúng ta sẽ thấy hạn chế khác về f strong phần tiếp theo Nếu

chúng ta nhìn vào quang phổ của một hình sin của f (Hz), sẽ có một phần ở f nhưng cũng sẽ có những thành phần ở (f + 1 f s ) sau đó tại (f + 2 f s¿sau đó có

tại (f + 3 f s ) vv thì đây được gọi là hiện tượng răng cưa

Chúng tôi lấy mẫu mô phỏng hai tín hiệu:

2 cos (2π100t + π / 3) và 2 cos (2π600t + π / 3)

với f s = 500 mẫu/giây.

Chúng có cùng độ lớn và pha

Tần số lấy mẫu là 500 mẫu/giây, thời gian lấy mẫu phải là 1/500 = 0,002

giây Lấy mẫu tại thời điểm đầu tiên t = 0, chúng tôi sẽ lấy mẫu tại 0.002 giây,0.004 giây, 0,006 giây,vv

Hình 2.1: Hiện tượng răng cưa Chúng được biểu diễn bằng các giá trị đã lấy mẫu của 2 hình sin Vấn đềchính là ta không thể xác định một cách rõ ràng tần số của hình sin nào chỉ từ các giá trị mẫu của chúng

2.1.2 Folding

Ta thấy rằng bất kỳ tần số nào lớn hơn tần số lấy mẫu sẽ hiển thị như làmột tần số thấp hơn Folding là một cách khác để nhìn vào hiện tượng răngcưa Đây cũng là là một loại răng cưa nhưng ở đây chúng ta dùng cụm từ

"gấp" để phân biệt nó với răng cưa với góc pha là bị ảnh hưởng

Áp dụng cos (-φ) = cos (φ), ta có:

cos(−2π400n T s + φ) = cos(2π400n T s − φ).

Tần số bây giờ là 400 Hz nhưng các giá trị góc pha φ là âm.

Vì vậy nếu ta vẽ đáp ứng biên độ tần số cho tín hiệu x(t) = cos(2π600n /

1000 + φ) chúng ta sẽ thấy một tần số 400 Hz Nếu ta vẽ các góc pha, nó sẽ

hiển thị là -φ

Ví dụ: Cos (-2π10t - π / 3) và cos (2π10t + π / 3)

cho thấy các hàm cosin cho kết quả như nhau cho dù các đối số cho nó làdương hoặc âm Và cho thấy kết quả với cos (-2π10t - π / 3) trên nửa bên trái

và cos (2π10t + π / 3) bên phải

Cos (-2π10t - π / 3) và cos (2π10t + π / 3) cho ra cùng một kết quả

Hình 2.2: Hiện tượng gấp (folding)Folding xảy ra khi tín hiệu hình sin được lấy mẫu hình sin có một thànhphần tần số lớn hơn f s /2 nhưng ít hơn f s Nếu ta thay thế f =( f s - f0)

cos(2πf n T s + φ) = cos(2π( f s − f0 )n T s + φ)

400 = 1000-600 chúng ta sẽ kết thúc với cos(2π600n T s - φ) Điều này sẽ không

hiển thị trong phổ (từ - f s /2 đến f s /2) trừ khi đó là cos(2π400n T s + φ).

2.1.3 Vị trí lặp lại của tín hiệu khi lấy mẫu

Khi một tín hiệu được lấy mẫu thì các số lượng vô hạn thành phần tần số

sẽ xuất hiện đều đặn Điều này được dựa trên các chu kỳ của chúng nghĩa là

cos(2πft) = cos(2πft + 2πn) trong đó n là một số nguyên.

Hay cos(π / 6) = cos(π / 6 + 2π)

Lấy mẫu một tín hiệu tần số trong khoảng 0 … f s Vì n và k là số nguyênnên nk cũng là một số nguyên

cos(2π f0n T s ) = cos(2π f0n T s + 2πnk)

= cos( 2πn ( f0/ f s + f s k/ f s ))

Như vậy, cos(2π f0n T s ) là giống cos(2π ( f0+ k f s¿nT) cho tất cả các số

nguyên k Vì vậy, khi lấy mẫu f s tại mỗi giây cos (2π f0t) không thể phân biệt

với cos (2π (f0 + kf s) t), lấy mẫu tạo ra một bản sao của một tần số tại bội sốcủa tần số lấy mẫu cộng với tần số đó

Và tất cả các tần số có phổ giữa 0 và + ∞ sẽ được nhân đôi giữa -∞ và 0

Vì vậy, một tần số f0 Hz cũng sẽ xuất hiện tại -f0Hz Khi kết hợp vớirăng cưa, ta thấy nó cũng sẽ xuất hiện giữa f s /2 và f s

Giả sử k = -1

cos(2π f0n T s ) = cos(2πn( f0/ f s – f s / f s ))

Vì vậy, cos (2π f0n T s ) cũng xuất hiện như cos(2π ( f0- f s ) nT).

