Sự tồn tại vector riêng của toán tử uo lõm chính quy tác dụng trong không gian banach với nón cực trị

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ THU HÀ sư TỒN TAI VECTOR RIÊNG ■ ■ CỦA TOÁN TỬ Uo- LÕM CHÍNH QUY TÁC DỤNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH VỚI NÓN cưc TRI Chuyên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ THU HÀ

sư TỒN TAI VECTOR RIÊNG

■ ■

CỦA TOÁN TỬ Uo- LÕM CHÍNH QUY TÁC DỤNG

TRONG KHÔNG GIAN BANACH VỚI NÓN cưc TRI

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI

TÍCH Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Phụ Hy

HÀ NỘI - 2015

Luận văn được hoàn thành tại trường ĐHSP Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Phụ Hy.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến PGS.TS Nguyễn Phụ Hy người thầy đã hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn

Tôi xin cảm ơn các GS, TS giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích của trường ĐHSP Hà Nội 2, các thầy cô trong thư viện nhà trường, các bạn học viên cao học Toán giải tích KI 7 đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này

Hà Nội, tháng 7 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Thị Thu HàTôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Phụ Hy.Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được ghi rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 7 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Thị Thu Hà

MỤC LỤC

1.1 Sự tồn tại vectơ riêng của toán tử Uo

không gian Banach với nón cực trị

1.1.1 Đạo hàm tiệm cận của toán tử

1.1.2 Uo - đạo hàm Fréchet của toán tử 1.2 VÍ dụ

KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

- lõm chính quy tác dụng trong

46

47

50

54

59

60

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết điểm bất động là một ngành toán học lý thuyết có nhiều ứng dụng Lý thuyết điểm bất động được nghiên cứu theo nhiều hướng khác nhau và gắn liền với tên tuổi của nhiều nhà toán học nổi tiếng như: Lipschitz, Kraxnoxelxki, Braide, Aylenbec, Các nhà toán học đã xét các toán tử khác nhau: Toán tử đơn điệu, toán tử

đo được, toán tử có đạo hàm Fréchet hay đạo hàm tiệm cận, toán tử lõm

Nhà toán học Nga nổi tiếng Kraxnoxelxki đã nghiên cứu các nghiệm riêng của các phương trình toán tử (1962), toán tử lõm tác dụng trong không gian Banach thực với một nón cố định (1956)

GS TS Bakhtin nghiên cứu về các phương trình không tuyến tính với các toán tử lõm và lõm đều (1959), các nghiệm dương của các phương trình không tuyến tính với

các toán tử lõm (1984), sau đó mở rộng cho toán tử (K, Uo) - lõm tác dụng trong

không gian Banach thực với hai nón cố định giao nhau khác rỗng (1984)

Các lóp toán tử được các giáo sư Kraxnoxelxki, Bakhtin nghiên cứu và công bố những kết quả về lóp toán tử lõm tác dụng trong không gian Banach với một nón cố định, các toán tử có chung tính chất u0 - đo được

Năm 1987, PGS.TS Nguyễn Phụ Hy đã nghiên cứu về các vectơ riêng của toán

tử lõm chính quy và các vectơ riêng dương của toán tử (K, u0) -lõm chính quy (2013) Tác giả đã mở rộng và phát triển các kết quả về toán tử lõm cho lóp toán tử lõm chính quy tác dụng trong không gian Banach với một nón cố định nhưng không yêu cầu toán tử có tính chất u0 - đo được

Đe chứng minh sự tồn tại vector riêng của các toán tử, trong công trình của các nhà toán học kể trên đã bổ sung các điều kiện phù hợp cho các toán tử

Với mong muốn tìm hiểu sâu hon về lóp toán tử này, nhờ sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của Thầy giáo, PGS.TS Nguyễn Phụ Hy tôi chọn nghiên cứu đề tài: “Sự tồn tại vector riêng của toán tử u0- lõm chính quy tác dụng

5

trong không gian Banach với nón cực trị

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài này nhằm nghiên cứu, mở rộng một số định lí về sự tồn tại vectơ riêng của

toán tử Uo - lõm chính quy theo hướng bổ sung các điều kiện cho nón.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu về không gian Banach thực nửa sắp thứ tự

Tìm hiểu về sự tồn tại vectơ riêng của toán tử toán tử u0- lõm chính quy tác dụng trong không gian Banach với nón cực trị

Toán tử Uo- lõm chính quy tác dụng trong không gian Rn.

