Giải gần đúng một số phương trình đại số và phương trình siêu việt

Nhìn chung các phương trình dạng /x = 0 thường khó có thể giải đượcbằng phương pháp đại số, hoặc nếu các bài toán đó nếu có thể giải được thì nó có công thức nghiệm phức tạp, cồng kềnh n

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ HẰNG

GIẢI GẦN ĐŨNG MÕT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐAI SỐ

■ ■

VÀ PHƯƠNG TRÌNH SIÊU VIẼT

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

Chuyền ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN HÙNG

HÀ NỘI, 2015

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường ĐHSP Hà Nội 2, dưới

sự hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng, người thầy đã hướng dẫn vàtruyền thụ những kinh nghiệm đồng thời cũng là người khơi nguồn cảm hứngcho tác giả trong học tập và nghiên cứu khoa học Thầy luôn động viên khích lệtác giả vươn lên trong học tập và vượt qua khó khăn trong chuyên môn Tác giảxin bày tỏ lòng kính trọng, biết ơn chân thành và sâu sắc đối với thầy

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo trường ĐHSP Hà Nội 2,phòng Sau đại học đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹpchương trình cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội, TrườngTHPT Cổ Loa đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả có thời gian học tập và hoànthành tốt luận văn

Hà Nội, ngày 10 tháng 11 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Thị HằngTôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự

hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hùng.

Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhàkhoa học nghiên cứu và đồng nghiệp với sự trân trọng biết ơn

Hà Nội, tháng năm 2015

Tác giả

Nguyễn Thị Hằng

MỤC LỤC

1 Lí do chon đè tài *

Ngày nay các ngành khoa học nói chung và ngành toán học nói riêng đãphát triển đến mức độ cao Rất nhiều các bài toán trong thực tế ( Thiên văn, đođạc ruộng đất, yật lí, ) dẫn đến việc cần giải các phương trình một biến dạng /(x) = 0 Nhìn chung các phương trình dạng /(x) = 0 thường khó có thể giải đượcbằng phương pháp đại số, hoặc nếu các bài toán đó nếu có thể giải được thì nó

có công thức nghiệm phức tạp, cồng kềnh nên việc khảo sát các tính chất củanghiệm qua công thức nghiệm đó gặp rất nhiều khó khăn Bởi yậy việc tìmnghiệm gần đúng và đánh giá mức độ sai số của nghiệm gần đúng khi giải xấp

xỉ phương trình một ẩn dạng /(x) = 0 là rất cần thiết

Các nhà Toán học đã nghiên cứu và đưa ra một số phương pháp giải gầnđúng phương trình một ẩn dạng /(x) = 0 Kết họp với sự hỗ trợ đắc lực của máytính điện tử hiện đại nên việc tìm nghiệm gần đúng của các phương trình phituyến một ẩn dạng /(x) = 0 trở nên đơn giản hơn rất nhiều Tuy nhiên trước mỗibài toán phi tuyến dạng /(x) = 0 thì việc lựa chọn phương

pháp tìm nghiệm gần đúng nào để kết quả nghiệm tìm được chính xác hơn, sai

số nhỏ và tính toán nhanh thì phương pháp giải đó được xem là tối ưu hơn cả

Không có phương pháp nào được xem là tối ưu tuyệt đối, mỗi phươngpháp đều có nét đặc trưng riêng của nó Việc dùng phương pháp nào để giải bàitoán cho phù hợp còn tùy thuộc vào yếu tố khách quan của bài toán và mức độyêu cầu của công việc

Với những lí do như đã nêu ở trên và mong muốn tìm hiểu sâu, trang bịcho bản thân kĩ năng đánh giá, lựa chọn phương pháp giải gần đúng tối ưu chomột số phương trình đại số và phương trình siêu việt dạng / (x) = 0 ( với

/(x) là một hàm phi tuyến ) và cũng do điều kiện về thời gian, năng lực củabản thân còn hạn chế nên tôi đã chọn đề tài nghiên cứu để làm luận văn cao họclà:

" Giải gần đúng một số phương trình đại số và phương trình siêu việt ".