Ví dụ 1:

Xem xét việc lấy mẫu một tín hiệu hình sin của tần số f0 :

x (t )=sin(2 π f0t)

Với tần số lấy mẫu f s= 8Hz Với t s=1 /fs= 1/8 là khoảng thời gian giữahai mẫu liên tiếp Bây giờ chúng ta xem xét các tác lấy mẫu trong miền thờigian cũng như trong miền tần số, cho ba tần số tín hiệu khác nhau f s=3 , 5 , 9 Hz

 f0=3 Hz<f s

2=4

sin (2 π 3 t )=sin(2 π (3−8) t)=sin ⁡(2 π (−5)t)

Hai thành phần tần số f =± 3 nằm trong khoảng −4<f <4 và chúng cũng

có một bản sao ở f =± 5 nằm ngoài khoảng −4<f <4 Không gây hiện tượng răng cưa

 f0=5>f s

2=4 Hz:

sin (2 π 5 t )=sin(2 π (5−8) t)=sin ⁡(2 π (−3)t)

Tín hiệu giống với tín hiệu sin ⁡(2 π (−3)t) với f =−3 nhưng lệch pha 1800.Đây là hiện tượng gấp Trong miền thời gian, 2 thành phần tần số thực tế nằmngoài khoảng −4<f <4 nhưng bản sao thành phần f =± 3 tương ứng xuất hiện gây hiện tượng răng cưa

 f0=9>f s

2=4Hz: sin (2 π 9 t )=sin(2 π (9−8 )t)=sin ⁡(2 π 1 t)

Tín hiệu giống với phiên bản rời rạc của tín hiệu sin (2 π 1 t) với f =1 gây

ra hiện tượng răng cưa

Trong miền tần số, hai thành phần tần số thực tế f =± 9 Hz nằm bên ngoài khoảng −4<f <4 Bản sao thành phần f =± 1 Hz tương ứng xuất hiện gây hiện tượng răng cưa

Quá trình lấy mẫu một tín hiệu với ba tần số khác nhau được minh họa trong cả miền thời gian và miền tần số như hình 2.3 dưới đây

Hình 2.3: Quá trình lấy mẫu tín hiệu ở miền thời gian

Hình 2.4: Quá trình lấy mẫu tín hiệu ở miền tần số

Ví dụ 2:

Ví dụ sau đây minh họa hơn nữa hiệu quả của việc lấy mẫu và răng cưa/ gấp Hãy xem xét một tín hiệu liên tục

x (t )=cos(2 πft+φ)

Hình dưới đây cho thấy các tín hiệu được lấy mẫu tại f s=6 mẫu/giây

trong khi tần số f của nó tăng từ 1Hz đến 12Hz Trong miền thời gian (hình bên trái) là hình vẽ cho tín hiệu gốc và tín hiệu được tái tạo lại

 Khi f0=1<f s

2=3 Hai thành phần tần số f =± 5 Hz nằm trong khoảng

−3<f <3 của quang phổ Trên cơ sở đó tín hiệu được khôi phục hoàn toàn

 Khi f0=2<f s

2=3 Hai thành phần tần số f =± 4 Hz nằm trong khoảng

−3<f <3 của quang phổ Trên cơ sở đó tín hiệu được khôi phục nhưng chúng

đã di chuyển xa hơn ra phía ngoài

f =± 4 lần lượt di chuyển ra khỏi khoảng −3<f <3 trong khi bản sao

f =± 2 di chuyển vào bên trong khoảng −3< f <3

Thấy −f s

2 <4<f s Đây là hiện tượng gấp

 Khi f0=5>f s

2=3 Hiện tượng gấp tương tự xảy ra

 Khi f0=6=fs Tín hiệu tái tạo là 1 hằng số