Cấu trúc vùng năng lượng (SEB) của các chất bán dẫn dựa trên phương pháp giả thế thực nghiệm (EPM) là một trong những phương pháp tương đối dễ thực hiện tuy nhiên lại cần sự tham gia của các tham số hiệu chỉnh từ thực nghiệm. Theo phương pháp EPM ta chỉ cần giải phương trình Shroedinger cho một electron, do đó khối lượng tính toán rút gọn khá nhiều đây là ưu điểm của phương pháp EPM. Trong bài viết này tôi trình bày lại bài viết của GS. Dragica Vasileska ở Đại học bang Arizona, Hoa kỳ. Ngoài những gì đã được GS viết tôi xin mạn phép thêm vào những lí giải cụ thể của mình để bạn đọc có thể hiểu rõ hơn về phương pháp EPM. Mọi lời khen chê xin hãy gửi vào địa chỉ thienlan2303gmail.com, những điều đó tôi điều trân trọng vì tôi xem đó là cơ hội được học tập từ các bậc khả kính. Tôi xin chân thành cảm ơn
Trang 1Tính toán cấu trúc vùng năng lượng của các chất bán
dẫn bằng phương pháp giả thế thực nghiệm
Trần Thiện Lân Ngày 5 tháng 2 năm 2016
Tóm tắt nội dung Cấu trúc vùng năng lượng (SEB) của các chất bán dẫn dựa trên phương pháp giả thế thực nghiệm (EPM) là một trong những phương pháp tương đối dễ thực hiện tuy nhiên lại cần sự tham gia của các tham số hiệu chỉnh từ thực nghiệm Theo phương pháp EPM
ta chỉ cần giải phương trình Shroedinger cho một electron, do đó khối lượng tính toán rút gọn khá nhiều - đây là ưu điểm của phương pháp EPM Trong bài viết này tôi trình bày lại bài viết của GS Dragica Vasileska ở Đại học bang Arizona, Hoa kỳ Ngoài những gì
đã được GS viết tôi xin mạn phép thêm vào những lí giải cụ thể của mình để bạn đọc có thể hiểu rõ hơn về phương pháp EPM
1 Giới thiệu
Cơ sở để khảo sát chuyển động hạt tải trong các bán dẫn là khảo sát cấu trúc vùng điện tử của vật liệu phát sinh từ nghiệm của phương trình Shroedinger nhiều hạt trong sự hiện diện của thế tuần hoàn của tinh thể, mà đã được thảo luận trong nhiều sách giáo trình về vật lí chất rắn Các nghiệm điện tử trong sự có mặt của thế tuần hoàn tinh thể có dạng hàm Bloch
ψn,~k = un(~k)ei~k.~r, (1) với ~k là véc-tơ sóng, và n kí hiệu cho chỉ số vùng tương ứng với các nghiệm khác nhau đối với một véc-tơ sóng đã cho Hàm tuần hoàn ô, un(~k), có tính tuần hoàn của mạng tinh thể và biến đổi nghiệm sóng truyền kết hợp với các điện tử tự do (hàm sóng phẳng đơn sắc)
Một cái nhìn nhanh về tính chất đối xứng của các hàm riêng sẽ cải thiện đáng kể sự hiểu biết
về sự tiến hóa của cấu trúc vùng Đầu tiên, người ta bắt đầu bằng cách tìm kiếm các trị năng lượng riêng của các nguyên tử đơn lẻ mà cấu thành tinh thể bán dẫn Tất cả các bán dẫn có liên kết tứ diện mà có lai hóa sp Tuy nhiên, các nguyên tử đơn lẻ có các điện tử ở lớp ngoài cùng (điện tử hóa trị) trong các orbital kiểu s và kiểu p Các tính chất đối xứng (về hình học) của những orbital này được thực hiện một cách rõ ràng bằng việc tìm những phần góc của chúng
