VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN Ví dụ 1: [ĐVH]... Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm duy nhất x= =y 1.. Kết luận bài toán có nghiệm duy nhất.
Trang 1VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Ví dụ 1: [ĐVH] Giải hệ phương trình 2
2
1
=
x x y
Ví dụ 2: [ĐVH] Giải hệ phương trình
x x x y y y y
Ví dụ 3: [ĐVH] Giải hệ phương trình
3
x xy y x xy y
+
Ví dụ 4: [ĐVH] Giải hệ phương trình ( )
2
11
3
x
x xy y x xy y
x y
x xy y
+
Ví dụ 5: [ĐVH] Giải hệ phương trình
3
x xy y x xy y
+
Ví dụ 6: [ĐVH] Giải hệ phương trình (2 ) 2 (3 ) 3
x x y y x y
Lời giải
Điều kiện 2; 1
x≥ y≥ Từ điều kiện ta có 2x− ≥y 0;3x−2y≥0
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
x x y y x y
x x−y + y x−y ≤ + − + + − = x
Dấu đẳng thức xảy ra khi 2
x x y
x y
y x y
⇔ =
− −
Phương trình thứ hai trở thành
x x
x
−
3x 2 1+ 2x 1 1> ⇒x− = ⇒x= =y
KĨ THUẬT ĐÁNH GIÁ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Trang 2Ví dụ 7: [ĐVH] Giải hệ phương trình
2
2 2
1
1
x
+ −
+
Lời giải:
+ +
f t =t + t + trên (0;+∞) ta có: ( ) 2 2
2
1
t
f t t
t
+
Do vậy hàm số f t( ) đồng biến trên (0;+∞) ta có: ( ) 1 1
Thế vào PT(2) ta có: x+ +1 2x2+6x =3x− +x2 8
2
2
Vậy nghiệm của PT là: ( ) 1
3
x y
Ví dụ 8: [ĐVH] Giải hệ phương trình
3
3 9
xy
Lời giải:
y> x≥ − x + y≥ Khi đó ta có: PT( )1 x3 3 y 9xy x
⇔ − = − Do x=0 không phải nghiệm nên ta có:
2
9
y x
y
Xét hàm số ( ) 2 3
f t t
t
= − liên tục và đồng biến trên (0;+∞) do đó f u( )= f v( )⇔ =u v
Do đó: x=3y thế vào PT(2) ta có: x3+ +1 x2+6x+ −x3 2x2 =7
3
Vậy nghiệm của HPT đã cho là: ( ) 2
3
x y
Ví dụ 9: [ĐVH] Giải hệ phương trình
x y x y
x x y y xy
Lời giải:
ĐK: x≥0;y≥0;x2−2x+2y≥0
Khi đó ta có: PT( )2 ⇒ x x( − +2) 2y− xy+ −y xy =0
0
x x y xy y xy
y xy
x x y xy
+
Trang 3( )( )
x y
MS
x x y xy
Do ;x y≥0 Từ PT(1) ta có: 4x≤ ⇔ ≤8 x 2 Do vậy ( )2 ⇔ =x y
Khi đó: 6x+2 x= ⇔ = =8 x 1 y
Vậy nghiệm của PT đã cho là: ( ) ( )x y; = 1;1
Ví dụ 10: [ĐVH] Giải hệ phương trình ( ) ( )( )
2
3
Lời giải:
x≥ y≥ x ≥ +x y
PT ⇔ x+ x+ − y+ + x − +x y − =y
2 2 2
1
x
− −
2
1
thế vào PT(2) ta có:
1
x
x
+
− ( do x=1 không là nghiệm)
1
x
x
+
− đồng biến trên (1;+∞)
Mặt khác ta có f x( )= f ( )2 ⇔ =x 2;y=1 là nghiệm duy nhất của HPT đã cho
Ví dụ 11: [ĐVH] Giải hệ phương trình
2
3
2 2
x xy y x xy y x xy y
x y y
y x
x y
+ −
Lời giải
Điều kiện 4x+7y≠0
Phương trình thứ hai của hệ tương đương với
2
x − xy+ y + x − +xy y = x+y Nhận xét
Dẫn đến
2
x xy y x y
x xy y x xy y x y x y
x y
x xy y
Do vậy hệ có nghiệm khi các dấu đẳng thức đồng thời xảy ra tức là
2
1
x y
x y
x y
x y x xy y
x x
=
= =
Trang 4Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm duy nhất x= =y 1
Ví dụ 12: [ĐVH] Giải hệ phương trình
2 2
2
x y y
x xy y x y
Lời giải
Điều kiện ;x y∈ℝ Phương trình thứ hai tương đương với
2 2
x y x y y
x +y − x− y+ = x− y+ ⇔ x+ y=x +y + y+ ⇔ + = + + +
Phương trình thứ nhất trở thành 7 2 2 7 2 3 2 2 7 5
2
x y
x + xy+ y + x +y = +
Phương trình thứ hai có nghiệm khi các dấu đẳng thức xảy ra tức là
2
x y
= =
Thử lại nghiệm ta thấy hệ có hai nghiệm ( ) ( ) 1 1
2 2
Ví dụ 13: [ĐVH] Giải hệ phương trình
2 2
1
+
Lời giải
Điều kiện y≥1 Từ phương trình thứ nhất của hệ x x2+y2+ =1 y− + ≥1 2 2⇒x>0
x xy y x y x y x y
Dẫn đến
2
2
x xy y x y x y
x y
x xy y
x xy y x y x y
x y
x xy y
+
+
Do đó
2
x y
x xy y x xy y
+
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 0; 1 1
1
y
=
(Thỏa mãn hệ)
Kết luận bài toán có nghiệm duy nhất
Ví dụ 14: [ĐVH] Giải hệ phương trình
2
x xy y x xy y x y
Trang 5Lời giải
Điều kiện x≥ −3;y≥1 Ta có
2
x xy y x xy y
x y x y
x y
Do đó phương trình thứ nhất của hệ có nghiệm khi các dấu đẳng thức xảy ra, nghĩa là x− = ⇔ =y 0 x y Phương trình thứ hai của hệ trở thành x2−5x+ =14 6x+ +18 2x−2
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
2
x x
Do đó phương trình ẩn x có nghiệm khi các dấu đẳng thức xảy ra, tức là 1 2 3
x
x x
− =
⇔ =
+ =
Kết luận hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x= =y 3
Ví dụ 15: [ĐVH] Giải hệ phương trình ( ) ( )
2
Lời giải:
+) ĐK : x≥ −3
+) Xét pt( 1) : x+4 y2+ +1 y x+ =3 y2+ +x 4
Ta có
2 2
2
2
3 2
2 3
3
2
x y
x y
y x
y x
y x
+ +
Xảy ra dấu bằng khi y= x+3
3 2
0
1
x
x
=
( ) ( )x; y {1 2; ,( )0; 3 ,( 3 0; ) }