Sự mở rộng của định lí tồn tại vectơ riêng

4 Đối tuợng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả về toán tử u0 - lõm chính quy Sự tồn tại vectơ riêng của toán tử u0- lõm chính quy tác dụng trong không gian Banach với nón cực trị

Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước có liên quan

đến vectơ riêng của toán tử Uo- lõm chính quy tác dụng trong không gian Banach với

nón cực trị

5 Phuơng pháp nghiên cứu

Thu thập tài liệu và các bài báo về vectơ riêng của toán tử u0- lõm chính quy tác dụng trong không gian Banach với nón cực trị

Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất

Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn

6 Những đóng góp của luận văn

Luận văn trình bày tổng quát về:

Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự

Một số tính chất về toán tử Uo- lõm và Uo- lõm chính quy.

Toán tử u0- lõm chính quy tác dụng trong không gian Rn

6

Sự mở rộng định lý tồn tại vectơ riêng.

Các kết quả thu được có thể mở rộng cho một số lóp toán tử khác Hy vọng luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho bạn đọc

7

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự

1.1.1 Định nghĩa nón và quan hệ sắp thứ tự trong không gian Banach Định nghĩa 1.1.1.

Cho không gian Banach thực E K là tập con khác rỗng của E Tập K được gọi là một nón, nếu K thỏa mãn các điều kiện sau:

Ni, K là một tập đóng trong không gian E ;

N2, Nếu xG K và y G K, ta có X + y G K ;

N3, Nếu X G K và t là số thực không âm, ta có tx G K ;

N4, Nếu X G K và X ^ 0 ta có -X 0 K ( ỡ là kỉ hiệu phần tử không của không gian E) Đinh lí 1.1.2.

Giao của một số hữu hạn tùy ý nón chứa ít nhất hai phần tử là một nón

Gọi Ki, K2, , Kn là các nón ( n G N*, n > 2 ) trong không gian E và

Giả sử F là một tập con khác rỗng trong không gian E Nếu F là một tập lồi, đóng,

bị chặn trong không gian E và không chứa phần tử không, thì tập K(F) = { Z G E : Z =

tx, X G F, t G R+ } là một nón.

Chứng minh

Ta thấy F c K(F) mà F Ỷ 0 nên K(F) Ỷ 0- Với mọi X G F ta chứng minh tồn tại 2 số

thực dương m, M sao cho m < ||x|| < M

Thật vậy, do tập F bị chặn nên tồn tại M > 0 : ||x|| < M, Vx e F

Do F lồi nên biểu thức trong ngoặc vuông thuộc F Vậy ctz + pz’ G K(F).

az+pz'=(at1+pt2)at i + pt«ti 2 atj+ptx Ị pt2 2

Xni >0 khi i -»00,

1

Vì zn G K(F) nên zn = tn.xn với tn > 0, xn G F

+) Ta chứng minh K(F) n (-K(F)) = {0}

Giả sử điều này không đúng, khi đó tồn tại Xo £ F sao cho -t0x0 £ K(F), to > 0 suy ra

-t0x0 = tiXi với ti > 0, Xi £ F vì vậy

e=t0X0+t1X1=(t0+t1)[-te-X0 + -tLX1] => “ Xg + — Xj =0

to+tl to+ti to+ti tg +tj

mà tập F lồi nên *° xn+——X, e F => 0 e F trái giả thiết, to+tl to+tl

Vậy u £ K(F) thì -u Ể K(F)

Do đó K(F) thỏa mãn các điều kiện của nón, vậy K(F) là một nón J

1.1.2 Quan hệ sập thứ tự trong không gian Banach Định nghĩa 1.1.5.

Giả sử E là không gian Banach thực, K là một nón trong không gian E Với X, y e

E, ta viết x< y nếu y-x e K, X < y nếu y - X e K\{ 0}.

nói: Không gian Banach E nửa sắp thứ tự theo nón K.

