Chuyên đề luyện thi THPT quốc gia môn Toán đạt 7 điểm

Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k cho trước.

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

 Từ đồ thị hình 1 và hình 2 bên dưới, hãy chỉ ra các khoảng tăng, giảm của hàm số ycosx trên đoạn

 Hàm số y f x( ) được gọi là đồng biến trên miền D x x1, 2D và x1x2 f x( )1  f x( ).2

 Hàm số y f x( ) được gọi là nghịch biến trên miền D x x1, 2D và x1x2 f x( )1  f x( ).2

Định lý

Giả sử y f x( ) có đạo hàm trên khoảng ( ; ),a b thì:

 Nếu ( ) 0, f x   x ( ; )a b  hàm số ( )f x đồng biến trên khoãng ( ; ) a b

Nếu ( ) 0, f x   x ( ; )a b  hàm số ( )f x nghịch biến trên khoãng ( ; ) a b

 Nếu ( )f x đồng biến trên khoãng ( ; ) a b  f x( ) 0,   x ( ; ).a b

Nếu ( )f x nghịch biến trên khoảng ( ; ) a b  f x( ) 0,   x ( ; ).a b

Khoảng ( ; )a b được gọi chung là khoãng đơn điệu cũa hàm số

 Lưu ý:

+ Nếu ( ) 0, f x   x ( ; )a b thì ( )f x không đỗi trên ( ; ) a b

+ Nếu thay đỗi khoãng ( ; )a b bằng một đoạn hoặc nữa khoãng thì phãi bỗ sung thêm giã thiết hàm số

xác định và liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó

DẠNG TOÁN 1 TÌM CÁC KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU (KHẢO SÁT CHIỀU BIẾN THIÊN)

 Bài toán: Tìm các khoảng đơn điệu (hay khão sát chiều biến thiên) của hàm số y f x( )

 Phương pháp:

 Bước 1 Tìm tập xác định D của hàm số

 Bước 2 Tính đạo hàm y f x( ) Tìm các điểm , (x i i1,2,3, , )n mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc

không xác định

 Bước 3 Sắp xếp các điễm x theo thứ tự tăng dần và lập bãng biến thiên i

 Bước 4 Nêu kết luận về các khoãng đồng biến và nghịch biến dưa vào bảng biến thiên

(Hình 1)

(Hình 2)

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

BÀI TẬP VẬN DỤNG

BT 1 Khảo sát chiều biến thiên của các hàm số sau:

x



 ĐS: Đồng biến trên các khoảng (;1), (1;).

BT 2 Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đơn điệu trên các khoảng, nữa khoãng được chĩ ra:

DẠNG TOÁN 2 TÌM THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN MIỀN D

Bài toán 1 Tìm tham số m để hàm số y f x m( ; ) đơn điệu trên miền xác định cũa nó ?

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

– Bước 2 Tính đạo hàm 2

y f x  ax  bx c

+ Đễ ( )f x đồng biến trên  ( )

2 ( )

 Lưu ý: Đối với hàm phân thức thì không có dấu " " xảy ra tại vị trí y

Bài toán 2 Tìm tham số m để hàm số y f x m( ; ) đơn điệu trên miền D ?

Trong đó D có thể là ( ; ), ( ; ), ( ; ),      ;  , ; , ……

 Phương pháp:

– Bước 1 Ghi điều kiện để y f x m( ; ) đơn điệu trên D Chẳng hạn:

Đề yêu cầu y f x m( ; ) đồng biến trên Dy f x m( ; ) 0.

Đề yêu cầu y f x m( ; ) nghịch biến trên Dy f x m( ; ) 0.

– Bước 2 Độc lập m ra khỏi biến số và đặt vế còn lại là ( ) g x được: ( )

– Bước 3 Khảo sát tính đơn điệu của hàm số ( )g x trên D

– Bước 4 Dựa vào bảng biến thiên kết luận: Khi ( ) max ( )

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

– Bước 3 Hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài  l x1x2 l 2 2

– Bước 4 Giải ( )ii và giao với ( ) i để suy ra giá trị m cần tìm

BÀI TẬP VẬN DỤNG

BT 3 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số: 3

yx  m x luôn đồng biến trên

ĐS: m  1; 

Đề thi học kỳ I năm 2014 – THPT Phan Đăng Lưu – Tp Hồ Chí Minh

BT 4 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số:

a) y mx 4

x m





 nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó ĐS: m ( 2; 2).

Đề thi học kỳ I năm 2015 – THPT Bùi Thị Xuân – Tp Hồ Chí Minh

3

x m y

x

 



 đồng biến trên từng khoãng xác định cũa nó ĐS: m(3;).

Đề thi học kỳ I năm 2015 – THPT Tam Phú – Tp Hồ Chí Minh

1

mx y

m  





Đề thi học kỳ I năm 2015 – THPT Nguyê̂n Hiền – Tp Hồ Chí Minh

BT 5 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số:

c) y  x3 3x23mx1 nghịch biến trên (0;). ĐS: m 1.

Đề thi Đại học khối A năm 2013

d) yx42(m1)x2 m 2 đồng biến trên khoảng (1; 3) ĐS: m    ; 2

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Bắc Yên Thành – Nghệ An – Lần I

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

2 CỰC TRỊ CŨA HÀM SỐ

 Dựa vào đồ thị, hãy chỉ ra các điểm tại đó mỗi hàm số có giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất):

Định nghîa cực đại, cực tiễu

Cho hàm y f x( ) xác định và liên tục trên ( ; ),a b (có thể a là , b là ) và x o( ; ) :a b

 Nếu tồn tại số h sao cho ( ) f x  f x( )o với mọi x(x oh x; oh) và xx o thì ta nói hàm số ( )f x đạt cực đại

tại điểm x o

 Nếu tồn tại số h sao cho ( ) f x  f x( )o với mọi x(x oh x; oh) và xx o thì ta nói hàm số ( )f x đạt cực tiễu

tại điểm x o

Các định lý

 Định lý 1: Giả sử y f x( ) liên tục trên khoãng K(x oh x; oh) và có đạo hàm trên K hoặc trên K\ x o ,

với h0 Khi đó:

 Nếu f x( ) 0 trên khoãng (x oh x; )o và f x( ) 0 trên khoãng ( ; x x o oh) thì x là một điểm cực đại của o

Nói cách khác:

