Sự tồn tại vector riêng của toán tử uo lõm chính quy tác dụng trong không gian banach với nón cực trị

Nhà toán học Nga nổi tiếng Kraxnoxelxki đã nghiên cứu các nghiệm riêng của các phương trình toán tử 1962, toán tử lõm tác dụng ừong không gian Banach thực với một nón cố định 1956.GS .TS

NGUYỄN THỊ THƯ HÀ

S ự TỒN TẠI VECTOR RIÊNG

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60 46 01 02

LU Ậ N V Ă N TH ẠC S ĩ TO ÁN HỌC • • •

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Phụ Hy

HÀ NỘI - 2015

Luận văn được hoàn thành tại trường ĐHSP Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Phụ Hy.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến PGS.TS Nguyễn Phụ Hy người thày đã hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn

Tôi xin cảm ơn các GS, TS giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích của trường ĐHSP Hà Nội 2, các thầy cô trong thư viện nhà trường, các bạn học viên cao học Toán giải tích KI 7 đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này

Hà Nội, tháng 7 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Thị Thu Hà

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Phụ Hy.

Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được ghi rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 7 năm 2015

z _ • ĩ

Tác giả

Nguyễn Thị Thu Hà

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên c ứ u 2

6 Những đóng góp của luận văn 3

Chương 1: KIÉN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1 Không gian Banach nửa sắp thứ t ự 4

1.1.1 Định nghĩa nón và một số tính chất sơ cấp 4

1.1.2 Quan hệ sắp thứ tự trong không gian Banach 7

1.2 Quan hệ thong ước giữa các phàn tử .9

1.3 Phần tử u0 - đo đư ợ c 11

1.4 Nón chuẩn tắc và nón cực trị 15

1.4.1 Nón chuẩn tắc và tính chất 15

1.4.2 Nón cực trị 19

1.5 Không gian Banach nửa sắp thứ tự R” , C[a.b] 19

1.5.1 Không gian Rn ,ne N* 19

1.5.2 Không gian cfa.b] 29

Chương 2 S ự TỒN s ự TỒN TẠI VECTOR RIÊNG CỦA TOÁN TỬ uO- LÕM CHÍNH QUY TÁC DỤNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH VỚI NÓN c ự c TRỊ 40

2.1 Định nghĩa toán tử u0 - lõm chính quy và tính chất sơ cấp 40

2.2.Toán tử u0 -lõm chính quy tác dụng trong các không gian Banach 43

2.3.1 Đạo hàm tiệm cận của toán tử .47

2.3.2 u0 - đạo hàm Fréchet của toán tử .50

2.4.VÍ dụ .54

KẾT LUẬN 59

Nhà toán học Nga nổi tiếng Kraxnoxelxki đã nghiên cứu các nghiệm riêng của các phương trình toán tử (1962), toán tử lõm tác dụng ừong không gian Banach thực với một nón cố định (1956).

GS TS Bakhtin nghiên cứu về các phương trình không tuyến tính với các toán tử lõm và lõm đều (1959), các nghiệm dương của các phương trình không tuyến tính với các toán tử lõm (1984), sau đó mở rộng cho toán tử (K, Uo) - lõm tác dụng trong không gian Banach thực với hai nón cố định giao nhau khác rỗng (1984)

Các lớp toán tử được các giáo sư Kraxnoxelxki, Bakhtin nghiên cứu và công bố những kết quả về lớp toán tử lõm tác dụng trong không gian Banach với một nón cố định, các toán tử có chung tính chất Uo - đo được

Năm 1987, PGS.TS Nguyễn Phụ Hy đã nghiên cứu về các vectơ riêng của toán tử lõm chính quy và các vectơ riêng dương của toán tử (K, Uo) -lõm chính quy (2013) Tác giả đã mở rộng và phát triển các kết quả về toán tử lõm cho lớp toán tử lõm chính quy tác dụng ừong không gian Banach với một nón

cố định nhưng không yêu cầu toán tử có tính chất u0 - đo được

Để chứng minh sự tồn tại vector riêng của các toán tử, trong công trình của các nhà toán học kể trên đã bổ sung các điều kiện phù hợp cho các toán tử

