Tinh túy hình học phẳng Oxy ( Luyện thi THPT quốc gia môn Toán )

Những năm gần đây, câu hình học tọa độ phẳng Oxy thuộc hệ thống câu hỏi phân loại, đây là loại bài tập tương đối khó.. Kiến thức thật mênh mông không biết học bao giờ cho hết, với phương

I H'

C B

A

O

H

TINH TÚY HÌNH HỌC Oxy

CẨM NANG CHO MÙA THI

Các em học sinh thân mến !

Những năm gần đây, câu hình học tọa độ phẳng Oxy thuộc hệ thống câu hỏi phân loại, đây là loại bài tập tương đối khó Các sách và tài liệu viết về vấn đề này rất phong phú, nhiều sách rất hay, tuy nhiên lại khá dài nên để đọc và học hết nó các em mất rất nhiều thời gian

Tài liệu TINH TÚY Oxy được biên soạn theo các định hướng:

lời giải một cách khoa học nhất - nhanh nhất

Tuy lượng bài tập trong tài liệu không nhiều nhưng nó đã bao quát được tương đối đầy đủ các dạng toán trọng tâm và các yếu tố suy luận cần thiết mà đề thi thường khai thác Kiến thức thật mênh mông không biết học bao giờ cho hết, với phương châm thi gì - học nấy, thầy hi vọng cuốn tài liệu nhỏ này sẽ giúp em có được kiến thức tổng hợp và cách nhìn nhận tốt nhất để tư duy giải thành công câu hình học tọa độ phẳng Oxy trong kỳ thi sắp tới

Nội dung 1: LÝ THUYẾT CƠ SỞ VỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG

A CÁC PHÉP TOÁN VỀ TỌA ĐỘ VEC TƠ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 2 vec tơ a=(a ;a , b1 2) =(b ; b1 2)

B CÁC PHÉP TOÁN VỀ TỌA ĐỘ ĐIỂM

I Các phép toán về tọa độ 2 điểm

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 2 điểm A x ; y , B x ; y( 1 1) ( 2 2)

1 2 I

x

2

y y y

1 2 M

x k.x x

1 k

y k.y y

II Các phép toán về tọa độ 3 điểm

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 2 điểm A x ; y , B x ; y ,C x ; y( 1 1) ( 2 2) ( 3 3)

(3). Nếu G x ; y( G G) là trọng tâm ∆ ABC

1 2 3 G

1 2 3 G

(Với 1 điểm M tùy ý ta luôn có MA MB MC 3.MG+ + =






)

(4). Trong ∆ ABC ta có cos A c  (AB; AC) AB.AC

AB ACos

2 Phương trình chính tắc của Elip

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho F ( c;0); F (c;0)1 − 2 Khi đó phương trình của Elip là

a. Tính đối xứng của Elip: Elip có phương trình x22 y22 1, a b 0

a + b = > > nhận các trục tọa

độ làm các trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm đối xứng

b. Hình chữ nhật cơ sở: (E) :x22 y22 1

a +b = cắt Ox tại A ; A1 2, cắt Oy tại B ; B1 2 khi đó

1 2 1 2

A ; A ; B ; B gọi là các đỉnh của Elip

+ Đoạn A A1 2 gọi là trục lớn , độ dài trục lớn là 2a

+ Đoạn B B1 2 gọi là trục nhỏ, độ dài trục bé là 2b

+ PQRS là hình chữ nhật cơ sở của Elip

c. Tâm sai của Elip: e c

+ Công thức bán kính qua tiêu: MF1= a e.x ; MF + M 2 = a e.x − M

E CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC PHẲNG

I Bài toán về lập phương trình đường thẳng

1). Đường thẳng (d) đi qua điểm M x ; y( 0 0) có vec tơ pháp tuyến là n =(A; B)

có phương trình là A x x( − 0)+B y y( − 0)=0 (phương trình tổng quát)

