Đưa câu chuyện toán học vào bài giảng nhằm kích thích sự đam mê toán học của học sinh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC KIỀU THU HIỀN ĐƯA CÂU CHUYỆN TOÁN HỌC VÀO BÀI GIẢNG NHẰM KÍCH THÍCH SỰ ĐAM MÊ TOÁN HỌC CỦA HỌC SINH LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN CHUYÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

KIỀU THU HIỀN

ĐƯA CÂU CHUYỆN TOÁN HỌC VÀO BÀI GIẢNG

NHẰM KÍCH THÍCH SỰ ĐAM MÊ TOÁN HỌC CỦA HỌC SINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

(BỘ MÔN TOÁN)

Mã số: 60 14 01 11

HÀ NỘI - 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

KIỀU THU HIỀN

ĐƯA CÂU CHUYỆN TOÁN HỌC VÀO BÀI GIẢNG

NHẰM KÍCH THÍCH SỰ ĐAM MÊ TOÁN HỌC CỦA HỌC SINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

(BỘ MÔN TOÁN)

Mã số: 60 14 01 11

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn

HÀ NỘI - 2014

LỜI CẢM Ơ N

S au t h ời gi a n h ọ c t ậ p v à n g hi ê n c ứ u t ạ i t r ư ờ n g Đ ạ i h ọ c G i á o d ụ c - Đ ạ i h ọ c

Q u ố c g i a H à N ộ i , t á c g i ả đ ã h o à n t h à n h L u ậ n v ă n T h ạ c s ĩ S ư p h ạ m t o á n v ớ i đề tài "Đưa câu chuyện toán học vào bài giảng nhằm kích thích sự đam mê toán học của học sinh"

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo của trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu luận văn này

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc PGS TS Nguyễn Minh Tuấn đã trực tiếp hướng dẫn tác giả trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy giáo, cô giáo và các em học sinh trường Trung học phổ thông Trần Hưng Đạo - Hà Đông đã giúp đỡ và tạo điều kiện để tác giả học tập và nghiên cứu

ii

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i

DANH MỤC VIẾT TẮT ii

MỤC LỤC iii

DANH MỤC HÌNH v MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN 5

1.1 Vai trò của toán học 5 1.2 Vai trò của câu chuyện toán học 11

CHƯƠNG 2 CÁC BÀI GIẢNG 12

2.1 Bài giảng 1 Nhà toán học Pythagoras 12

2.1.1 Cuộc đời và sự nghiệp 12

2.1.2 Định lý Pythagoras 13

2.1.3 Bài tập 19

2.2 Bài giảng 2 Nhà toán học, Vật lý học, Thiên văn học, Triết học Newton 21

2.2.1 Cuộc đời và sự nghiệp 21

2.2.2 Nhị thức Newton 24

2.2.3 Bài tập 27

2.3 Bài giảng 3 Nhà toán học Gauss 29

2.3.1 Cuộc đời và sự nghiệp 29

2.3.2 Giải hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn số bằng phương pháp Gauss 33

2.3.3 Bài tập 37

2.4 Bài giảng 4 Nhà toán học Augustin-Louis Cauchy 39

2.4.1 Cuộc đời và sự nghiệp 39

2.4.2 Bất đẳng thức Cauchy và ứng dụng 42

2.4.3 Bài tập 48

2.5 Bài giảng 5 Một số bài toán dân gian 49

2.5.1 Bài toán điển hình 49

2.5.2 Bài tập 51

2.6 Bài giảng 6 Fibonacci và dãy số kỳ diệu 55

2.6.1 Fibonacci 55

2.6.2 Dãy số kỳ diệu 56

2.6.3 Bài tập 64

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 65

3.1 Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm 65

3.1.1 Mục đích thực nghiệm 65

iii

3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm 65

3.2 Phương pháp thực nghiệm 65 3.3 Tiến hành thực nghiệm 65

3.3.1 Đối tượng thực nghiệm 65

3.3.2 Nội dung thực nghiệm 66

3.3.3 Tổ chức thực nghiệm 66

3.3.4 Điều tra 66

3.4 Kết quả 66

3.4.1 Kết quả thống kê, tổng hợp phiếu điều tra 66

3.4.2 Phân tích, đánh giá kết quả điều tra 71

KẾT LUẬN 73 TÀI LIỆU THAM KHẢO 74 PHỤ LỤC 75

DANH MỤC HÌNH

Trang

Hình 2.1: Pythagoras 12

Hình 2.2: Hình minh học định lý Phitago 14

Hình 2.3: Cách chứng minh định lý Pythagoras của Garfield 15

Hình 2.4: Cách chứng minh định lý Pythagoras của Bkha-xka-ra 16

Hình 2.5: Cách chứng minh định lý Pythagoras của người Ấn Độ cổ 16

Hình 2.6: Cách 4, chứng minh định lý Pythagoras 17

Hình 2.7: Cách chứng minh định lý Pythagoras của Jamie deLemos 17

Hình 2.8: Hình minh họa ví dụ áp dụng định lý Pythagoras 18

Hình 2.9: Isaac Newton, 1642-1727 21

Hình 2.10: Carl Friedrich Gauss, 1777 - 1855 29

Hình 2.11: Augustin-Louis Cauchy, 1789-1857 39

Hình 2.12: Fibonacci, khoảng 1170 - khoảng 1250 55

Hình 2.13: Tượng Fibonacci ở Camposanto, Pisa 56

Hình 2.14: Hình minh họa bài toán nuôi thỏ 57

Hình 2.15 58

Hình 2.16: Hoa có một cánh 61

Hình 2.17: Hoa có hai cánh 61

Hình 2.18: Hoa có ba cánh 61

Hình 2.19: Hoa có năm cánh 62

Hình 2.20: Hoa có tám cánh 62

Hình 2.21: Hoa có mười ba cánh 62

Hình 2.22: Bông hướng dương 63

Hình 2.23: Quả thông 63

v

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học được coi như ông hoàng đồng thời là người đầy tớ của khoa học [7]