2 Mục đích nghiền cứu

Nghiên cứu các phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình đại

số và phương trình siêu việt dạng / (x) = 0 Đưa ra các ví dụ số minh họa chokết quả lí thuyết

Góp phần nâng cao năng lực nghiên cứu của bản thân, phục vụ hiệu quảcho công tác nghiên cứu khoa học và đào tạo sau đại học chuyên ngành toángiải tích của trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2

3 Nhiệm vụ nghiền cứu

Tìm tài liệu, đọc hiểu tài liệu

Viết luận văn

4 Đổi tượng nghiền cứu và phạm vi nghiền cứu

Đối tượng nghiên cứu là:

Các phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình đại số vàphương trình siêu việt dạng / (x) = 0 như: Phương pháp chia đôi, phương

pháp lặp đơn, phương pháp Newtơn, phương pháp dây cung

Các bài toán về phương trình đại số và phương trình siêu việt dạng /(x) =0

Phạm vi nghiên cứu:

Các phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình đại số vàphương trình siêu việt dạng /(x) = 0

5 Phương pháp nghiên cứu

Trang bị cho bản thân các kiến thức cơ bản về toán học cao cấp, giải tích

số, sử dụng thành thạo máy tính bỏ túi

Sưu tầm và giải gần đúng một số bài toán đại số và siêu việt

6 Đóng góp của luận văn

Xây dựng luận vãn thành một tài liệu tham khảo tốt cho sinh viên và họcviên cao học về một số phương pháp giải gần đúng phương trình đại số vàphương trình siêu việt

CHƯƠNGI: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nghiệm và khoảng phân lỉ nghiệm

1.1.1 Nghiệm của phương trình một ỉn

ừong đó:

/ là một hàm số cho trước của đối số X

Giá trị x0 được gọi là nghiệm của phương trình (1.1) nếu f(x 0 ) = 0.

Nghiệm của phương trình (1.1) có thể là số thực hoặc số phức, nhưng ở đây tachỉ khảo sát các nghiệm thực

1.1.2 Ỷ nghĩa hình học của nghiệm

Các nghiệm của phương trình (1.1) là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số ỵ

= / (x) với trục hoành.

nghiệm của phương trình (1.1) là các hoành độ giao điểm của hai đồ thị (ct): y = g(x) và (c 2 )-.y = h(x).

1.1.3 Sự tồn tạỉ nghiệm thực của phương trình (1.1)

Trước khi tìm cách tính gần đứng nghiệm thực của phương trình (1.1) ta phải kiểm tra xem nghiệm thực đó

có tồn tại hay không Khi đó ta có thể sủ dụng đầ thị hoặc sử dụng định lí sau

Định lí I.I.3.I (Bolzano - Cauchy )

Nếu hàm số f (x) liên tục trên đoạn [ứ,ố] và thỏa mãn điều kiện f ( a ) f ( b ) < 0 thì phương trình f i x ) = 0 có ỉt nhất một nghiệm trong khoảng ( a , b ) .

Chứng minh:

Không mất tính tổng quát giả sử f(a) < 0, f{b) > 0, ta chia đôi đoạn [a,b] bởi điểm chia a + ^.

Ta lại chia đôi đoạn [«!,£>! ] bởi điểm chia a ' + ■ Có thể xảy ra

Và khi đó định lí được chứng minh

Hoặc được một dãy vô hạn các đoạn chứa nhau Khi đó đối với đoạn thứ n, [a ,b ],(« = 1,2,3 )ta sẽ có /(a )

<0,f{b )>0 và độ dài của đoạn bằng b-a

Thật yậy do tính liên tục của hàm số tại X = c, ta có /(c) = lim f(a n) < 0.

«->+00

Và /(c) = lim f(b n ) > 0.

«->+00

Vậy /(c) = 0 Ta có định lí được chứng minh

1.1.4 Khoảng phân li nghiệm Định nghĩa 1

Đoạn \a,b\ ( hoặc khoảng (fl,ố) ) được gọi là khoảng phân li nghiệm của phương trình /(x) = 0 nếu nó chứa một và chỉ một nghiệm của phương trình đỏ.