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(1; 2) và song song với đường thẳng ∆ có phương trình x 3y 5 0 − − =

BÀI LÀM

n ∆

M(1;2)

∆ d

+ Đường thẳng ∆ có vec tơ pháp tuyến là n ∆ =(1; 3 − )

+ Do đường thẳng d song song với đường thẳng ∆ nên vec tơ pháp tuyến của d là

+ Đường thẳng ∆ có vec tơ pháp tuyến là n ∆ =(3; 4 − )

5). Đường thẳng d đi qua điểm M x ; y( 0 0) và có hệ số góc là k có phương trình

II Bài toán về lập phương trình đường phân giác

Bài toán lập phương trình đường phân giác có một vài cách làm, tất cả được minh họa thông qua 1 ví dụ sau đây

Ví dụ: Cho ∆ ABC có A 1; 2 , B 5; 4 ,C 2;0( − ) ( ) (− ) Hãy lập phương trình đường phân giác của BAC 

(1) CÁCH 1: Sử dụng “chân đường phân giác”

D

C B

+ Áp dụng công thức đường phân giác ta có phương trình các đường phân giác trong của

∆ 2

∆ 1

D

C B

A

(3) CÁCH 3: Sử dụng công thức tính góc tạo bởi 2 đường thẳng

+ Gọi M(x; y) thuộc ∆ là đường phân giác trong của BAC 

∆

D

C B

A

(4) CÁCH 4: Sử dụng điểm phụ và tính chất của tam giác cân (giả lập tam giác cân) + Ta lập được phương trình các đường thẳng AB và AC dưới dạng tham số như sau:

+ Chọn t 1 = ta có điểm M 3;1( ) thuộc đường thẳng AB (M A) ≠

+ Trên AC lấy điểm N sao cho AM AN N 1 3t '; 2 2t '( )

D

C B

Vậy phương trình đường phân giác của BAC  là AK : 5x y 3 0 + − =

(5) CÁCH 5: Sử dụng vec tơ đơn vị

∆

b a

c

2 1

D

C B

A

+ Trên AB chọn vec tơ a AB 1 2;3( )

nằm trên đường phân giác ∆ của BAC  ⇒

đường thẳng ∆ đi qua A(1; 2) − có vec tơ chỉ phương là u ( 1;5)
= − ⇒ vec tơ pháp tuyến của ∆ là n (5;1) =

D

C B

A B C G

(2) Tìm tọa độ trực tâm H của ∆ ABC

H

C B

A

* Cách 1: Giải hệ phương trình giao điểm của 2 đường cao bất kỳ trong ∆ ABC

* Cách 2: Giải hệ phương trình AH.BC 0

A

* Cách làm: Giải hệ phương trình gồm giao điểm 2 đường phân giác bất kỳ của ∆ ABC

* Chú ý: Trong ∆ ABC, trực tâm H, trọng tâm G, tâm đường tròn ngoại tiếp I quan hệ với nhau bởi công thức: IH 3.IG=




VI Bài toán về vị trí tương đối của 2 điểm đối với 1 đường thẳng

Cho 2 điểm A(x ; y ; B x ; yA A) ( B B) và đường thẳng d

* Nếu (A.xA+B.yA+C ) (A.xB+B.yB+C)>0 thì 2 điểm A, B nằm cùng phía đối với đường thẳng d ⇔ d không cắt đoạn thẳng AB

d

B A

* Nếu (A.xA+B.yA+C ) (A.xB+B.yB+C)<0 thì 2 điểm A, B nằm khác phía đối với đường thẳng d ⇔ d cắt đoạn thẳng AB

d B

A

* Nếu (A.xA+B.yA+C ) (A.xB+B.yB+C)=0 thì 2 điểm A, B nằm trên đường thẳng d

d B

A

V Bài toán tìm điểm đối xứng với 1 điểm qua 1 đường thẳng

Bài toán tìm điểm đối xứng với 1 điểm qua 1 đường thẳng có 3 cách làm được cụ thể thông qua 1 ví dụ sau đây:

