Đồ án môn học lý thuyết điều khiển hiện đại

động cơ một chiều sử dụng trong hệ thống điều chỉnh được gọi là động cơ servo một chiều.. Động cơ servo một chiều cơng suất nhỏ được sử dụng trong ác thiết bị và máy tính như động cơ quâ

I TỔNG QUAN

1.1 Đặt vấn đề:

Cĩ nhiều loại động cơ một chiều sử dụng trong cơng nghiệp động cơ một chiều sử dụng trong hệ thống điều chỉnh được gọi là động cơ servo một chiều Trong động cơ servo một chiều quán roto rất nhỏ, kết quả là động cơ với tỉ số chuyển đổi momen-quán tính cao cĩ giá thành thấp Một vài động cơ servo một chiều cĩ hằng số thời gian rất nhỏ Động cơ servo một chiều cơng suất nhỏ được sử dụng trong ác thiết bị và máy tính như động cơ quây đĩa, động cơ quây ru-lơ máy in,…Động cơ servo một chiều cơng suất trung bình và lớn được sử dụng trong hệ thống tay máy, hệ thống điều khiển máy tiện,…

Trong đồ án này này sẽ sử dụng phương pháp thiết kế bộ điều khiển được gọi là kỹ thuật đặt cực hay kỹ thuật gán cực( pole placement or pole assignnent technique) Chúng ta giả sử rằng tất cả các biến trạng thái là đo được và cĩ thể lấy tín hiệu phản hồi Kỹ thuật thiết kế này bắt đầu với việc xác định các cực vịng kín mong muốn dưa trên đáp ứng quá độ hoặc các yêu cầu đáp ứng tần số như tốc độ

1.2 Nội dung thực hiện:

Nội dung của tiểu luận này gồm những phần sau:

 I: Tổng quan, nội dung thực hiện của tiểu luận

1 Đặt vấn đề

2 Nội dung thực hiện

3 Yêu cầu thiết kế và biện pháp giải quyết vấn đề

 II: Mô hình toán học mô tả hệ thống

 III: Điều khiển PD

 IV: Thiết kế bộ điều khiển

1 Khi chưa cĩ bộ điều khiển

2 Thiết kế bộ điều khiển dùng phương pháp PD

 V:Kết luận

 VI: Tai liệu tham khảo

1.3 Yêu cầu thiết kế và biện pháp giải quyết vấn đề:

Yêu cầu: Thiết kế một bộ điều khiển sao cho:

 Thời gian ổn định = 2sec

 Độ vọt lố Mp= 5%

 Sai số tĩnh là 2%

Biện pháp giải quyết vấn đề:

 Thiết lập mơ hình khơng gian trạng thái cho hệ thống

 Thiết kế được bộ điều khiển hệ thống theo yêu cầu là dùng phương pháp đặt cực

II MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA HỆ THỐNG ĐỘNG CƠ SERVO MỘT CHIỀU

Xét động cơ Servo một chiều được điều khiền phần ứng trong đó dòng kích từ được giữ không đổi

Hình1: Sơ đồ động cơ một chiều điều khiển phần ứng Thông số:

R a : điện trở phần ứng Ra=1Ω

La: điện cảm phần ứng (H)

Ia= dòng điện phần ứng(A)

If= dòng điện kích từ( A)

ea=điện áp đưa vào phần ứng(V)

eb= sức phản điện động (V)

θ= góc quây của trục động cơ (rad)

T= momen điện từ tạo ra bởi động cơ(Nm)

J: Moment quán tính J=0.01Kgm2/s2

B= hệ số ma sát nhớt tương đương của động cơ và tải qui về trục động cơ b=0.1Nms

k= hằng số moment của động cơ K=0.01Nm/Amp

Moment J tạo ra bởi động cơ tỉ lệ với tích của dòng phần ứng Ia với từ thông khe khí hay tỉ lệ với dòng kích từ

T=KfIfKIIG

Với một dòng kích từ không đổi thì từ thông là không đổi cho nên momen T

tỉ lệ trực tiếp với dòng phần ứng

T=KiG

Nếu dấu của ia thay đổi thì dấu của của momen T cũng đổi kết quả là chiều quây của động cơ sẽ đổi