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lớp toán tử này, nhờ sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của Thày giáo, PGS.TS Nguyễn Phụ Hy tôi chọn nghiên cứu đề tài: “Sự tồn tại vector riêng của toán tử Uo- lõm chính quy tác dụngtrong không gian Banach với nón cực trị

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài này nhằm nghiên cứu, mở rộng một số định lí về sự tồn tại vectơ riêng của toán tử Uo - lõm chính quy theo hướng bổ sung các điều kiện cho nón

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu về không gian Banach thực nửa sắp thứ tự

Tìm hiểu về sự tồn tại vectơ riêng của toán tử toán tử u0- lõm chính quy tác dụng ừong không gian Banach với nón cực trị

Toán tử u0- lõm chính quy tác dụng trong không gian R"

Sự mở rộng của định lí tồn tại vectơ riêng

4 Đổi tượng và phạm vỉ nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả về toán

tử Uo - lõm chính quy Sự tồn tại vectơ riêng của toán tử u0- lõm chính quy tác dụng trong không gian Banach với nón cực t r ị

Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước có liên quan đến vectơ riêng của toán tử u0- lõm chính quy tác dụng ừong không gian Banach với nón cực t r ị

5 Phưong pháp nghiền cứu

Thu thập tài liệu và các bài báo về vectơ riêng của toán tử u0- lõm chính quy tác dụng trong không gian Banach với nón cực trị

Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất

Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn

6 Những đóng góp của ỉuận văn

Luận văn trình bày tổng quát về:

Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự

Một số tính chất về toán tử u0- lõm và u0- lõm chính quy

Toán tử u0- lõm chính quy tác dụng trong không gian R"

Sự mở rộng định lý tồn tại vectơ riêng

Các kết quả thu được có thể mở rộng cho một số lớp toán tử khác Hy vọng luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho bạn đọc

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ•

1.1 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự

1.1.1 Định nghĩa nón và quan hệ sắp thứ tự trong không gian Banach Định nghĩa 1.1.1.

Cho không gian Banach thực E к là tập con khác rỗng của E Tập к được gọi là một nón, nếu К thỏa mãn các điều kiện sau:

Ni, К là một tập đóng ừong không gian E ;

N2, Nếu xG К và y € к , ta có X + y G к ;

N3, Neu X G К và t là số thực không âm, ta có tx e к ;

N4, Neu X G К và X 0 ta có -X Ể к ( 0 là kí hiệu phàn tử không của không gian E)

Chứng minh.

Ta thấy F с K(F) mà F Ф 0 nên K(F) Ф 0 Với mọi X 6 F ta chứng minh tồn

tại 2 số thực dương m, M sao cho m < ||x|| < M

Thật vậy, do tập F bị chặn nên tồn tại M > 0 : ||x|| < M, Vx e F

Lấy dãy bất kì {z }°° с= K(F) sao cho lim z = z trong không gian E

Vì zn e K(F) nên zn = tn.xn với tn > 0, xn 6 F

+) Ta chứng minh K(F) n (-K(F)) = {0}

Giả sử điều này không đúng, khi đó tồn tại x0 Ẽ F sao cho -toXo £ K(F), to > 0

suy ra -toXo = tiXi v ớ i ti > 0, Xi 6 F v ì vậy

e=t0x0+t1x1=(t0+ ti) [ - t^ - x 0+ - tỉ—x1] => “ Xq + — =0

mà tập F lồi nên to xn+ — —X, G F=> 0 e F trái giả thiết

Vậy u e K(F) thì -u Ể K(F)

Do đó K(F) ứiỏa mãn các điều kiện của nón, vậy K(F) là một nón J

1.1.2 Quan hệ sắp thứ tự trong không gian Banach

Vậy quan hệ “ < “ là một quan hệ sắp thứ tự trên không gian E theo nón K _ Khi đó ta nói: Không gian Banach E nửa sắp thứ tự theo nón K.