Ví dụ:

M' M

+ Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua d, khi đó giải điều kiện H là trung điểm của MM’

ta sẽ tìm được tọa độ điểm M’

* Cách 2:

+ Lập phương trình đường thẳng d’ đi qua M và vuông góc với đường thẳng d

+ Gọi H là giao điểm của d và d’, khi đó giải hệ phương trình gồm d và d’ ta sẽ tìm được tọa độ điểm H

+ Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua d, khi đó giải điều kiện H là trung điểm của MM’

ta sẽ tìm được tọa độ điểm M’

* Cách 1:

+ Gọi H(x; y) là hình chiếu vuông góc của M trên d

+ Đường thẳng d có vec tơ chỉ phương là u d = (3;1)

, ta có MH (x 1; y 2) = − −



+ Ta có MH.ud 0 3(x 1) (y 2) 0 x 2

* Cách 2:

+ Gọi d’ là đường thẳng đi qua M và vuông góc với d ⇒ d ' : 3x y 5 0+ − =

+ Gọi H d d ' = ∩ ⇒ tọa độ của H là nghiệm hệ phương trình 3x y 5 0

* Cách 3:

+ Gọi M '(x; y) là điểm đối xứng của M qua d và H MM ' d = ∩

+ Đường thẳng d có vec tơ chỉ phương là u d = (3;1)

Hướng dẫn chứng minh:

O

2 1

1

H'

C B

⇒ đối xứng với H qua BC

Định hướng 2: Cho ∆ ABC nội tiếp đường tròn (O), H là trực tâm, kẻ đường kính AA’,

M là trung điểm BC ⇒AH 2.OM
= 

Hướng dẫn chứng minh:

+ Từ (1) và (2) ⇒ tứ giác BHCA’ là hình bình hành, mà M là trung điểm đường chéo BC

⇒ M là trung điểm của A’H⇒ OM là đường trung bình của ∆ AA 'H⇒AH 2.OM
= 

Định hướng 3: Cho ∆ ABC nội tiếp đường tròn (O), BH và CK là 2 đường cao của

I H'

C B

∆ ⇒ I và O đối xứng nhau qua BC

Định hướng 5: (Đường thẳng Ơ - le) Cho ∆ ABC, gọi H, G, O lần lượt là trực tâm, trọng tâm và tâm đường tròn ngoài tiếp ∆ ABC Khi đó ta có:

Định hướng 7: Cho ∆ ABC, gọi O và I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp ∆ ABC, AI cắt đường tròn (O) tại D ⇒ DB DI DC= =

Hướng dẫn chứng minh:

1 3 2 1

2 1

I O

C D

1 1

1 2

⇒ = (2) + Mà  

⇒ = ⇒ DH là phân giác của ∆ DEF (*)

- Chứng minh tương tự ta cũng có EH, FH là các tia phân giác của ∆ DEF (**)

- Từ (*) và (**) ⇒ H là tâm đường tròn nội tiếp ∆ DEF

Định hướng 9: Cho ∆ ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi D, E là giao điểm của đường tròn (O) với các đường cao qua A và C ⇒ OB là trung trực của ED

D

A

F G I

Định hướng 11:“Trong 1 hình thang cân có 2 đường chéo vuông góc, độ dài đường cao bằng độ dài đường trung bình”

H

N M

B A

F E

Định hướng 13: Cho hình chữ nhật ABCD có AB 2.AD = , M là một điểm trên AB sao cho AB 4.AM = ⇒ DM ⊥ AC

Hướng dẫn chứng minh:

1

1 1

H M

B A

(sau đây chúng ta cùng vận dụng các lý thuyết cốt lõi trên vào phân

tích giải 41 bài toán đặc trưng của hình học tọa độ phẳng Oxy)

Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm H 1; 2( )

là hình chiếu vuông góc của A lên BD Điểm M 9;3

+ Khi vẽ xong hình minh họa cho bài toán, ta nhận thấy ngay có thể chứng minh được

AK ⊥ KM (K là giao điểm của (d) với DB), và đây cũng là yếu tố quyết định của bài toán dạng này

+ Thật vậy, khi có được AK ⊥ KM ta sẽ lập được phương trình đường thẳng MK là:

2x 8y 15 0 − + = (do MK đi qua M và vuông góc với (d))

+ Tiếp theo ta tìm được tọa độ K là 1; 2

2

  (do K (d) MK = ∩ và giải hệ phương trình)

⇒ phương trình BD là: y 2 0 − = (do BD đi qua 2 điểm K và H)

⇒ phương trình đường thẳng AH là: x 1 0 − = (do AH đi qua H và vuông góc với BD)

⇒ (do K là trung điểm của DH)

⇒ phương trình đường thẳng AD là: 2x y 2 0 + − = (do AD là đường thẳng đi qua 2 điểm

+ Việc chứng minh AK ⊥ KM cũng khá đơn giản, thầy có thể nói lại cách chứng minh như sau:

- Gọi P là trung điểm của AH ⇒ KP là đường trung bình của ∆ AHD

KP / /AD AD KP

SAU ĐÂY LÀ BÀI TOÁN CÓ CÁCH GIẢI TƯƠNG TỰ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Qua điểm B kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại H Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng CH, BH và

AD Biết E 17 29; , F 17 9; ,G 1;5( )

    Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABE

PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI

https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979

G(1;5)

F

E H

C D

+ Gọi A x ; y( A A), do ta chứng minh được EFAG là hình bình hành nên

Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD với A 2;0(− ), đường thẳng (d)

có phương trình 3x 4y 6 0− + = cắt đoạn thẳng BC Khoảng cách từ B và D tới đường thẳng (d) lần lượt là 1 và 3 Đỉnh C thuộc đường thẳng x y 4 0− + = và có hoành độ không

âm Tìm tọa độ B và D

PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI

x - y + 4 = 0

C (x C ≥ 0)

D I

B

3 1

A(-2;0)

+ Ta thấy nếu tìm được tọa độ C thì sẽ tìm được tọa độ I (I là trung điểm AC) và từ đây

sẽ lập được phương trình đường thẳng DB qua I và vuông góc với AC

+ Khi có được phương trình BD ta sẽ sử dụng B BD∈ để tham số hóa tọa độ B, giải phương trình d(B; d( ) )= 1 ta sẽ tìm được tọa độ B ⇒ tọa độ D (do I là trung điểm BD)

Vậy ta có các bước giải cụ thể như sau:

- Vì C thuộc đường thẳng x y 4 0 − + = ⇒C c;c 4( + ), giải phương trình d C; d( ( ) )= 2

* Với b 1 = ⇒ B(1;1) ⇒ D( 3;3) − (do I là trung điểm của BD)

* Với b 2 = ⇒ B( 1; 2) − (trường hợp này loại vì kiểm tra thấy B và C cùng phía đối với đường thẳng (d)) Vậy B(1;1), D( 3;3) −

Lưu ý: Để kiểm tra được B và C nằm cùng phía đối với đường thẳng (d), các em cần nhớ lại công thức sau đây :

Cho điểm A x ; y , B x ; y( A A) ( B B) và đường thẳng (d) : Ax + By C 0 + =

- Nếu (AxA+ByA+C ) (AxB+ByB+C)>0 thì A và B cùng phía đối với (d)

- Nếu (AxA+ByA+C ) (AxB+ByB+C)<0 thì A và B khác phía đối với (d)

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ∆ ABC có A(4:6) phương trình đường cao và trung tuyến kẻ từ C lần lượt là 2x - y +13 và 6x - 13y + 29 = 0 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC

PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI

2x - y + 13 = 0 6x - 13y + 29 = 0

H M

C B

A(4;6)

