Viết phương trình đường thẳng đi qua A và song song với đường thẳng d.. Tính xác suất để trong 10 học sinh đó có 6 học sinh trùng môn tự chọn.. Tính theo a thể tích của khối chóp S.AB
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2015-2016
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1 (1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số yx42x23
Câu 2 (1,0 điểm) Tìm để đường thẳng d y: xm cắt đồ thị hàm số 2
1
x y x
tại hai điểm phân biệt
Câu 3 (1,0 điểm)
a) Tìm mô đun của số phức z thỏa mãn 1i z 2i3i
b) Giải phương trình 16x 3.4x132 0
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân
4
0
1 cos 2
Câu 5 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A1; 2;3 và đường thẳng d
có phương trình 1 2 3
x y z
Viết phương trình đường thẳng đi qua A và song song
với đường thẳng d Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d
Câu 6 (1,0 điểm)
a) Giải phương trình sinxsinx 3 cosx2 cos 2x 0
b) Trong kì thi THPT quốc gia năm 2016, để xét công nhận tốt nghiệp THPT, thí sinh phải thi
4 môn, gồm 3 môn thi bắt buộc là Toán, Ngữ văn, Ngoại ngữ và 1 môn thi do thí sinh tự chọn trong các môn: Lịch sử, Địa lí, Vật lí, Hóa học, Sinh học Lớp 12A1 có 10 học sinh chỉ đăng kí xét tốt nghiệp Tính xác suất để trong 10 học sinh đó có 6 học sinh trùng môn tự chọn
Câu 7 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 6a, AD = 2a,
tam giác SAB đều, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và cosin góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SAD)
Câu 8 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A Gọi H là
trực tâm tam giác ABC, D là hình chiếu của B lên đường thẳng AC, M là trung điểm của cạnh
BC, đường thẳng MD đi qua điểm E 2; 1 và phương trình đường tròn đường kính AH là
Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết rằng điểm A thuộc đường thẳng d x: y , hoành độ của điểm A lớn hơn 3 và tung độ của điểm M nhỏ hơn 2 1 0
3
2
8
2
x
Câu 10 (1,0 điểm) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn ca c; b Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
2
ab bc ca
- Hết -
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn thi: Toán
*TXĐ:
* Sự biến thiên
Ta có 'y 3
Hàm số đồng biến trên 1;0 ; 1; và nghịch biến trên ; 1 ; 0;1
Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x 0;y 0 ; 3
Hàm số đạt cực tiểu tại x 1;y 1 4
Giới hạn: lim ; lim
0,25
Bảng biến thiên:
0,25
Đồ thị
0,25
Phương trình hoành độ giao điểm 2 1 ,
1
x
1 2x x m x 1x2 m1x m 0 2 0,25
Dễ thấy, x 1 không là nghiệm của 2 nên d cắt đồ thị hàm số 2
1
x y
x
tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi 2 có hai nghiệm phân biệt
0,25
3 2 2
m
m
-4
y'
y x
-4 -3
0
+
+
+
-
1 -1
-3 -4
y
x O
Trang 33.a 0,5
1i z 2i3 i 1i z 7 i 2z 7i1 i z 4 3i 0,25
2 2
z
x
x
4x 4 x 1
3
2
Mà
x
Đặt
cos2
u x
2
du dx
x v
Khi đó
.cos 2
0,25
4
0
x
Vậy
Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương là u 2;1; 1
Mà //d nên nhận véc tơ u 2;1; 1 là véc tơ chỉ phương
0,25
Hơn nữa đi qua điểm A1; 2;3 nên phương trình đường thẳng là
x y z
0,25
Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng d
Giả sử H 1 2 ;2t t; 3 t AH 2 2 ;4t t; 6 t