Từ xa xưa, con người đã thấy Toán học gần gũi trong đời sống của chúng ta, trong việc đếm các vật dụng, tính toán chi tiêu tài chính của gia đình và bản thân, Bên cạnh đó, Toán học vừa là phương tiện tiếp cận vừa là công cụ của nhiều ngành khoa học như Triết học, Hóa học, Vật lý học, Sinh học, Địa lý, Kinh tế, Giao thông, Hàng hải, khoa học máy tính, ngay cả trong các ngành khoa học xã hội, tưởng chừng không thể định lượng, thì các hiện tượng xã hội cũng được mô hình hóa bằng ngôn ngữ toán học, chẳng hạn như thuyết dân số của Thomas Malthus (1798), trong

đó Malthus lập luận rằng dân số tăng theo cấp số nhân trong khi thực phẩm chỉ tăng theo cấp số cộng Toán học hiện hữu một cách tự nhiên xung quanh chúng ta, nhưng không phải ai cũng có thể nhận ra, thậm chí có nhiều người cho rằng toán học không có vai trò gì trong cuộc sống của chúng ta mà Toán học đơn thuần là một ngành khoa học khép kín, chỉ giải quyết các vấn đề của toán học mà không ảnh hưởng gì đến các ngành khoa học khác, ngay cả các ngành khoa học tự nhiên Như vậy, toán học có vai trò hết sức quan trọng đối với từng cá nhân và sự phát triển của cả nhân loại

Đối với người học nói chung, học sinh phổ thông nói riêng, học tốt môn toán

sẽ mang lại nhiều thuận lợi hơn trong việc tiếp thu các kiến thức khoa học khác Muốn vậy, trước hết, các em cần có tình yêu, sự đam mê đối với môn toán, từ đó mới

có thể nâng cao tính tò mò, ham học hỏi của bản thân, tiến đến nắm chắc, hiểu sâu và vận dụng linh hoạt các kiến thức toán học vào các bài tập, tình huống cụ thể trong học tập cũng như cuộc sống hằng ngày

Những câu chuyện toán học sẽ đưa học sinh đến gần hơn với hoàn cảnh, cách tiếp cận vấn đề trong những điều kiện cụ thể, đồng thời cũng giúp cho học sinh có thêm hiểu biết về tiểu sử các nhà toán học, các bài toán cổ Từ đó, hình thành và củng cố cho học sinh tình yêu và niềm đam mê trong việc học môn toán thay vì Toán học thường được biết đến như một lĩnh vực lý thuyết thuần túy, khô khan với

1

những con số và các phép tính phức tạp đau đầu, làm ảnh hưởng không tốt đến tâm

lý của học sinh trong học tập

Vì vậy, em chọn đề tài "Đưa câu chuyện toán học vào bài giảng nhằm kích thích sự đam mê toán học của học sinh" nhằm giúp người học có cái nhìn, có cách

tiếp cận môn toán theo một hướng mềm hơn, gần gũi hơn, để có kết quả tốt hơn trong học tập, mở rộng thế giới quan của họ

2 Mục tiêu nghiên cứu

Gây hứng thú, kích thích sự đam mê toán học của học sinh

3 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu tiểu sử một số nhà toán học lỗi lạc và một số bài toán dân gian

- Nghiên cứu mối liên quan giữa các câu chuyện toán học với sự đam mê, hứng thú của học sinh với các môn học nói chung và môn toán nói riêng

- Đưa các câu chuyện toán học vào bài giảng để học sinh thấy được vẻ đẹp của môn toán, thấy được sự gần gũi của môn toán trong đời sống hằng ngày, những ứng dụng rộng rãi của toán học trong các lĩnh vực của đời sống, biết được điều kiện, hoàn cảnh sống và làm việc của một số nhà toán học lỗi lạc nhằm kích thích sự đam mê, hứng thú với môn toán của học sinh

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu tiểu sử một số nhà toán học lỗi lạc và các câu chuyện toán học gần gũi đời sống con người và liên quan đến chương trình toán học Trung học phổ thông

- Nghiên cứu vai trò của các câu chuyện toán học đối với sự yêu thích môn toán của học sinh

- Tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng tính hiệu quả của luận văn

- Đánh giá hiệu quả luận văn và chỉ ra ưu, nhược điểm của luận văn để rút ra bài học kinh nghiệm cho tác giả

2

- Tác giả Trần Đức Lịch với bài Suy nghĩ về vai trò của toán học trong xã hội trên tạp chí tiasang.com.vn, ngày 08 tháng 02 năm 2002

Tuy nhiên, theo tôi được biết, chưa có tác giả nào nghiên cứu vấn đề đưa các câu chuyện toán học vào bài giảng để kích thích sự đam mê, hứng thú với môn toán của học sinh

7 Giả thuyết nghiên cứu

Giới thiệu, lồng ghép các câu chuyện toán học trong giờ học chính khóa hoặc tổ chức giờ học tự chọn, giờ học ngoại khóa tìm hiểu các câu chuyện toán học để học sinh thêm yêu và đam mê môn toán

3

8 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, luận văn gồm

b a c hư ơ ng :

Chương 1 Cơ sở lý luận

Chương 2 Các bài giảng

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

4

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.1 Vai trò của toán học

Sự hình thành và phát triển của Toán học gắn liền với sự phát triển của loài người Những khái niệm toán học được hình thành hầu hết xuất phát từ đời sống thực tiễn, từ nhu cầu tìm tòi và khám phá của con người Một số khái niệm được đưa ra không hẳn đã có những ứng dụng trong thực tế nhưng lại là cầu nối hay một công cụ tính toán dẫn đến những định luật và định lý vô cùng quan trọng

Sự thật là toán học có vai trò quan trọng trong đời sống thường ngày nhưng không phải ai cũng nhận ra điều đó

