Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng.. Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác vuông và viết phương trình mặt cầu tâm A đi qua trọng
Trang 1SỞ GD & ĐT CẦN THƠ KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số yx36x29x2 (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A ( 1;1) và vuông góc với đường thẳng đi qua
hai điểm cực trị của (C)
Câu 2 (1,0 điểm) Giải các phương trình sau:
a) 1 3 cos xcos 2x2 cos 3x 4 sin sin 2x x
b) 7x 2.71x 90
Câu 3 (0,5 điểm) Tìm số phức z sao cho (1 2 ) i z là số thuần ảo và 2zz 13
Câu 4 (0,5 điểm) Tìm hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển:
14 2
2
x x
Câu 5 (1,0 điểm) Tính tích phân:
1 0 (1 x)
I e xdx
Câu 6 (1.0 điểm) Cho lăng trụ đứng ABC A B C , có đáy ABC là tam giác vuông tại A, ' ' '
ABa AC a , mặt bên BCC B là hình vuông; M, N lần lượt là trung điểm của ' ' CC và ' ' '
B C Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ' ' ' A B ' '
và MN
Câu 7 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;1;–3), B(4;3; –2),
C(6; –4; –1) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác vuông và viết phương trình mặt cầu tâm A đi qua trọng tâm G của tam giác ABC
Câu 8 (1.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp trong đường
tròn ( ) :C x2 y2 3x5y6 Trực tâm của tam giác ABC là H(2;2) và đoạn 0 BC 5
Tìm tọa độ các điểm A, B, C biết điểm A có hoành độ dương
Câu 9 (1.0 điểm) Giải hệ phương trình:
3 2
Câu 10 (1.0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c và thỏa mãn điều kiện a2b2c2 Tìm giá 3 trị nhỏ nhất của biểu thức:
S
-Hết -
ĐỀ SỐ 310
Trang 2Câu Nội dung Điểm
1
(2.0 đ)
Cho hàm số yx3 6x29x2 (C)
y’= 3x2 –12x + 9 , y’ = 0 <=>
2
2 3
1
y
y x
x
Giới hạn tại vô cực: lim ; lim
0,25
BBT
KL: Hàm số đồng biến trên khoảng ;1 ; 3;
Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3) Hàm số đạt cực đại tại X CĐ =1 , y CĐ= 2
Hàm số đạt cực tiểu tại x CT =3 , y CT = –2
0,25
Đồ thị
f(x )=x *x* x-6 *x* x+ 9* x-2
-3 -2 -1
1 2 3 4 5
x
y
0,25
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A1;1 và vuông góc với đường
Đuờng thẳng đi qua 2 cực trị A(1;2) và B(3; –2) là y = –2x+4 0,5
Vậy PT đường thẳng cần tìm là
2
3 2
1
SỞ GD & ĐT TP CẦN THƠ
TRƯỜNG THPT BÙI HỮU NGHĨA
ĐÁP ÁN THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM HỌC
2015-2016
Môn: TOÁN
2
2
Trang 32
(1,0đ)
a) Giải phương trình 1 3 cos xcos 2x2 cos 3x 4 sin sin 2x x(1) 0,5
(1) 1 3cosxcos 2x2 cos 2 xx4 sin sin 2x x
1 3 cos xcos 2x2 cos cos 2 x xsin sin 2x x4 sin sin 2x x
1 3 cos xcos 2x2 cos cos 2 x xsin sin 2x x0
1 3 cos xcos 2x2 cosx 0 1cosxcos 2x0
0,25
2 cos2 xcosx 0
1 cos
2
x x
2 2 3
k
b) Giải phương trình 7x2.71x 9 0 0,5 Đặt 7 ,x 0
t t
7
t
t t
0,25
Với t2,suy ra7x 2xlog 27
Với t7,suy ra7x 7x 1
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S log 2; 17
0,25
3
(0,5đ)
Tìm số phức z sao cho (1 2 ) i z là số thuần ảo và 2.zz 13 0,5
Giả sử z a bi a b( , R), khi đó (1 2 ) i z(1 2 )( i a bi )(a2 ) (2b a b i )
2
2.zz a3bi 2b3bi 13b 13b 1
Có hai số phức thỏa mãn đề bài:z 2 i; z 2 i 0,25
4
(0,5đ)
Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển: 5