Tập M gọi là bị chặn trên bởi phần tử U G E, nếu (Vxe M) X < u

Tập M gọi là bị chặn dưới bởi phần tử V G E, nếu (Vx GM) V <x

*) Nếu (3UGE)(VXGM) X<U thì z < u.

Phần tử w G E gọi là cận dưới đúng của tập M, kí hiệu w = inf M, nếu *) (Vx GM)

• Giả sử tập M có hai cận trên đúng là z và z’ , Z G E, z’ G E thì ( Vx eM) X <z; X

< z', theo tính chất cận trên đúng thì z < z’ , z’ < z Theo định lí 1.1.6 thì z = z’.

Vậy cận trên đúng (nếu có) là duy nhất

1

Vì zn G K(F) nên zn = tn.xn với tn > 0, xn G F

• Giả sử tập M có hai cận dưới đúng là w và w’, w e E, w’ G E thì ( Vx eM) w <x; w'<x, theo tính chất cận dưới đúng thì w < w’, w’ < w Theo định lí 1.1.6 thì w = w’.Vậy cận dưới đúng (nếu có) là duy nhất J

1.2 Quan hệ thông ước giữa các phần tử.

Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón KcE

+) Quan hệ thông ước có tính chất phản xạ

V X G E thì X thông ước với X, vì tồn tại số 1 > 0 để l.x < X < l.x.

+) Quan hệ thông ước có tính chất đối xứng

Giả sử X, y thuộc tập E : X thông ước với y Khi đó, tồn tại hai số dương a, ß

sao cho ay < X < ßy => — X < y < —X Vây y thông ước với X.

+) Quan hệ thông ước có tính chất bắc cầu

Giả sử X, y, z thuộc tập E sao cho X thông ước với y, y thông ước với z.

Khi đó tồn tại các số dương a, b, c, d sao cho ay < X < by, cz < y < dz => (a.c)z < X < (b.d)z Vậy X thông ước với z.

Vậy quan hệ thông ước là một quan hệ tương đương trên không gian E J

Giả sử Uo E K\{0} Kí hiệu K(u0) là tập tất cả phần tử của không gian E thông ước với phần tử Uo.

Đinh lí 1.2.3.

í

1

Vì zn G K(F) nên zn = tn.xn với tn > 0, xn G F

K(u0) là một tập lồi và K(u0)cz K\{0}.

Với t = 0 ta có tx + (1 - t)y = o.x + y = y £ K(uo)

Với t = 1 ta có tx + (1 - t)y = l.x + o.y = X £ K(u0).

Với t £ (0; 1) thì tơUo < tx < tßu0 và (1 - t)ơiUo < (1 - t)y < (1 - t)ßiUo

nên tơUo + (1 - t)aiU0 < tx + (1 - t)y < tßu0 + (1 - t)ßiU0

=> (ta+ (1 - t)ai)u 0 < tx + (1 - t)y < (tß + (1 - t)ßi)u 0 Do các số ta+

(1 - t)ơi và tß + (1 - t)ßi là số thực dương nên tx + (1 - t)y £ K(u0).

Vậy Vx, y £ K(u0), vt £ [0; 1] thì tx + (1 - t)y £ K(u0) Do đó K(u0) là tập lồi

Neu X = 0 thì -auo £ K mâu thuẫn điều kiện K là nón, vậy X 0.

Tacó x=au0+(x-au0) e K

Suy ra Vx E K(u0) => X E K\{0} Vậy K(u0) c K\{0} J

Kí hiệu Eu là tập tất cả các phần tử xe E có tính chất Uo - đo được.

Đinh lí 1.3.2.

í

Với mỗi X GEU tồn tại các số không âm nhỏ nhất a = a(x), p = P(x) sao

cho - ơUo < X < Pu0.

Chứng minh

Giả sử X G Eu khi đó tồn tại các số không âm ti, t2 sao cho -qMg <x< t 2 uữ.