Một bà nội trợ đi mua lương thực, thực phẩm cho gia đình cũng cần vận dụng các phép toán cơ bản như cộng, trừ, nhân, chia để tính được lượng lương thực, thực phẩm cần cho gia đình mình hay tính toán lượng tiền cần thanh toán khi mua hàng (mặc dù việc này có thể do người bán hàng thực hiện) Đôi khi còn cần sự linh hoạt, sáng tạo Khi trả tiền, ta cần trả mười tám nghìn trong khi ta có ba tờ tiền với các mệnh giá hai mươi nghìn, hai nghìn và một nghìn mà người bán hàng không có tiền mệnh giá hai nghìn mà có tiền mệnh giá năm nghìn, vậy thì chắc chắn là ta trả hai mươi

ba nghìn để nhận lại năm nghìn từ người bán hàng rồi Trong việc nấu ăn cũng vậy, người nội trợ cũng cần vận dụng các phép toán cộng, trừ, nhân, chia cơ bản ấy Công thức nấu món nào đó, nếu có được công thức nấu ăn cho bốn người, nhưng thực tế lại cần nấu ăn cho sáu người thì sao đây? Khi đó các nguyên liệu cho món ấy phải được nhân lên gấp rưỡi thôi! Như vậy, chúng ta cần có kiến thức nhất định về toán học thì mới có thể nấu món theo đúng công thức đã được hướng dẫn và đủ về lượng cho số người cùng ăn

Trong xã hội hiện đại, đời sống của con người được nâng lên rõ rệt nhờ các thiết bị công nghệ hiện đại như tivi, tủ lạnh, máy giặt, máy điều hòa,… Nhưng người dùng liệu có biết các ứng dụng toán học trong đó với các thuật toán khác nhau, đã được che lấp bởi vỏ bọc công nghệ? Để mạng điện thoại vận hành thông suốt, có sự đóng góp không nhỏ của thuật toán đơn hình - một thuật toán cơ bản của

lí thuyết qui hoạch toán học Máy ATM hoạt động dựa trên thuật toán an toàn để đảm bảo số tiền của chủ thẻ không bị lấy cắp Hay mạng Internet với các thuật toán bảo mật, tìm kiếm, giúp hàng triệu người dùng trên thế giới có được sự tiện ích trong tra cứu, trao đổi thông tin,… Những điều đó, chỉ có những người có chuyên môn mới hiểu được, còn những người sử dụng thông thường các dịch vụ ấy chỉ thấy sự tiện lợi của chúng mà không cần (đôi khi không muốn) hiểu nguyên lí hoạt động của chúng [5]

Hằng ngày, tại các cơ sở y tế, bác sĩ kê đơn thuốc và hướng dẫn bệnh nhân dùng thuốc Có rất nhiều loại thuốc khác nhau, với công dụng chữa trị nhiều loại bệnh khác nhau Liều lượng thuốc có thể được quy định theo số lượng miligram thuốc cho mỗi kilogram trọng lượng cơ thể bệnh nhân Để kê đúng liều lượng thuốc cho bệnh nhân, thì bác sĩ cần có hiểu biết về toán học nhất định để dựa vào trọng lượng cơ thể bệnh nhân mà quy ra lượng thuốc cần kê Bên cạnh đó, dược sĩ có nhiệm vụ cấp thuốc theo đơn của bác sĩ, họ cần có kiến thức toán học để tính toán lượng thuốc theo đơn vị miligram sang đơn vị viên (viên nén, viên nang,…) hay dung tích của thuốc ở dạng dịch lỏng để cấp đúng lượng thuốc theo đơn thuốc của từng bệnh nhân Ngoài ra, dựa vào tỉ lệ thuốc có thể bị đào thải khỏi cơ thể bệnh nhân sau khoảng thời gian nhất định

mà bác sĩ phải tính toán lượng thuốc mà bệnh nhân cần uống để bù lại sau thời gian ấy Các kiến trúc sư, kĩ sư thường xuyên phải vẽ các bản thiết kế công trình xây dựng (nhà ở, khách sạn, sân bay, nhà xưởng,…), các thiết bị máy móc (quạt điện, máy giặt, tivi, tủ lạnh, ôtô, linh kiện, chi tiết máy,…), và tính toán lượng nguyên vật liệu để xây dựng, sản xuất theo đúng bản thiết kế, đảm bảo về công dụng, sức chịu lực và tính thẩm

mỹ của công trình, của máy móc thiết bị Muốn làm được điều đó, các kiến trúc sư, kĩ

sư cũng cần nắm được các kiến thức toán học (cả hình học và đại số), đồ họa máy tính bên cạnh các kiến thức chuyên ngành của mình và các kiến thức liên quan khác Hay việc thiết kế, trang trí nội, ngoại thất cho một ngôi nhà cũng cần áp dụng các kiến thức toán học để có thể tạo nên không gian hài hòa, đẹp mắt Các thiết bị nội thất, tranh ảnh mang các hình dáng khác nhau như hình vuông, hình chữ nhật, hình tròn, hay các hình phẳng và khối không gian phức tạp khác Để trang trí, xếp đặt một cách hợp lí, kiến thức toán học là hữu ích khi muốn xếp đặt

6

thiết bị gọn gàng, mang tính đối xứng hay ngang bằng hay có sự tương phản, phù hợp về hình thù,

Hay trong nghệ thuật, người ta cho rằng, các danh họa cũng đã ứng dụng toán học như những kiến thức hình học, tỷ lệ vàng vào các bức vẽ của mình để tạo sự cân đối, tương phản, để làm cho tác phẩm nghệ thuật của họ đẹp và sống động

Các nhà khảo cổ dựa vào chu kì bán rã của nguyên tố đồng vị Carbon 14 là

5730 năm, so sánh tỉ lệ Carbon 14 với carbon 12 trong mẫu hóa thạch và tỉ lệ của Carbon 14 với carbon 12 trong thực vật sống cùng việc vận dụng kiến thức toán học thiết yếu để xác định tuổi của một mẫu thực vật hóa thạch