 Nếu f x( ) đỗi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điễm x (theo chiều tăng ) thì hàm số o y f x( ) đạt cực

tiễu tại điễm x o

 Nếu f x( ) đỗi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điễm x (theo chiều tăng ) thì hàm số o y f x( ) đạt cực đại tại điễm x o

Khi đó điễm M x f x( ; ( ))o o gọi là điểm cực trị (cực đại hoặc cực tiễu ) của hàm số với y o f x( )o gọi là giá trị cực trị cũa hàm số

 Định lý 2: Giả sử y f x( ) có đạo hàm cấp 2 trong khoãng (x oh x; oh), với h0. Khi đó:

2( 3)3

x

y

1

21

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

 Nếu ( ) 0, ( ) 0y x o  y x o  thì x là điểm cực tiểu o

 Nếu ( ) 0, ( ) 0y x o  y x o  thì x là điểm cực đại o

DẠNG TOÁN 1 TÌM CÁC ĐIỂM CỰC ĐẠI & CỰC TIỄU CŨA HÀM SỐ

 Bài toán: Tìm các điểm cực đại, cực tiễu (nếu có) của hàm sốy f x( )

 Phương pháp: Sự dụng 2 qui tắc tìm cực trị sau:

Quy tắc I: sữ dụng nội dụng định lý 1

 Bước 1 Tìm tập xác định D của hàm số

 Bước 2 Tính đạo hàm y f x( ) Tìm các điểm , (x i i1,2,3, , )n mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác

định

 Bước 3 Sắp xếp các điễm x theo thứ tự tăng dần và lập bãng biến thiên i

 Bước 4 Từ bãng biến thiên, suy ra các điễm cực trị (dựa vào nội dung định lý 1)

Quy tắc II: sữ dụng nội dụng định lý 2

 Bước 1 Tìm tập xác định D của hàm số

 Bước 2 Tính đạo hàm y f x( ) Giải phương trình ( ) 0f x  và kí hiệu , (x i i1,2,3, , )n là các nghiệm của

nó

 Bước 3 Tính f x( ) và f x( ).i

 Bước 4 Dựa vào dấu cũa y x( )i suy ra tính chất cực trị cũa điễm x i:

+ Nếu f x( ) 0i  thì hàm số đạt cực đại tại điểm x i

+ Nếu f x( ) 0i  thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x i

 Lưu ý: Có 2 quy tắc tìm cực trị Nếu đề bài không yêu cầu tìm theo quy tắc nào , hãy lựa chọn dựa vào lời khuyên sau:

“Nếu việc giãi và xét dấu y f x( ) dê̂ dàng, ta nên sữ dụng quy t ắc I, còn nếu việc này khó khăn (chẵng hạn bài toán chứa lượng giác, tham số,…) ta nên chọn quy tắc II”

BÀI TẬP VẬN DỤNG

BT 6 Áp dụng qui tắc I, hãy tìm cực trị của các hàm số sau:

a) yx33x23x5 ĐS: Hàm số không có cực trị

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

BT 7 Áp dụng qui tắc I, hãy tìm cực trị của các hàm số sau:

1

x y

x x y

( 4)

x y

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

x y

x y

l) y x x( 2) ĐS: Cực đại ( 1;1)A  và cực tiểu (0; 0).B

m) y(x3) x ĐS: Cực đại (0; 0)A và cực tiểu (1; 2).B 

 Bài toán: Tìm tham số để hàm số y f x( ) đạt cực trị tại điểm x x o ?

 Phương pháp:

 Bước 1 Tìm tập xác định D của hàm số

 Bước 2 Tính đạo hàm y và y.

 Bước 3 Dựa vào yêu cầu bài toán, ghi điều kiện và giãi hệ tìm tham số Cụ thể:

Hàm số đạt cực đại tại điểm ( ) 0

( ) 0

o o

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

 Lưu ý: Nếu đề bài yêu cầu tìm giá trị cực trị tương ứng, ta sê thế xx o, m? vào y f x( ). Còn nếu đề bài yêu cầu

xác định tại đó là điểm cực đại hay cực tiễu, ta thế xx o, m? vào y, nếu giá trị y x( ) 0o   x x o là điểm cực tiểu và nếu y x( ) 0o   x x o là điểm cực đại

BÀI TẬP VẬN DỤNG

BT 10 Tìm tham số để các hàm số sau đạt cực trị (cực đại hoặc cực tiễu) tại điểm x x o được chĩ ra:

y x  m x  m m x m đạt cực tiễu tại điễm x1 ĐS: m 1

Đề thi học kỳ I năm 2014 – THPT Nam Kỳ Khỡi Nghîa – Tp Hồ Chí Minh

3

y x mx  m  m x đạt cực đại tại điễm x1 ĐS: m2

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp – Lần 1

c) yx32x2mx1 đạt cực tiễu tại điễm x1. ĐS: m1

Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2011

3

y x mx  m  x đạt cực tiễu tại điễm x 1 ĐS: m 3

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Hồng Quang – Hải Dương – Lần 3

y mx  x  x đạt cực đại tại điễm x2 ĐS: m 2

BT 11 Tìm tham số để hàm số sau đạt cực trị (cực đại hoặc cực tiễu) tại điểm x x o được chĩ ra:

( 1) 1

yx mx  m x có cực trị tại x2 Khi đó hàm số đạt cực đại hay cực tiểu ?

b/ y2x3 (4 2 )m x2(m5)x4 có cực trị khi x0. Khi đó hàm số đạt cực đại hay cực tiểu ? Tính giá trị cực trị tương ứng ?

x ?

(2 )4

y x  a b x  a b đạt giá trị cực đại bằng 2 tại x1 ?

