Một số chuyên đề về đường thẳng và đường tròn trong hình học phẳng

Gồm có :các bài toán về ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy; đường thẳng và đường tròn, tứ giác nội tiếp.. Nếu các đường thẳng đồng quy thì các giao điểm thẳng hàng, Ngược lại nế

1

Lời mở đầu

Hình học phẳng không xa lạ đối với học sinh trung học phổ thông, cũng là một trong những dạng toán khó trong các kì thi hoc sinh giỏi cấp tinh, cấp Quốc Gia, cấp Quốc Tế cho học sinh Trung học phổ thông, thi học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9, thi tuyển sinh vào lớp 10 các trường chuyên khối khoa học tự nhiên Bởi vậy tôi lựa chọn tìm hiểu “Một số chuyên đề về đường thẳng và đường tròn trong hình học phẳng”

Hình học phẳng trong toán THPT với chủ yếu là các bài toán về đường thẳng và đường tròn, với đối tượng học sinh khá giỏi, còn được bổ sung thêm các định lí thường dùng như Menelaus, Ceva, Ptoleme,…Với mục đích giải các bài toán hính học phẳng trong các kì thì Olympic Toán Qốc Tế,học sinh giỏi các cấp, thi vào THPT, thi vào trường chuyên, lớp chọn Nên trong Luận văn này, ngoài phần mở đầu và phần kết luận tôi trình bày hai chương :

Chương 1 trình bày các bài toán về đường thẳng, đường tròn Gồm có :các bài toán về ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy; đường thẳng và đường tròn, tứ giác nội tiếp

Chương 2 là trọng tâm của luận văn các bài toán về vectơ và ứng dụng của vectơ gồm có 3 phần 2.1: Vectơ, tâm tỉ cự; 2.2 : Tích ngoài của hai vectơ va ứng dụng, 2.3: Phương tích của điểm đối với đường tròn Trục đẳng phương, tâm đẳng phương

Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS.Vũ Đỗ Long – Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội Từ đáy lòng mình em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Vũ Đỗ Long đối với sự quan tâm, chỉ bảo tận tình của thầy Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, đã dạy dỗ, trang

bị những kiến thức bổ ích cho sự nghiệp giáo dục của tôi sau này,giúp đỡ tôi trong suốt quá trình theo học.Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán- Cơ- Tin học đã tạo điều kiện, giúp đỡ cho tôi hoàn thành luận văn này

Hà Nội, ngày … tháng … năm 2015

Tác giả

Lê Đình Trường

Chương I Các Bài Toán về đường thẳng , đường tròn

1.1 Bài toán về ba đường thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy

Bài toán 1 Định lí Mê-nê-la-uýt Cho tam giác ABC Ba điểm Q, R, P theo thứ

tự thuộc các đường thẳng BC, CA, AB Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng khi

̅̅̅̅

Chứng minh

Điều kiện cần Giả sử P, Q, R thẳng hàng Qua C vẽ đường

thẳng song song với PQ cắt AB tại (h.1) theo định lí Ta- lét

̅̅̅̅

̅̅̅̅

Điều kiện đủ Ngược lại, ta chứng minh rằng nếu thỏa mãn (1) thì ba điểm P, Q,

R thẳng hàng Gọi giao điểm của QR và AB Vì Q, R, thẳng hàng nên theo chứng minh trên :

Bài toán 2 Định lí Xê – va Cho tam giác ABC Các điểm M, N, P lần lượt

thuộc các đường thẳng BC, CA, AB Chứng minh rằng AM, BN, CP đồng quy

hoặc song song khi và chỉ khi

̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅̅ => AM, BN, CP đồng quy tại Ọ

- Nếu không có hai đường nào trong ba đường thẳng AM, BN, CP cắt nhau thì hiển nhiên cả ba đường thẳng song song với nhaụ

Bài toán 3 Định lí Desargues Cho hai tam giác ABC và Nếu các đường thẳng đồng quy thì các giao điểm thẳng hàng, Ngược lại nếu các giao điểm của chúng thẳng hàng thì các đường thẳng đồng quỵ