Kiến thức về xác suất, thống kê rất cần thiết cho ngân hàng, tài chính, kế toán Trong Kinh tế học, Toán học đóng một vai trò rất quan trọng, có thể nói là không thể thiếu Vai trò này có xu hướng tăng dần theo thời gian Nói chung, toán đã giúp kinh tế, nhất là kinh tế lý thuyết, tiến triển rất nhiều Dĩ nhiên, toán hoá đã và đang làm thay đổi bản chất và phạm vi của bộ môn kinh tế Toán học cũng ảnh hưởng rất lớn đến sự truyền đạt ý niệm và đề xuất kinh tế, không những giữa các nhà kinh tế với nhau, mà còn giữa các nhà kinh tế và dân chúng, giữa các nhà kinh tế và các nhà làm chính sách Vì thế, các sinh viên, các giáo viên, các nhà nghiên cứu trong bộ môn kinh tế, dù muốn hay không, cũng phải đạt đến một trình độ toán tối thiểu nào đó để theo dõi và tham gia các tiến triển trong chuyên môn của mình [2]

Trong thực tế, các sòng bạc hay các công ty xổ số kiến thiết thu về rất nhiều tiền, mặc dù họ trả cho người chơi thắng cuộc gấp nhiều lần khoản tiền đặt cược Bởi một lẽ, xác suất thống kê cho thấy rằng, một cách toàn diện, lợi thế thuộc về sòng bạc hay các công ty xổ số Trong diện hẹp, người chơi nào đó có thể thắng cuộc, nhưng người chơi khác lại đang thua cuộc và chính bản thân người chơi đang thắng cuộc kia,

về lâu dài, cũng sẽ thua cuộc

Xác suất, thống kê cũng được các nhà xã hội học vận dụng trong các nghiên cứu của mình để thu thập, xử lý các số liệu, từ đó đưa ra nhận định xác thực và có dự báo, kế hoạch cho tương lai

Trong quá trình hình thành và phát triển của triết học diễn ra quanh co, phức tạp và lâu dài, toán học đã đóng góp một phần rất quan trọng

Thời kỳ đầu, thời kỳ của toán học về các đại lượng bất biến, tức là các đại lượng lấy những giá trị cố định, toán học đã đóng góp vào sự hình thành cơ sở của lôgic hình thức, nhờ vậy tư duy có lập luận chính xác, chặt chẽ Điều đó góp phần hình thành nên các nguyên tắc của tư duy khoa học Thí dụ từ quan hệ a b , b  c

suy ra a c Tuy nhiên, khái niệm bằng nhau ở đây là bất biến, bất động,

cố định

Đối với các lĩnh vực tri thức khác, ở thời kỳ này mới chỉ có cơ học và thiên văn học là tương đối phát triển Toán học đã thông qua hai khoa học này góp phần vào cuộc cách mạng của Copecních thay hệ địa tâm bằng hệ nhật tâm Sự phát triển của một thế giới quan mới gắn liền với cuộc cách mạng mà Copecních thực hiện đòi hỏi phải có một nền toán học mang những tư tưởng mới về chất ra đời (đó là toán học về các đại lượng biến đổi ở thời kỳ cổ điển) Do sự phát triển của thực tiễn và nhận thức, tất yếu dẫn tới sự ra đời của toán học về các đại lượng biến đổi

Thời kỳ hiện đại, thành tựu nổi bật của toán học là tư tưởng cấu trúc, một trong những cơ sở lý luận cho sự ra đời của các khoa học tổng hợp như logic toán, điều khiển học, tin học, toán lý, toán sinh, toán kinh tế Về phương diện thực tiễn, trên cơ sở sự tương tự về cấu trúc giữa các quá trình diễn ra trong giới tự nhiên vô sinh, sự sống và xã hội (tư duy) người ta đã chế tạo ra hệ thống máy tự động, hoạt động theo cơ chế tương tự bộ não và các giác quan con người

Như vậy cả về phương diện lý luận và thực tiễn, toán học hiện đại đóng vai trò nền tảng trong quá trình nhất thể hoá các khoa học Sự thống nhất của toán học với thế giới quan triết học biểu hiện ở chỗ chúng xác nhận những tư tưởng cơ bản của chủ nghĩa duy vật: tư tưởng về sự thống nhất vật chất của thế giới và tính có thể nhận thức được của thế giới đó Các khoa học khác như vật lý học, sinh học đã có những đóng góp quan trọng vào việc luận chứng cho sự thống nhất này Có thể nói rằng cùng với sự phát triển của khoa học và thực tiễn các lý thuyết toán học ngày càng có khả năng đi sâu vào việc luận chứng cho tư tưởng về sự thống nhất vật chất

8

của thế giới Chẳng hạn, cùng một phương trình có thể diễn tả sự phân huỷ chất phóng xạ, sự sinh sản của vi khuẩn, sự tăng trưởng của nền kinh tế

Những kết quả trên đây được củng cố vững chắc hơn khi xem xét ảnh hưởng của toán học đối với sự phát triển của khoa học tự nhiên hiện đại, đặc biệt đối với những ngành tiếp cận thế giới vi mô Dựa vào sự tương tự về cấu trúc, người ta phát hiện ra mối liên hệ, quan hệ và sự thống nhất giữa các lý thuyết vật lý khác nhau Đặc biệt, trên cơ sở những lý thuyết hình thức (trừu tượng) của toán học, người ta đã phát hiện ra những hạt mới trước khi chúng được phát hiện nhờ thực nghiệm Điển hình là việc phát hiện ra pozitron trong cơ học lượng tử nhờ biểu diễn nó bằng một phương trình căn bậc hai Phương trình này lúc đầu cho ta căn cứ để dự đoán ngoài electron còn tồn tại một hạt khác có một số tính chất vừa giống điện tử nhưng lại vừa khác điện tử về dấu của điện tích Đó là pozitron Dự đoán này đã trở thành hiện thực Về sau, các phản hạt của phần lớn các hạt cũng được tìm ra bằng cách tương tự như pozitron Khả năng vượt trước của toán học đã luận chứng, hoàn thiện, cụ thể hoá quan điểm của chủ nghĩa duy vật về điện tử là vô cùng, vô tận Các cuộc cách mạng trong hoá học (hoá học lượng tử), trong sinh học (lý thuyết di truyền), sinh học phân tử đều dựa vào những thành tựu của toán học hiện đại Đối với khoa học nhân văn, khả năng hình thành toán kinh tế, toán tâm lý, toán xã hội sẽ góp phần củng cố thế giới quan duy vật biện chứng trong nhận thức nhân văn và xã hội