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

DẠNG TOÁN 3 BIỆN LUẬN HOÀNH ĐỘ CỰC TRỊ HÀM BẬC 3

 Bài toán tỗng quát: Cho hàm số 3 2

y f x m ax bx cx d Tìm tham số m để đồ thị hàm số có 2

điễm cực trị x x thỏa mãn điều kiện K cho trước ? 1, 2

 và giải hệ này

sẽ tìm được m D 1

— Bước 3 Gọi x x là 2 nghiệm cũa phương trình 1, 2 y 0 Theo Viét, ta có: 1 2

1 2

b

S x x

a c

— Bước 4 Biến đổi điều kiện K về dạng tỗng S và tích P Từ đó giãi ra tìm được m D 2

— Bước 5 Kết luận các giá trị m thỏa mãn: m D 1D2

 Lưu ý:

— Hàm số bậc 3 không có cực trị  y 0 không có 2 nghiệm phân biệt   y 0

— Trong trường hợp điều kiện K liên quan đến hình học phẵng , tức là cần xác định tọa độ 2 điễm cực trị

1 1 2 2

( ; ), ( ; )

A x y B x y với x x là 2 nghiệm cũa 1, 2 y 0. Khi đó có 2 tình huống thường gặp sau:

 Nếu giãi được nghiệm cũa phương trình y 0, tức tìm được x x cụ thể, khi đó ta sê thế vào hàm 1, 2số đầu đề y f x m( ; ) để tìm tung độ y1, y tương ứng cũa A và B 2

 Nếu tìm không được nghiệm y 0, khi đó gọi 2 nghiệm là x x và tìm tung độ 1, 2 y1, y bằng cách 2thế vào phương trình đường thẵng nối 2 điễm cực trị

Để viết phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị, ta thường dùng phương pháp tách đạo hàm

(phần dư bậc nhất trong phép chia y cho ) y , nghĩa là:

Phân tích (bằng cách chia đa thức y cho ) y : 1 1

2 2

( )( ) ( )

Đường thẳng qua 2 điểm cực trị là yh x( ).

BÀI TẬP VẬN DỤNG

BT 12 Tìm tham số để các hàm số bậc ba sau có cực đại, cực tiễu (có 2 cực trị hoặc có cực trị):

.2

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

BT 13 Tìm các giá trị của tham số m để hàm số:

 Bài toán Tìm m để hàm số có 2 điễm cực trị A, B sao cho AB // d hoặc ABd ?

— Bước 1 Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiễu  m D1

— Bước 2 Viết phương trình đường thẵng nối 2 điễm cực trị AB

yx  m x  m  m x m  có 2 cực trị A và B sao cho đường thẵng AB vuông góc

với đường thẵng : 9d x2y 5 0 ĐS: m0  m 4.

BT 14 Tìm tham số m để các hàm số sau có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước (định lý Viét):

 Bài toán Tìm m để hàm số bậc 3 có 2 điễm cực trị với hoành độ thõa đẵng thức K ?

— Bước 1 Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiễu  m D1

— Bước 2 Gọi x x lần lượt là 2 nghiệm cũa 1, 2 y 0. Theo Viét thì 1 2

1 2

b

S x x

a c

Biến đỗi điều kiện K về dạng tỗng, tích và giải ra tìm m D 2

— Bước 3 Kết luận: m D 1D2

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

Đề thi Đại học khối D năm 2012

e) yx32(m1)x2(m24m1)x2(m21) có 2 điễm cực trị với hoành độ x x thỏa mãn điều 1, 2

y x  mx  m  x có 2 điễm cực trị x x sao cho nó là độ dài 2 cạnh góc vuông của tam giác 1, 2

vuông với độ dài cạnh huyền 10

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

o)

3 2

BT 15 Tìm tham số m để các hàm số sau có cực trị thỏa điều kiện cho trước (cùng phía, khác phía d):

Vị trí tương đối giữa 2 điễm với đường thẵng:

Cho 2 điễm ( A x y A; A), (B x y và đường thẳng : B; B) d ax by c  0. Khi đó:

 Nếu ( ax Aby A c) (ax Bby B c) 0 thì , A B nằm về 2 phía so với đường thẳng d

 Nếu ( ax Aby A c) (ax Bby B c) 0 thì , A B nằm cùng phía so với đường d

Trường hợp đặc biệt:

 Đễ hàm số bậc ba y f x( ) có 2 điễm cực trị nằm cùng phía so với t rục tung Oy

phương trình y 0 có 2 nghiệm trái dấu và ngược lại

 Đễ hàm số bậc ba y f x( ) có 2 điễm cực trị nằm cùng phía so với trục ho ành Ox đồ thị

hàm số y f x( ) cắt trục Ox tại 3 điễm phân biệt  phương trình hoành độ giao điễm

( ) 0

f x  có 3 nghiệm phân biệt (áp dụng khi nhẩm được nghiệm)

yx  m x  m  m x m  m có các điểm cực đại , cực tiễu, với hoành độ cũa

3;1 \5

yx  mx  m  m x có các điểm cực đại, cực tiễu, đồng thời các điễm này nằm về 2 phía

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Lần 3

f) yx33x23 (m m2)x1 có các điểm cực đại, cực tiễu nằm về cùng hai phía so với trục hoành Ox

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

ĐS: m 0, m 2

yx  mx  m Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời hai điểm này cùng nằm về một

phía đối với đường thẳng : 3d x2y 8 0 ?

BT 17 Tìm tham số m để các hàm số sau có cực trị thỏa điều kiện cho trước (tọa độ, độ dài):

a) y2x33(m1)x26mx m 3 có 2 điễm cực trị , A B với AB 2.

yx  mx m có 2 điễm cực trị , A B sao cho 3 điễm , , ( 1; 3) A B M thẵng hàng

Đề thi học kỳ I năm 2014 – THPT Diên Hồng – Tp Hồ Chí Minh

yx  m x  mx m có 2 điểm cực trị A B và đồng thời nhận gốc tọa độ O là trọng ,

tâm cũa ABC với 1; 9

m  

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

3

yx  x mx có 2 điểm cực trị A B và đồng thời OG ngắn nhất với G là trọng tâm của OAB, 

với O là gốc tọa độ ĐS: m3 và m2

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Phan Đình Phùng – Hà Nội

(C m) :yx 3(m1)x 3 (m m2)x m 3m luôn có 2 điễm cực trị và khoảng cách giữa chúng không đổi ĐS: AB2 5

BT 18 Tìm tham số m để các hàm số sau có cực trị thỏa điều kiện cho trước (diện tích tam giác):

Đề thi Đại học khối B năm 2012

BT 19 Tìm m để các hàm số sau có cực trị thỏa điều kiện cho trước (góc và hình dáng tam giác):

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

BT 20 Tìm m để các hàm số sau có cực trị thỏa điều kiện cho trước (đối xứng và cách đều):

 Bài toán 1 Tìm m để đồ thị hàm số có 2 điễm cực trị , A B đối xứng nhau qua đường : d

— Bước 1 Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiễu  m D1

— Bước 2 Tìm tọa độ 2 điễm cực trị , A B Có 2 tình huống thường gặp:

+ Một là y 0 có nghiệm đẹp x x tức có 1, ,2 A x y( ;1 1), ( ;B x y2 2)

+ Hai là y 0 không giãi ra tìm được nghiệm Khi đó ta cần viết phương trình đường thẳng nối 2 điễm cực trị là  và lấy A x y( ;1 1), ( ;B x y2 2).

  là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Do , A B đối xứng qua d nên thõa hệ d AB u d 0 2

— Bước 4 Kết luận m D 1D2

 Bài toán 2 Tìm m để đồ thị hàm số có 2 điễm cực trị , A B cách đều đường thẳng : d

— Bước 1 Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiễu  m D1

— Bước 2 Tìm tọa độ 2 điễm cực trị , A B Có 2 tình huống thường gặp:

+ Một là y 0 có nghiệm đẹp x x tức có 1, ,2 A x y( ;1 1), ( ;B x y2 2).

