20 bai tap thể tích có lời giải chi tiết

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy 2a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600.. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy 2a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600.. Cho hình chóp S.ABC có đá

2a

O C B

S

a a

A B

C S

60

a a

B

S

Bài 1 Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy 2a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600 Tính thể tích của hình chóp

Giải:

 Gọi O là tâm của mặt đáy thì SO (ABCD) do đó SO là đường cao

của hình chóp và hình chiếu của SB lên mặt đáy là BO,

do đó  0

60

2

BO

0

 Vậy, thể tích hình chóp cần tìm là

3

a

V  B h  AB BC SO  a a a 

Bài 2 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, 

BAC = 300 ,SA = AC = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC).Tính V S.ABC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

Giải

 Theo giả thiết, SAAB BC , AB , BC SA

Suy ra, BC (SAB) và như vậy BC SB

.cos 30

2

a

2

a

2



.



2

SBC



3

3

S ABC

SBC





Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = 2a Hai mặt bên (SAB) và

(SAD) vuông góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy một góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Giải









 Suy ra hình chiếu của SC lên (ABCD) là AC, do đó  0

60

SCA 

tanSCA SA SA AC.tanSCA AB BC tan 60 a (2 ) 3a a 15

AC

 S ABCD AB BC a a.2 2a2

60

M O

C B

S

6

B

S

D E

30

a

C S

 Vậy, thể tích khối chóp S.ABCD là:

3 2

a

Bài 4 Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy 2a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600 Tính thể tích của hình chóp

Giải

 Gọi O là tâm của mặt đáy thì SO (ABCD) nên SO là đường cao

của hình chóp

Gọi M là trung điểm đoạn CD Theo tính chất của hình chóp đều







(góc giữa mặt (SCD và mặt đáy) )

2

OM

 Vậy, thể tích hình chóp cần tìm là:

3

a

Bài 5 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với đáy Gọi D, E lần

lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC Biết rằng AB = 3, BC = 2 và SA = 6 Tính thể tích khối chóp S.ADE

Giải

 SB  SA2AB2  32 62 3 5

2 2 2 2 2 62 32 22 7



2 2 2

5 (3 5)



2 2 2

2 2

49 7

S ABC

.

6

S ADE

S ABC

Bài 6 Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy (ABC), tam giác ABC vuông cân tại B, SA= a,

SB hợp với đáy một góc 300 Tính thể tích của khối chóp S.ABC

Giải

là AB, do đó  0

30

SBA 

a I

M H

C '

B '

C

A '

60

2a

I K

C S

cotSBA AB BC AB SA.cotSBA a.cot30 a 3

SA



2

ABC

a

 Vậy, thể tích khối chóp S.ABC là:

2 3

V  SAS   a  (đvtt)

Bài 7 Cho hình lăng trụ ABC A B C   có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a Hình chiếu vuông góc của A xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB Mặt bên ( AA C C  ) tạo với đáy một góc bằng 45 Tính thể tích của khối lăng trụ này

Giải

 Gọi H,M,I lần lượt là trung điểm các đoạn AB,AC,AM

 Theo giả thiết,

Do IH là đường trung bình tam giác ABM nên

||

 Ta có, AC IH AC, A H AC IA

Suy ra góc giữa (ABC và () ACC A  là ) A IH 45o

.tan 45

a

 Vậy, thể tích lăng trụ là:

3

V B h  BM AC A H    a  (đvdt)

Bài 8 Hình chóp S.ABC có BC = 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại C, SAB là tam giác vuông cân tại S

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Gọi I là trung điểm cạnh AB

1) Chứng minh rằng, đường thẳng SI vuông góc với mặt đáy (ABC )

2) Biết mặt bên (SAC) hợp với đáy (ABC) một góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC

Giải

 Do SAB vuông cân tại S có SI là trung tuyến nên SI AB









 Gọi K là trung điểm đoạn AC thì IK ||BC nên IK AC

Ta còn có, AC SI do đó AC SK

Suy ra, góc giữa 2 mặt phẳng (SAC) và (ABC) là  0

60

SKI 

2

và AB 2SI 2a 3 AC  AB2BC2 2a 2

 Vậy,

3

S ABC ABC

a

O M

B S

30

60

a

B'