Không thể phủ nhận ảnh hưởng của toán học dẫn đến hình thành và củng cố thế giới quan triết học Ngược lại, triết học khoa học của toán học đã tác động tích cực đến sự phát triển của toán học Mối quan hệ giữa toán học và triết học duy vật biện chứng là mối quan hệ khách quan, hợp quy luật trong tiến trình phát triển nhận thức của con người [6]

Nhiều tri thức toán học, ngay cả toán học đơn giản ở bậc phổ thông, có thể ứng dụng hiệu quả vào đời sống nhưng đòi hỏi những kĩ năng và thói quen nhất định Trang bị những kĩ năng này là công việc của nhà trường và sự rèn luyện của bản thân mỗi người Nhưng trên thực tế, rất ít người, kể cả những người có học vấn tương đối, thực hiện những kỹ năng này Không chỉ ở những nước còn lạc hậu mà ngay tại những nước tiên tiến như Hoa Kỳ, theo nhận xét của Andrei Okunkov, nhà

toán học Nga đoạt giải Fields, giáo sư Đại học Princeton, người Mỹ đều mong muốn trở nên giàu có khi về già nhưng không mấy ai biết vận dụng một số kĩ năng của

lí thuyết xác suất khả dĩ có thể giúp họ đưa ra những quyết định có lợi cho việc thực hiện giấc mơ của mình [5]

Để nhấn mạnh tầm quan trọng của Toán học, Chính phủ Đức đã lấy năm 2008 làm năm Toán học Ngay trong trang đầu của trang web về Năm Toán học của họ đã giới thiệu vắn tắt: "Không có lĩnh vực khoa học nào thâm nhập và ảnh hưởng đến các lĩnh vực của cuộc sống và công việc như toán học Từ chế tạo ô tô đến phân làn đường,

từ mua bán trong siêu thị đến kiến trúc, từ dự báo thời tiết đến nghe MP3, từ đi tàu đến Internet - tất cả đều là toán!"[3]

Toán học đóng vai trò quan trọng trong hình thành và phát triển tư duy logic,

tư duy phê phán và kĩ năng sống của mỗi con người

Toán học, cũng như các ngành khoa học khác, để hiểu được tất cả là không thể Thậm chí toán học thuần túy, hay ngay cả một bộ phận nào đó của toán học thuần túy đã đơn giản là rộng lớn đến nỗi vượt quá khả năng thấu hiểu của con người [4]

Như vậy, toán học đóng vai trò quan trọng trong đời sống hằng ngày, trong việc hình thành và phát triển của các ngành khoa học như Hóa học, Vật lý học, Sinh học, Y học, Địa lý, Kinh tế, Tin học và khoa học máy tính, Xã hội học, Triết học,…

Học tốt môn toán trong trường phổ thông sẽ giúp người học có được khả năng

tư duy logic, chặt chẽ, linh hoạt, sáng tạo đồng thời có cơ sở để tiếp thu kiến thức của các ngành khoa học khác một cách thuận lợi

Trong giai đoạn hiện nay, đổi mới trong dạy học và giáo dục là mục tiêu cấp thiết để nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo Để giúp học sinh có niềm đam mê toán học, hứng thú với môn toán nói riêng, các môn học nói chung, có nền tảng kiến thức cần thiết để tiếp thu, học tập các chuyên ngành, đáp ứng yêu cầu ngày càng cao của nghề nghiệp, của xã hội, đòi hỏi người thầy phải có hiểu biết vững vàng, sâu, rộng về kiến thức và có khả năng về nghiệp vụ

10

1.2 Vai trò của câu chuyện toán học

Toán học, trong suy nghĩ của nhiều người, thật khô khan, cứng nhắc, khó hiểu với các công thức khó nhớ, bài tập hóc búa và không biết áp dụng vào đâu Để thay đổi suy nghĩ đó của họ, không phải việc đơn giản Bởi lẽ, do cách dạy hiện nay vẫn còn nặng về thuyết trình Giáo viên chủ yếu giới thiệu các định lí, công thức rồi hướng dẫn học sinh áp dụng vào ví dụ, bài tập, tình huống một cách máy móc làm cho học sinh cảm thấy toán học chỉ là các công thức và bài tập rập khuôn mà không biết những công thức, bài toán ấy có ứng dụng gì trong thực tế cuộc sống

Để gợi hứng thú, kích thích sự đam mê, tinh thần hăng say tìm tòi, khám phá của người học, người dạy cần đưa ra các bài tập, tình huống thực tế phong phú, phù hợp khả năng của người học và tăng dần độ khó

Bên cạnh đó, trong bài học, người dạy cần lồng ghép khéo léo các câu chuyện toán học để người học thêm yêu môn học này

Các câu chuyện toán học có thể là bài toán cổ được đố bằng thơ, vè về các tình huống trong cuộc sống lao động sản xuất Các câu chuyện toán học là tiểu sử, giai thoại, thành tích, công lao trong khoa học của các nhà toán học mà trong đó nêu bật

sự cố gắng vượt khó trong cuộc sống, học tập và làm việc của các nhà toán học; hoàn cảnh, điều kiện ra đời của các định luật, định lý Qua đó, người học biết được nghị lực phi thường của các nhà khoa học nói chung, các nhà toán học nói riêng trong học tập, nghiên cứu để người học cố gắng vươn lên, khắc phục khó khăn trong học tập

và cuộc sống

Hay các câu chuyện về các con số với sự xuất hiện kỳ diệu của chúng trong thiên nhiên như số cánh của các loài hoa, ứng dụng tỉ số vàng trong kiến trúc, nghệ thuật thậm trí có trong cơ thể con người,… khiến người học thấy được cái hay, vẻ đẹp, sự hữu dụng, cần thiết của toán học để có động lực chiếm lĩnh tri thức và tích cực tự học,

tự khám phá

CHƯƠNG 2 CÁC BÀI GIẢNG 2.1 Bài giảng 1 Nhà toán học Pythagoras

2.1.1 Cuộc đời và sự nghiệp

Hình 2.1: Pythagoras Pythagoras, sinh khoảng năm 580 đến 573 trước công nguyên - mất khoảng năm 500 đến 490 trước công nguyên, là một nhà Triết học người Hy Lạp và là người sáng lập ra phong trào tín ngưỡng có tên học thuyết Pythagoras Ông thường được biết đến như một nhà khoa học và toán học vĩ đại [8]