Chú ý : Các đường thẳng gọi là đường thẳng nói các đỉnh tương ứng của hai tam giác ABC và , các giao điểm AB ∩ Ấ B^', gọi là các giao điểm tương ứng của hai tam giác đó Khi đó định lí Desargues được phát biểu như saụ Các đường thẳng nối các đỉnh tương ứng của hai tam

giác đồng quy (hoặc song song) khi và chỉ khi giao điểm các cạnh tương ứng thẳng hàng

Chứng minh

a) Điều kiện đủ Giả sử các đường thẳng

đồng quy tại O.(h.4) và

Áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác ABO

và ba điểmP, ta có

Giả sử hai đường thẳng à cắt nhau tại O Xét hai tam giác A và C

ta có các đường thẳng nối các đỉnh tương ứng AC, , PQ đồng quy tại R cho nên theo phần thuận a) thì giao điểm các cạnh tương ứng phải thẳng hàng, ba giao điểm đó là ∩ C Vậy đường thẳng đồng quy tại O

Bài toán 4 Cho hai hình bình hành ABCD và A trong đó ba điểm A, B, thẳng hàng, ba điểm A, D, thẳng hàng Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng B à Chứng minh rằng I, , C thẳng hàng

Bài toán 5 Cho tứ giác ABCD không phải hình thang, AB và CD cắt nhau tại E,

AD và BC cắt nhau tại F Gọi I , J, K lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AC,

BD, EF Chứng minh rẳng I , J, K thẳng hàng

Bài giải

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh

BE, EC và CB của tam giác BEC (h.6)

Khi đó các điểm I , J, K lần lượt nằm

, áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác MNP và ba điểm

I,J, K ta suy ra ba điểm I, J, K thẳng hàng

Bài toán 6 Cho hình bình hành ABCD với tâm O Trên các đường thẳng BD,

BC, AC lần lượt lấy các điểm P, Q, R sao cho AP // OQ // DR Chứng minh rằng

Bài giải

Qua C vẽ đường thẳng song song với RD,

đường thẳng này cắt BD tại (h.7)

Theo định lí Ta – lét ta có

̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅

vì C // RD và B đối xứng với D qua O ,

đối xứng với P qua O

Bài toán 7 Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt

tại M, N, P Chứng minh rằng AM, BN, CP đồng quy

Theo định lí Xê- va cho tam giác ABC và ba điểm M, N, P ta được AM, BN, CP

= Theo định lí Mê-nê-la-uýt cho tam giác AMC và ba điểm B, I, N ta được B, I, N thẳng hàng Vậy ba đường thẳng AM, BN, CP đồng quy

Bài toán 8 Cho tam giác ABC, M là điểm nằm trong tam giác AM, BM, CM

lần lượt cắt BC, CA, AB tại P, Q, R ( P không phải là trung điểm của BC) Lấy T

trên đường thẳng BC Chứng minh rằng

khi và chỉ khi P, Q, R thẳng hàng

Bài giải (h.10)

Điều kiện đủ Giả sử

(1) Theo định lí Xê-va ta có

. Theo định lí Mê-nê-la-uýt cho tam giác ABC

và ba điểm P, Q, R ta được ba điểm P, Q, R thẳng hàng

Điều kiện cần Ngược lại, giả sử P, Q, R thẳng hàng Lấy trên đường thẳng

Bài toán 9 Cho tam giác ABC, điểm O nằm trong tam giác Các đường thẳng

AO, BO, CO lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB tại M, N, P Đường thẳng qua O , song song với BC lần lượt cắt MN, MP tại E và F Chứng minh rằng OE = OF

Trường hợp 2: NP và BC không song song với nhau (h.12)

Đặt Q = NP ∩ BC Áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác

- Nếu đường thẳng Δ cắt bốn đường thẳng a, b, c, d lần lượt tại thì

9

Áp dụng tính chất trên với bốn đường thẳng OB, OM, OC, OQ và đường thẳng

BQ và PQ cắt nhau ta được

hay

Áp dụng tính chất trên với bốn đường thẳng MQ, MN, ML, MP và

.Ta được OE= OF

Bài toán 10 Cho tam giác ABC, D là trung điểm của cạnh BC và E là một điểm

nằm giữa B và D sao cho BE = 2 ED Một đường thẳng bất kì đi qua C khác với

CA, CB cắt hai đường thẳng AB và AD lần lượt tại M và N Chứng minh rằng ba đường thẳng BN, DM và AE đồng quy