+ Hai là y 0 không giãi ra tìm được nghiệm Khi đó ta cần viết phương trình đường thẵng nối 2 điễm cực trị là  và lấy A x y( ;1 1), ( ;B x y2 2).

— Bước 3 Do , A B cách đều đường thẳng d nên d A d( ; )d B d( ; ) m D2

— Bước 4 Kết luận m D 1D2

 Lưu ý: Đễ 2 điễm , A B đối xứng nhau qua điễm II là trung điểm AB

a) y  x3 3mx23m1 có các điểm cực đại , cực tiễu và các điễm này đối xứng với nhau qua đường thẵng :d x8y74 0. ĐS: m2.

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

y  x x  m  x m  có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cách

đều gốc tọa độ O ? (Đại học B – 2007) ĐS: 1

2

m  

j) Chứng minh rằng hàm số 3 2

y x mx  x luôn có cực đại và cực tiểu Tìm m để hàm số có các

điểm cực trị cách đều trục tung ? ĐS: m0

BT 21 Tìm m để các hàm số sau có cực trị thỏa điều kiện cho trước (khoảng cách và max – min):

BT 22 Tìm m để các hàm số sau có cực trị thỏa điều kiện cho trước (biễu thƣ́c tung độ):

BT 23 Cho hàm số: 3 2

yx  mx 

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m2

2) Tìm m để hàm số có giá trị cực đại là y CĐ thỏa mãn C 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m0

2) Tìm tham số m để hàm số có cực đại và cực tiểu Gọi ) là đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại và cực tiểu của hàm số Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách từ điểm 1 11;

BT 27 Tìm m để yx36mx29x2m có hai điểm cực trị A và B sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến

đường thẳng đi qua hai điểm cực trị bằng 4 5

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

BT 28 Tìm tham số m để hàm số 3 2 2 3

y x mx   x m có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa hai điểm

thẳng đi qua hai điểm cực trị là lớn nhất ? ĐS: m1

BT 32 Tìm m để đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của 3

3 x 2

yx  m  cắt đường tròn tâm I(1;1) bán kính 1 tại

A, B sao cho SIAB đạt giá trị lớn nhất ? ĐS: 2 3

2

m  

BT 33 Cho đồ thị hàm số (C m) :yx3(m2)x23m và hai điểm (5; 2), ( 1; 7).C D  Tìm tham số m để đồ thị

hàm số (C m) có 2 điểm cực trị A, B sao cho diện tích tam giác ABC bằng 9

34 lần diện tích tứ giác ABCD ?

b

a b a

b

a b a

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

Khi đó hàm số chỉ có cực tiểu (có điểm cực tiểu mà không có cực đại)

00

0

a b b a

0

a b b a

 Hàm số luôn nhận điểm (0; )A c làm điểm cực trị

 Khi hàm số có 3 điểm cực trị A(0; ), ( ;c B x y1 1), ( ;C x y thì ta luôn có ABC2 2)  cân tại A

BT 36 Tìm tham số m để hàm số thỏa yêu cầu theo sau của bài toán:

a) Cho hàm số ymx4(m1)x2 1 2 m Tìm m để đồ thị hàm số có đúng 1 cực trị ?

1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m4

2) Tìm tham số m để hàm số có 3 điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam

giác có trực tâm là gốc tọa độ O

1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m0

2) Tìm tham số m để hàm số có 3 điểm cực trị thỏa mãn giá trị cực tiểu đạt giá trị lớn nhất

Đáp số: m0

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Mạc Đỉnh Chi – Tp Hồ Chí Minh

BT 39 Tìm tham số m để đồ thị hàm số 4 2 2

2( 1)

yx  m x m có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam

giác vuông ? (Đại học khối A – 2012) ĐS: m0

BT 40 Tìm tham số m để đồ thị thàm số yx42m x2 21 có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị này tạo

thành ba đỉnh của một tam giác vuông cân ? ĐS: m 1

BT 41 Tìm tham số m để đồ thị hàm số yx4(3m1)x23 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác cân sao

cho độ dài cạnh đáy bằng 2

3 lần độ dài cạnh bên ? ĐS:

53

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

BT 43 Tìm tham số m để đồ thị hàm số 4 4

yx  mx m m có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị này

3

m

BT 44 Tìm tham số m để đồ thị hàm số 4 2

yx  m x  m có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị

BT 48 Tìm tham số m để đồ thị hàm số yx4– 8m x2 21 có ba cực trị A, B, C, đồng thời ba điểm này tạo thành

2

m 

BT 49 Tìm tham số m để đồ thị hàm số 4 2 2 2

y x m x m  có ba điểm cực trị A, B, C sao cho bốn điểm O, A,

B, C là bốn đỉnh của một hình thoi ? ĐS: m  2

BT 50 Tìm tham số m để đồ thị hàm số 1 4 2

4

y x  m x  m có điểm cực đại là A, hai điểm cực tiểu là B và

C sao cho tứ giác ABIC là hình thoi với 0; 5

m 

BT 51 Tìm tham số m để đồ thị hàm số 4 2 2 4

yx  m x m  có ba điểm cực trị A, B, C sao cho bốn điểm A, B, C,

O cùng nằm trên một đường tròn ? ĐS: m 1

BT 52 Tìm tham số m để đồ thị hàm số 4 2

2

yx  mx m có ba điểm cực trị A, B, C, sao cho đường tròn ngoại

2

m  m  

BT 53 Tìm tham số m để đồ thị hàm số yx42mx22 có ba điểm cực trị A, B, C tạo thành một tam giác có

đường tròn ngoại tiếp đi qua điểm 3 9;