Pythagoras được sinh ra tại đảo Samos, bờ biển phía Tây Hy Lạp, ngoài khơi Tiểu Á Ông là con của Pythais (mẹ ông, người gốc Samos) và Mnesarchus (cha ông, một thương gia từ Týros) Khi đang tuổi thanh niên, ông rời thành phố quê hương tới Crotone, phía Nam Italy, để trốn tránh chính phủ chuyên chế Polycrate Thalet rất ấn tượng trước khả năng của Pythagoras, đã khuyên ông tới Memphis ở Ai Cập học tập với những người tế lễ nổi tiếng tài giỏi ở đó Có lẽ ông đã học một số nguyên lý hình học, sau này là cảm hứng để ông phát minh ra định lý mang tên ông

Mới 16 tuổi, cậu bé Pythagoras đã nổi tiếng về trí thông minh khác thường Cậu

bé theo học nhà toán học nổi tiếng Thalet, và chính Thalet cũng phải kinh ngạc về tài năng của cậu Để tìm hiểu nền khoa học của các dân tộc, Pythagoras đã dành nhiều năm đến Ấn Độ, Babilon, Ai Cập và đã trở nên uyên bác trong hầu hết các lĩnh vực quan trọng: Số học, Hình học, Thiên văn học, Địa lí, Y học, Triết học

Vào tuổi 50, Pythagoras mới trở về tổ quốc của mình Ông thành lập một ngôi trường ở miền Nam Italy, nhận hàng trăm môn sinh, cả phụ nữ, với thời gian học

12

năm năm gồm bốn bộ môn: Hình học, Toán học, Thiên văn và Âm nhạc Chỉ những học sinh giỏi vào cuối năm thứ ba mới được chính Pythagoras trực tiếp dạy Trường phái Pythagoras đã đóng một vai trò quan trọng trong việc phát triển khoa học thời cổ, đặc biệt là về số học và hình học [9]

Pythagoras đã chứng minh được rằng tổng ba góc của một tam giác bằng 180

và nổi tiếng nhất nhờ định lý toán học mang tên ông Ông cũng được biết đến là

"cha đẻ của số" Ông đã có nhiều đóng góp quan trọng cho Triết học và tín ngưỡng vào cuối thế kỷ VI trước công nguyên Về cuộc đời và sự nghiệp của ông, có quá nhiều các giai thoại khiến việc tìm lại sự thật lịch sử không dễ Pythagoras và các học trò của ông tin rằng mọi sự vật đều liên hệ đến toán học, và mọi sự việc đều có thể tiên đoán trước qua các chu kỳ

Lịch sử của định lí Pythagoras rất phức tạp Việc Pythagoras đích thân chứng minh định lý này hay không vẫn còn chưa chắc chắn, vì trong thế giới cổ đại, khám phá của học trò cũng thường được gán với cái tên của thầy Văn bản đầu tiên đề cập tới định

lý này có kèm tên ông, xuất hiện năm thế kỷ sau khi ông qua đời, của Cicero và Plutarch Mọi người tin rằng nhà toán học Ấn Độ, Baudhayana, đã tìm ra Định lý Pythagoras vào khoảng năm 800 trước công nguyên, 300 năm trước Pythagoras

Có hàng nghìn cách chứng minh định lí Pythagoras, từ những cách đơn giản nhất cho học sinh lớp 7 đến cách chứng minh sử dụng công cụ của toán học hiện đại Trong cuốn The Pythagoraean Proposition, xuất bản năm 1940, nhà toán học Loomis trình bày 367 cách chứng minh định lý này Một số chứng minh còn ghi rõ tác giả của lời giải, là những nhân vật nổi tiếng ở những "địa hạt khác", đã ghé đến "vương quốc toán học" như những lãng du Và tên tuổi của họ lại được các sách về lịch sử toán ghi nhận Đó là cách chứng minh của họa sĩ lừng danh người Italy, thế kỷ XV, Leonardo

Da Vinci và của tổng thống thứ 20 của nước Mỹ, James Garfield

Định lý Pythagoras còn được phát biểu dưới dạng: Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông

Như vậy, nếu một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông có độ dài lần lượt a ,

b và cạnh huyền có độ dài c thì a2 b2 c2

a

b c

Hình 2.2: Hình minh họa định lý Pythagoras Định lý đảo Pythagoras được phát biểu là:

Cho ba số thực dương a , b và c thỏa mãn a2 b2 c2 thì tồn tại một tam giác

có các cạnh là a , b và c , và góc giữa hai cạnh a và b là một góc vuông

Định lý đảo này cũng được phát biểu bởi Euclid là:

Nếu bình phương một cạnh của một tam giác bằng tổng bình phương hai cạnh kia thì tam giác có góc nằm giữa hai cạnh nhỏ là góc vuông

Một cách tổng quát, kết hợp cả định lý thuận và đảo, có thể viết định lý Pythagoras dưới dạng:

Một tam giác có ba cạnh a , b và c , thì nó là tam giác vuông với góc vuông giữa a và b khi và chỉ khi a2 b2 c2

Người ta truyền rằng, định lý này còn có một cái tên thú vị khác nữa, đó là định lý

100 con bò Thực sự mà nói, ngày nay, chúng ta vẫn chưa biết chính xác là định lý này có phải do chính Pythagoras phát biểu không nhưng hầu hết mọi người đều công nhận, Pythagoras và các học trò của ông là người có công đầu tiên chứng minh định lý