C A

B

60

A

D S

Bài 9 Cho khối chóp S.ABC có ABC và SBC là các tam giác đều có cạnh bằng 2, SAa 3 Tính thể

tích khối chóp S.ABC theo a

Giải

 Gọi M là trung điểm đoạn BC, O là trung điểm đoạn AM

 Do ABC và SBC đều có cạnh bằng 2a nên

2

a

SM AM  SA SAM đều SO AM (1)

 Ta có, BC SM

 Từ (1) và (2) ta suy ra SO (ABC) (do AM BC, (ABC))

 Thể tích khối chóp S.ABC

3

3 2

Bài 10 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là một tam giác vuông tại A và AC = a,  0

60

C 

Đường chéo BC' của mặt bên BB'C'C tạo với mặt phẳng (AA'C'C) một góc 30 Tính thể tích của 0

khối lăng trụ theo a

Giải:

 Ta có, AB AC AB (ACC A)

vuông góc của BC  lên (ACC A  Từ đó, góc giữa ) BC  và (ACC A  )

30

BC A 

 Trong tam giác vuông ABC, AB AC.tan 600 a 3

 Trong tam giác vuông ABC , AC AB.cot 300 a 3 3 3a

 Trong tam giác vuông ACC , CC  AC2 AC2  (3 )a 2a2 2a 2

Câu 11 Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600 Tính

diện tích xung quanh và thể tích của hình nón có đỉnh S và đáy là đường tròn ngoại tiếp đáy hình

chóp đã cho

BÀI GIẢI CHI TIẾT

 Gọi O là tâm của hình vuông ABCD Do S.ABCD là hình chóp đều nên

 Suy ra, OB là hình chiếu vuông góc của SB lên mp(ABCD)

Do đó,  0

60

2

a

r OB  ta suy ra:

0

2

2



2

xq

a

S  r l   a  a (đvdt)

 Thể tích hình nón:

2

(đvtt)

Câu 12 Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy (ABC), tam giác ABC vuông cân tại B, SA=

a, SB hợp với đáy một góc 300 Tính thể tích của khối chóp S.ABC

BÀI GIẢI CHI TIẾT

là AB, do đó  0

30

SBA 

cotSBA AB BC AB SA.cotSBA a.cot30 a 3

SA



2

ABC

a

 Vậy, thể tích khối chóp S.ABC là:

2 3

V  SAS   a  (đvtt)

Câu 13 Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 6, đường cao h = 2 Hãy tính diện tích của mặt

cầu ngoại tiếp hình chóp đó

BÀI GIẢI CHI TIẾT

 Giả sử hình chóp đều đã cho là S.ABC có O là chân đường cao xuất

phát từ đỉnh S Gọi I là điểm trên SO sao cho IS = IA, thì

IS IAIB OC R

Do đó, I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

 Theo giả thiết, SO = 2 IO  2 R

2

 Trong tam giác vuông IAO, ta có

2

 Vậy, diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là

2

2

S   R        (đvdt)

Câu 14 Cho hình lăng trụ ABC A B C   có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a Hình chiếu vuông góc

của A xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB Mặt bên ( AA C C  ) tạo với đáy một góc bằng 45 Tính thể tích của khối lăng trụ này

a

a 2 M

B S

BÀI GIẢI CHI TIẾT

 Gọi H,M,I lần lượt là trung điểm các đoạn AB,AC,AM

 Theo giả thiết,

Do IH là đường trung bình tam giác ABM nên

||

 Ta có, AC IH AC, A H AC IA

Suy ra góc giữa (ABC và () ACC A  là ) A IH 45o

.tan 45

a

 Vậy, thể tích lăng trụ là:

3

V B h  BM AC A H    a  (đvdt)

Câu 15 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với mặt đáy Góc

60

SCB  , BC = a, SAa 2 Gọi M là trung điểm SB

1) Chứng minh rằng (SAB) vuông góc (SBC) 2) Tính thể tích khối chóp MABC

BÀI GIẢI CHI TIẾT

 Mà BC (SBC) nên (SBC)(SAB)