BT 55 Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x4 2mx24 có ba điểm cực trị A, B, C sao cho ba điểm này nằm

trên các trục tọa độ ? ĐS: m    ; 0  2

BT 56 Tìm tham số m để đồ thị hàm số 4 2

2( 1)

yx  m x m có ba điểm cực trị A, B, C sao cho độ dài OABC

với A là cực trị thuộc trục tung ? (ĐH B – 2011) ĐS: m 2 2 2

BT 57 Tìm tham số m để đồ thị hàm số yx42x2 m 2 có ba điểm cực trị A, B, C, đồng thời O là trọng tâm

3

m  

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

BT 58 Tìm tham số m để đồ thị hàm số 4 2 2

yx  m  m x  m có khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu của

2

m 

BT 59 Chứng minh rằng với mọi m thì đồ thị hàm số 4 2 2

yx  m  x  luôn có ba điểm cực trị Tìm m để

khoảng cách từ điểm cực đại đến đường thẳng đi qua hai điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho là nhỏ

m 

BT 63 Tìm tham số m để đồ thị hàm số 4 2

(C m) :yx 2(m  m 1)x m 1 có khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất ?

BT 64 Xác định tham số m để đồ thị hàm số 4 2

(C m) :yx 4(m1)x 2m1 có ba cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

3 BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN

 Bài toán tổng quát: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( ) :C y f x( ) tại M x y( ;o o)

 Phương pháp giải:

Bước 1 Tính đạo hàm y f x( ). Suy ra hệ số góc tiếp tuyến ky x( )o  f x( ).o

Bước 2 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M x y có dạng :( ;o o) d yk x x.(  o)y o

 Lưu ý:

 Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x thì khi đó ta tìm o, y bằng o

cách thế vào hàm số ban đầu, tức y o  f x( ).o Tương tự cho trường hợp đề cho y o

 Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của đồ thị ( ) :C y f x( ) và đường thẳng :d yax b Khi đó các hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm

giữa d và ( ) C Đặc biệt: trục hoành Ox y: 0, trục tung Oy x: 0.

BÀI TẬP VẬN DỤNG

BT 1 Cho hàm số: 2 1

1

x y x





1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ),C biết tiếp điểm có hoành độ x1

Đáp số: Tiếp tuyến cần tìm là : 3 1

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại điểm có hoành độ bằng 2.

Đáp số: Tiếp tuyến cần tìm là :d y 24x40

Đề thi TN THPT năm 2008

BT 3 Cho hàm số: 2 1

1

x y x





1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại điểm có hoành độ bằng 2

Đáp số: Tiếp tuyến cần tìm là : 1 1





1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại điểm M thuộc ( ) C và có hoành độ bằng 1.

Đáp số: Tiếp tuyến cần tìm là 3 5

y  x 

Dạng toán 1 Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x o ; y o )

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Bắc Bình – Bình Thuận

BT 5 Cho hàm số: 4 2

2 1

y  x x 

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại điểm M có hoành độ 2

2

x  Tìm tọa độ các giao điểm của

tiếp tuyến d với đồ thị ( ) C

x y x

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại điểm có tung độ bằng 1

Đáp số: Tiếp tuyến cần tìm là d y:  x 2.

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – Sở GD & ĐT Bạc Liêu

BT 7 Cho hàm số: 2 1

1

x y x





1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại điểm M thuộc ( ) C và có tung độ bằng 3

Đáp số: Tiếp tuyến cần tìm là : 1 13





1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( ),C biết tiếp điểm có tung độ bằng 3

Đáp số: Tiếp tuyến cần tìm là : 1 5

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại điểm có tung độ bằng 4

Đáp số: Tiếp tuyến cần tìm là :d y12x8

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Nguyễn Duy Trinh – Nghệ An

BT 10 Cho hàm số: 3 2

3 1

yx  x 

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại điểm M thuộc ( ) C và có tung độ bằng 1

Đáp số: Có hai tiếp tuyến cần tìm là d y1: 1, d2:y9x28

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Huỳnh Thúc Kháng – Tây Ninh

y f x   x  x 

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại điểm có hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình:

( ) 0

f x 

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

Đáp số: Tiếp tuyến cần tìm là : 3 3

y x  x

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại điểm có hoành độ x biết o, f x( )o  1.

Đáp án: Có hai tiếp tuyến cần tìm là 1: 3 5, 2: 3 5

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại điểm có hoành độ x biết o, f x( )o  3

Đáp số: Tiếp tuyến cần tìm là : 9 5

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại điểm có hoành độ x biết o, f x( ) 18.o 

Đáp số: Tiếp tuyến cần tìm là :d y 24x6

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – Sở GD & ĐT Cần Thơ

BT 15 Cho hàm số: y f x( )  x4 8x24

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại điểm có hoành độ x o, biết f x( ) 13.o 

Đáp số: Các tiếp tuyến cần tìm là 1: 15 93, 2: 15 93

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại điểm thuộc đồ thị ( ) C có tung độ là nghiệm của phương trình:

2 ( )f x x f x ( ) 6 0. 

Đáp số: Có hai tiếp tuyến cần tìm là d y1: 1, d2:y9x1

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – Sở GD & ĐT Bình Dương

BT 17 Cho hàm số: 2 1

1

x y x





1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại giao điểm của ( ) C với trục tung

Đáp số: Tiếp tuyến cần tìm là :d y  3x 1

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – Sở GD & ĐT Đồng Tháp

BT 18 Cho hàm số: 3

1

x y x





1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại giao điểm của ( ) C với trục tung

Đáp số: Tiếp tuyến cần tìm là :d y 4x3

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Hùng Vương – Phú Thọ – Lần 3

BT 19 Cho hàm số: 2 1

2

x y x





1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại giao điểm của ( ) C với trục tung

Đáp số: Tiếp tuyến cần tìm là 5 1





1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại giao điểm của ( )C với trục hoành

Đáp số: Tiếp tuyến cần tìm là :d y4x2

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Trần Phú – Tây Ninh

BT 21 Cho hàm số: 1 3 2

.3

y x x

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại giao điểm của ( ) C với trục hoành

Đáp số: Có hai tiếp tuyến cần tìm là d y1: 0, d2:y3x9

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Lê Duẩn – Tây Ninh

BT 22 Cho hàm số: 2

1

x y x





1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại giao điểm ( ) C với đường thẳng y 2 0