14

này một cách chặt chẽ về mặt toán học Và khi ông cùng môn đệ của mình chứng minh xong định lý này, vì quá vui mừng, họ đã giết 100 con bò để ăn mừng

a

Hình 2.3: Cách chứng minh định lý Pythagoras của Garfield

Hình thang này có hai cạnh đáy là a và b , còn đường cao là a  b Do đó diện tích của hình thang là a  b (a  b)

hay (a  b)2

Cách thứ hai để tính diện tích của hình thang là lấy tổng của diện tích ba hình

tam giác con, đó là 2 ab  c2 hay 2ab  c2

Cách 2 Ở Ấn Độ hồi thế kỷ XII, nhà toán học Bkha-xka-ra (mất năm 1114) nêu

ra một cách chứng minh, ông chỉ vẽ hình và ghi rất ngắn "Xem đây!"

a

a b

b c

Hình 2.4: Cách chứng minh định lý Pitago của Bkha-xka-ra

Bây giờ ta có thể giải thích: Các tam giác vuông bằng nhau, có cạnh huyền là

c và hai cạnh góc vuông a và b ( a  b) Khi đó, hình vuông lớn có diện tích bằng

4 lần diện tích tam giác cộng diện tích hình vuông nhỏ có cạnh a  b nên

Hình 2.5: Cách chứng minh định lý Pitago của người Ấn Độ cổ

Diện tích hình vuông ta có cạnh a  b bằng tổng diện tích bốn hình tam giác

có hai cạnh góc vuông là a , b và hình vuông nhỏ có cạnh c

16

b a

b

b

c c

Hình 2.7: Cách chứng minh định lý Pitago của Jamie deLemos

Diện tích hình thang được tính theo hai cách:

cắt AC tại F Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp đường tròn

Chứng minh Vì tam giác ABC vuông tại A nên để chứng minh tứ giác

ABEF nội tiếp đường tròn, ta sẽ chỉ ra BE  EF

A

F D

C

E

Hình 2.8: Hình minh họa ví dụ áp dụng định lý Pitago

Do tam giác ABF vuông tại A nên BF 2  AB2 AF 2

Tam giác ABH vuông tại H nên AB2 BH 2 HA2

Tam giác ADF vuông tại D nên AF 2  AD2 DF 2

Suy ra BF 2 BH 2 HA2 AD2 DF 2

18

Theo định lý đảo Pythagoras, ta suy ra BE  EF

Vậy, tứ giác ABEF nội tiếp đường tròn

2.1.3 Bài tập

Bài tập 1 Bộ ba số sau có lập thành độ dài ba cạnh của tam giác vuông không? Vì sao?

a) 1, 2, 3

b) 3, 4, 5

Bài tập 2 Cho tam giác ABC vuông tại A và AB  8cm , AC  6cm

a) Tính chiều dài cạnh huyền BC

b) Tính chiều cao AH của tam giác ABC

c) Tính chiều dài các đoạn thẳng HB và HC

Bài tập 3 Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH với AH  16cm , và

BH  25cm Tính AB và AC

Biết BD 15 , tính độ dài cạnh BC

Bài tập 6 Cho hình chữ nhật ABCD và điểm M bất kì Chứng minh rằng

MA2 MC 2 MB 2 MD 2

19

Bài tập 7 Cho tam giác ABC vuông tại A Một đường thẳng cắt hai cạnh AB và

AC tại D và E Chứng minh rằng

CD 2 C B 2 ED 2 EB 2

Bài tập 8 Hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Lấy điểm

M bất kì trên đường tròn Chứng minh rằng

MA2 MB 2 MC 2 MD 2 8 R 2

Bài tập 9 Hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Lấy điểm

M bất kì trên đường tròn Tính biểu thức

T  MA4 MB 4 MC 4 MD 4

Bài tập 10 Tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Lấy điểm

M bất kì trên đường tròn Chứng minh rằng

M A 4 M B 4 M C 4 18 R 4

2.2 Bài giảng 2 Nhà toán học, Vật lý học, Thiên văn học, Triết học Newton

2.2.1 Cuộc đời và sự nghiệp

Hình 2.9: Isaac Newton, 1642-1727 Isaac Newton (1642-1727) là một nhà Toán học, Vật lý học, Thiên văn học, Triết học, Thần học và nhà Giả kim người Anh, được nhiều người cho là nhà khoa học

vĩ đại và có tầm ảnh hưởng lớn nhất Ông được sinh ra, ba tháng, sau cái chết của cha ông, cũng tên là Isaac Newton, một nông dân Lúc mới sinh, Newton ốm yếu, quặt quẹo Bà mẹ quan tâm chăm sóc sức khỏe cho Newton nhiều hơn đường học vấn Năm 12 tuổi, bà mới cho con trai đi học Vì sức yếu, cậu thường bị các bạn bắt nạt, cậu bèn nghĩ ra cách trả thù thú vị là quyết tâm học thật giỏi để đứng đầu lớp Năm 1961, may mắn là do không làm ruộng giỏi nên Newton được đưa đến Đại học Cambridge,

sử dụng học bổng của trường với điều kiện phải phục dịch các học sinh đóng học phí Mục tiêu ban đầu của Newton tại Đại học Cambridge là tấm bằng luật sư với chương trình nặng về triết học của Aristotle, nhưng ông nhanh chóng bị cuốn hút bởi toán học của Descartes, thiên văn học của Galileo và cả quang học của Kepler Ông đã viết trong thời gian này: "Plato là bạn của tôi, Aristotle là bạn của tôi, nhưng sự thật mới là người bạn thân thiết nhất của tôi" Tuy nhiên, đa phần kiến thức toán học cao cấp nhất thời bấy giờ, Newton tiếp cận được là nhờ đọc thêm sách, đặc biệt là từ sau năm 1663 Thời còn là sinh viên, Newton đã

21

tìm ra nhị thức trong toán học giải tích, được gọi là Nhị thức Newton Ông cũng là người đầu tiên đề xuất thuật ngữ "Giới hạn" trong môn Giải tích

Ngay sau khi nhận bằng tốt nghiệp, năm 1665, ông phải trở về nhà 2 năm vì trường đóng cửa do bệnh dịch hạch lan truyền Trong suốt hai năm, ông không ngừng làm việc, suy nghĩ và nghiên cứu khoa học Và cũng chính những năm tháng quý báu