14 2
2
x x
14
14
14 2
2
x
Số hạng chứa x 5 trong khai triển ứng với k thoả mãn 14 – 3k = 5 => k = 3
0,25
5
(1,0đ)
Tính tích phân:
1 0
(1 x)
Đặt:
0,25
Khi đó:
1 1 0 0
2
1 0
3
x
x
0,25
Trang 46
(1,0đ)
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C'.Có đáyABClà tam giác vuông tại
A,ABa,ACa 3, mặt bên BCC ' B' là hình vuông, M, N lần lượt là trung điểm
của CC’ và B’C’ Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai
đường thẳng A’B’ và MN
1.0
2
1 2
' ' '
0.25
Gọi P là trung điểm của AC
Ta có: (CAB)//(PMN)
d(AB;MN) = d(AB;(MNP))
= d(A;(MNP)) = d(C;(MNP)) = CH
(H là hình chiếu vuông góc của C lên
mp(MNP)
Chứng minh được H thuộc cạnh PM áp
dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
MPC
0.25
7
21 '
'
' ' '
2 2
a M C P C
P C M C H
7
(1,0đ)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;1;–3), B(4;3; –2),
C(6; –4; –1) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác vuông và viết
phương trình mặt cầu tâm A đi qua trọng tâm G của tam giác ABC
1,0
Ta có: (2; 2;1); (4; 5; 2) 2 2 ;
không cùng phương
A; B; C lập thành tam giác
0,25
Mặt khác: AB AC 2.4 2.( 5) 1.2 0 ABAC
suy ra ba điểm A; B; C là ba
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên G(4;0; 2) Ta có: AG 6 0,25
Mặt cầu cần tìm có tâm A và bán kính AG 6 nên có
8
(1,0đ)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ABC nội tiếp trong đường tròn
2 2
( ) :C x y 3x5y Trực tâm của ABC là H(2;2) và đoạn 6 0 BC 5 1.0
Gọi tâm đường tròn (C) là
2
5
; 2
3
I và A(x;y) suy ra AH(2x;2 y)
Gọi M là trung điểm của BC
0.25
Học sinh tính được AH 5 x2 y2 4x4y30 0.25
kết hợp với A thuộc đường tròn (C) nên ta có hệ phương trình
0 6 5 3
0 3 4 4
2 2
2 2
y x y x
y x y x
Giải hệ ta được (x;y) = (0;3) (loại) hoặc (x;y) = (1;4) (Nhận)
Suy ra toạ độ của A(1;4) ,chứng minh được AH 2IM
0.25
0.25
A
'
A
'
M
P N
H
Trang 5Từ AH 2IM ta tính được M(2;3/2) Do (BC IM nên ta viết được phương trình
(BC): x – 2y + 1 = 0 x = 2y – 1 thay vào phương trình đường tròn (C) ta được
3
1 2
1 0
2 3 0
6 5 ) 1 2 ( 3 1
x
x y
y y
y y
y y
y
Suy ra toạ độ của B(1;1), C(3;2) hoặc B(3;2) , C(1;1)
Vậy A(1;4), B(1;1), C(3;2) hoặc A(1;4), B(3;2), C(1;1)
0.25
9
(1,0đ)
Giải hệ
) 2 ( 2 4 4
2
) 1 ( 0 6 3 10 2
5
2 3
2 2 3 3
y x y x y x
y x y x y x
1.0
Điều kiện: x 2; y 4
Xét hàm số f t( )t32t23 ,t f t'( )3t24t 3 0 t R
Suy ra f(x + 1) = f(y) y = x + 1 thay và pt (2) ta đuợc
Phương trình : x2 3x x3x24x 1
0.25
2
2
2
0.25
(*)
Vì
2
x
, x 2
Nên (*) x2 x 2 0x hoặc 2 x 1
Vậy hệ pt có nghiệm (x; y) = (2;3), (x;y) = (–1;0)
0 5
10
(1,0đ)
Cho ba số thực dương a b c và thỏa mãn điều kiện , , a2 b2 c2 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
a c
a c c b
c b b a
b a S
2 2
2
3 3 3 3 3 3
Trước tiên ta chứng minh BĐT : ( 0) *
18
5 18
7 2
3
x x
x
x
0.25
* 18(x 1) x2 7x 5 x1 11x8 0(luôn đúng với mọi x > 0)
Dấu “=” xảy ra khi x = 1
0.25
Áp dụng (*) cho x lần lượt là
a
c c
b b
a
;
;
; 18
5 18
7 2
2 2 3 3
b a b a
b a
; 18
5 18
7 2
2 2 3 3
c b c b
c b
; 18
5 18
7 2
2 2 3 3
a c a c
a c
Từ các đẳng thức trên suy ra 2 2 2
12
2 18
Vậy MinS = 2 khi a = b = c = 1
0.25