SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI THPT QUỐC GIA Năm 2016 _ Lần 2.
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1 (1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
1
2
y = x - x +
(C)
Câu 2 (1,0 điểm) Tìm m để hàm số (C) y=x4- (m +1)x2+1 cắt d: y = 3 – 2m tại 4 điểm phân biệt ?
Câu 3 (1,0 điểm).
1/ Cho số phức z thỏa iz- (1 2- i z) = +1 9i Tìm mô đun của số phức w = 1 + i + z ?
2/ Giải phương trình: 2 49. x - 9 14. x + 7 4. x =0
Câu 4 (1,0 điểm) Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox, biết (H)
được giới hạn bởi đồ thị hàm số
3 2
1 cos cos
x y
x
+
=
và các đường thẳng x 0; x π3
?
Câu 5 (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( )S :x2+ y2+ z2- 4x+ 6y+ 6z+17=0
và mặt phẳng ( )P x: - 2y+ 2z+ = 1 0
1/ Viết phương trình đường thẳng d qua tâm I của mặt cầu (S) và vuông góc với mp(P) ?
2/ CMR mp(P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn Xác định tọa độ tâm H và tính
bán kính của đường tròn giao tuyến đó ?
Câu 6 (1,0 điểm).
1/ Giải phương trình: sin 2x- cos 2x =2sinx- 1
2/ Tìm số hạng chứa x4 trong khai triển biểu thức
8
2x x
çè ø ?
Câu 7 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA
(A BCD)
^ , góc giữa mp(SBD) và mp đáy là 450 Cho A B =a A D; =a 3
1/ Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD ?
2/ Gọi M là trung điểm BC và G là trọng tâm của ∆SA D Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau SM và BG ? Xác định góc giữa hai đường thẳng SM và BG ?
Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
2
ïï ïï
-ïï
Câu 9 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A -( 1 2; ) và đường thẳng
: 2x y 1 0
∆ + - = Gọi M là giao điểm của đường thẳng ∆ với trục hoành Tìm 2 điểm B,C sao cho M là trung điểm AB, trung điểm N của đoạn AC nằm trên đường thẳng ∆, diện tích tam giác ABC bằng 4 và điểm C có hoành độ dương ?
Câu 10 (1,0 điểm) Cho 2 số thực x,y thỏa mãn x y, ³ 1 và 3(x+ y) = 4xy
Trang 2Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3
ç
= + + ç çè + ÷÷ø ?
Trang 3_ Hết _HƯỚNG DẪN CHẤM
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
1
2
y= x - x +
(C)
o TXĐ: D = R
o
y = x - x
3
x
x
é = ê
= Û - = Û ê = ±
ë
o Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
(- ¥ -; 3 ,) (0; 3)
và đồng biến trên mỗi khoảng (- 3;0 ,) ( 3; + ¥ )
o Hàm số đạt CĐ tại x = 0 và yCĐ = 1, đạt CT tại x =± 3 và yCT =
7 2
±¥
x
- ¥
3 /
7 2
-o ĐĐB: x= ±2 Þ y= - 3
o Đồ thị:
2
Tìm m để hàm số (C) y =x4- (m +1)x2+1 cắt d: y = 3 – 2m tại 4 điểm phân biệt ? PTHĐGĐ: x4- (m +1)x2+ = -1 3 2m Û x4- (m +1)x2+ 2m - 2=0 (*)
Đặt t =x t2, ³ 0 thay vào (*) ta được t2- (m +1)t + 2m - 2=0 (**)
Để đồ thị (C) cắt d tại 4 điểm phân biệt (*) có 4 nghiệm phân biệt
(**) có 2 nghiệm phân biệt dương
Trang 40 0 0
S
P
∆
ì >
ïï
ïï >
Û í
ïï >
ïïî
( 1 )2 4 2 ( 2 ) 0
1 0
m m
ìï + - - >
ïïï
í + >
Û ï
ïï - >
ïî
3 1
1 1
m m
m m
ìï - + >
í >
>
ï >
ïî
3 1/ Cho số phức z thỏa iz- ( 1 2 - i z) = + 1 9i Tìm mô đun của số phức w = 1 + i + z ?
Gọi z = +a bi a b ,( ÎÞ¡ ) z= -a bi Khi đó iz- (1 2- i z) = +1 9i
i a bi+ - - i a bi- = + i
Û
2 3
w = + i w =
2/ Giải phương trình: 2 49 x - 9 14 x + 7 4 x = 0
1
0
x
x
x x
éæö
ê ÷ç ÷ =
êç ÷ ç é
Û ççè ø÷÷ ççè ø÷÷ Û ê Û ê
=
ê ÷çç ÷ =
ê ÷ çè ø ë
4 Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox, biết (H) được
giới hạn bởi đồ thị hàm số
3 2
1 cos cos
x y
x
+
=
và các đường thẳng x =0; x =π3
?
2
x
π
5
Cho ( )P x: - 2y + 2z+ = 1 0 và mặt cầu ( )S :x2+ y2+ z2- 4x+ 6y+ 6z+17=0
1/ Viết phương trình đường thẳng d qua tâm I của mặt cầu (S) và vuông góc với
mp(P) ?
(S) có tâm I(2 3 3; ; - - ),R = 5
Phương trình đường thẳng d:
2
3 2
3 2
ìï = + ïïï = - -íï
ïï =- + ïî
2/ CMR mp(P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn Xác định tọa độ tâm
H và tính bán kính của đường tròn giao tuyến ?