Bài toán 11 Cho hình bình hành ABCD, các điểm X, Y, Z, T nằm giữa DA, AB,

Bài giải

Theo giả thiết ta có AX = 2DX, BY = 2AY, CZ = 2BZ, DT = 2CT

Gọi P và lần lượt là giao điểm của AB và

hai đường thẳng song song c và ZT (h.14)

P = CT = DC = AB Hai tam giác ZB và

ZCT đồng dạng với nhau và BZ = CZ nên

Gọi N và lần lượt là giao điểm của đường thẳng b với AC và DC thì BYT là

hình bình hành nên : = BY = CD Vậy = = CD = BA

Từ đó áp dụng định lí Xê- va vào tam giác ABC và ba điểm P, M, N ta suy ra ba

đường thẳng AM, BN, CP đồng quy cũng tức là ba đường thẳng a, b, c đồng quy

Bài toán 12 Cho tam giác ABC ; điểm O nằm trong tam giác Các đường thẳng

AO, BO, CO lần lượt cắt BC, BA, AB tại , , Lấy điểm nằm trong tam

giác Các đường thẳng A , B , C lần lượt cắt tại

11

Từ (h.15) ta có

̅̅̅̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = ( ) ( ) ( )

= =

=

=

= ( ̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅̅) ( ̅̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅) ( ̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅) ̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅ Vì A đồng quy nên theo định lí Xê – va vào tam giác ABC và ba điểm , , ta có ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ , suy ra ̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ Áp dụng định lí Xê- va vào tam giác ểm , , ta được

đồng quy Bài toán 13 Cho tam giác ABC và các đường tròn ( ) tiếp xúc với các tia AB, AC; đường tròn ( ) tiếp xúc với các tia BC, BA; đường tròn ( ) tiếp xúc với các tia CA, CB Đường tròn ( ) tiếp xúc ngoài với ( ), ( ), ( ) lần lượt tại X, Y, Z.Chứng minh rằng AX, BY, CZ đồng quy Bài giải (h.16) Gọi ( I; r ) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC, , , , lần lượt là bán kính các đường tròn ( ), ( ), ( ), ( ) Đặt K =AX ∩ I Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác I với ba điểm thẳng hàng A, X, K ta có : ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅

Áp dụng định lí Ta – lét ta suy ra

̅̅̅̅̅̅ ( ) suy ra

̅̅̅̅̅̅ .

Đặt = BY ∩ I , = CZ ∩ I Tương tự như trên ta chứng minh được ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅ và ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅ Từ đó suy ra K ≡ Vậy AX, BY, CZ đồng quy tại K A B C O

Hình 15

C

A

B

I

K

X

Hình 16

Bài toán 14 Cho tam giác ABC, điểm O nằm trong tam giác Đường thẳng qua

O song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại Đường thẳng qua O song

song với CA cắt BC, BA lần lượt tại Đường thẳng qua O song song với

AB cắt CA, CB lần lượt tại Vẽ các hình bình hành O , O ,

̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Theo định lí Xê – va ta có AM, BN, CP đồng

quy hay , , đồng quy

Bài toán 15 Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai

cạnh BC và CD sao cho MC= 2MB, DN = 2NC Gọi I, J, K lần lượt là trung

điểm của các đoạn thẳng MA, AN va MN Chứng minh rằng ba đường thẳng BI,

Giả sử đường thẳng DJ cắt AB tại và cắt BC tại Y Vì J là trung điểm của NA

và A // ND nên J cũng là trung điểm của D và do đó ADN là hình bình hành, suy ra A = DN, B = CN Ta có B // CD nên

3. Ngoài ra vì Y nằm ngoài đoạn thẳng BC nên

= 3 Gọi P là trung điểm của Cm và giả sử đường thẳng Ck cắt BD tại Z và cắt NP tại

Khi đó là trọng tâm của tam giác NPC nên ̅̅̅̅̅̅

1.2 Một số bài toán về đường thẳng và đường tròn, tứ giác nội tiếp

Bài toán 16.( Bất đẳng thức Ptoleme) Cho tứ giác ABCD, ta có AB.CD +

BC.AD AC.BD Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn

Bài giải

Lấy điểm E trong tứ giác ABCD sao cho ̂ = ̂, ̂ = ̂(h.19)