ấy, Newton đã cho ra đời những phát minh khiến ông trở nên ngang hàng với các thiên tài khoa học của mọi thời đại

Trước hết Newton phát minh ra khoa Toán học Vi phân dùng để tính những

số lượng chuyển biến như sự vận động của các vật thể, của làn sóng và để giải những bài toán vật lý có liên quan tới mọi sự chuyển động Cũng trong lúc đó, Gottfried Leibniz (1646-1716), nhà bác học Đức, cũng tìm ra cách tính này nhưng Leibniz lại

in đề tài này ra trước Công thức vi - tích phân được mang tên của hai ông, Newton - Leibnitz

Khám phá quan trọng thứ hai của Newton là định luật về thành phần ánh sáng

và từ đó ông phân tích được bản chất của màu sắc và bản chất của ánh sáng trắng Newton chứng minh rằng: ánh sáng trắng của mặt trời gồm có những tia sáng màu mà

ta thường thấy ở cầu vồng Như vậy màu sắc là bản chất của ánh sáng, và ánh sáng trắng - những thí nghiệm bằng lăng kính của Newton đã chứng minh - là do sự trộn lẫn tất cả các màu sắc của quang phổ Từ khám phá này, Newton tiến đến việc chế tạo kiểu viễn kính phản chiếu đầu tiên, có thể đem ra sử dụng một cách hiệu quả

Khám phá thứ ba có lẽ là khám phá vĩ đại nhất của Newton, định luật vạn vật hấp dẫn Khám phá này đã kích động trí tưởng tượng của các nhà khoa học, mãnh liệt hơn mọi khám phá về lý thuyết khác trong thời kỳ cận đại Theo một giai thoại ai cũng biết thì Newton giác ngộ rồi tìm ra định luật hấp dẫn khi ông quan sát quả táo rơi Sự thật thì chuyện trái đất hút những vật ở gần không có gì mới lạ Nhưng điều mới lạ là Newton đã mở rộng nhận xét đó để áp dụng đối với vạn vật, từ trái đất, các hành tinh và chứng minh được thuyết của ông bằng toán học

Tài năng toán học của ông nhanh chóng được hiệu trưởng của Cambridge nhận ra khi trường mở cửa trở lại Ông được nhận làm giảng viên của trường năm

1670, sau khi hoàn thành thạc sĩ, và bắt đầu nghiên cứu và giảng về quang học

22

Ông, lần đầu, chứng minh ánh sáng trắng thực ra được tạo thành bởi nhiều màu sắc,

và đưa ra cải tiến cho kính thiên văn sử dụng gương thay thấu kính để hạn chế sự nhoè ảnh do tán sắc ánh sáng qua thuỷ tinh

Newton được bầu vào Hội Khoa học Hoàng gia Anh năm 1672 Năm 1685, chính trị nước Anh thay đổi dưới sự trị vì của James II và trường Cambridge phải tuân thủ những điều luật phi lý như buộc phải cấp bằng cho giáo chủ không thông qua thi

cử Newton kịch liệt phản đối những can thiệp này và sau khi James bị William III đánh bại, Newton được bầu vào Nghị viện Anh nhờ những đấu tranh chính trị của ông Năm 1693, sau nhiều năm làm thí nghiệm hoá học thất bại và sức khoẻ suy sụp nghiêm trọng, Newton từ bỏ khoa học, rời Cambridge để về nhận chức trong chính quyền tại Luân Đôn Newton tích cực tham gia hoạt động chính trị và trở nên giàu có nhờ bổng lộc nhà nước Năm 1703, Newton được bầu làm chủ tịch Hội Khoa học Hoàng gia Anh và giữ chức vụ đó trong suốt phần còn lại của cuộc đời ông Ông được Nữ hoàng phong bá tước năm 1705 Ông mất ngày 31 tháng 3 năm 1727 tại Luân Đôn Ông được mai táng ở Đài kỷ niệm quốc gia Anh, trong tu viện Westminster - nơi an nghỉ của các vua chúa và các bậc vĩ nhân của nước Anh

Không ngoa dụ chút nào khi nói rằng Newton là danh nhân quan trọng nhất đóng góp cho sự phát triển của khoa học hiện đại Như nhà thơ Alexander Pope đã viết:

Tự nhiên và luật của nó lẩn khuất trong màn đêm phủ

Chúa phán: Hãy để Newton xuất hiện!

Và mọi thứ chói lòa

23

2.2.2 Nhị thức Newton

Trong toán học, định lý khai triển nhị thức (hay định lý nhị thức) là một định

lý toán học về việc khai triển hàm mũ của tổng Công thức của định lý được gọi là công thức nhị thức Newton, mang tên của Isaac Newton, để tưởng nhớ công lao của ông trong việc tìm ra nó Cụ thể, kết quả của định lý này là việc khai triển một nhị

thức bậc n thành một đa thức có n 1 số hạng:

n(a  b)n  Cn k.an

với quy ước 0!  1

Ta thấy rằng, trong mỗi hạng tử của biểu thức khai triển, số mũ của a giảm dần từ n đến 0 còn số mũ của b tăng dần từ 0 đến n và do đó, tổng số mũ của a và

136

10

3

14

10

4

15

n



1

vàsố

hạngt





C C



n k

Ví

dụ 1.

Tìm

hệ

số của

x

tron

g khai triển của nhịthức1

2

Lời giải Giả

sử hạng

tử chứa

x8

tron

g khai triển của nhị thức

đã cho

C10 2.C1  22.C1 0 23.C10  29.C10

210.C1100 310 1

26

Chứng minh Mỗi hạng tử của khai triển chứa C1k

2.2.3 Bài tập

Bài tập 1 Tìm số hạng thứ 5 trong khai triển của (x  2 y)10

Bài tập 2 Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển của nhị thức (x x 

Bài tập 3 Tìm số hạng đứng giữa của khai triển nhị

x 21

* của số hạng ax12 trong khai triển đó

Bài tập 5 Tìm hệ số của x5 trong khai triển

x5 x2 1 3

x10

Bài tập 6 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

f

 4x



27

B