2

a

 Thể tích khối chóp M.ABC:

Câu 16 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC = a, mặt

(A BC ) tạo với đáy một góc 30 và tam giác 0 A BC có diện tích bằng a2 3 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C   

BÀI GIẢI CHI TIẾT

 Do BC AB







là góc giữa (ABC và () A BC )

 Ta có,

2

2





0 0

 Vậy, l.t ruï

3

ABC

a

V B h S AA AB BC AA    a a a   (đvtt)

Câu 17 Hình chóp S.ABC có BC = 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại C, SAB là tam giác vuông cân tại S

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Gọi I là trung điểm cạnh AB

1) Chứng minh rằng, đường thẳng SI vuông góc với mặt đáy (ABC )

2) Biết mặt bên (SAC) hợp với đáy (ABC) một góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC

BÀI GIẢI CHI TIẾT

 Do SAB vuông cân tại S có SI là trung tuyến nên SI AB









 Gọi K là trung điểm đoạn AC thì IK ||BC nên IK AC

Ta còn có, AC SI do đó AC SK

Suy ra, góc giữa 2 mặt phẳng (SAC) và (ABC) là  0

60

SKI 

2

và AB 2SI 2a 3 AC  AB2BC2 2a 2

 Vậy,

3

S ABC ABC

a

Câu 18 Cho khối chóp S.ABC có ABC và SBC là các tam giác đều có cạnh bằng 2, SAa 3 Tính thể

tích khối chóp S.ABC theo a

BÀI GIẢI CHI TIẾT

 Gọi M là trung điểm đoạn BC, O là trung điểm đoạn AM

 Do ABC và SBC đều có cạnh bằng 2a nên

2

a

SM AM  SA SAM đều SO AM (1)

 Ta có, BC SM

 Từ (1) và (2) ta suy ra SO (ABC) (do AM BC, (ABC))

 Thể tích khối chóp S.ABC

3

3 2

Câu 19 Cho một hình trụ có độ dài trục OO 2 7 ABCD là hình vuông cạnh bằng 8 có các đỉnh nằm

trên hai đường tròn đáy sao cho tâm của hình vuông là trung điểm của đoạn OO Tính thể tích của hình

trụ đó

60

a

B'

C A

B

B

A

O S

BÀI GIẢI CHI TIẾT

 Giả sử ,A B ( )O và ,C D ( )O

 Gọi H,K,I lần lượt là trung điểm các đoạn AB,CD và OO

 Vì IO  7  4 IH nên O H

 Theo tính chất của hình trụ ta có ngay OIH và OHA

là các tam giác vuông lần lượt tại O và tại H

 Tam giác vuông OIH có OH  IH2 OI2 3

 Tam giác vuông OHA có r OA OH2 HA2  5

 Vậy, thể tích hình trụ là: V B h  .r h2 .5 2 72 50 7 (đvtt)

Câu 20 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là một tam giác vuông tại A và AC = a,

60

C  Đường chéo BC' của mặt bên BB'C'C tạo với mặt phẳng (AA'C'C) một góc 30 Tính thể 0

tích của khối lăng trụ theo a

BÀI GIẢI CHI TIẾT

: Ta có, AB AC AB (ACC A)

vuông góc của BC  lên (ACC A  Từ đó, góc giữa ) BC  và (ACC A  )

30

BC A 

 Trong tam giác vuông ABC, AB AC.tan 600 a 3

 Trong tam giác vuông ABC , AC AB.cot 300 a 3 3 3a

 Trong tam giác vuông ACC , CC  AC2 AC2  (3 )a 2a2 2a 2

Câu 21 Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón tương ứng

BÀI GIẢI CHI TIẾT

 Giả sử SAB là thiết diện qua trục của hình nón (như hình vẽ)

 Tam giác SAB cân tại S và là tam giác cân nên SA = SB = a

a

SO OA AB 

 Vậy, diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón :

xq

2

S  rl     

;

t p xq

2 2



  Thể tích khối nón:

2

3 2