( ) ( ) 2 2( 3) 2( 3) 1 1 5
3 ,
d I P = - - + - + = < =R Þ
mp(P) cắt mặt cầu (S)
Tọa độ H là nghiệm của hệ
2
3 2
; ;
ìï = + ïï
ï = - + ïï
ïïî
Bán kính đường tròn giao tuyến là ( ( ))
2
r = R - éëd I P ùû =
6 1/ Giải phương trình: sin 2x- cos 2x= 2sinx- 1
2 sin cosx x- 1 2 - sin x = 2 sinx- 1 2 sin cosx x+ sinx- 1 = 0
Trang 50 0
2
2
x
π
π
ê
ê
ë
sin sin
2/ Tìm số hạng chứa x4 trong khai triển biểu thức
8
2x x
çè ø ?
SHTQ là T k+1 =C8k28- k(- 3)k x16 3- k YCBT 16 – 3k = 4 k = 4
Vậy số hạng chứa x4 là T5 =C84 42 (- 3)4x4= 90720x4
7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA ^ (A BCD), góc giữa mp(SBD) và mp đáy là 450 Cho A B =a A D; =a 3
1/ Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD ?
Dựng OA ^ BDÞ SO ^ BD mà BD=(SBD)I(A BCD)
nên SOA =· 450 Gọi I là trung điểm SC
∆SBC vuông tại B nên IS = IB = IC (1)
∆SA C vuông tại A nên IS = IA = IC (2)
∆SDC vuông tại D nên IS = ID = IC (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra IS = IA = IB = IC = ID nên mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm I và bán kính R =
2
SC
IC =
Mặt khác,
A B A D a a a OA
2
a
SA =OA = Þ
2
a
SC = SA + A C =
a
R =IC = SC = Þ
2/ Gọi M là trung điểm BC và G là trọng tâm của ∆SA D Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SM và BG ? Xác định góc giữa hai đường thẳng SM và
BG ?
Dựng hệ trục tọa độ Axyz với A(0 0 0 ; ; ,) D(0 ;a 3 0 ; )
( )
0 0 0
; ; , ; ;
ç
= ç è - ÷÷ ø Þ
ç
= - ç è ÷÷ ø
uuur
uuur
; ;
; ;
3
2
SM BG
a BM
ç
ç
uuur uuur
uuuur
; ;
429 429
12
a
d SM BG
SM BG
Þ
uuur uuur uuuur uuur uuur ,
,
,
66 30 510
SM BC
SM BG
uuur uuur
/
.
.
Trang 6Giải hệ phương trình
2
ïï ïï
-ïï
2 2 0
x y z
ìï ³ ïïï £ íï
ïï ³ ïî ( ) 1 Û (x- 2 )3+ 3 (x- 2 ) =y3+ 3y (4)
Xét hàm số f t( ) =t3+ 3t có tập xác định và liên tục trên R,
có: f t/( ) =3t2+ >3 0, "t ÎÞ¡ hàm số đồng biến trên R Nên (4) y= -x 2
(3) x2- xz+ z2- z = z - x
2
-= Û
+
0
x z
é - = ê
1
0 , 2 , 2 , 0
x
+ > " ³£³ +
Với x =z thay vào (2) ta được x- 2+ 4- x =x2- 6x +11 (5)
Theo BĐT Bunhiacopxki ta có V T = x- 2+ 4- x £ 12+12. (x- 2)+(4- x) =2
và VP = x2- 6x+11=(x- 3)2+ 2 2³
nên (5) 2
6 11 2
ìï - + - =
íï
9 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A -( 1 2; ) và đường thẳng ∆: 2x y+ - 1 0= Gọi M là giao điểm của đường thẳng ∆ với trục hoành
Tìm 2 điểm B,C sao cho M là trung điểm AB, trung điểm N
của đoạn AC nằm trên đường thẳng ∆ và diện tích tam giác
ABC bằng 4 và điểm C có hoành độ dương ?
Do
0 2 0
x y
y
∆ ìïï + - = æ öç ÷
= I ÞÞ íï =ïî ç çè ø; ÷÷
Và
1 0
2 ;
Mæ öç ÷
÷
çè ø là trung điểm AB nên B(2 2 ; - )
đường thẳng BC qua B(2 2; - ) và song song với ∆ nên BC : 2x y+ - 2=0
( ; 2 2 )
C c - c
Þ với c > 0 Mặt khác, ( )
5
3 4
;
:
A B
A B
=
uuur
1
2
,
.
;
A BC
c
é
Trang 710 Cho 2 số thực x,y thỏa mãn x y, ³ 1 và 3(x+ y) = 4xy.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3
ç
= + + ç çè + ÷÷ø ?
t = +x y ³Þ xy = x +y = t t ³
Theo Viet; x,y là nghiệm phương trình
0 4
X - tX + t =
(1) Mà (1) có nghiệm
3
t loai
t
é £ ê
- ³ÛÞ³ ê³
4
t
(b) Từ (a) và (b) suy ra 3£ £t 4 Mà 3( ) 4 4 1 1 4
x y
+
Khi đó
2
= + - + + êêëç çè + ÷÷ø - úúû= - - +
Xét hàm số ( )
t
với 3£ £t 4 Có
æ ö÷ ç
= - + = ç çè - ÷÷ø + > " Î nên hsố f(t) đồng biến trên [3;4]
Vậy maxP =
94
3 t = 4
( ) ( )
4
1 3 3 1
3 ; , ;
x y xy
ìï + =
íï = ïî
minP =
113
12 t = 3
3
3 3
4
;
x y xy
ìï + =
ïïî