Ta có ΔABC đồng dạng với ΔAED (g.g) nên

( Vì ED + BE ≥ BD ) Dấu bằng xảy ra E nằm trên đường chéo BD

Vậy AB.CD + BC.AD AC.BD

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tứ giác ABCD nội tiếp

Bài toán 17 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), M thuộc cung ̂

không chứa điểm C Từ M kẻ các đường thẳng MD, ME, MK lần lượt taocj với các cạnh BC, CA, AB một góc bằng α (D, E, K lần lượt thuộc BC, CA, AB ) Chứng minh rằng D, E, K thẳng hàng

Bài giải.(h.20)

Ta có ̂ ̂ nên M, K, D, B

cùng nẳm trên một đường tròn Suy ra ̂ ̂

Ta lại có ̂ ̂ nên M, E, A, K cùng nằm trên

một đường tròn Suy ra ̂ ̂ Mặt khác AMBC là tứ

giác nội tiếp nên ̂ ̂ Mà ̂ ̂

̂ ̂ suy ra ̂ ̂ nên ̂ ̂

Do đó D, E, K thẳng hàng

Nhận xét Trong trường hợp α = , thì đường thẳng DEK là đường thẳng

SimSon

Bài toán 18 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn, tiếp tuyến tại A, B, C cắt

các đường thẳng BC, CA, AB lần lượt tại P, Q, R Chứng minh rằng P.Q, R

thẳng hàng.(Trục lemoine)

Bài giải (h.21)

Ta có PA là tiếp tuyến của đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABC nên ̂ ̂

Suy ra ΔPAB đồng dạng với ΔPCA(g.g) nên

và

do đó

(1) Tương tự ΔQBC đồng dạng với ΔQAB (g.g) và

Bài toán 19 Cho tam giác ABC, M là điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC Gọi K, P, Q lần lượt là các điểm đối xứng của M qua BC, CA, AB Chứng minh rằng P, K, Q cùng nằm trên một đường thẳng và đường thẳn đó luôn đi qua một điểm cố định, không phụ thuộc vào điểm M thay đổi trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài giải

Gọi D, E, F lần lượt là giao điểm của MK, MP,

MQ với BC, CA, AB (h.22) Suy ra MD ⊥ BC,

⊥ F ⊥ o ó F thẳng hàng

( đường thẳng Simson).Mặt khác MD = DK,

ME = EP, MF = FQ Suy ra EF là đường trung

bình của tam giác MPQ, ED là đường trung bình

của tam MPK nên EF // PQ và ED // KP Suy ra P, K, Q thẳng hàng Gọi H là trực tâm của ΔABC và I, J lần lượt là điểm đối xứng của H qua AC và AB Suy ra I, J thuộc đường tròn ngoại tiếp ΔABC nên các tứ giác MHIP , MHJQ là hình thang cân

của các điểm A, B, C, D đối với các tam giác

BCD, CDA, DAB,ABC lần lượt đi qua

, Do đó , , , lần lượt đi

qua trung điểm của

gọi M là trung điểm của AB thi

Vì nên CD là hình bình hành

Suy ra cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Tương tự cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Vậy , , , đồng quy

Bài toán 21 Cho hai đường tròn ( ) và ( ) cắt nhau tại A và B Trên tia đối

của tia BA lấy điểm M Từ M kẻ hai tiếp tuyến ME, MF với đường tròn ( ), ( E,

F là các tiếp điểm, F cùng phía với bờ là AB) Đường thẳng BE và BF cắt

đường tròn ( ) lần lượt tại P và Q, gọi I là trung điểm của PQ Chứng minh rằng

ba điểm E, F, I thẳng hàng

Bài giải

Kéo dài EF cắt PQ tại (h.24) vì MF là tiếp tuyến nên F ̂ F ̂ ( chắn

cung F ) nên ΔMFB và ΔMAF đồng dạng suy ra

. Tương tự ΔMEB

và ΔMAE đồng dạng nên

Do F nên

(1)