Ta có AH d AH u 0 2 2 2t 4 t 6t 0 t 1
0,25
Khi đó H3;1; 2 d A d ; AH 42 32 52 5 2 0,25
Trang 46.a 0,5
sin sin 3 cos 2 cos 2 0
sin 3 cos 2 cos 2 2
x
1 x k k
0,25
2
k
Mỗi học sinh có 5 lựa chọn cho môn tự chọn Do đó, số phần tử của không gian mẫu là
5 10
Gọi A là biến cố “Trong lớp có 6 bạn trùng môn tự chọn”
Chọn 6 học sinh có trùng môn tự chọn có C 106
Chọn môn tự chọn cho 6 học sinh đó có 5 cách
4 học sinh còn lại, mỗi em có 4 lựa chọn cho môn tự chọn nên có 4 cách 4
Do đó, số kết quả thuận lợi cho A là 6 4
10.5.4
n A C
Vì vậy, 106 4
10
.5.4
0, 02752512
5
P A
n
0,25
N
M
D
C
A
B
M Ta có
SM AB SAB ABCD AB
(SAB)(ABCD) Nên SM (ABCD)
Do tam giác SAB đều nên
3
3 3 2
3
S ABCD ABCD
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng SAC và SAD là góc giữa hai mặt phẳng ;
SAC và SAB Vì AD SAB nên 900
Ta lại có BC SAB nên SAB là hình chiếu của SAC trên mặt phẳng SAB
Do đó, sin cos SAC
SAB
S S
0,25
Trang 5 2 2
3 6a 9 3 ; 4
SAB
S a AC 10 ,a SA6 ,a SC SM2 MC2 10 a
Gọi N là trung điểm của SA Khi đó,
SAC
sin cos
91 91
SAC SAB
S S
Cách 2
K
I H
C
A
B
S
Kẻ MH SA H SAMH SAD
Kẻ MK AC K AC MI, SK I SKMI SAC
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng SAC và
;
SAD MH MI HMI
.sin 60
2
a
12
8 91
91
MH MI
Trang 6H
M
D
C B
A
Ta có A d nên giả sử Aa a; 1 Lại có A C
7
4
Từ đó tìm được A 4;5
0,25
Gọi I là trung điểm của AH Khi đó AID cân tại ,I BMD cân tại M
Suy ra BDM MBD IAD ; IDA.
Lại có DBM IAD (vì cùng phụ với góc BCA
)
Do đó BDM IDABDM BDI IDABDI 900 DM DI
DM
là tiếp tuyến của đường tròn C
0,25
Phương trình đường thẳng DM là a x 2 b y10,a2 b2 0
2
TH1: Với 22a 31b ta chọn a 31,b 22
Suy ra, phương trình DM là 31x22y400, phương trình đường thẳng AI là
2x , y 3 0 106 173;
13 13
(loại)
TH2: Với 2a b ta chọn a 1,b 2
Suy ra, phương trình đường thẳng DM là x2y 0, phương trình đường thẳng AI
là 2x , y 3 0 M AI DM M 2;1 (thỏa mãn)
0,25
Khi đó phương trình đường thẳng BC là x 2y 4 0
Vì D C DM Tọa độ điểm D là thỏa mãn hệ 2 2
4;2
D
Phương trình đường thẳng AC x: 4 C 4;0
0,25
Trang 7Do M là trung điểm của đoạn BC B 0;2
Vậy tọa độ các điểm cần tìm là A 4;5 ,B 0;2 ,C 4;0
2 1 2 1 3 82 1
2
x
ĐK: 1 x 1.
3 2
1
2
x
2
2
x
0,25
3
2
8 0 2
2 x 0
0,25
Sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có
x 2 x 1 2x 1 x x 11 x 1 1x1 1 x
Dấu bằng xảy ra khi x 0
0,25
2
42x Dấu bằng xảy ra khi 4 x 0
Do đó, 3 dẫn đến x (thỏa mãn) 0
Vậy 1 có nghiệm duy nhất x 0
0,25
Cách 2 Ta có thể giải 3 như sau:
3 x 2 2 x 1 x 2 2x2 1 x 2x2x2 0
2
x
0
x
VT
x
Do đó, 4 vô nghiệm
Vậy 1 có nghiệm duy nhất x 0.
Cách 3 Đặt a x 1,b 1x a 0,b 0 Ta có
a b x a b a b x
Phương trình trở thành
Trang 8
2 2
2 2
9
2 1
9 1
2 1
a b
a b
1
Từ 1 ta có x 1 1 x x 0
2 4 1a b a b 2ab 3ab do 3ab 0
2
Từ đó tìm được x 0
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 0
Ta có
2 2
a c a ac a c a
;
2
c
Tương tự
2
c
ab bc ca a b
0,5
2
Đặt ; ; 0
a x b y x y Khi đó
2
4x 4y 64
xy
0,25
2
2
3
0,25
Trang 9Đặt x y
t
y x , điều kiện t 2. Ta được P 4t4 2t3 3t2 10t 32
Xét hàm số f t 4t4 2t3 3t2 10t 32 với t2;
3 2
2
Lập bảng biến thiên ta được
Vậy giá trị nhỏ nhất của 63
4
P đạt được khi a 2 ;b c 0 hoặc b 2 ;a c 0
0,25
