Thao tác này dựa trên thủ tục TreeSearchk,v trong đó k: khóa tìm kiếm ; v: nút trong của cây nhị phân tìm kiếm; kết quả trả về là một nút w của cây Tv.. TreeSearch int k,CBTNode *v { if
Trang 1Lời nói đầu
Ngày nay sự phát triển của ngành tin học đã đóng một vai trò to lớn trong đời sống của con ngời Tin học đợc ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành, nhiều lĩnh vực và hiệu quả của nó rất cao, giải quyết nhiều công việc mà tởng chừng con ngời rất khó thực hiện
Tuy nhiên hệ thống tin học ngày càng phức tạp, vì vậy xu thế áp dụng phơng pháp thiết kế hớng đối tợng ngày càng đợc sử dụng rộng rãi thay cho phơng pháp cấu trúc (là phơng pháp truyền thống) và ngày càng
đợc phổ biến khi xây dựng phần mềm lớn và phức tạp
Vì vậy môn học Lập trình hớng đối tợng là một môn học đợc dạy ở hầu hết các khoa Công nghệ thông tin ở các trờng Đại học
Với mục tiêu trang bị cho sinh viên khoa Công nghệ thông tin một kiến thức cơ sở về lập trình hớng đối tợng, làm nền móng để phát triển sau này Với các kiến thức đã học, các tài liệu tham khảo, dới sự trực tiếp giảng dạy và hớng dẫn của thầy Huỳnh Quyết Thắng, chúng tôi đã tìm hiểu và xây dựng bài toán “Thực thi các phơng pháp ADT từ điển có sắp thứ tự dùng một cây AVL”
Vì trình độ cũng nh thời gian có hạn nên không tránh khỏi những khuyết điểm, không đầy đủ , và thiếu sót, rất mong các bạn đóng góp ý kiến
Cuối cùng chúng tôi xin chân thành cám ơn sự hớng dẫn nhiệt tình của thầy Huỳnh Quyết Thắng - Bộ môn Công nghệ phần mềm, đã chỉ dẫn tận tình và giúp đỡ chúng tôi hoàn thành bài tập này !
Đối với một bài toán đợc đa ra , chúng ta có các cách khác nhau
để giải quyết cùng bài toán, sao cho có thể khảo sát, sử dụng những hiệu năng khác nhau
Trong báo cáo này chúng ta sẽ giải thích các cách khảo sát khác nhau để giải quyết bài toán thực thi một từ điển có sắp thứ tự Tức là ta sẽ
Trang 2ngnhiên cứu vài cấu trúc dữ liệu dựa trên các cây khác nhau để thể hiện các từ điển có sắp thứ tự
Thao tác tìm kiếm trên cây nhị phân tìm kiếm là 1 thao tác quan trọng, nó làm cơ sở, nền móng cho các thao tác khác Thao tác này dựa
trên thủ tục TreeSearch(k,v) trong đó k: khóa tìm kiếm ; v: nút trong của
cây nhị phân tìm kiếm; kết quả trả về là một nút w của cây T(v)
TreeSearch (int k,CBTNode *v)
{
if (isExternal(v))
return v;
if (k== v->keys())
return v;
else
if (k<v->keys())
return TreeSearch(k,v->getLeft());
else
return TreeSearch(k,v->getRight());
}
Cũng nh vậy, trong các thao tác cập nhật trên cây nhị phân tìmkiếm với 2 thao tác cơ bản là Chèn(insertitem(k,e)) và Gỡ bỏ(removeElement(k)) trên một từ điển D đợc thực thi với một cây nhị phân tìm kiếm
Với phép chèn: ta bắt đầu bằng bằng cách gọi thủ tục
TreeSearch(k,T.root())
trên T và các phép xử lý tiếp theo đối với kết quả trả về Vì số lợng các nút đã thăm tỷ lệ với chiều cao h của T trong trong trờng hợp xấu nhất cho nên thao tác này thực hiện với thời gian O(h)
Với phép gỡ bỏ: ta cũng phải bắt đầu với thủ tục
TreeSearch(k,T.root()) và các phép xử lý tiếp theo đối với kết quả trả về (Kết thúc nếu không tìm thấy nút nào có khóa k hoặc các phép gỡ bỏ và cấu trúc lại) Thuật toán gỡ bỏ cũng tơng tự nh các thuật toán chèn và tìm
Trang 3kiếm Ta bỏ ra O(1) thời gian tại mỗi nút đã thăm và trong trờng hợp xấu nhất , số lợng các nút đã thăm tỷ lệ với chiều cao h của T vì vậy thao tác removeElement(k) cũng chạy trong thời gian O(h)
Khả năng vận hành:
Size , isEmpty