* Ta thấy ∆ ABCkhông có yếu tố đặc biệt (tức là không phải tam giác vuông, cân hay đều) Vì vậy để viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC ta có 2 hướng:

- Hướng 1: Lập phương trình 2 đường trung trực 2 cạnh của ∆ ABC

- Hướng 1: Tìm tọa độ 3 đỉnh của ∆ ABC

* Đối với bài tập này, ta có thể giải theo cả 2 hướng trên, cụ thể như sau:

+ Ta tìm được tọa độ M(6;5) (do M AB CM = ∩ và giải hệ phương trình)

+ Lúc này ta sẽ lập được phương trình d1 là trung trực của AB ⇒ d : 2x y 6 01 − − =

(do d1đi qua M và d1 ⊥ AB) + Tương tự ta lập được d2 là trung trực của AC Và giải hệ I=( ) ( )d1 ∩ d2 ⇒I(2; 3)− là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC ⇒ R IA = = 85

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC là: (x 2 − )2+(y 3 + )2 = 85

Hướng 2: Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC và (C ) có phương trình là:

2 2

x + y − 2ax 2by c 0 − + =

+ Lập phương trình tương tự như trên ta sẽ tìm được tọa độ A, B, C

+ Giải hệ phương trình A (C); B (C ); C (C ) ∈ ∈ ∈ ta tìm được a = 2; b = -3 và c = -72

A ó hoành độ dương Xác định tọa độ các đỉnh của ∆ ABC

PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI

* Căn cứ vào đề bài ta có ngay B d = 1∩ d2; giải hệ phương trình ⇒B 1;1( )

+ Lập được phương trình đường thẳng AB là: y - 1 = 0 ( do AB đi qua B và M)

+ Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua d2⇒M ' 1;0( ), mà M ' BC ∈ ⇒ ta lập được phương trình đường thẳng BC là: x - 1 = 0 (do BC đi qua B và M’)

⇒ I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC

- Việc phát hiện ra ∆ ABC vuông cân tại B là yếu tố khá quan trọng để làm bài

- Để tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua d2, em hãy xem Bài 17 nhé

Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆ : 3x 2y 4 0 + − = và 2 điểm

O

B C

∆ là: 2x 3y 7 0 − − = (do AC đi qua A và AC ⊥ ∆)

+ Từ đây ta sẽ xác định được tọa độ điểm M 2; 1( − ) là trung điểm của AC (do

Bài 6: ∆ ABC nội tiếp đường tròn tâm I(2;1), bán kính R = 5 Trực tâm H(-1;-1), độ dài

BC = 8 Hãy viết phương trình BC

PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI

+ Đây là 1 bài toán quen thuộc “tam giác nội tiếp đường tròn, cho biết trực tâm”, vậy ta

sẽ nghĩ ngay đến việc tạo ra hình bình hành bằng cách kẻ đường kính AD ⇒ BHCD là

hình bình hành (*) ⇒ MI là đường trung bình của ∆ AHD

AH 2.MI

⇒ = (một kết quả rất quen thuộc)

+ Với các suy luận trên, ta sẽ tìm được tọa độ A trước tiên Thật vậy, gọi A(x;y)

* Chú ý: Chứng minh BHCD là hình bình hành (*) như sau:

- Do H là trực tâm ∆ ABC nên CH ⊥ AB, mà ABD 90  = 0 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm I) ⇒ BD ⊥ AB ⇒ CH / /BD

- Chứng minh tương tự ta cũng có BH / /DC ⇒ tứ giác BHCD là hình bình hành

Bài 7: (tương tự ) ∆ ABC nội tiếp đường tròn tâm I(-2;0), A(3;-7), trực tâm H(3;-1) Xác định tọa độ C biết C có hoành độ dương

PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI

+ Hoàn toàn với phương pháp lập luận như bài trên, ta cũng có được kết quả

AH 2.MI= ⇒AH 2.IM


=


, nếu gọi M(x;y) thì giải phương trình AH 2.IM=






x 2, y 3 M( 2;3)