Đinh lí 1.1.4.1 *

Nếu hàm sổ y = / (x) liên tục, đơn điệu trên [a,b] và /(a)/(ố) < 0 thì [a,ố]

là một khoảng phân li nghiệm của phương trình /(x) = 0.

Chứng minh: Theo định lí ( Bolzano - Cauchy ) ta có phương trình /(x) = 0 ít nhất một nghiệm trên [a,b].

Giả sử Cj, c2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình f(x) = 0 Ta có /(C;) = /

(c2) = 0 Vì hàm số y = f(x) liên tục, đơn điệu trên [a,b] nên Cj = c2 (trái giả thiết)

Do đó phương trình /(x) = 0 có nghiệm duy nhất trên [a,b]

Vì vậy theo định nghĩa 2 thì \a,b\ là một khoảng phân li nghiệm của phương

-thì [a,b] là một khoảng phân li nghiệm của phương trình /(x) = 0.

1.1.5 Phương pháp tìm khoảng phân li nghiệm của phương trình (1.1)

Điều này có nghĩa là khi X khá gần a thì /(x ) khá gần /(or)và có thể xem /

(x ) « 0 hay X thực sự có thể xem là xấp xỉ của nghiệm

1 0

-Người ta thường cho số £•>0 đủ nhỏ và nếu |x„ - a\ < E thì chọn x n làmnghiệm xấp xỉ của phương trình (1.1) và dừng quá trình tính toán.

Một câu hỏi đặt ra là với cách chọn như yậy thì / (x ) đã có thể thực sự

xem là xấp xỉ của f(a) không, có bảo đảm rằng |/(x )-/(a)| = |/(x )| khá gần 0 không? Cũng có lúc ta chỉ quan tâm là X xấp xỉ a tốt như thế nào thôi, nhưng

cũng có trường họp ta lại quan tâm là /(xn)có thể coi là gần 0 không, thì lúc này

sự xấp xỉ của xn so với a chưa đủ, mà ta cần phải xét cả giá trị I/ (x )| nữa.

Chính vì lí do này mà trong các chương trình tính toán tôi đưa thêm điều kiện

dừng về /(x ) Quá trình tính toán sẽ dừng nếu điều kiện |x - a\ < E và I/ (x )| <

ổ thỏa mãn.

1.3 Sai sổ

Khi giải toán bằng phương pháp gần đúng thì sai số xuất hiện do sự sailệch giữa giá trị nhận được với nghiệm thực của bài toán, vì vậy ta phải đánh

giá sai số để từ đó chọn ra phương pháp tối ưu nhất

sai số thực sự của X Vì không xác định được À nên ta xét đến hai loại số sau:

- Sai số tương đối: Sx = —

X

1.3.2 Các loại sai số:

Dựa vào nguyên nhân sai số, ta có các loại sau:

- Sai số giả thiết: Xuất hiện do việc giả thiết bài toán đạt được một số điềukiện lý tưởng nhằm làm giảm độ phức tạp của bài toán

1.3.1 Khái niêm

Giả sử X là số gần đúng của X* (x*là số đúng), khi đó À x-x gọi là

Sai số tuyệt đối: Giả sử 3Ax >0 đủ bé sao cho

gọi là sai số tuyệt đối của X

x-x < Ax khi đó Ax

- 1 1 -

Sai số do số liệu ban đầu: Xuất hiện do việc đo đạc và cung cấp giá trị đầu vào không chính xác.

Sai số phương pháp: Xuất hiện do việc giải bài toán bằng phương phápgần đúng

Sai số tính toán: Xuất hiện do quá trình làm tròn số trong quá trình tính toán, quá trình tính toán càng nhiều thì sai số tích lũy càng lớn

1 2

-CHƯƠNGII: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG

PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH SIÊU VIỆT

2.1 Tổng quát hóa tìm nghiệm gần đúng của phương trình /(x) = 0

Để tìm nghiệm gần đúng của phương trình đại số và phương trình siêu việt tatiến hành qua hai bước:

- Tách nghiệm: Xét tính chất nghiệm của phương trình (1.1), phương trình(1.1) có nghiệm hay không, có bao nhiêu nghiệm, các khoảng chứanghiệm nếu có Đối với bước này ta có thể dùng phương pháp đồ thị kếthọp với các định lí mà toán học hỗ trợ