s = 1
px = x
r =
√
3 sin θ cos ϕ (2)
py = y
r =
√
3 sin θ sin ϕ
pz = z
r =
√
3 cos θ
Trang 2Hãy kí hiệu các trạng thái này là |Si, |Xi, |Y i và |Zi Một khi người ta đặt các nguyên tử trong một tinh thể, các điện tử hóa trị lai hóa thành orbital sp3 mà dẫn đến hình thành liên kết tứ diện Tinh thể phát triển cấu trúc vùng của chính nó với các khe vùng cấm và vùng được phép Đối với các bán dẫn, người ta thường quan tâm về cấu trúc vùng dẫn và vùng hóa trị Nó chỉ ra rằng các trạng thái gần các biên vùng cư xử giống trạng thái |Si và 3 trạng thái kiểu p mà chúng đã có khi chúng là những nguyên tử riêng biệt
Các phương pháp tính toán cấu trúc vùng điện tử có thể được phân thành hai danh mục
Hình 1: Cấu trúc vùng thông thường của bán dẫn Đối với bán dẫn vùng cấm trực tiếp thì trạng thái vùng dẫn tại ~k = 0 là giống như kiểu orbital s Các trạng thái vùng hóa trị là tổ hợp tuyến tính của các orbital p Đối với bán dẫn vùng cấm gián tiếp, thậm chí các trạng thái cực tiểu vùng dẫn có một số lượng orbital p tự nhiên hòa trộn vào trạng thái s
[1] Danh mục thứ nhất là các phương pháp ab initio, như là phương pháp Hartree-Fock hoặc phương pháp Phiếm hàm mật độ (DFT), mà tính toán cấu trúc điện tử từ nguyên lí thứ nhất, tức là không cần các tham số hiệu chỉnh thực nghiệm Tổng quát thì những phương pháp này tận dụng một cách tiếp cận đa dạng để tính năng lượng trạng thái cơ bản của một hệ nhiều hạt, mà ở đó hệ được xác định tại mức độ nguyên tử Các tính toán nguyên gốc được thực hiện trên hệ thống chứa một vài nguyên tử Ngày nay, các tính toán được thực hiện sử dụng gần 1000 nguyên tử nhưng yêu cầu cao về mặt máy tính, thỉnh thoảng còn đòi hỏi những máy tính song song cỡ lớn
Đối lập với các cách tiếp cận ab initio là danh mục thứ hai bao gồm các phương pháp thưc nghiệm, như là Sóng Phẳng Trực Giao (OPW) [2], liên kết chặt [3] (còn được gọi là phương pháp kết hợp tuyến tính các orbital nguyên tử (LCAO)), phương pháp ~k.~p [4], và phương pháp giả thế thực nghiệm cục bộ [5], hoặc phương pháp giả thế thực nghiệm không cục bộ [6] (EPM)
Trang 3Các phương pháp bao gồm các tham số thực nghiệm để khớp với dữ liệu thực nghiệm như là các dịch chuyển vùng đến vùng tại các điểm đối xứng cao cụ thể mà đã thu được từ các thí nghiệm hấp thụ quang học Điều thú vị của những phương pháp này là cấu trúc điện tử có thể được tính toán bằng cách giải một phương trình Schroedinger một điện tử (SWE) Theo đó, các phương pháp thực nghiệm đòi hỏi ít hơn về mặt máy tính so với các tính toán ab initio và cung cấp một phương pháp tương đối dễ dàng để tạo ra cấu trúc vùng điện tử
2 Phương pháp giả thế thực nghiệm