+ Đường thẳng BC đi qua điểm M, vuông góc với AH ⇒ BC : y 3 0 − =

+ Đường tròn (C) tâm I, bán kính R = IA có phương trình : (x 2 + )2+ y 2 = 74

+ Tọa độ B, C là giao của BC và (C), giải hệ ta sẽ có C 2(− + 65;3) (chú ý xC > 0 nhé)

Như vậy qua bài toán trên, các bạn cần ghi nhớ 1 kết quả quan trọng sau: Nếu H,

I lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC, M là trung điểm BC thì ta có:

    Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABE

PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI

Để phân tích tìm ra các bước giải cho bài này, trước hết các bạn cần ôn lại tính chất sau

“Cho ∆ ABC nội tiếp đường tròn (O), H là trực tâm, kẻ đường kính AA’, M là trung điểm

BC ⇒AH 2.OM


=



”

M A'

C B

+ Từ (1) và (2) ⇒ tứ giác BHCA’ là hình bình hành, mà M là trung điểm đường chéo BC

⇒ M là trung điểm của A’H⇒ OM là đường trung bình của ∆ AA 'H⇒AH 2.OM


=





Áp dụng tính chất trên, ta phân tích các bước suy luận của lời giải như sau

M I

E

+ ∆ ABE có F là trực tâm, vậy nếu gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABE, M là trung điể AB thì ta đã chứng minh được EF =2.IM






+ Do tọa độ E, F đã biết, vậy để có I ta cần tìm tọa độ M, mà M là trung điểm AB nên ta

cần tìm tọa độ A, B (đây là điểm nút của bài toán này)

+ Ta thấy ngay EF là đường trung bình của ∆HCB⇒AG FE


=

 Như vậy nếu gọi A(x;y) thì giải phương trình AG FE


=

⇒ x 1; y 1= = ⇒A(1;1)

+ Tiếp theo lập được phương trình đường thẳng AE đi qua A, E ⇒ AE : 2x y 1 0 − + + =

+ Đường thẳng AB qua A và vuông góc với EF ⇒ AB : y 1 0− =

+ Đường thẳng BH qua F và vuông góc với AE ⇒ BH : x 2y 7 0+ − =

PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI

+ Căn cứ đề bài ta tính ngay được khoảng cách ( 1)

b 65

Giải phương trình trên ta có c 1 = (thỏa mãn C có tung độ nhỏ hơn 2) ⇒C 2;1(− )

Vậy đáp số: A 8; 1 , B 2; 5 ,C 2;1( − ) ( − ) (− )

Bài 10: Cho đường tròn (C) : x 4( − )2+ y2 = 4 Tìm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được 2 tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (C) (A, B là 2 tiếp điểm) Biết AB đi qua E(4;1)

PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI

Bài tập này sẽ cung cấp cho các bạn 1 phương pháp lập phương trình đường thẳng dựa theo ý tưởng quỹ tích

Bài 11: Cho ∆ ABC nội tiếp đường tròn tâm O(0;0) Gọi M(-1;0, N(1;1) lần lượt là các chân đường vuông góc kẻ từ B, C của ∆ ABC Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C của ∆ ABC, biết điểm A nằm trên đường thẳng ∆ có phương trình : 3x + y - 1 = 0

PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI

Để giải bài tập này, trước hết ta cần chứng minh một tính chất hình học quan

Hướng dẫn chứng minh:

K H

O

x

C B

C B

+ Đường thẳng AB đi qua A, N ⇒ AB : x 1 0 − =

+ Đường thẳng AC đi qua A, M ⇒ AC : x y 1 0 + + =

+ Đường cao BM đi qua M và vuông góc với AC⇒ BM : x y 1 0− + =

+ Tọa độ B AB BM = ∩ ⇒ B(1; 2), tương tự ⇒ C( 2;1) −