• Trước hết ta chỉ ra tồn tại số p không âm nhỏ nhất sao cho X < pUo.

Thật vậy: Xét ánh xạ f : R —> E

t I-» f(t) = tu0 - X

Do tính chất liên tục của hai phép toán cộng hai phần tử và nhân một số với một phần

tử trong không gian Banach E, nên f liên tục Và từ tính đóng của nón K trong không gian E suy ra f1(K) là tập đóng trong không gian R

Giả sử inf f1(K) = - co

Khi đó 3 (tn )“ cf_1(K) sao cho tnu0 - X G K và lim tn = -00.

Ta xét tập A = { t > 0 : tUo - X G K } Hiển nhiên, t2 £ A hay A ^ 0

Theo chứng minh trên, tồn tại inf { t > 0 : tUo - X £ K } = |3(x) Gf_1(K) nghĩa là X < P(x)uo

Vậy tồn tại số không âm p(x) nhỏ nhất sao cho X < (3(x)uo

• Ta chỉ ra tồn tại số thực a(x) > Onhỏ nhất sao cho -a(x)uo < X.

Xét ánh xạ f : R —> E

1

Vì zn G K(F) nên zn = tn.xn với tn > 0, xn G F

t I-» f(t) = x+ tu0

Do tính chất liên tục của hai phép toán cộng hai phần tử và nhân một số với một phần

tử trong không gian Banach E, nên f liên tục Và từ tính đóng của nón K trong không gian E suy ra f1(K) là tập đóng trong không gian R

Giả sử inf f1(K) = - co thì 3 (tn )°° c= f _1(K) sao cho lim t„ = -00.

Khi đó, (3 n0 £ N*)(Vn > n0) tn < 0 Do đó - —(x+tnu0) e K => -—-u0 e K

1

Cho qua giới hạn trong biêu thức -u0+ — X khi n —> co ta được -Uo £ K, mâu

thuẫn với tính chất của nón K Nên inf f'1(K) £ f'1(K)

Ta xét tập B = { t > 0 : x + tUo£K} Hiển nhiên, ti G B hay B ^ 0.

Theo chứng minh trên, tồn tại inf { t > 0 : X + tu0 £ K } = ct(x) Gf '(K) nghĩa là -a(x)uo < X.

Vậy tồn tại số không âm a(x) nhỏ nhất sao cho - a(x)uo < X.

*) Ta thấy 0 £ Eu , vì với mọi t > 0 ta có -tu0 < 0 < tu0 Suy ra Eu khác rỗng.

*) (Vx,y e Eu )(3tj > 0,3t2 ^ 0,3t3 > 0,3t4 > 0) sao cho :

■tj.Ua < X < t2.u0 và -t3.u0< y < t 4.u0

Khi đó : -(íj +13).M0 < X + y < (t 2 + t4).M0 => X + y e E u

*) (Vx e E u )(3íj > 0,3^2 - 0) sao cho -t v u ữ <x< t 2 M ữ Khi đó Va G R ta có : Nếu a

> 0 => - ti.Uo < X < t2.Uo và a ti > 0, a t2 > 0 => -(«.?!).M0 < a.x < (a.t 2 ).u ữ

Nếu a < 0 => -ti.Uo < X < t2.Uo và -a ti > 0, -a t2 > 0 => < -ax < (-at 2 )u 0

=> -(-a.t2).uữ < a.x < (-a.í 1).M0

Do đó Va G R thì ax G E

M0

Vậy E u là không gian tuyến tính con của không gian E, có thể coi E u là

không gian tuyến tính độc lập J Đinh lí 1.3.4.

\\x\\ = max{inftỊ,inft2}, y = mảx{inft3,inft4} , ta có:

\\x\\ + ||y|| >inf + inf í 3 >inf(t1+ í3),

HL +14 - inf t 2 + inf í 4 > inf(t2+ í4)

Nên \\x\l, + ||y|l >max{inf(ti + íc>),inf(t 2 +í4) = \\x+ y|[

Vậy \\x + y|L <11x11 + ||y|L

J 11 N“o 11 "“ũ 11 N“o

Do đó ánh xạ II ||M là một chuẩn trên không gian E u J

Chuẩn I ||M được gọi là Uo - chuẩn.

Nón K được gọi là nón chuẩn tắc, nếu:

(3Ổ >0)(Ve 1 ,e 2 eẴ':||e1|| =\\e 2 \\ = 1) thì ll^+^ll^^-

Giả sử K là nón chuẩn tắc nhưng bất đẳng thức (1.1) không xảy ra, nghĩa là (VneV*)

(3y„ *0)(3x n eEy n )\\x n \\ E >n.|xn|3, \\y n \\ E (1.2)

Hệ thức (1.2) chứng tỏ xn Ỷ 0, (x n )“ =1 CI £,(yn )“ =1 c: K \{ớ},

Sn = x n + y f y n ri=~ X n + ~jT f y*^ K

Giả sử mệnh đề 2) thỏa mãn Giả sử X, y G K, X < y.

Neu y ^ 0 = > x + y^0 hay X + y G K\{0}, X G Ex+y, vi -(x + y) < X < X + y,

Vậy 3 mệnh đề tuơng đuơng J Định lí 1.4.3.

Neu K là nón chuẩn tắc thì một dãy hội tụ theo u0 - chuẩn cũng hội tụ theo

2

nên lira + i- = 0 = 

I

chuẩn trên không gian E và Eu là không gian Banach theo Uo - chuẩn.

Vậy dãy đó hội tụ theo chuẩn trên không gian E

• Tiếp theo ta chứng minh Eu là không gian Banach theo u0 - chuẩn

Giả sử (x n )“ =1 là một dãy cơ bản bất kì trong không gian Eu theo Uo - chuẩn, nghĩa là: (Vf >0)(3n0e V* )(Vn,m>n0 )b -xm|

Vì K là nón chuẩn tắc nên từ x n —x m +£U ữ < 2£U 0 ta có

Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón Kcz E Nón K

được gọi là cực trị, nếu đối mỗi dãy ( *„x=1 CI K không giảm, bị chặn trên bởi

U G K, bị chặn theo chuẩn và đối với mỗi dãy ( y n )n=ĩ c K không tăng, bị chặn

dưới bởi V G K, bị chặn theo chuẩn đều tồn tại

suP(*Xie*>

inf(y„Cie^-1.5 Các không gian nửa sắp thứ tự Rn, C[a.b]

1.5.1 Không gian Rn, n e N*

Không gian Rn = { X = (Xi, x2, , xn ) : Xi G R, i = 1, 2, , n } ( n G N* ) cùng với hai phép toán thông thường X + y = ( Xi+

yi, x2+ y2, ., xn+ yn),

2

(XX = ( axi, ax2, axn),

trong đó a G R, X = (xb x2, xn ) e Rn, y = (yi, y2, yn ) G Rn là một

không gian tuyến tính thực với phần tử không là 0 = ( 0, 0, 0).

Ta có Rn là không gian định chuẩn thực với chuẩn được xác định như sau:

Ta kiêm tra điêu kiện của chuân

Thât vây, giả sử dãy điểm với x i k ) =(rf),4i)í ,^))eR" hôi tu

V )k=1

tới điểm X = (xi, x2,xn ) G Rn khi k —> co trong không gian Rn

Ta có Ve > 0, 3k0 E N* : vk > ko, x w - X = “ *i) < E •

Các bất đẳng thức (1.5) chứng tỏ với mỗi i = 1, 2, ., n dãy số thực

hội tụ tới Xi khi k —> co Sự hội tụ đó gọi là sự hội tụ theo tọa độ

Ngược lại, giả sử dãy điểm với x w = (xị k ) ,xị k ) , ,x {

n k ) ) e R”,

k = 1, 2, hội tụ theo tọa độ tới điểm X = (xi, x2, , xn ) E Rn

Theo định nghĩa ta có Ve > 0, với mỗi i = 1, 2, ., n, 3ki G N*: vk > ki

Do đó dãy điểm hội tụ tới X trong Rn Vì vậy, sự hội tụ trong không

gian Eukleides Rn tương ứng với sư hội tụ theo tọa độ

Không gian Rn là không gian Banach với chuẩn (1.4).