Khái niệm giả thế được đưa ra bởi Fermi [7] để nghiên cứu các trạng thái nguyên tử nằm ở mức cao Về sau, Hellman đã đề xuất rằng giả thế có thể được dùng cho việc tính toán các mức năng lượng của các kim loại kiềm [8] Sự sử dụng rộng rãi phương pháp giả thế đã không xảy ra cho đến cuối thập kỉ 1950s, khi đó hoặt động trong lĩnh vực của vật lí chất rắn bắt đầu được tăng tốc Lợi thế chính của việc sử dụng giả thế là chỉ các điện tử vùng hóa trị cần được xem xét Các điện tử lõi được xem như thể chúng bị đông đặc trong một cấu hình nguyên tử
Do đó, các điện tử vùng hóa trị được xem là chuyển động trong một thế yếu một electron
Phương pháp giả thế dựa trên phương pháp sóng phẳng trực giao (OPW) do Herring [2] Trong phương pháp này, hàm sóng tinh thể ψ~k được xây dựng sao cho trực giao với các trạng thái lõi Điều này được hoàn thành bằng cách khai triển ψ~k như một phần trơn của sự kết hợp đối xứng của các hàm Bloch ϕ~k, mà được thêm vào một sự kết hợp tuyến tính của các trạng thái lõi Điều này được diễn tả như sau
ψ~k = ϕ~k+X
t
b~kΦ~k,t, (3)
với b~k,tlà các hệ số trực giao và Φ~k,t là các hàm sóng lõi Đối với Si-14, tổng theo t trong phương trình (3) là một tổng theo tất cả các trạng thái lõi 1s22s22p6 Do hàm sóng tinh thể được xây dựng để trực giao với các hàm sóng lõi nên các hệ số trực giao có thể tính được, theo đó ta thu được biểu thức cuối cùng
ψ~k = ϕ~k−X
t
hΦ~k,t|ϕ~ki Φ~k,t, (4)
Để thu được một phương trình sóng cho ϕ~k, toán tử Hamiltonian là
H = p
2
được áp dụng cho (4), với VC là thế hút của lõi, và thu được phương trình sóng sau đây
p2
2m + VC+ VR
ϕ~k = Eϕ~k, (6) với VR đặc trưng cho thế năng đẩy tương tác gần và không Hermit có dạng
VR=X
t
(E − Et) hΦk,t~ |ϕ~ki
Et trong phương trình (7) đặc trưng cho giá trị riêng năng lượng nguyên tử, và tổng theo t
là tổng theo các trạng thái lõi Kết quả đã cho trong phương trình (6) có thể được xem như phương trình sóng cho hàm giả-sóng, ϕ~k, nhưng trị năng lượng riêng E tương ứng với năng
Trang 4lượng thật của hàm sóng tinh thể ψ~k Hơn nữa, như một kết quả của quá trình trực giao, thế năng đẩy VR, mà có tác dụng triệt tiêu thế năng hút VC, đã được đưa vào Hamiltonian hàm giả-sóng Kết quả là thu được một giả-thế năng biến đổi chậm Vp = VC+ VR Kết quả này được biết như định lí triệt tiêu Phillips-Kleinman [9] mà cung cấp sự giải thích tại sao cấu trúc điện
tử của các electron hóa trị liên kết chặt có thể được mô tả bằng cách sử dụng một mô hình electron gần tự do và thế năng tương tác yếu Để đơn giản bài toán hơn, mô hình giả thế được
sử dụng thay cho giả thế thật
Hình [?] tóm tắt các mô hình khác nhau đã được sử dụng Chú ý rằng các biến đổi Fourier 3D (cho hệ khối) của mỗi một mô hình đã được mô tả ở trên các thế năng có dạng tổng quát sau
V (q) ∼ Ze
2
0q2 cos(qrc) (8) Giả thế phụ thuộc q này sau đó được sử dụng để tính cấu trúc vùng năng lượng dọc theo các hướng tinh thể khác nhau, sử dụng quá trình đã được khái quát trong mục sau này
Hình 2: Các mô hình giả thế khác nhau
Trang 53 Mô tả phương pháp giả thế thực nghiệm
Từ mục trước định lí triệt tiêu Phillips-Keinman cung cấp một phương tiện để đơn giản hóa bài toán vùng năng lượng thành bài toán một điện tử Vì mục đích này, phương trình (6) có thể được viết lại như sau
p2
2m + VP
φ~k = Eφ~k, (9) với VP là giả thế tinh thể biến thiên chậm Tổng quát VP là một sự kết hợp tuyến tính của các thế nguyên tử, Va, mà có thể được diễn tả như tổng theo các véc-tơ dịch chuyển ~R và các véc-tơ nguyên tử cơ sở ~τ để đưa đến biểu thức sau
VP(~r) =X
~ R
X
~
Va(~r − ~R − ~τ ) (10)
Để đơn giản hơn, tổng bên trong theo ~τ có thể được mô tả như thế năng tổng, Vo, trong ô đơn
vị định xứ tại ~R Khi đó phương trình (10) có thể trở thành
VP(~r) =X
~ R
Vo(~r − ~R) (11)
Bởi vì thế tinh thể là tuần hoàn nên giả thế cũng là hàm tuần hoàn và có thể được khai triển
Hình 3: VP(~r) là giả thế tinh thể tại điểm M có tọa độ ~r so với gốc tọa độ O Giả thế này phụ thuộc vào khoảng cách từ nguyên tử đến điểm M thể hiện qua véc-tơ ~r − ~R − ~τ
Trang 6thành một chuỗi Fourier theo mạng đảo để thu được
VP(~r) =X
~ G
Vo( ~G)ei ~G.~r (12)
với Vo( ~G) là hệ số khai triển chuỗi Fourier theo các véc-tơ mạng đảo Hệ số khai triển này có thể tìm được theo công thức
Vo( ~G) = 1
Ω Z
Ω
d3rVP(~r)e−i ~G.~r (13)
Chứng minh:
Nhân về 2 vế của phương trình (12) biểu thức e−i ~G 0 ~ r Lấy tích phân cả 2 vế theo véc-tơ ~r trên toàn thể tích ô đơn vị
Z
Ω
d3rVP(~r)e−i ~G0.~r=X
~ G
Vo( ~G) Z
Ω
d3rei( ~G− ~G0).~r
Chỉ khi ~G = ~G0 thì tích phân này mới khác không Giá trị của tích phân khi đó sẽ bằng
Z
Ω
d3rei( ~G− ~G0).~r = 1
Ω.
Từ đó ta tìm được công thức (12) sau khi viết lại ~G0 thành ~G
Để áp dụng hình thức luận này cho mạng zincblende, cách thuận tiện là người ta chọn một cơ
Hình 4: Mô hình mạng tinh thể dạng kim cương và Zinc-Blende ~τ được xác định như khoảng cách giữa hai nguyên tử trong một ô cơ sở của các mạng lập phương tâm mặt lồng vào nhau Khi hai nguyên tử trong ô cơ sở ấy khác loại nhau thì ta có cấu trúc Zinc-Blende
sở 2 nguyên tử có trung điểm nằm tại gốc ( ~R = 0) Nếu các véc-tơ nguyên tử cơ sở được cho bởi ~τ1 = ~τ = −~τ2, với ~τ , là véc-tơ nguyên tử cơ sở, được xác định theo hằng số mạng ao như
~
τ = ao(1/8, 1/8, 1/8), VP(~r) có thể được diễn tả như sau
VP(~r) = V1(~r − ~τ ) + V2(~r + ~τ ), (14) với V1 và V2 là các thế năng nguyên tử của cation và anion Thay phương trình (14) vào phương trình (13), và sử dụng tính chất dịch chuyển của biến đổi Fourier, VP(~r) có thể được viết lại như
Vo( ~G) = ei ~G.~τV1( ~G) + e−i ~G.~τV2( ~G) (15)