Đáp số: Tiếp tuyến cần tìm là :d y  x 2

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An – Lần 2

BT 23 Cho hàm số: 1 3 2 2 3 1

3

y x  x  x

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại giao điểm ( ) C với đường thẳng y 1

Đáp số: Có hai tiếp tuyến cần tìm là d y1:  1, d2:y3x1

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình – Lần 1

BT 24 Cho hàm số: 2 3

1

x y x

 





1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại các giao điểm của ( ) C và đường y x 3

Đáp số: Có hai tiếp tuyến cần tìm là d y1:   x 3, d2:y  x 1

Đề thi TN THPT năm 2014

BT 25 Cho hàm số: 3 2

3 2

yx  x 

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại giao điểm ( ) C với đường thẳng : d x y  3 0

Đáp số: Tiếp tuyến cần tìm là :d y9x7

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Nguyễn Xuân Nguyên – Thanh Hóa – Lần 4

BT 26 Cho hàm số: 3

3 2

yx  x

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại giao điểm ( ) C với đường thẳng : 5 d x y 2

Đáp số: Tiếp tuyến cần tìm là :d y  3x 2

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Nghèn – Hà Tĩnh

BT 27 Cho hàm số: 3

3 2

y  x x

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại giao điểm ( )C với đường thẳng :d x y  2 0

Đáp số: Có ba tiếp tuyến cần tìm là d y1: 3x2, d2:y  9x 14, d3:y  9x 18

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Hậu Lộc II – Thanh Hóa – Lần 2

BT 28 Cho hàm số: 3 2

3 1

yx  x 

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại giao điểm ( )C với đường thẳng :d y x 2

Đáp số: Có hai tiếp tuyến cần tìm là d y1:   3x 2, d2:y9x6

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Phù Cừ – Hưng Yên

BT 29 Cho hàm số: 3 3 2 9 11

yx  x  x 

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại giao điểm ( ) C với đường thẳng : d y4x4, biết tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến có hoành độ dương

Đáp số: Tiếp tuyến cần tìm là :d y24x66

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Măng Thít – Vĩnh Long

BT 30 Cho hàm số: 2 1

1

x y x





1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Xác định tọa độ các giao điểm của ( )C với đường thẳng y x 3 Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C

tại mỗi giao điểm vừa tìm được

x y x

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C tại điểm M. Biết rằng khoảng cách từ điểm M đến đường

tiệm cận đứng của đồ thị ( )C bằng 2

Đáp số: Có hai tiếp tuyến cần tìm là 1: 1 1, 2: 1  5

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 lần 2 – THPT Chuyên Hùng Vương – Gia Lai

 Bài toán tổng quát: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( ) :C y f x( ) biết hệ số góc tiếp tuyến là

k cho trước

 Phương pháp giải:

Dạng toán 2 Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k cho trước

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU Bước 1 Gọi M x y là tiếp điểm và tính ( ;o o) y f x( ).

Bước 2 Ta có hệ số tiếp tuyến k f x( )o và giải phương trình này tìm được x suy ra o, y o

Bước 3 Ứng với mỗi tiếp điểm, tìm được các tiếp tuyến :d yk x x.(  o)y o

 Lưu ý Đề bài thường cho hệ số góc tiếp tuyến dưới các dạng sau:

 Nếu tiếp tuyến // :d  yax b  k a

 Nếu tiếp tuyến d :y ax b k 1





1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( ),C biết rằng tiếp tuyến có hệ số góc k1

Đáp số: Các tiếp tuyến cần tìm là d y1:  x 2, d2:y x 2

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chuyên Đại học Vinh – Lần 2

BT 33 Cho hàm số: 2 1

1

x y x





1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( ),C biết rằng tiếp tuyến có hệ số góc k1

Đáp số: Các tiếp tuyến cần tìm là d y1:  x 1, d2:y x 5

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – Sở GD & ĐT Đăk Nông

BT 34 Cho hàm số 3

yx  x 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( ),C biết hệ số góc của tiếp tuyến đó bằng 9

Đáp số: Có hai tiếp tuyến cần tìm là d y1: 9x17, d2:y9x15

Đề thi TN THPT năm 2013

BT 35 Cho hàm số: 2 1

2

x y x





1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( ),C biết hệ số góc của tiếp tuyến đó bằng 5.

Đáp số: Có hai tiếp tuyến cần tìm là d y1:   5x 2, d2:y  5x 22

Đề thi TN THPT năm 2009

BT 36 Cho hàm số: 2 1

2

x y x





1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình

: 3 14 0

d x y  

Đáp số: Tiếp tuyến cần tìm là : y3x2

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chu Văn An – Hà Nội – Lần 1

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình

d x y  

Đáp số: Tiếp tuyến cần tìm là :d y9x26

Đề thi thử Đại học năm 2013 lần I – THPT Hậu Lộc II – Thanh Hóa

BT 38 Cho hàm số 2 4

1

x y x





1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình : 3 2 2 0

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình : 9 18

d y x

Đáp số: Tiếp tuyến cần tìm là : y9x14

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Nguyễn Công Trứ - Quảng Ngãi – Lần 1

BT 40 Cho hàm số 3 2

3 2

yx  x 

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Gọi M là điểm thuộc đồ thị ( ) C có hoành độ bằng  1. Tìm m để tiếp tuyến với ( ) C tại M song

song với đường thẳng 2

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho với m1

2/ Gọi A là điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ x A1. Xác định các giá trị của tham số m để tiếp

tuyến với đồ thị tại A vuông góc với đường thẳng : 1 2015

2/ Viết phương trình tiếp tuyến với ( ),C biết tiếp tuyến vuông góc với : 1 1

6

d y x ?

Đáp số: Tiếp tuyến cần tìm là :d y 6x10

Đề thi Đại học khối D năm 2010

BT 43 Cho hàm số 1 3 3 2 1

3

y x  x  x 

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( ),C biết rằng tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng có phương

trình : 8 1

27

x

d y 

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

Đáp số: Tiếp tuyến cần tìm là : 27 9

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( ),C biết tiếp tuyến vuông góc với đường : d x9y0

Đáp số: Có hai tiếp tuyến cần tìm là d y1: 9x7, d2:y9x25

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam

BT 45 Cho hàm số 2 1

1

x y

x





1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( ),C biết tiếp tuyến vuông góc với đường 4x y  3 0

Đáp số: Có hai tiếp tuyến cần tìm là 1: 1 5, 2: 1 13

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( ),C biết tiếp tuyến vuông góc với đường : d x9y1

Đáp số: Có hai tiếp tuyến cần tìm là d y1: 9x7, d2:y9x25

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Nông Cống I – Thanh Hóa – Lần 2

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Nghi Sơn – Thanh Hóa

BT 48 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2

( ) :C y  x 6x 3x2 tại điểm có hệ số góc tiếp tuyến lớn nhất ?