dãy cơ bản tùy ý trong Rn Khi đó, ta có

Bất đẳng thức (1.6) chứng tỏ với mỗi i = 1, 2, , n dãy y° là một dãy số thực cơ bản, nên tồn tại giới hạn limx^1 = Xị,i

=1,2, ,«

k—> co

Đặt X = ( Xi, x2, , xn) G Rn ta được dãy cơ bản (*(Ắ°) hội tụ theo tọa độ

tới X nên hội tụ tới X khi k —> co trong Rn Vậy Rn là không gian

X = ( Xi, x2, , xn) , Xi > 0, i = 1, 2, , n,

2

Thật vậy, giả sử X, y G Rn, X = ( Xi,x2, , xn), y = ( y i , y 2 , , yn),

X < y o y - x E K < ^ > y¿ - Xi > o, V i = 1, 2, , n, tức là Xi < y¿, vi = 1, 2, , n Quan hệ “< “ xác định như trên là một quan hệ sắp thứ tự bộ phận Thật vậy, với hai phần tử X, y bất kì thuộc Rn thì có thể không so sánh được với nhau theo quan hệ “ < Ví

y=(yvy 2 ’-’y n )’yi >0, ¿=1,2, ,« IMb^Ệoo 2 =1

Tức là tồn tại £ = V 2 > 0 để II* + y|| ^ £ =-s/2

Vậy nón K thỏa mãn định nghĩa về nón chuẩn tắc, nên K là nón chuẩn tắc

Ta chứng minh K là nón cực trị

• Giả sử (x(m)) c K là môt dãy bất kì không giảm, bi chăn trên bởi z = (zỉ )" =1 É K, bị chặn theo chuẩn, nghĩa là:

Trong đó, kí hiệu x { m ) = (*im))£=i ,Vm <E V*, z = (z k ) k = ]

Thât vây, Vra G N* theo tính chất của dãy (x[m)) ta có xị m ) < hm xị m ) = z 'i

với mọi i = 1, 2, , n nên x(m) < z’, Vm G N*

Nếu 3u = («i)"=1 G Kmà x(m) < u, Vm G N* khi đó

V = (v,.)" =1 G K, bị chặn theo chuẩn, nghĩa là:

Trong đó, kí hiệu y(m) = (y^ m) )^ =1 , Vme N* ,v = (v k ) k=1

Đặt y’ = ịy \ ) k = ] Vì v k > 0 với k = 1, 2, ,,n nên y’k > 0 nghĩa là y’ E K Ta chứng minh inf ( ỳ i k ) )°° = y' e K.

Thật vậy, Vm E N* theo tính chất của dãy (yịm>) ta có y- m ) > lim y- m ) = V

với mọi i = 1 , 2 , ., n và Vm E N* nên y(m) > y’, Vm E N*

Nếu 3w = E Kmà w < y(m), V m E N* thì Wị < y^m) , V i =l,2, ,n,

Vra G N* nên Wị < lim x¡ m ) = y'i (V i = 1 , 2 , n ) nghĩa là w < y’.

Nếu i G I2 thì Ui = 0 nên 0 < Xi < 0 suy ra Xi = 0

Nếu i G II thì Ui > 0 nên 0 < aUi < Xi < bUi suy ra Xi > 0

Vậy K(u0)c { X = ( Xi, x2, xn) : Xi > 0, i G li ; Xi = 0, iG I2}

*) Ngược lại V X G { X = ( Xi, x2, x n ) : Xi > 0, i G II ; Xi= 0,i G I2 } ta có

Nếu i G I2 thì Ui = 0, Xi = 0 khi đó luôn tồn tại các số dương a, b sao cho aUi = a.o = 0 < Xi = 0 < 0 = b.o = bUi, i G I2.

Nếu i G II thì Ui > 0 nên maxUị > min Uị > 0 (do Ui > 0), ta đặt