Khi phần ứng đang quây, một điện áp tỉ lệ với tích của từ thông và góc quây xuất hiện trong phần ứng Với một từ thông không đổi thì điện áp eb này

tỉ lệ trực tiếp với tốc độ góc

dt

d

dt

d

K

e b  b  (1)

Kb=hằng số phản điện động

Tốc độ của động cơ servo một chiều điều khiển phần ứng được điều khiển bằng điện áp phần ứng ea Điện áp phần ứng ea là tín hiệu ra của bộ khuếch đại công suất

a b a a

a

dt

di

Dòng phần ứng tạo ra một momen cân bằng với quán tính và ma sát

a

Ki T dt

d

b

dt

d

J 2    

2

(3)

Đây chính là mô hình toán học của hệ thống

III XÁC ĐỊNH HÀM TRUYỀN CỦA HỆ THỐNG:

Giả thuyết là tất cả các điều kiện đầu là bằng 0

Lấy ảnh Laplace của (1),(2), (3) chúng ta có phương trình vi phân sau:

) ( )

(S E S

S

K b   b (4)

) ( ) ( ) (

)

(L a SR a I a S E b S E a S (5)

) ( )

( ) (

)

(JS2 bS  S T S KI a S (6)

Xét Ea(S) là tín hiệu vào , (S)là tín hiệu ra ta biểu diễn phương trình (4), (5), (6) qua sơ đồ khối sau:

Hình 2: Sơ đồ khối của hệ thống

Động cơ Servo một chiều điều khiển phần ứng tự bản thân nó là một hệ thống phản hồi ảnh hưởng của sức phản điện động vì thế tăng hiệu quả hãm của hệ thống

Hàm truyền của động cơ Servo một chiều là:

] )

)(

[(

)

(

)

(

b a

a

K S

E

S













] )

( [

)

(

)

(

2

b a

a a a

K S

E

S











Điện cảm La trong mạch phần ứng thường nhỏ và có thể bỏ qua khi đó ta có:

) 1 (

)

(

)

(





S T

S

K S

E

S

m

m a



(8)

Km=

b

a b KK

R

K

 : hằng số khuếch đại động cơ

Tm=

b a

a

KK

b

R

J

R

 : hằng số thời gian động cơ

Từ phương trình (7), (8) có thể thấy hàm truyền liên quan đến 1/s Tức là hệ thống có thuộc tính tích phân Trong phương trình (8) để ý rằng hằng số thời gian của động cơ nhỏ hơn nếu Ra nhỏ và J nhỏ Với J nhỏ khi điện trở Ra giảm thì hằng số thời gian của động cơ giảm về 0 và điều kiện tác động như một khâu tích phân lý tưởng

a

aS R

1

1

b JS

KS

Ea(s)

Eb(s)

+

Sơ đồ khối đơn giản:

Trong đó tốc độ xoay là ngỏ ra và điện áp là ngỏ vào

Biểu diễn hàm truyền trong Matlap ta thực hiện bằng cách viết m-file như sau: J=0.01;

b=0.1;

K=0.01;

Kp=0.01;

Ra=1;

den=(Ra*b)+(K*Kp);

num=K/den;

Tm=(Ra*J)/den;

Den=[Tm 1 0];

hamtruyen=tf(num,Den)

Transfer function:

0.0999

-0.0999 s^2 + s

Ta có kết quả hàm truyền như sau :

1 0999

0

0999 0

)

(

)

(

2





S S

E

S

a



* Đáp ứng bước vòng hở :

Sơ đồ khối vòng hở :

Đáp ứng của động cơ khi ngõ vào được đặt bằng 1 :

) 1 (

1



s T

s m



Out put

E a (s)

In put

IV THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN PID KINH ĐIỂN:

Kết hợp 3 tác động điều khiển tỷ lệ, tích phân, vi phân, ta có bộ điều khiển PID

có ưu điểm của cả 3 tác động trên Phương trình của bộ điều khiển có dạng:

dt

t de T K dt t e T

K t

e

K

t

t

p I

P P

) ( )

( )

(

)