Trang 7Chuyển dạng exp của các số phức thành dạng cosin và sin Ta có công thức
Vo( ~G) = cos ( ~G.~τ )V1( ~G) + V2( ~G)+ i sin ( ~G.~τ )V1( ~G) − V2( ~G)
Viết lại hệ số Fourier của thế năng nguyên tử dưới dạng các hệ số cấu tạo đối xứng VS( ~G) =
V1( ~G) + V2( ~G) và phản đối xứng VA( ~G) = V1( ~G) − V2( ~G), Vo( ~G) được cho bởi
Vo( ~G) = VS( ~G) cos ( ~G.~τ ) + iVA( ~G) sin ( ~G.~τ ), (16) với các hệ số trước được xem như là các hệ số cấu trúc đối xứng và phi đối xứng Các hệ số cấu trúc ở trên được xem như các tham số có thể hiệu chỉnh mà có thể khớp với dữ liệu thực nghiệm, do đó phương pháp được đặt tên là giả thế thực nghiệm Đối với các vật liệu mạng tinh thể kim cương, với 2 nguyên tử đồng nhất trên ô đơn vị, thì VA= 0 và hệ số cấu trúc đơn giản là cos( ~G.~τ ) Đối với mạng tinh thể zinc-blende, giống như mạng tinh thể trong hệ thống vật liệu GaAs, VA6= 0 và hệ số cấu trúc là phức tạp hơn
Bây giờ với số hạng thế năng đã được cụ thể, nhiệm vụ tiếp theo là phải viết lại phương trình Shroedinger dưới dạng ma trận Hãy nhớ lại rằng nghiệm đối với phương trình sóng Shroedinger trong một mạng tuần hoàn là một hàm Bloch, mà là tổ hợp của một thành phần sóng phẳng
và một phần ô tuần hoàn mà có tính chất tuần hoàn của mạng tinh thể, tức là
ϕ~k(~r) = ei~k.~ru~k(~r) = ei~k.~rX
~
G 0
U ( ~G)ei ~G.~r (17)
Bằng cách khai triển phần ô tuần hoàn u~k(~r) của hàm Bloch mà xuất hiện trong phương trình (17) thành các thành phần của chuỗi Fourier, và thay vào hàm sóng giả thế ϕ~k và thế năng VP vào phương trình sóng Schroedinger, ta thu được phương trình ma trận sau
X
~ G
"
~2(~k + ~G)2
2m − E
#
U ( ~G) +X
~
G 0
Vo( ~G − ~G0)U ( ~G0)
= 0 (18)
Biểu thức được cho trong phương trình (18) là bằng không khi mỗi số hạng trong tổng là đồng nhất bằng không, mà hàm ý điều kiện sau
"
~2(~k + ~G)2
2m − E
#
U ( ~G) +X
~
G 0
Vo( ~G − ~G0)U ( ~G0) = 0 (19)
Trong cách này, sự tính toán cấu trúc vùng được giảm về giải bài toán trị riêng đã được chỉ ra
cụ thể bởi phương trình (19) đối với năng lượng E Hiển nhiên từ phương trình (17), U ( ~G0 là thành phần Fourier của phần ô tuần hoàn của hàm Bloch Số véc-tơ mạng đảo được sử dụng
để xác định kích thước ma trận và độ chính xác của tính toán
Bài toán trị riêng của phương trình (19) có thể được viết trong dạng quen thuộc hơn HU = EU, với H là ma trận, U là một véc-tơ cột đại diện cho các véc-tơ riêng, và E là trị riêng năng lượng tương ứng với véc-tơ riêng của nó Đối với mạng tinh thể kim cương thì yếu tố ma trận chéo của H được cho bởi
Hii = ~
2(~k + ~Gi)2
Số hạng VS(0) trong phương trình (20) thường được bỏ qua bởi vì số hạng này chỉ làm cho năng lượng của các vùng dịch chuyển một lượng giá trị Cái mà ta quan tâm là độ lệch năng