- Chính xác hóa nghiệm: Thu hẹp dần khoảng chứa nghiệm để hội tụ đượcđến giá trị nghiệm gần đúng với độ chính xác cho phép Trong bước này

quá £ cho trước.

b) Nội dung của phương pháp:

- Chọn x ồ là điểm giữa [ứ,ồ] làm nghiệm gần đúng x ữ

= -+ Nếu / (*0) = 0 => x ồ là nghiệm đúng => Dừng

+ Nếu f(x 0 ) * 0 và sai số Ax 0 < £ thì x ữ là nghiệm gần đúng cần tìm với sai số

Ax ồ => Dừng

+ Nếu /(x0) ^ 0 và sai số Áx ữ > thi xét dấu /(«)./(x0):

Nếu /(a).f (x0) < 0 thì khoảng phân li nghiệm mới là [a,xữ]

Nếu /(a).f (x0) > 0 thì khoảng phân li nghiệm mới là [x0,ố]

- Lặp lại phương pháp chia đôi với khoảng phân li nghiệm mới

- Quá trình lặp lần lượt cho ta các nghiệm gần đứng X0,JC15 và kết thúc

khi tìm được x n với sai số Ax n < £.

c) Đánh giá sai số

Gọi a là nghiệm đúng, ta có:

Bước 0: A0 =|a-x0|^^r(ố-«),Ax0 =^-{b-à)

Bước 1 : A1=|a-^|ẩỈ(ỉ(i-a)| = ^(i-a),A^ = ^(ố-a)

Vậy dãy {x } hội tụ về nghiệm của phương trình khi n -» 00

e) Sơ đồ tóm tắt phương pháp chia đôi

- Cho phương trình /(x) = 0

- Ấn định sai số E cho phép.

Bước n : À = \a - X <

= 0 => limlx -a 1 = 0

- Xác định khoảng phân li nghiệm [ a , b ]

- Giải thuật của phương pháp chia đôi

í) Ưu nhược điểm của phương

pháp

- Ưu điểm: Đơn giải, dễ lập trình

- Nhược điểm: Hội tụ về nghiệm chậm

2.3 Phương pháp lặp đơn

a) Nội dung của phương pháp

Biến đổi phương trình /(x) = 0 về dạng X = ạ > ( x ) với ạ > ( x ) liên tục trên ( a , b )

- Lấy X = x0 e [ a , b ] làm nghiệm đúng ban đầu

- Tính Xj=Ợ7(x0)

- Tính x2 =ợ?(xj)

- Tính XH = Ợ7(xn j)

Neu X hội tụ về« khi «—»+00 thì a là nghiệm đúng của phương trình f (x) = 0,

các X là nghiệm gần đúng của phương trình /(x) = 0

b) Ý nghĩa hình học:

H1 H2

- Hình HI: hội tụ đến nghiệm a.

- Hình H2: không hội tụ đến nghiệm a (phân li nghiệm),

c) Sự hộỉ tụ về nghiệm của phưorng pháp

Định lí: Giả sử (ứ, ồ) là khoảng phần li nghiệm của phương trình f(x) - 0 /(x) = 0ojí = ỹ(jí) , <p[x) và ọ'(x)ỉà các hàm sổ liên tục trên [a,b] Nếu |ọ? , (;c)| < q <

1, V* <= [a f b] thì dãy {xn }, n = 0,1,2, nhận được từ: x n = <p{xn_x) hội tụ đến nghiệm a của phương trình f(x) = 0.

Chứng minh:

Giả sử a là nghiệm đúng cùa phương trình f(x) = 0, Ta có: a

= ọ(à) x í = <p(x0)

=>x x -a = <p{x ữ )-ẹ{a)

Theo định lí Lagrange, 3cj e (x0,tf) nếu X 0 <a hoặc 3c ì e nếu a<x 0

sao cho: ọ{xồ) - <p(à) = <p'{c x )(JC 0 - a).

Hơn nữa: |JC - a\ < q n |x0 - a\ và lim q n |x0 - a\ = 0.

b) Nộỉ dung của phương pháp

- Thay cung AB bởi dây trương cung ÁB.