Ta có F ̂ ̂ (cùng chắn cung ),

ABPQ là tứ giác nội tiếp.Suy ra ̂ ̂

nên F ̂ ̂ Từ đó AF Q là tứ giác nội tiếp

17

Vây I ≡ Suy ra ba điểm E, F, I thẳng hàng

Bài toán 22 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O ) Đường tròn ( I ) luôn

đi qua B và C cắt AB, AC lần lượt tại M, N Đường tròn ( J ) ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường tròn ( O ) tại điểm thứ hai là K Chứng minh rằng KI // OJ Bài giải

Nối M với K, và K với I (h.25) thì ̂ ̂ (1)

Do đó ̂ ̂ nên tứ giác MKIC nội tiếp

Suy ra ̂ ̂ Trong tam giác IMC có

̂ ̂ ̂ ̂

Suy ra ̂ ̂ nên ̂ ̂ Do đó IK ⊥ Đường tròn (J) và đường tròn (O) cắt nhau tại A, K nên OJ ⊥ Su OJ // IK

Bài toán 23 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) M nằm trên tia đối của

tia BD sao cho MA, MC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) Tiếp tuyến tại B với đường tròn (O) cắt MC tại N và cắt CD tại P, ND cắt đường tròn (O) tại E Chứng minh rằng A, E, P thẳng hàng

Suy ra ΔMCB và ΔMDC đồng dạng suy ra

(1)

Tương tự ta có

(2) mặt khác MA = MC (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra

suy ra

Mặt khác NB, NC là tiếp tuyến của đường tròn (O) và tứ giác BECD nội tiếp nên

chứng minh tương tự ta có

(7) Vì PB là tiếp tuyến của (O) nên

suy ra Do đó

( ) (

(

)

(11)

Từ (9) và (11) suy ra

suy ra P ≡ Q suy ra A, E, P thẳng hàng

Bài toán 24 Cho tam giác ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp Đường thẳng

AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D E là điểm trên cung BDC, và F

19

là điểm trên cạnh BC sao cho F̂ ̂ ̂ , G là trung điểm của IF

Chứng minh rằng DG cắt EI tại điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài giải

Giả sử EI cắt đường tròn ngoại tiếp ΔABC tại S,

SD cắt AF và IF lần lượt tại J và H, AD cắt

cạnh BC tại M.(h.27)Ta sẽ chứng minh G ≡ H

Theo định lí Mê-nê-la-uýt cho ΔAIF

ra H ≡ G Từ đó suy ra DG cắt EI tại điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài toán 25 Cho hình chữ nhật ABCD, trên tia đối BD lấy điểm P sao cho

̂ ̂ Tính tỉ số

Bài giải

Đường tròn ngọa tiếp hình chữ nhật ABCD cắt PA tại K.(h.28)

Vì AC là đường kính của đường tròn đó

nên CK ⊥ Dựng tam giác CQO vuông

cân tại Q sao cho Q thuộc nửa

mặt phẳng bờ PC chứa điểm B

ta có QC = QP, ̂

Kéo dai CB cắt AP tại E

Theo giả thiết ta có ̂ ̂

Suy ra ΔPEC cân tại E

suy ra QE ⊥ ứ giác AKBD nội tiếp từ đó suy ra ̂ ̂ ̂

Do đó ΔPEB đồng dạng với ΔPBK nên

ừ ó u (1)

Mặt khâc từ cách dựng trên suy ra tứ giác CKQP nội tiếp

Suy ra ̂ ̂ ̂ từ đó suy ra ΔPQE đồng dạng với ΔPKQ

Do đó

từ đó suy ra (2)

Từ (1) và (2) suy ra PB = PQ từ đó suy ra

√

Bài toán 26 Chứng minh rằng trong một tam giác ba trung điểm của các cạnh,

ba chân đường cao tam giác, và ba trung điểm các đoạn nối đỉnh đến trực tâm

của tam giác đó cùng nằm trên một đường tròn ( Đường tròn Euler hay đường

cùng nằm trên đường tròn đường kính I

Tương tự các điểm còn lại cũng thuộc đường tròn đường kính I

Cách 2 Gọi các điểm như hình vẽ (h.29) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