Định nghĩa 1.1.7.

Giả sử E là một không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K

Dãy điểm (x" ) e E goi là dãy không giảm, nếu Xi < x2 < < xn <

Tập M gọi là bị chặn trên bởi phàn tử u G E, nếu ( Vx G M) X <u

Tập M gọi là bị chặn dưới bởi phần tử V GE, nếu (Vx G M) V < x.

( Vx GM) X <z; X < z ', theo tính chất cận ừên đúng thì z < z’ , z’ < z Theo định lí 1.1.6 thì z = z ’.

Vậy cận trên đứng (nếu có) là duy nhất

• Giả sử tập M có hai cận dưới đúng là w và w ’ , w G E, w ’ e E thì( Vx gM) w <x; w ' < x , theo tính chất cận dưới đúng thì w < w ’, w ’ < w.Theo định lí 1.1.6 ứiì w = w’

Vậy cận dưới đứng (nếu có) là duy nhất _

1.2 Quan hệ thông ước giữa các phần tử.

Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K c E

Định nghĩa 1.2.1.

Giả sử X, y e E Phàn tử X được gọi là thông ước với phần tử y, nếu tồn tại

hai số dương a , ß sao cho a y < X < ßy.

Đinh lí 1.2.2.

Quan hệ thông ước là một quan hệ tương đương trên không gian E

Chứng minh

+) Quan hệ thông ước có tính chất phản xạ

V X 6 E thì X thông ước với X, vì tồn tại số 1 > 0 để l.x < X < l.x

+) Quan hệ thông ước có tính chất đối xứng

Giả sử X, y thuộc tập E : X thông ước với y Khi đó, tồn tại hai số dương a, ß

sao cho ay < X < ßy => Vậy y thông ước với X

+) Quan hệ thông ước có tính chất bắc càu

Giả sử X, y, z thuộc tập E sao cho X thông ước với y, y thông ước với z

Khi đó tồn tại các số dương a, b, c, d sao cho ay < X < by, cz < y < dz

=> (a.c)z < X < (b.d)z Vậy X thông ước với z

Vậy quan hệ thông ước là một quan hệ tương đương trên không gian E _

Giả sử Uo E K\{0} Kí hiệu K(u0) là tập tất cả phàn tử của không gian E thông ước với phần tử u0

Vx, y G K(u0) thì tồn tại các số thực dương a, ß, a b ßi sao cho

auo < X < ßu0 , aiUo < y < ßiUo

Với t = 0 ta có tx + (1 - t)y = o.x + y = y e K(u0)

Với t = 1 ta có tx + (1 - t)y = l.x + o.y = X G K(u0)

Với t € (0; 1) thì tauo < tx < tßu0 và (1 - t)aiU0 < (1 - t)y < (1 - t)ßiU0 nên tauo + (1 - t)aiu0 < tx + (1 - t)y < tßuo + (1 - t)ßiUo

=> (ta+ (1 - t)ai)u0 < tx + (1 - t)y < (tß + (1 - t)ßi)uo

Do các số ta+ (1 - t)ơi và tß + (1 - t)ßi là số thực dương nên

Giả sử X e Eu khi đó tồn tại các số không âm ti, t2 sao cho -tịiÌQ < x < t2u 0

• Trước hết ta chỉ ra tồn tại số ß không âm nhỏ nhất sao cho X < ßu0.Thật vậy: Xét ánh xạ f : R —> E

t f(t) = tuo - X

Do tính chất liên tục của hai phép toán cộng hai phần tử và nhân một số với một phần tử trong không gian Banach E, nên f liên tục Và từ tính đóng của nón К trong không gian E suy ra f 1(K) là tập đóng trong không gian R

D o đ ó in f f 1(K) = | 3 e f 1(K).