AB cắt trục hoành tại điểm (Xj,0).

Nếu /(Xj)./ (a) > 0 thì (x15ố) là khoảng phân li mới.

Với khoảng phân li nghiệm mới (x15ố), tính được nghiệm gần đúng x2 bằngphương pháp dây cung

- Quá trình lặp kết thúc khi tìm được nghiệm gần đúng x n có sai số Ax„

Đe xây dựng công thức tính nghiệm, ta xét thêm tính tăng giảm và lồi lõm của

đường cong /(x) Giả sử / và /' không đổi dấu trên [a,b].

y - f M =

< /(ữ)-/(x„) a - x n ,T =

0

V H+1

= X f ( x x n ) n ) ( a - với x0 = b

c) Đánh giá sai sổ của phương pháp dây cung

Gọi a là nghiệm đúng của phương trình/(x) = 0 (1), /(x) liên tục trên [.X ,a](hoặc \a,x ]nếu /'(x)./"(x)< 0) và /(x)có đạo hàm trên (x ,a) (hoặc (a,x )nếu /'(x)./"(x)<0).

Nếu số M,m thỏa mãn: 0 < m < /'(x) < M(o0 , Vx e [a,b] thì có thể chọn sai

số tuyệt đối giới hạn cho X là: Ax =l^í_iẵ hoặc Ax =———|x -x_j|

Chứng minh: Áp dụng định lí Lagrange

“ Cho hàm số /(x) liên tục trên \a,b\, có đạo hàm trong khoảng (a,ố) thì tồn tại một sổ ce(a,ố) sao cho: /(ố)-/(a)

= /'(c)(ố-a) ” ta có: f { x n ) - f { a ) = f'{ c ){ x n-«),Vc<=(x„,a)c(a,ố) Vì /(«) = 0 và 0<m</'(x),Vxe[a,ố]nên \ f ( x n )

e) Ưu nhược điểm của phương pháp dây cung:

- Ưu điểm: Có thuật toán đơn giản, biết X chỉ cần tính một giá trị của

/(x )để tính X +1 Nhanh hơn thuật toán chia đôi

- Nhược điểm: Tốc độ hội tụ về nghiệm chậm, chỉ hội tụ tuyến tính

2.5 Phương pháp Newton

a) Bài toán: Giả sử /'(x) và /"(x) không đổi dấu trên (a,ố) và f ( a ) f ( b ) < 0 Tìm nghiệm thực gần đúng của

phương trình /(x) = 0(l) trên [a,b] với sai số không vượt quá £ cho trước.

b) Nội dung phương pháp

Ý tưởng chủ đạo của phương pháp Newton là thay phương trình f (x) = 0 (1) phi tuyến đối với X bằng phươngtrình gần đúng, tuyến tính đối với X, cụ thể.

Thay đường cong /(x) trên [a,b] bởi tiếp tuyến [T) với đường cong tại điểm A hoặc B Hoành độ giao điểm Xị của

(r)với trục hoành xem như nghiệm gần đúng của phương trình /(x) = 0 (1)

Đe xây dựng công thức tính nghiệm của phương pháp Newton ta xét:

- Trườnghọpl: /'(x)./"(x)> 0

- Cho x ồ =b

Phương trình tiếp tuyến (ro) với /(JC) tại điểm B ữ [x ồ ,f (x0)) là:

(ro) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ Xị là nghiệm của hệ

x ì xem như là nghiệm gần đúng của phương trình f ( x ) = 0 (1), nếu cần chính xác hơn ta thay x ồ bởi Xj, lặp

lại tính toán ừên để tính x 2 (chính xác hơn Xj) Lặp lại cho đến khỉ đạt độ chính xác theo yêu cầu

c) Công thức tính nghiệm tổng quát

Giả sử ở bước thứ n , xác định được nghiệm gần đúng x n thi:

Phương trình tiệp tuyến (r ) với / (x) tại điểm B n [ x n ĩ f { x n)) là:

(r) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x n+1 là nghiệm của hệ

- Phương trình tiếp tuyến (ro) với /(x) tại điểm 4>(xo>/(xo)) là: ^-/(xo) = /'(xo)(x-x

o)-(r 0 ) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ Xj là nghiệm của hệ

y - f ( x « ) = f ' M ( x , - x « ) ^ r = r /(*.)