có bán kính T và J là giao điểm của HO và I Suy ra OI ⊥ nên

21

Vì OI = nen IO là hình bình hành từ đó JH = JO Vì là hình bình

hành nên J = JM Xét ΔAHO có J là đường trung bình.Suy ra

Chứng minh tương tự các điểm còn lại cách J một khoảng Ta xác định được tâm J là trung điểm của đoạn thẳng nối trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác, bán kính đường tròn chín điểm là Bài toán 27 Chứng minh rằng trong một tam giác đường tròn Euler tiếp xúc trong với đường tròn nội tiếp Bài giải Gọi các điểm như hình vẽ (h.30) Gọi SQ là đường kính đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC, kẻ AP ⊥ S vì J là trung điểm của OH nên J là tâm đường tròn Euler,hạ JE ⊥

có l âm ường tròn nội tiếp tam giác ABC nên A, I, S thẳng hàng Hạ IN ⊥

Trong mọi tam giác ta có AH = 2OM Tứ giác HOMK là hình thang có JE là đường trung bình Suy ra HK + OM = 2JE và

Gọi D là giao điểm của AS và BC thì ̂ ̂ ̂

Suy ra ΔAPQ và ΔIND là hai tam giác vuông đồng dạng nên suy ra (vì AP = MK).(1) Tứ giác AEMQ nội tiếp từ đó suy ra S S S S S Vì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên S S S Từ đó suy ra S S S Gọi hình chiếu của A, I, S trên cạnh BC tương ứng là K, N, M thì ta có Suy ra

Từ đó suy ra

A

S

Q

P

M

N E D

K

H

J

I

O

Hình 30

Suy ra nên đường tròn Euler tiếp xúc trong với đường tròn nội tiếp

Bài toán 28 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Đường thẳng Δ thay

đổi đi qua trực tâm H của tam giác ABC cắt các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH, ACH lần lượt tại M và N ( M ≠ H, N ≠ H ) Xác định vị trí của đường

thẳng Δ để diện tích tam giác AMN lớn nhất

Bài giải

Kéo dài đường thẳng BH cắt AC tại E và cắt đường

tròn (O) tại D (h.31) Ta có ̂ ̂ (cùng chắn cung ̂ )

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên ̂ ̂

Từ đó suy ra ̂ ̂

Suy ra H và D đối xứng với nhau qua AC

Do đó đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

và đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC

đối xứng với nhau qua AC nênhai đường

tròn này bằng nhau.Tương tự ba đường

tròn ngoại tiếp tam giác ABC, tam giác BHC,

tam giác ABH có bán kính bằng nhau Suy ra ̂ ̂ nên

̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂

̂ ( ̂ ) ̂ ̂ ̂ (không đổi)

Do tam giác AMN cân tại A có góc ở đỉnh không đổi Suy ra diện tích AMN lớn nhất

23

AM lớn nhất

l ường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB

AH ⊥ MN // BC

Bài toán 29.(Olympic Việt Nam -2004) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường

tròn (O) có trực tâm là H, D là điểm trên cung nhỏ BC, dựng hình bình hành

ADCE, K là trực tâm của tam giác ACE Gọi P,Q là hình chiếu của K trên BC và

AB Chứng minh rằng PQ đi qua trung điểm của HK

Bài giải

(h.32) Theo giả thiết ta có ̂ ̂

K là trực tâm ΔAEC => EK ⊥ ; ̂ ̂

suy ra

̂ ̂ nên tứ giác ADCK nội tiếp suy ra

K  (O) , EK cắt AC tại I suy ra P, Q, I thẳng hàng

(đường thẳng SimSon) Giả sử AH cắt (O) tại M và cắt

PQ tại N suy ra MN // KP, KQ ⊥ ⊥ BC o ó BQKP nội tiếp

u ̂ ̂ ̂ do đó MPKN là tứ giác nội tiếp suy ra

MPKN là hình thang cân nên KN = PM, mặt khác PH = PM suy ra PH = KN do

đó HPKN là hình bình hành suy ra NP cắt HK tại trung điểm mỗi đoạn do đó PQ

đi qua trung điểm của HK

Bài toán 30 Cho tam giác vuông ABC (̂ ) và ̂ ̂ Tiếp tuyến với

đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại cắt BC tại D Gọi E là điểm đối xứng của

A qua BC, H là hình chiếu của A trên BE Gọi I là trung điểm của AH, đường

thẳng BI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại K Chứng minh rằng BD là

tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADK

Bài giải (h.33)

Vì E là điểm đối xứng của A qua BC nên DE là

tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Suy ra A, I, M, K cùng nằm trên đường tròn nên

Suy ra ̂ ̂ ̂ ̂ nên DB là tiếp tuyến của đường tròn

ngoại tiếp tam giác ADK

Bài toán 31 Cho hình bình hành ABCD, đường phân giác của ̂ cắt BC và

CD lần lượt tại M và N Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN Gọi

E là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp các tam giác CMN và BCD Chứng

minh bốn điểm O, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn, từ đó suy ra ̂

( ̂) ( ̂) ̂

Do đó ΔBMO và ΔDCO bằng nhau (c.g.c)

Suy ra ̂ ̂ nên bốn điểm O, C, D, B cùng nằm trên một đường tròn

Từ chứng minh trên ta được

Suy ra từ đó BD nên BECD là hình thang cân

Mặt khác ̂ ̂ ̂ nên A và E đối xứng với nhau

25

Chương II Các bài toán về vectơ và ứng dụng của vectơ

Hai vectơ gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng Vectơ đối của vectơ

được kí hiệu là Với kí hiệu đó, ta có

Hiệu của vectơ và vectơ ,kí hiệu là , là tổng của và ( Như vậy :

+ (

Ta có hai quy tắc quan trọng đối với phép trừ vectơ:

▪ ( O là điểm tùy ý)

▪ c c (quy tắc chuyển vế)

c) Phép nhân một vectơ với một số thực

Tích của số thực k với vectơ là một vectơ, kí hiều là k , được xác định như sau:

▪ Nếu k = 0 hoặc thi

là một vectơ không đổi

5 Sự biểu diễn vectơ và phép chiếu vectơ

Sự biểu diễn vectơ

▪ Cho vectơ , là vectơ tùy ý Khi đó kR: số k xác định như vậy là duy nhất

▪ Cho là hai vectơ không cùng phương, c là vectơ bất kì Khi đó tồn tại duy nhất các số (m,n) sao cho c m n

Phép chiếu vectơ

27

Cho đường thẳng Δ và đường thẳng l không song song với Δ, là vectơ bất kì Qua A, B kẻ các đường thẳng song song với l, chúng cắt Δ theo thứ tự tại , Vectơ được gọi là hình chiếu vủa vectơ qua phép chiếu vectơ phương l (phương chiếu) lên đường thẳng Δ (đường thẳng chiếu)

6.Tích vô hướng của hai vectơ

Góc giữa hai vectơ (khác ) và là góc giữa hai tia Om, On song song và cùng hướng với hai vectơ ấy, kí hiệu là ( )

Tích vô hướng của hai vectơ là một số thực, kí hiệu , xác định như sau:

2.1.2 Một số bài toán về vectơ và tâm tỉ cự

Bài toán 32 Cho hai điểm A, B phân biệt và hai số α và β không đồng thời bằng

Đẳng thức này chứng tỏ sự tồn tại và duy nhất của điểm M, đồng thời chỉ ra cách dựng điểm M

Bài toán 33 Cho tam giác ABC và ba số α, β, γ không đồng thời bằng 0

Vậy không tồn tại điểm M

Bài toán 34 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M trong các trường hợp sau:

| | | | MI = MJ

Vậy tập hợp điểm các điểm M là đường trung trực của IJ

c) Gọi điểm P thỏa mãn điều kiện :

(P xác định duy nhất) và I là trung điểm của BC

d) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, Q là điểm sao cho:

Vậy tập hợp các điểm M là đường trung trực của GQ

Bài toán 36 Cho tam giác ABC và đường thẳng Δ Tìm trên Δ điểm M sao cho

| | nhỏ nhất

Bài giải

Gọi I là điểm thỏa mãn

9 ( vị trí của điểm I)

Với mọi điểm M ta có

Suy ra | | nhỏ nhất | | nhỏ nhất MI nhỏ nhất Kết hợp với điều kiện M  Δ, ta suy ta điểm M phải tìm là hình chiếu vuông góc của I trên Δ

Bài toán 37 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I,đường tròn (I) tiếp

xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P Chứng minh rằng a

31

{

Cộng từng vế của hai đẳng thức, vơi chú ý và

là hai vectơ đối, ta được

. (5)

Từ (4) và (5) suy ra c

Hệ quả Với điểm J bất kì trong tam giác ABC, hạ J , J , J lần lượt vuông

góc với BC, CA, AB Ta có

Bài giải

Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo n

Nếu n= 3 thì theo bài toán 37,

Hình 37

vuông góc với ,

hướng ra phía ngoài tam giác

Theo bài toán 37 ta có

Gọi D là giao điểm của đường thẳng MA và BC

Ta có

Nhưng

S

S S

Thay vào (*) ta được S S S

S S S (đpcm)

Bài toán 40 Cho tam giác ABC không đều, BC là cạnh nhỏ nhất Đường tròn

nội tiếp (I) của tam giác tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại X, Y, Z Gọi G là trọng tâm của tam giác XYZ Trên các tia BA, CA lần lượt lấy các điểm

E, F sao cho BE= CF= BC Chứng minh rằng IG ⊥ F

33

Không mất tính tổng quát, giả sử bán kính đường

tròn (I) bằng 1 Dựng vectơ vuông góc với EF (h.39)

Áp dụng định lí Con nhím cho tứ giác EBCF, ta có

Tập hợp các điểm M là đường tròn CE)

b) (h.40) Gọi I là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCI, ta có

Bài toán 42 Cho tam giác ABC, M là điểm nằm trong tam giác H, I, K lần lượt

là hình chiếu của M trên BC, CA, AB Chứng minh rằng M là trọng tâm tam giác HIK khi và chỉ khi c

M là trọng tâm tam giác HIK

Bài toán 43 Cho tam giác ABC, các điểm M, N, P thuộc các đường thẳng BC,

CA, AB Chứng minh rằng : AM, BN, Cp đồng quy tại tâm tỉ cự của hệ điểm {

A, B, C } ứng với các hệ số { α, β, γ } khi và chỉ khi

Bài giải (h.42)

Điều kiện cần Nếu AM, BN, CP đồng quy tại O Và

thì (định nghĩa tâm tỉ cự) Xét phép chiếu vectơ phương AM lên

Vậy AM, BN, CP đồng quy tại O(đpcm)

Bài toán 44 Cho tam giác ABC không đều nhau Các đường tròn bàng tiếp góc

A, B, C tương ứng tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tại M, N, P Chứng minh rằng AM, BN, CP đồng quy tại một điểm trên đường thẳng nối tâm đường tròn nội tiếp và trọng tâm tam giác ABC

p p ( G: trong tâm ΔABC)

Bài toán 45 Cho tam giác ABC, vẽ các trung tuyến AM, BN, CP và các phân

giác AD, BE, CF các điểm X, Y, Z thuộc các cạnh BC, CA, AB sao cho

Nhờ phép chiếu vectơ phương (A ) lên đường thẳng BC,

Bài toán 46 Cho tam giác ABC; M là điểm bất kì; H, I, K theo thứ tự là hình

chiếu của M trên các đường thẳng BC, CA, AB Tìm vị trí của M sao cho

37

M là tâm tỉ cự của hệ ba điểm {A, B, C } với các hệ số { c

M là trọng tâm của tam giác IHK.(M là điểm Lơ-moan của tam giác ABC) Tóm lại, nhỏ nhất khi M là điểm Lơ-moan của tam giác ABC( c , còn giá trị nhỏ nhất đó bằng

Bài giải (h.47)

Gọi a là độ dài cạnh tam giác đêu ABC

Vì I CN nên tồn tại x, y sao cho (1)

( )

+ Vậy BI ⊥ CN

Bài toán 49 Cho tam giác ABC, lấy điểm M nằm trong đó Đường thẳng AM,

BM, CM cắt BC, CA, AB tại Gọi là trung điểm của

Đường thẳng M M M giao với BC, CA, AB tại Ký hiệu giao điểm của ba đường thằng A là K Chứng minh rằng M, K và trọng tâm của tam giác thẳng hàng