FindElement, insertitem,remove Element
FindAllElements, remove AllElements
O(1) O(h) O(h+s)
Để mô tả một lớp cây nhị phân tìm kiếm ta xây dựng một lớp BinarySearchTree, lớp này lu trữ các cặp khóa - thành phần của lớp item(lu trữ các vị trí (các nút) của cây nhị phân cơ sở của nó)
Lớp BinarySearchTree độc lập với cách thực thi cụ thể của cây nhị phân và nó vận dụng khả năng dùng lại mã của nó
CItem key elem keys() elements() setKey() setElement()
CBinaryTree root
roots() setRoot() isInternal() isExternal() insertItem() removeElement() TreeSearch()
Mô hình cây nhị phân mang lại khá nhiều điểm lý thú , tuy nhiên khả năng vận hành trong trờng hợp xấu nhất mà nó đạt đợc cho nhiều phép toán khác nhau là theo thời gian tuyến tính và nó cũng không tốt hơn khả năng vận hành của các thực thi từ điển gốc Khắc phục vấn đề này (để đạt
đợc thời gian loga cho tất cả các phép toán từ điển căn bản) bằng cách bổ sung một quy tắc vào phần định nghĩa cây nhị phân tìm kiếm; đó là tính chất chiều cao cân đối
Tính chất chiều cao cân đối: Với mọi nút trong của T, chiều cao
của các con của v có thể khác nhau tối đa là 1.
Trang 4H.9.9(a) H.9.9(b) 9.9.a: Hình sau khi thêm nút có khoá 54 thì các nút có khoá (78 và 44) trở nên không cân bằng
9.9.b: Hình sau khi 3 nút đợc cấu trúc( sắp xếp) lại
Các phép toán chèn và gỡ bỏ của các cây AVL cũng tơng tự nh tr-ờng hợp cây nhị phân tìm kiếm; song chúng ta phải thực hiện các phép toán bổ sung để đảm bảo tính chất của cây AVL Và nh vậy chúng ta sẽ phải bổ xung thêm thủ tục Restructure(x) - là phơng pháp cấu trúc lại 3 nút; thời gian chạy cho các trờng hợp này luôn đạt đợc thời gian loga
Khả năng vận hành:
Size , isEmpty
FindElement, insertitem,remove Element
FindAllElements, remove AllElements
O(1) O(logn) O(logn+s)
Để mô tả cho cây AVL chúng ta xây dựng lớp AVLitem - là mở rộng lớp item; còn lớp AVLTree là mở rộng lớp BinarySearchTree
CAVLItem height getHeight() setHeight()
CAVLTree
reStructure_a() reStructure_b() reStructure_c() reStructure_d() reStructure() tallerChild() setHeightTree()
Trang 5Trong một vài cấu trúc dữ liệu mà ta thờng gặp là các cây đa h-ớng(các cây có các mắt trong có 2 con trở lên) nh vậy rõ ràng khả năng lu trữ của nó sẽ tăng lên rõ rệt Tuy nhiên ta sẽ không đề cập đến các thao tác cập nhật trên các cây tìm kiếm đa hớng Việc tìm kiếm trên cây đa h-ớng khá đơn giản: ta thực hiện 1 lần tìm kiếm nh vậy bằng cách vẽ 1 lộ trình trong T bắt đầu từ gốc Khi ở tại một nút v-d(là nút có d khóa ) ta so sánh k với các khóa k1, k2, , kd-1 đợc lu trữ tại v; nếu k = ki nào đó thì
đợt tìm kiếm kết thúc thành công Bằng không ta tiếp tục tìm kiếm nh vậy; nếu đạt đến nút ngoài mà khôn có nút nào có khóa bằng k thì đợt tìm kiếm kết thúc không thành công
A
C
B
Trang 6Hỡnh 9.3: (A) Một cõy tỡm kiếm đa đường; (B) Tỡm đường đi trong
T cho khoỏ 12 (khụng thành cụng); (C) Tỡm đường đi trong T cho khoỏ
24 (thành cụng)
Trờng hợp đặc biệt của cây đa hớng là cây (2,4); cây (2,4) có đặc
điểm duy trì cây đa hớng ở trạng thái cân bằng Muốn vậy nó luôn phải duy trì hai tính chất đơn giản sau:
Tính chất kích cỡ: mọi mắt đều có tối đa 4 mắt con
Tính chất chiều sâu: tất cả các mắt ngoài đều có cùng chiều sâu
Các thao tác cập nhật trên cây tìm (2,4) cũng đợc thực hiện với việc bắt đầu bằng việc tìm kiếm khóa k (nh việc tìm kiếm trên cây tìm đa hớng)
Khả năng vận hành:
Size , isEmpty
FindElement, insertitem,remove Element
FindAllElements, remove AllElements