Xj xem như là nghiệm gần đúng của phương trình /(x) = 0 (1), nếu cần chính xác hơn ta thay x0bởi Xj, lặp lại tính

toán trên để tính x2 (chính xác hơn Xj) Lặp lại cho đến khi đạt độ chính xác theo yêu cầu.

Với: x 0 = a nếu /"(«) cùng dấu với /(«) x 0 =b

nếu f " ( b ) cùng dấu với f { b )

d) Sự hội tụ đến nghiệm của phương pháp Newton :

Giả sử a là nghiệm đúng của phương trình /(x) = 0 trên (a,ố) Dãy các nghiệm

e) Đánh giá sai số của phương pháp Newton

Giả sử a là nghiệm đúng của phương trình /(x) = 0, m x ,m 2 là các số thỏa mãn

f) ưu nhược điểm của phương pháp Newton:

- Ưu điểm: Phương pháp Newton hội tụ nhanh hơn phương pháp chia đôi vàphương pháp dây cung

- Nhược điểm: Phương pháp Newton đòi hỏi đạo hàm được tính trực tiếp + Nếu giá trị ban đầu ta dự đoán quá xa nghiệm thì phương pháp

Newton có thể không hội tụ

+ Phương pháp Newton sẽ không thành công trong trường họp ta dựđoán nhưng mà đạo hàm của nó là bằng 0, bởi đường tiếp tuyến khi

đó là gần như nằm ngang

+ Việc kiểm tra điều kiện để áp dụng phương pháp Newton phức tạp hơn, nếu chọn điểm xuất phát không thích họp thì không đạt được kết quả như mong muốn

CHƯƠNGIII: ỨNG DỤNG 3.1 Tìm nghiệm gần đúng của phương trình /(x) = 0 với sai sổ cho trước Bài 1:

trên (0;l) với sai số không vượt quá 0,1 bằng phương pháp chia đôi

Lời giải:

Đặt /(x) = x3 +4x2 -1

I/WI

=> /'(x) = 3x2 +8x > 0,Vx e(0;l)

Mà /(0) = -1,/(1) = 4 => /(0)./(-l) < 0

Vậy (0;l) là khoảng phân li nghiệm của phương trình (3.1.1)

Kết quả thực hiện của 4 lần lặp ( với phương pháp chia đôi)

Bài 2:

Tìm nghiệm gần đúng của phương trình 5x3

- X 2 - X -1 = 0 (3.1.2)trên [0,5;l,5]với sai số không vượt quá 0,02 bằng phương pháp dây cung Lòi giải:

=> (0,5 ; 1,5) là khoảng phân li nghiệm của phương trình (3.1.2).

Công thức tính nghiệm gần đúng của phương trình 5x3 - X 2 - X -1 = 0 (3.1.2)

x0 =0,5bằng phương pháp dây cung là:

trên [0;l] với sai số không vượt quá 0,01 bằng phương pháp lặp.

Lòi giải:

Đặt /(x) = 5x3-20x + 3

=>/'(x) = 15x2-20<0,Vxe [0;l]

Mà /(0) = 3, /(1) = -12 => /(0)./(l) < 0, V* e [0;l] Nên (0;1) là

khoảng phân li nghiệm của phương trình Nhận xét: Phương trình

(3.1.3) tương đương với:

Vậy X « 0,777508 là nghiệm gần đúng cần tìm của phương trình (3.1.2) vớisai số không vượt quá 0,02

20 với 1^3 (x)| =

3x

Ta CÓ công thức lặp: X = 5x v «-l 3 , +3

Bảng các nghiệm gần đúng của phương trình (3.1.3) tìm được sau 2 lần lặp

Bài 4:

Tỉm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2 X - 4x = 0 (3,1.4)

bằng phương pháp tiếp tuyến với độ chính xác 10 5

Ta có [0; 0,5] là khoảng phân li nghiệm của phương trình (3.1.4).

Công thức tìm nghiệm gần đúng của phương trình (3.1.4) bằng phương pháp

Kết quả thực hiện của 4 lần lặp với phương pháp Newton: