Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD... Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có tâm I.. Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết tung độ đỉnh A
Trang 1BÍ KÍP HẠ GỤC CÁC BÀI TOÁN HÌNH VUÔNG TRONG 15 PHÚT DẠNG 1 Phát hiện yếu tố vuông góc
Bài 1 Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy, cho hình vuông ABCD Điểm
E 7;3 là một điểm nằm trên cạnh
BC Đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABE cắt đường chéo BD tại
điểm N N B Đường thẳng
AN có phương trình 7x 11y 3
0 Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C,
D của hình vuông ABCD, biết A
có tung độ dương, C có tọa độ
nguyên và nằm trên đường thẳng
2x y 23 0
A
N
H
B C
D
I
E
C Giải: Tứ giác ABEN nội tiếp đường tròn đường kính
AE ANE 900 AN NE
NE :11 x 7 7 y 3 0
11x 7 y 56 0
Tọa độ của N là nghiệm của hệ:
7
2
x
y
Gọi H là trung điểm của AE, có NBE 450 NHE 900 AN NE
11
a
A a
Có AN2=NE2 => A(-2;1)
Gọi C c; 2c 23 trung điểm I của AC :
c
Trang 2Ta có AIN=90 nên
10 0 39 (10; 3); (4; 1)
( ) 5
c
EC 3; 6 BC : 2x 7 y 3 0 2x y 17 0
1 3
2 2
IN x y y
Tọa độ điểm B thỏa mãn: 2x 17 0 6 (6;5), (2; 7)
Bài 2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD, biết hai đỉnh
A1; 1, B 3; 0 Tìm tọa độ các đỉnh C và D
Giải: Gọi C(x0, y0), khi đó AB(2;1), BC(x03;y0)
Từ ABCD là hình vuông, ta có:
0
0
0
4 1
2
0
x y
y
Với C1 4; 2 D1 2; 3 ( từ đẳng thức ABDC )
Với C2 2; 2 D1 0;1 ( từ đẳng thức ABDC)
Bài 3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có
tâm I Các điểm (10 11, )
3 3
G và E(3, 2)
3
lần lượt là trọng tâm của tam giác
ABI và tam giác ADC Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết tung độ đỉnh A là số nguyên
Giải:
Trang 3
M
C
B
D
A
I E
G
N
Gọi M là trung điểm của BI và N là hình chiếu
vuông góc của G lên BI
E là trọng tâm ACD
IE DI BIEN INIE BI BN
BN EN BGE cân tại G
GA GB GE A, E, B cùng thuộc đường tròn tâm G
AGE=2ABE=90
AGE vuông cân tại G
Phương trình AG: x 13y 51 0 A 51 13a; a
Khi đó AGE vuông cân tại G AG GE
2
2
13
10
( 1; 4)
3 4
a
a
A a
Phương trình BD đi qua E và M BD : 5x 3y 17 0
Phương đường tròn G : tâm G, bán kính GA:
Trang 4B là giao điểm thứ hai của BDvà G B 7; 6
Phương trình ADqua A và vuông góc AB AD : 4x y 0 D 1; 4
ABCD là hình vuông ABDC C 9; 2
Vậy A 1; 4, B 7; 6, C 9; 2 và D 1; 4
Bài 4 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có đỉnh C
thuộc đường thẳng d : x + 2y - 6 = 0, điểm M(1;1) thuộc cạnh BD biết rằng hình chiếu vuông góc của điểm M trên cạnh AB và AD đều nằm trên đường thẳng
∆ : x + y -1 = 0 Tìm tọa độ đỉnh C
Giải:
B
D
A
C
M
H
N K
I
Gọi H,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB,AD Gọi N là giao điểm của KM và BC Gọi I là giao điểm của CM và HK
Ta có ∆ DKM vuông tại K và D KM = 450
KN=KD KM=NC (1)
Lại có MH = MN ( do MHBN là hình vuông) Suy ra hai tam giác vuông KMH, CNM bằng nhau
HKM MCN
90
NMCMCNIMKHKM Suy ra CI HK
Đường thẳng CI đi qua M(1;1) và vuông góc với đường thẳng d nên có phương trình:
(x-1) + (y-1) = 0 x – y = 0
Do điểm C thuộc đường thẳng CI và đường thẳng d nên tọa độ điểm C là
nghiệm của hệ phương trình 0
x y
x y
2
x y
Trang 5Vậy C(2; 2)
Bài 5 Cho hình vuông ABCD và M là một điểm thuộc cạnh CD Qua điểm A
dựng đường thẳng d vuông góc với AM, d cắt đường thẳng BC tại điểm N Biết trung điểm của MN là gốc tọa độ O, I là giao điểm của AO và BC Tìm tọa độ điểm B của hình vuông biết A(-6;4), I(3;-2) và N có hoành độ âm
Giải:
MN: 3x-2y=0, N(-4;-6)
Bài 6 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD Trên các cạnh
AB, AD lần lượt lấy hai điểm E, F sao cho AE = AF Gọi H là hình chiếu vuông
góc của A trên DE Biết ( ;2 14), ( , 2)8
H F , C thuộc đường thẳng d : x y 2 0
, D thuộc đường thẳng d ' : x 3y 2 0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông
Giải:
Trang 6
d'
d
I H
D
B
A
C
E
F
M
Gọi M là giao điểm của AH và BC
Hai tam giác ADE và BAM bằng nhau nên BM = AE =
AF Suy ra các tứ giác ABMF, DCMF là các hình chữ
nhật
Gọi I là giao điểm của FC và MD
Ta có HI 1 1
2MD 2FC
nên tam giác HFC vuông tại H
Giả sử C(c; 2 – c) HC HF 0 C2; 4
Giả sử D(3m– 2; m) DC DF 0 D4; 2
PT đường thẳng AD: 3x – y – 10 = 0 Giả sử A(a; 3a – 10)
DA=DC, suy ra
Vì DF,DA cùng hướng nên A(2; – 4)
CB DA B4; 2
Vậy A(2; – 4), B4; 2 , C2; 4 , D4; 2
DẠNG 2 Hình vuông có sử dụng yếu tố góc
Bài 7 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD tâm I Biết trung điểm
cạnh AB là M(0;3), trung điểm đoạn thẳng IC là E(1;0) và điểm A có tọa độ
nguyên Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D
Giải:
Trang 7M(0,3) B
E(1,0) C
A
I D
F
Đặt αAEM ,00 α 900 ,ta có:
0)
BF
EMB
Ptđt ME là: 3x y 3 0
Đường thẳng AC đi qua điểm E(1;0) và tạo với đt ME một góc sao cho
2
cos
5
có pt là:
x y 1 0 hoặc 7x y 7 0
TH 1: Pt đt AC là: x y 1 0
d M ; AC2 AM MI 2 Suy ra phương trình đường tròn tâm M qua A và I
là: x2 y 32 4
Tọa độ của A và I là nghiệm của hệ:
( 3) 4
Vì I nằm giữa A và E nên A 2;3; I 0;1 B2;3;C2;1, D 2;1 (t/m gt)
TH 2: Pt đt AC là: 7x y 7 0
Tương tự tìm được tọa độ A nhưng không nguyên nên loại
Tóm lại tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD là:
A 2;3, B2;3, C2;1, D 2;1
Trang 8Bài 8 Trong mặt phẳng toạ độ (Oxy), cho hình vuông ABCD Điểm M nằm trên
đoạn BC, đường thẳng AM có phương trình x + 3y - 5 = 0, N là điểm trên đoạn
CD sao cho góc BMA = AMN Tìm tọa độ A biết đường thẳng AN qua điểm
K(1;-2)
Giải:
B
D
A
C
M
N
H
Ta kẻ AH MN có MAB=MAH AH AB AD và MAB MAH (1)
Suy ra MAH=ADH và NAD HAN (2)
Từ (1)&(2) suy ra MAN 450
Gọi véc tơ pháp tuyến của AN là n (a;b), a2 b2 0