O(1) O(logn) O(logn+s)
Đối với phơng pháp chèn của chúng ta bảo đảm tính chất chiều sâu; nhng nó có thể vi phạm tính chất kích cỡ và kiểu vi phạm này đợc gọi là một sự cố tràn tại nút v; để sửa sự cố tràn này chúng ta thực hiện một phép tách(split) trên v Chúng ta có thể dễ dàng nhận thấy rằng tổng thời gian để thực hiện một phép chèn trên cây (2,4) luôn mất một thời gian là O(logn)
Phép gỡ bỏ cũng bảo đảm tính chất chiều sâu; nhng nó cũng có thể
vi phạm tính chất kích cỡ tại v
Mặc dù cây AVL và cây (2,4) có một số thuộc tính tốt nhng vẫn có những ứng dụng từ điển mà chúng không phù hợp lắm Ví dụ, cây AVL yêu cầu nhiều thao tác xây dựng lại cây mỗi khi có một phần tử đợc loại bỏ; còn cây AVL yêu cầu nhiều thao tác hợp nhất hoặc loại bỏ Còn trúc dữ liệu mà chúng ta xét trong chơng này, cây đỏ đen, không có những
hạn chế đó, tuy nhiên nó yêu cầu chỉ những thay đổi có cấu trúc O(1) đợc
Trang 7một cây nhị phân nhị phân tìm kiếm mà mỗi nút của nó đợc tô màu đỏ hoặc đen theo cách nh sau :
Gốc màu đen
Mọi nút ngoài đều màu đen
Các con của một nút đỏ là đen
Các nút ngoài có một độ sâu đen nh nhau, đợc định nghĩa là số các tổ tiên đen trừ đi một
Mô tả lớp cây đỏ đen:
CRBTree
insertItem() removeElement() reStructureRB_a() reStructureRB_b() reStructureRB_c() reStructureRB_d() reStructureRB() reStructureRBTree() reStructure1() reStructure2() reStructure3()
Xem xét việc chèn một phần tử x với khoá k trên 1 cây đỏ đen T, chúng ta sử dụng sự tơng ứng giữa T và cây (2,4) T’ và thuật toán chèn cho cây T’ Thuật toán chèn đầu tiên thao tác nh trên một cây nhị phân tìm kiếm Đó là, tìm k trong T cho tới khi gặp nút ngoài của T, thay thế nút này bằng một nút trong z, lu trữ (k,x) và có 2 nút con ngoài Nếu z là gốc của T, ta tô màu đen cho z, các trờng hợp khác tô màu đỏ Chúng ta cũng tô màu các con của z màu đen Thao tác này tơng ứng với việc chèn (k.x) vào một nút của cây (2,4) T’ với các con ngoài Thêm vào đó hành
động này bảo toàn các thuộc tính gốc, lá và độ sâu của T nhng nó có thể
vi phạm thuộc tính trong Thực sự là nếu z không phải là gốc của T và cha
v của z là đỏ thì chúng ta có một cha và một con (đó là v và z) cùng màu
đỏ Chú ý rằng theo thuộc tính gốc, v không thể là gốc của Tvà theo thuộc tính trong (đã đợc thoả mãn trớc đó ) cha u cua v phải là đen Vì z và cha
Trang 8của nó là đỏ nhng ông của z là u lại là đen nên chúng ta gọi sự vi phạm
thuộc tính trong này là đỏ kép tại nút z.
Cũng nh khi loại bỏ 1 phần tử ra khỏi cây thì có thể xuất hiện tình trạng
đen kép
Trong tất cả các trờng hợp nh vậy thì chúng ta đều phải sử dụng thủ tục
reStructure() để xây dựng lại
Từ các phân tích trên chúng ta xây dựng các lớp và sơ đồ kế thừa nh sau:
(trang sau)
Trang 9key
elem
keys()
elements()
setKey()
setElement()
CAVLItem height getHeight() setHeight()
CBTNode left
right parent sibling getLeft() getRight() getParent() getSibling() setLeft() setRight() setParent() setSibling() isBalanced() isDoubleRed() isDoubleBlack() maxHeight() setHeightNode()
CBinaryTree root
roots() setRoot() isInternal() isExternal() insertItem() removeElement() TreeSearch()
CAVLTree
reStructure_a()
reStructure_b()
reStructure_c()
reStructure_d()
reStructure()
tallerChild()
setHeightTree()
CRBTree
insertItem() removeElement() reStructureRB_a() reStructureRB_b() reStructureRB_c() reStructureRB_d() reStructureRB() reStructureRBTree() reStructure1() reStructure2() reStructure3()