Đáp số: Tiếp tuyến cần tìm là :d y9x10

BT 49 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị hàm số





1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )C đã cho

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( ),C biết rằng tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung

lần lượt tại hai điểm phân biệt ,A B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O ?

Đáp số: :d y  x 2

Đại học khối A năm 2009

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

 Bài toán tổng quát: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( ) :C y f x( ) biết tiếp tuyến đi qua (kẻ từ) điểm (A x y A; A)

 Phương pháp giải:

Bước 1 Gọi M x f x( ; ( ))o o là tiếp điểm và tính hệ số góc ky x( )o  f x( )o theo x o.

Bước 2 Phương trình tiếp tuyến có dạng: :d y f x( ).(o x x o)y x( )o ( )

Do điểm (A x y A; A)d nên y A f x( ).(o x Ax o)y x( )o và giải phương trình này với ẩn là x o

sẽ tìm được x o

Bước 3 Thế x vào ( ) o  được tiếp tuyến cần tìm

 Lưu ý Ta có thể giải bằng điều kiện tiếp xúc nhau sau:

 Phương trình tiếp tuyến đi qua ( ;A x y A A) có hệ số góc k dạng: yk x x.(  A)y A ( )

 Áp dụng điều kiện tiếp xúc: ( ) .( )

 và giải hệ này tìm được ,x suy ra k và thế vào

phương trình ( ), thu được tiếp tuyến cần tìm

BÀI TẬP VẬN DỤNG

BT 53 Cho hàm số: 3 2

y  x  x 

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ),C biết tiếp tuyến đi qua điểm ( 1; 13) A 

Đáp số: Các tiếp tuyến cần tìm là d y1: 6x7, d2:y 48x61

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chuyên Hạ Long – Lần 1

BT 54 Cho hàm số: 2 1

1

x y x





1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ),C biết tiếp tuyến đi qua điểm ( 1; 4) A

Đáp số: Tiếp tuyến cần tìm là : 1 13

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ),C biết tiếp tuyến đi qua điểm M(0; 1).

Đáp số: Các tiếp tuyến cần tìm là 1: 1, 2: 4 2 5, 3: 4 2 1







1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Viết phương trình tiếp tuyến với ( ),C biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A( 1; 3).

Dạng toán 3 Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A x y( A; A)

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

2/ Viết phương trình tiếp tuyến với ( ),C biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M( 1; 9). 

x





1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Viết phương trình tiếp tuyến với ( ),C biết tiếp tuyến đi qua giao điểm của đường tiệm cận và trục

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ),C biết tiếp tuyến cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 Đáp số: Có hai tiếp tuyến cần tìm là 1: 5, 2: 9 5

4

x

d y d y  

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Cổ Loa – Hà Nội – Lần 3

4 BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH DỰA VÀO ĐỒ THỊ

 Bài toán tổng quát: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình ( ) f x A m( )

 Phương pháp giải:

Bước 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ( ) :C y f x( )

Bước 2 Biến đổi phương trình về dạng ( )f x A m( ) ( )

Bước 3 ( ) là phương trình hoành độ giao điểm giữa đường cong ( )C và đường thẳng nằm ngang

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Dựa vào đồ thị hàm số ( ),C biện luận số nghiệm của phương trình:  4 2  

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Dựa vào đồ thị, hãy biện luận theo m số nghiệm phương trình: 4 2

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Tìm tham số m để phương trình 4 2

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Tìm tham số m để phương trình 2 2

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Tìm tham số m để phương trình 4 2

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Tìm giá trị m để phương trình 1 33 2  1

2x 2x m 2 có 3 nghiệm phân biệt

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Tìm giá trị m để phương trình 3 2

2/ Tìm các giá trị của m để phương trình: x36x2 m 0 có ba nghiệm phân biệt

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Tìm giá trị m để phương trình 1 3 2 9

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Biện luận số nghiệm thực của phương trình: 3

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Biện luận số nghiệm thực của phương trình: 4 2

– Bước 2 Đồ thị hàm số (C được suy ra từ ( )1) C như sau:

+ Phần I: Giữ lại phần ( )C phía trên Ox khi ( ) 0  f x  

+ Phần II: Lấy đối xứng qua Ox của phần đồ thị ( ) C nằm dưới trục Ox.+ Hợp hai phần đồ thị, ta được đồ thị (C1) :y f x( )

 Loại 2 Đề cho đồ thị hàm số ( ) :C y f x( ). Hãy vẽ đồ thị hàm số (C2) :y f x  ?

– Bước 1 Ta có 2    

( ) khi 0( ) :

– Bước 2 Đồ thị hàm số (C được suy ra từ ( )2) C như sau:

+ Phần I: Giữ lại phần ( )C bên phải trục tung Oy (khi x0)

+ Phần II: Lấy đối xứng qua trục tung Oy phần vừa giữ lại của ( ) C

+ Hợp hai phần đồ thị, ta được đồ thị (C2) :y f x 

 Loại 3 Đề cho đồ thị hàm số

( ) : ( ) ( )

( )( ) :

y y

y y

y y

O

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

– Bước 1 Giữ nguyên phần đồ thị

( ) ( )( ) : ( ) khi ( ) 0 ( )

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )C đã cho

b) Tìm tham số m để phương trình x x2 2 2 m có đúng 6 nghiệm thực phân biệt ?

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )C đã cho

b) Tìm tham số m để phương trình 4 2 2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )C đã cho

b) Tìm tham số m để phương trình 2x3 9x212x m có đúng 6 nghiệm thực phân biệt ?





a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )C đã cho

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: (x  1) log2m x 1 ?

BT 80 Cho hàm số: 1

x y x





a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )C đã cho

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x 1 m x(2 3) ?

BT 81 Cho hàm số: 3 2

3

yx  x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )C đã cho

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 2

2

m x





a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )C đã cho

b) Tìm m để phương trình 2 4

1 2 m m 2 1 0

x   x  có đúng hai nghiệm phân biệt ?