Ta xét tập A = { t > 0 : t u 0- x e K } Hiển nhiên, t2 E A hay A ^ 0

Theo chứng minh trên, tồn tại inf { t > 0 : tu0 - X e K } = P(x) e f _1(K) nghĩa là X < P(x)u0

Vậy tồn tại số không âm (3(x) nhỏ nhất sao cho X < (3(x)u0

• Ta chỉ ra tồn tại số thực a(x) > 0 nhỏ nhất sao cho -a(x)u0 < X.

Xét ánh xạ f : R —> E

t I—> f(t) = x+ tu0

Do tính chất liên tục của hai phép toán cộng hai phần tử và nhân một số với một phần tử trong không gian Banach E, nên f liên tục Và từ tính đóng của nón K trong không gian E suy ra f 1(K) là tập đóng trong không gian R

Giả sử inf f 1(K) = - QO thì 3 (tn )°° c: f _1(K) sao cho lim tn = -00

7l-»00

Khi đó, (3 n0G N*)(Vn > n0) tn < 0 Do đó (x+tnu0) e K = > - u 0 e K

^•n

1Cho qua giới hạn trong biêu thức -u0+ —X khi n —» 00 ta được -u 0 Ẽ K, mâuửiuẫn với tính chất của nón K Nên inf f ■l(K) e f !(K)

Ta xét tập B = { t > 0 : x + tu0 Ẽ K } Hiển nhiên, ti 6 B hay B ^ 0

Theo chứng minh trên, tồn tại inf { t > 0 : x + tu0 E K } = a(x) Ef _1(K )

*) Ta thấy 0 Ẽ Eu , vì với mọi t > 0 ta có -tu 0 < 0 < tu0 Suy ra Eu khác rỗng.

*) (Vx,y € Eu XBtj > 0,3t2 ^ 0,3t3 > 0,3t4 > 0) sao cho :

- t j U o ^ x ^ U o và - t 3.u0 < y < t 4.u0

Khi đó : -(?! + t3).M0 < X + y < (t2 + t 4).M0 x + y G Eu

*) (Vx e Eu )(3íj > 0,312 > 0) sao cho - t vuữ < X < t2.uữ Khi đó Va 6 R ta có :

Neu а > о => - tl.uo < X < t2.u0 và a ti > о, а t2 > 0

Vậy Eu là không gian tuyến túứi con của không gian E, có thể coi Eu là

không gian tuyến tính độc lập _

Đinh lí 1.3.4.

Ánh xạ :

1М1ц,:£Ц ,-^Л

x\-» Il III^Q max {a(x), ß{ у)}

là một chuẩn trên không gian Eu , trong đó a(x), ß(x) xác định trong định

lí 1.3.2

Chứng minh

Thật vậy, I • Ц là một ánh xạ từ Eu vào tập số thực không âm R+ , do định

nghĩa tính u0 - đo được của phần tử X Ta kiểm ưa các tiên đề về chuẩn :

Vì vậy, (Ух& Еи )(AeÆ)||Ajt|| = 1^111*1

• (Ух, у е Еи ) ta có 3 ti, t2, t3, tị > 0 sao cho

—tvUQ < X < t2M0 , —t3.u0 < y < t4.u0.

Suy ra

||jt|| = maxlinft] ,inft2 } , ị y ị = m a x { i n f t 3 ,inft4} , ta CÓ:

||jc|| + 1y\\ > inf tị + inf t3 > inf(tj+ i3) ,

||jc|| + |y | >inf t2 + in fi4 >inf(t2+ i4)

Nên ||jc|| + | j | >max{inf(t1+ í3),inf(t2+Í4) = |A: + y|

V ậ y | | j c + y |L ^ I W L + | y | L ■

II n«0 11 n“o 11 n“o

Do đó ánh xạ I \\u là một chuẩn trên không gian Eu J

Chuẩn I \\u được gọi là Uo - chuẩn.

Nón K được gọi là nón chuẩn tắc, nếu:

(^S>Q)(yel,e2 &K\\e-^ = \e2\ = \) thì +e2!><!>

Giả sử K là nón chuẩn tắc nhưng bất đẳng thức (1.1) không xảy ra, nghĩa là

(V n G N * )(3 y n * ớ ) ( 3 x nGEyn)\\xn\\E >n.\\xn\\y .\\yn\\E (1.2)

Hệ thức (1.2) chứng tỏ xn í 0, (xnỴn=l c E ,(yn)“=1 c= K \ {6},

Chứng minh 2) =>3)

Giả sử mệnh đề 2) thỏa mãn Giả sử X, y e к , X < y

Nếu y = 0 = > x = 0=> ||jc||£ = \\y\\E = 0 Khi đó \\x\\E = 0 < 0 =M.|| j||£

Nếu y ^ 0 = > x + y ^ 0 hay x + y Ẽ к\{0}, X e Ex+y, vì -(x + y) < X < X + y,

nên IIjcII <1 II llx+y

chuẩn trên không gian E và Eu là không gian Banach theo Uo - chuẩn.

Chứng minh

• Trước hết ta chứng minh một dãy điểm (*„)”=! c: Eu hội tụ tới

xG Eu theo Uo - chuẩn thì dãy đó hội tụ theo chuẩn trên không gian E Thật

vậy, giả sử dãy điểm (*„)”=! c Eu hội tụ tới x e E u theo Uo - chuẩn nghĩa là

Vậy dãy đó hội tụ theo chuẩn trên không gian E

• Tiếp theo ta chứng minh Eu là không gian Banach theo Uo - chuẩn

Giả sử (*„)”=! là một dãy cơ bản bất kì trong không gian Eu theo Uo - chuẩn,

nghĩa là: ( V f > 0 )(3 n 0eN* ) ( V n,rn>n0)\\xn- x m\\u <£.

Từ định nghĩa u0 - chuẩn suy ra

- £ u 0<xn- x m<£u0,V n ,m > n 0 ( 1 3 )

Do đó 0 < x n- x m+ suữ < 2 suữ, Vn,m > nữ.

Vì К là nón chuẩn tắc nên tò xn - xm + £Uữ < 2suữ ta có

k - * I L - £ »^ n - n0 » hay dãy ( xn)"=1 hội tụ trong Eu theo u0 - chuẩn

Vậy Eu là không gian Banach theo Uo - chuẩn J

1.4.2 Nón cưc tri • •

Định nghĩa 1.4.4.

Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K c E Nón К được gọi là cực trị, nếu đối mỗi dãy (хи)”=1 с К không giảm, bị chặn ừên bởi

u 6 K, bị chặn theo chuẩn và đối với mỗi dãy ( y„ )“=1 с К không tăng, bị chặn

dưới bởi V 6 K, bị chặn theo chuẩn đều tồn tại

suP(*Xde* infơ ,X

ie^-1.5 Các không gian nửa sắp thứ tự Rn, С[а.Ь]

1.5.1 Không gừin Rn, n e N*

a) K hông gian Rn = { X = (xb x2, x n ) : Xi 6 R, i = 1, 2 , n } ( n e N* )

cùng với hai phép toán thông thường

X + у = ( Xi+ Уь x 2+ y2, , x n+ yn),

ax = ( axi, ax2, axn),

trong đó a e R, X = (xi, x2, xn ) e Rn, y = (yi, y2, yn ) e Rn là một không gian tuyến tính thực với phần tử không là 0 = ( 0, 0 , 0 )

b) Ta có Rn là không gian định chuẩn thực với chuẩn được xác định như sau:

*) V X = (xi, x2, x n) e Rn, y = (yi, y2, y „ ) e Rn

\\x+y f =ẳ(*i + y,)2= + yĩ+2xiyi)

c) Sự hội tụ trong không gian R” tương ứng với sự hội tụ theo tọa độ

Thât vây, giả sử dãy điểm (jcw ) với x (k) - (xịk),x (2k), ,x(nk)) e R" hôi tu

tới điểm X = (xb x2, x J e R “ khi к —> GO trong không gian R"

Ta có V e > 0, 3k0 e N* : vk > ко, JCW - X = J ỵ ^ ị x ị k) < £

Suy ra л/ v(fc) _ v л/ < £ ,V k > k0,Vi = l,2, ,n (1.5)Các bất đẳng thức (1.5) chứng tỏ với mỗi i = 1, 2 , n dãy số thực jhội tụ tới Xi khi к —> 00 Sự hội tụ đó gọi là sự hội tụ theo tọa độ

к = 1, 2 , hội tụ theo tọa độ tới điểm X = (xb x2, X „ ) Ẽ R "

Theo định nghĩa ta có Ve > 0, với mỗi i = 1, 2 , n, akị G N*: Vk > kị

d) Không gian R" là không gian Banach với chuẩn (1.4).

Thật vậy, giả sử dãy Ịx(fe))°° с Rn với x (k) = (xịk),xịk), ,x(nk)) <E R" là một

dãy cơ bản tùy ý trong Rn Khi đó, ta có

Bất đẳng thức (1.6) chứng tỏ với mỗi i = 1, 2 , n dãy Ỵ là một dãy

số thực cơ bản, nên tồn tại giới hạn lim x\k) = Xị,ỉ = \,2

Đặt X = ( Xi, x2, , xn) € R" ta được dãy cơ bản Ị hội tụ theo tọa độ tới X nên (*(fe)) hội tụ tới X khi к —» 00 trong Rn Vậy Rn là không gian

Tức là tồn tại ổ=yỊĨ>0 âể \\x+y\\> ổ = J Ĩ

Vậy nón К thỏa mãn định nghĩa về nón chuẩn tắc, nên к là nón chuẩn tắc.i) Ta chứng minh к là nón cực trị

• Giả sử ( x(m) ì с К là môt dãy bất kì không giảm, bi chăn trên bởi

Thât vây, Vm (E N* ứieo tính chất của dãy (xịm) ) ta có х\т) < lim xịm) = z 'ị

với mọi i = l , 2, , n nên x(m) < z \ Vm 6 N*

Nếu 3u = [Uị )”=1 G К mà x(m) < u, Vm € N* khi đó

x\ m) < Uị , U ị > 0, V i = l,2, ,n, Vm e N*

nên z'i - lim Xịm) < Uị (V i = l,2, ,n) nghĩa là z’ < u.

m— »00

Vậy supỊjc(fc)Ị°° =z'&K.

• Giả sử ( y (m) ) с К là môt dãy bất kì không tăng bi chăn dưới bởi

V /m=1

V = (v, )"=1 6 K, bị chặn theo chuẩn, nghĩa là:

yi) > y(2) > > ym) > > v > 0, Vm e ЛГ* J (m) = ỵ^(yịm))2 ^ N

với mọi i = 1, 2, n và Vm e N* nên y(m) > y ’, Vm 6 N*

Nếu 3w = (w,-)"=1 6 К mà w < y(m), V m 6 N* thì Wị < y\m) , V i =1,2, ,n,

Vm e N*nên Wị < lim x\m) = y'ị (V i = 1 , 2 , n) nghĩa là w < y’.

Nếu i e I2 thì Ui = 0 nên 0 < Xi < 0 suy ra Xi = 0

Nếu i G II thì Ui > 0 nên 0 < aUi < Xi < bUi suy ra Xi > 0

Vậy K(uo)c { X = ( xb x2, xn) : Xi > 0, i e li ; Xi = 0, i e I2 }

*) N gược lại V X 6 { X = ( Xi, X2, xn) : Xi > 0, i 6 li ; Xi = 0, i Ẽ I2 } ta có

Nếu i G I2 thì Ui = 0, Xi = 0 khi đó luôn tồn tại các số dương a, b sao cho

aUị = a.o = 0 < Xi = 0 < 0 = b.o = bUị, i G I2

Neu i e li thì Ui > 0 nên max и ị > min Uị > 0 (do Ui > 0), ta đặt