Trang 8Nhóm ~G theo đơn vị (2π/ao)2 Số hoán vị Tổng số yếu tố | ~G|2(2π/ao)2
Bảng 1: Các mặt kề cận gần nhất trong không gian mạng đảo được viết theo các véc-tơ đơn vị Đề-các có đơn vị (2π/ao) Các hệ số cấu tạo giả thể thường được lấy đến ~G2 = 11
lượng giữa vùng dẫn và vùng hóa trị cho nên mức năng lượng có giá trị chính xác bao nhiêu không quan trọng Đối với các yếu tố ma trận không nằm trên đường chéo của H được cho bởi
Hij = Vo( ~Gi− ~Gj) = VS( ~Gi− ~Gj) cos( ~Gi− ~Gj).~τ (21)
Nghiệm đối với các trị năng lượng riêng và các véc-tơ riêng tương ứng có thể tìm được bằng cách chéo hóa ma trận H
4 Thực hiện phương pháp giả thế thực nghiệm cho bán dẫn Si và Ge
Đối với một hệ bán dẫn thông thường, 137 sóng phẳng là thích hợp, mỗi sóng phẳng tương ứng với một véc-tơ trong mạng đảo, để khai triển giả thế Mạng đảo của lập phương tâm mặt (FCC), tức là cấu trúc kim cương hoặc zinc-blende, là một cấu trúc lập phương tâm khối (BCC) Vì vậy các véc-tơ mạng đảo tương ứng với một mạng lập phương tâm khối Các véc-tơ mạng đảo lên đến 10 nút mạng gần nhất bao quanh tính từ gốc và thường được xem xét mà sinh ra 137 sóng phẳng cho cấu trúc zinc-blende Số nhỏ hơn của các nút mạng gần nhất sẽ cho kết quả kém chính xác hơn
• Tại sao lại có 137 sóng phẳng? Con số này tính toán từ đâu?
• Tại sao lại có 10 nút mạng đảo gần nhất? Chỉ số tọa độ của các nút mạng ấy
là gì?
Sau nhiều ngày liền trăn trở suy nghĩ lan man mọi hướng, xem xét nhiều mô hình mô phỏng ô
cơ sở mạng thuận và mạng đảo của mạng lập phương tâm mặt tôi đã tìm ra lời giải cho thắc mắc đến chân tơ kẽ tóc của mình
Thứ nhất: Mạng Zinc-Blende không phải là mạng Bravais Vậy thì là mạng gì? Nó là sự hợp nhất của mạng Bravais lập phương tâm mặt (FCC) và một ô cơ sở gồm 2 nguyên tử (có thể khác loại hoặc cùng loại) Các bạn có thể tưởng tượng một mạng FCC, tại các nút mạng các bạn thay thế bằng một ô cơ sở gồm 2 nguyên tử có các tọa độ (0,0,0) và (1/4;1/4;1/4) Việc thay thế này thực hiện ở mọi nút của FCC thì bạn sẽ thu được một ô mạng Zinc-Blende Hãy xem hình 5 để hiểu rõ hơn
Thứ hai: Xem mạng Zinc-Blende là mạng Bravais FCC có các véc-tơ cơ sở là
Trang 9Hình 5: Mạng Zinc-Blende là sự hợp nhất của ô cơ sở gồm 2 nguyên tử ở các tọa độ (0,0,0) và (1/4;1/4;1/4) với một mạng FCC
~a1 = a
2(0; 1; 1),
~a2 = a
2(1; 0; 1),
~a3 = a
2(1; 1; 0).
Có thể tính được các véc-tơ mạng đảo của mạng FCC bằng các công thức sau:
~b1 = 2π [~a2, ~a3]
~a1[~a2, ~a3],
~b2 = 2π [~a3, ~a1]
~a1[~a2, ~a3],
~b3 = 2π [~a1, ~a2]
~a1[~a2, ~a3]. Tính toán chi tiết tích hữu hướng [~a2, ~a3] như sau:
[~a2, ~a3] = a
2
4
~i ~j ~k
1 0 1
1 1 0
= a
2
4
~i
0 1
1 0
− ~j
1 1
1 0
+ ~k
1 0
1 1
= a
2
4
−1~i + 1~j + 1~k
Thể tích của ô cơ sở:
Ω = ~a1[~a2, ~a3] = a
3
8
0~i + ~j + ~k −~i + ~j + ~k= a
3
4.
Trang 10Từ các phép tính tương tự như trên ta tính được véc-tơ mạng đảo có dạng:
~b1 = 2π
a (−1; 1; 1),
~b2 = 2π
a (1; −1; 1),
~b3 = 2π
a (1; 1; −1).
Từ hệ cơ sở này ta xây dựng được mạng đảo của mạng FCC là mạng lập phương tâm khối (BCC) với hằng số mạng đảo là
b = 4π a Thứ ba: Xét một ô mạng đảo BCC, trong ô mạng đảo này sẽ có 9 nguyên tử (nguyên tử quy ước trong ô mạng đảo) với một nguyên tử nằm ở tâm của hình lập phương 8 nguyên tử còn lại nằm ở 8 đỉnh của hình lập phương Chọn gốc tọa độ tại một đỉnh của ô mạng, các đỉnh còn lại nằm trên các phần dương của các trục tọa độ Ox, Oy và Oz Chọn đơn vị của hằng số mạng đảo là 2π, a thì ta có tọa độ của các nguyên tử là: (0;0;0), (1;1;1), (2;0;0), (0;2;0), (0;0;2), (2;2;0), (2;0;2), (0;2;2) và (2;2;2) Thực hiện các phép tịnh tiến ô cơ sở mạng đảo để xây dựng mạng đảo Ví dụ hướng x, y và z lần lượt tiến hoặc lùi 2 đơn vị; Sau quá trình này ta sẽ thu được tọa độ của tất cả các nguyên tử xung quanh vị trí gốc (0;0;0) Tính khoảng cách từ gốc đến tất cả các nguyên tử mà ta tịnh tiến thu được rồi sắp xếp theo thứ tự khoảng cách từ nhỏ đến lớn ta sẽ được các khoảng cách cho ở bảng 2
Trong bảng 2, số hoán vị có nghĩa là tìm ra tất cả các nguyên tử khả dĩ có cùng một khoảng
STT G2 Nhóm nút Số hoán vị
1 0 (0;0;0) 1
2 3 (1;1;1) 8
3 4 (2;0;0) 6
4 8 (2;2;0) 12
5 11 (3;1;1) 24
6 12 (2;2;2) 8
7 16 (4;0;0) 6
8 19 (3;3;1) 24
9 20 (4;2;0) 24
10 24 (4;2;2) 24 Tổng số véc-tơ sóng ~G 137 Bảng 2: Tổng số véc-tơ sóng ~G cách đến gốc tọa độ Các nguyên tử cùng khoảng cách được xếp vào một nhóm Ta sẽ thấy có
10 nhóm tọa độ tất cả đại diện cho 137 nguyên tử trong mạng đảo gần gốc tọa độ nhất cũng
là 137 véc-tơ sóng ~G khả dĩ mà ta sẽ dùng làm bộ véc-tơ ~G dùng để khai triển Fourier các hàm thế năng Để tìm số hoán vị của một nhóm tọa độ ta sẽ đổi chỗ các giá trị tọa độ cho nhau đồng thời thêm dấu ” + ” hoặc ” − ” vào các giá trị tọa độ
• Nhóm (0;0;0) có 1 cách chọn
• Nhóm (1;1;1) tọa độ hoành độ có 2 cách chọn dấu, mỗi cách chọn dấu của hoành độ có
2 cách chọn dấu của tung độ, mỗi cách chọn dấu của tung độ lại có 2 cách chọn dấu của cao độ Như vậy ta có 2.2.2 = 8 khả năng hoán vị