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

Đáp số: m 2 5  m 2 5

BT 83 Cho hàm số: 4 2

4 3

yx  x 

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )C đã cho

b) Tìm m để phương trình 4 2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )C đã cho

b) Tìm m để phương trình 4 2

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ( )C đã cho

b) Tìm tham số m để phương trình 4 2 3 2 1





a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )C đã cho

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: mx m    x 1 x 1 ?

Đáp số: Khi 0:

2

m m

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )C đã cho

b) Tìm m để phương trình 2 log2

( 2)

1

m x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )C đã cho

b) Tìm m để phương trình 3 3

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )C đã cho

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 2 2 2

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

5 BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO

 Bài toán tổng quát: Tìm các giá trị của tham số m để để đường thẳng : d yAx B cắt đồ thị hàm số

( ) :C y Cx D

Ex F





 tại 2 điểm phân biệt ? (dạng không có điều kiện)

 Phương pháp giải:

Bước 1 Lập phương trình hoành độ giao điểm của d và ( ) C là: Cx D Ax B

Ex F



Biến đổi phương trình này về dạng phương trình bậc hai g x( )ax2bx c 0

Bước 2 Để d cắt ( ) C tại 2 điểm phân biệt  phương trình ( ) 0g x  có 2 nghiệm phân biệt và khác

2 ( ) 0, ( ) 4 0





1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Xác định tọa độ giao điểm của ( )C với đường thẳng : d y x 1





1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Tìm m để đường thẳng y m x  cắt đồ thị ( )C tại hai điểm phân biệt

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Tìm tham số m để đường thẳng : d y  x m cắt đồ thị ( )C tại hai điểm phân biệt

Đáp số: m4 hoặc m0

Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng năm 2008

BT 94 Cho hàm số: 2 1

1

x y x





1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Tìm tham số m để đường thẳng : d ymx m 1 cắt đồ thị ( )C tại hai điểm phân biệt

x

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Tìm tham số m để đường thẳng d y:  x 2m cắt đồ thị ( )C tại hai điểm phân biệt

Đáp số: m ( ;1)(3;)

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Hàn Thuyên – Bắc Ninh lần 3

 Bài toán tổng quát: Tìm các giá trị của tham số m để để đường thẳng : d yAx B cắt đồ thị hàm số ( ) :C y Cx D

Ex F





 tại 2 điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện K ? (dạng có điều kiện)

 Phương pháp giải:

Bước 1 Lập phương trình hoành độ giao điểm của d và ( ) C là: Cx D Ax B

Giải hệ này tìm được giá trị m D 1

Bước 3 Gọi A x px( ;1 1q B x py), ( ;2 2q) là 2 tọa độ giao điểm của d và ( ), C trong đó x x1, 2 là 2 nghiệm

của ( ) 0.g x  Theo Viét: S x1 x2 b

a

    và P x x1 2 c

a

  (1)

Bước 4 Biến đổi điều kiện K về dạng tổng và tích của x x (2) 1, 2

Thế (1) vào (2) sẽ thu được phương trình hoặc bất phương trình với biến là m Giải chúng sẽ tìm được giá trị m D 2

Kết luận giá trị m D 1D2

BÀI TẬP VẬN DỤNG

BT 96 Cho hàm số: 2 1

2

x y x

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

2/ Chứng minh rằng đường thẳng :d y x m luôn cắt đồ thị ( )C tại hai điểm phân biệt A và B Tìm

tham số m sao cho AB4 2





1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Tìm tham số m để đồ thị hàm số ( ) C cắt đường thẳng :y2m x tại hai điểm phân biệt A B sao , cho độ dài đoạn thẳng AB 2





1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Tìm tham số m để đồ thị hàm số ( ) C cắt đường thẳng :d y2x m tại hai điểm phân biệt A B sao , cho độ dài đoạn thẳng AB 5

x





1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Chứng minh rằng đường thẳng :d y x m luôn cắt đồ thị ( )C tại hai điểm phân biệt A và B Tìm

tham số m sao cho AB 2





1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )C đã cho

2/ Tìm tham số m để đường thẳng : d y  2x m cắt đồ thị hàm số ( )C tại 2 điểm phân biệt , A B sao cho





1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Chứng minh rằng đường thẳng :d y  x m luôn cắt đồ thị ( )C tại hai điểm phân biệt A và B Tìm

tham số m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất



1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

2/ Tìm tham số m để đường thẳng : d ymx m 2 cắt đồ thị hàm số ( )C tại 2 điểm phân biệt , A B sao

cho độ dài đoạn thẳng AB ngắn nhất

Đáp số: ABmin   4 m 1

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Lần 3 – ban D

BT 103 Cho hàm số: 2 1

2

x y x





1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Tìm m để đường thẳng : d y m 3x cắt ( )C tại A B sao cho trung điểm I của đoạn AB nằm trên , ,đường thẳng : x y 16 0.





1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Tìm m để đường thẳng : d y m 3x cắt ( )C tại A B sao cho trọng tâm tam giác OAB nằm trên , ,đường thẳng : x y  2 0





1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Tìm m để đường thẳng : d y m x cắt đồ thị hàm số ( )C tại hai điểm phân biệt , A B sao cho các tiếp

tuyến của ( )C tại A và B song song nhau

x





1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Tìm tham số m để đường thẳng : d y m 2x cắt đồ thị hàm số ( )C tại hai điểm phân biệt có hoành độ





1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Tìm m để đường thẳng : d y x 2m cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU





1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2/ Tìm m để đường thẳng :y2x m cắt đồ thị ( )C tại hai điểm phân biệt nằm về hai nhánh khác nhau của đồ thị ( ).C





a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ( )C đã cho

b) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng : d ymx1 cắt ( )C tại hai điểm phân biệt A B sao ,

cho diện tích tam giác ABC bằng 3,



a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ( )C đã cho

b) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y x m cắt đồ thị ( )C tại hai điểm phân biệt , A B sao

cho tam giác IAB có diện tích bằng 3 , với I là giao điểm của 2 tiệm cận





a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ( )C đã cho

b) Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng :x y  2 0 và cắt ( )C tại hai điểm

phân biệt A B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 2 3 với I là giao điểm của hai đường tiệm cận , của ( ).C

x

 



a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ( )C đã cho khi m1

b) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng : 2 d x2y 1 0 cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt , A B

sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1 (với O là gốc tọa độ)

x