Do AN qua K(1;-2) nên AN có phương trình
a(x 1) b( y 2) 0 ax by a 2b 0
Ta có cos( AM , AN ) cos450
2 10
4a2 6ab 4b2 0,(*)
+ Nếu b 0 a 0 vô lý
2 (*) 4( ) 6 4 0
1 2
a
a
b
Với 2
a
b , chọn a=2, b=1, khi đó AN có phương trình 2x y 0
Trang 9Ta có A là giao điểm của AN và AM từ đó ta tìm được A(-1;2)
Với
1
2
a
b
, chọn a=-1, b=2, khi đó AN có phương trình x 2y 5 0
Ta có A là giao điểm của AN và AM từ đó ta tìm được A(5;0)
Bài 9 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD Điểm E(2;3)
thuộc đoạn thẳng BD , các điểm H (2;3) và K (2; 4) lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm E trên AB và AD Xác định toạ độ các đỉnh A, B, C, D của hình vuông ABCD
Giải:
Ta có: EH : y - 3 = 0, EK : x - 2 =0
: x 2 0
(2, 4) : y 4 0
AH
A AK
Giả sử n( ; )a b a2 b2 0 là VTPT của đường thẳng BD
Có: ABD 450 nên:
Với a b , chọn b 1 a 1 BD : x y 1 0
B2; 1; D3; 4 ( 4; 4) 4ED
ED (1;1)
EB
EB
Suy ra E trong đoạn BD (Thỏa mãn)
Khi đó: C 3; 1
Với a b , chọn b 1 a 1 BD : x y 5 0
B(-2,7), D(1,4)
( 4; 4) 4ED
ED ( 1;1)
EB
EB
Suy ra E ngoài đoạn BD (Loại)
Vậy: A2; 4, B 2; 1, C 3; 1, D3; 4
Trang 10DẠNG 3 Hình vuông sử dụng tính đối xứng
Bài 10 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD có A(4; 6)
Gọi M , N lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh BC và CD sao
45 ,
MAN M(-4,0) và đường thẳng MN có phương trình 11x + 2 y + 44 = 0 Tìm tọa độ các điểm B, C, D
Giải:
I
F
E
B
D
A
C
M
N
H
Có EBDAN F, BDAM, I ME NF
45
MANNDBMBD Nên hai tứ giác ADNF , ABNE nội tiếp Do đó
MEAN NF, AM Suy ra AI NM
Gọi H AINM Ta có ABME, MNEF là các tứ giác nội tiếp nên
AMB AEB AMH
Suy ra ∆AMB = ∆AMH Do đó B là đối xứng của H qua đường thẳng AM
Từ AHNM tại H , tìm được ( 24 22, )
H
Do B là đối xứng của H qua AM , nên tìm được B(0; -2)
Tìm được BC : 2x + 4 y +8 = 0, CD : 2x - y + 18 = 0 suy ra C(-8; 2)
TừADBC ta tìm được D(-4;10)
Bài 11 Cho hình vuông ABCD, lấy điểm M thuộc đoạn BD Đường phân giác góc BAM và DAM lần lượt cắt BC và CD tại F(-4;1) và E(-1; -3) Biết
10 3
;
, tìm toạ độ D, biết A có tung độ dương
Giải:
Trang 11
H E
F B
D
A
C I
M
Trên tia đối tia DC lấy I sao cho BF = DI
Chứng minh được hai tam giác AEF và AEI bằng nhau
0 90
EAM AEH AED DAE
Suy ra AM vuông góc với EF
Phương trình AM là 3x 4 y 6 0 , rút ra toạ độ điểm A có dạng 4t 2;3t , t
> 0
| | | |
AE AF EAF
AE AF
45
EAF , thay toạ độ A vào ta được
2
Đặt a 5t 2 2t 1, suy ra a > 0, giải ra được a = 6
Suy ra 5t 2 2t 7 0 , vì t > 0 nên nhận t = 1 Khi đó A có toạ độ (2; 3)
I là đối xứng của F qua AE nên có toạ độ (4; -3)
CD qua I và E nên có phương trình y 3 0
AD qua A vuông góc với (CD) nên có phương trình x 2 0
D là giao điểm của AD và CD nên D(2; -3)
Trang 12Fanpage: Thầy Duy Thành-Tiến sĩ Toán
E(1,0)
M(0,3)
I