(

0

 





]

1 1

[

)

(

)

(

s T s T

K

s

E

s

U

d i



Với : T d được gọi là hằng số vi phân( thời gian vi phân)

T iđược gọi là hằng số tích phân( thời gian tích phân)

K Pđược gọi là hệ số khuếch đại tỷ lệ

) 1 ](

1 1

[

)

s T K

s

i p

Các hằng sồ T d ,T i,K P là các thông số của bộ điều khiển Phương trình (1)

có thể được viết dưới dạng:

s K s

K K

s

p

K Pđược gọi là hệ số khuếch đại tỷ lệ

K iđược gọi là hệ số khuếch đại tích phân

)

(t e

PID Đối tượng điều khiển

)

(t

)

(s E

]

1 1

s T

i

)

(s

K d được gọi là hệ số khuếch đại vi phân.

Trong trường hợp này K P,K i,K d là các thông số của bộ điều khiển

Viết lại phương trình chuyển đổi của bộ điều khiển PID:

s

K s K s K s K s

K K

s

d

i p

C













2 )

(

Việc hiệu chỉnh 3 thông số K P,K I và K D sẽ làm tăng chất lượng điều khiển Ảnh hưởng 3 thông số này lên hệ thống như sau:

Đ.ứng vòng

kín

(C.L.response)

T.gian tăng trưởng

(Rise time)

Vọt lố

(Overshoot) T.gian quá độ

(Setting time)

Sai số xác lập

(Steady-State err.)

P

I

D

Ta định nghĩa các thông số trên theo hình vẽ 4:

 Bộ điều khiển vi tích phân tỉ lệ (PID) khi có hồi tiếp :

 Hiệu chỉnh thông số của bộ điều khiển PID.

Một phương pháp cổ điển nhưng đơn giản và hiệu qủa để chỉnh định

thông số K P,K I và K D của bộ điều khiển PID là phương pháp

Ziegler-Nichols

Đường cong chữ S có thể được đặc tính hoá bởi hai hằng số thời gian,

thời gian trễ L, và hằng số thời gian T, thời gian trễ và hằng số thời gian được

xác định bằng cách vẽ tiếp tuyến tại điểm uốn của đường cong S Xác định

giao điểm của tiếp tuyến với trục thời gian c(t)=K

Ziegler- Nichols đưa ra qui tắc chỉnh định dựa trên đáp ứng bước của

đối tượng theo bảng:

? +

-Tín hi?u vào

Tín hi?u ra

S S T

K

m

m

 2

PID

Bộ điều

P

L

PI

L

T 9 0

3 0

PID

L

T 2

Trong đó :

i

P i i

K T hay Ti

* K

P

d d d

P d

K

K T hay T

* K

 Thiết kế bộ điều khiển PID theo phương pháp

Nichols-Ziegler.

III BIỂU DIỄN KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI CỦA HỆ THỐNG:

Mô hình không gian trạng thái của hệ thống động cơ một chiều điều khiển phần ứng có thể thành lập như sau:

 +

.

1



Tm

Km

a

Đặt biến : x1=

Trạng thái: x2= .

 Biến vào: u=ea

Biến ra: y= =x1

Biểu diễn không gian trạng thái của động cơ điện một chiều:

.

x =A x+Bu

y = Cx

Ta có:

.















 .

.

2

1

x

x

=



















Tm

1 0

1 0







 2

1

x

x







Tm Km

0

u

y =1 0 











2

1

x x

Tính toán :

Km=

01 0

* 01 0 1

.

0

*

1

01 0

Tm=1*0.11*00..0101*0.01

 A22=-1/Tm=-10

 B2=Km/Tm=1

Hay chương trình m_file xác định ma trận hệ số:

J=0.01;

b=0.1;

K=0.01;

Kp=0.01;

Ra=1;

den=(Ra*b)+(K*Kp);

Km=K/den;

Tm=(Ra*J)/den;

A22=-1/Tm;

B2=Km/Tm;

A=[0 1;0 -1/Tm]

A =

0 1.0000

0 -10.0100

>> B=[0 Km/Tm]

B =

Vậy ta xác định được:















 .

.

2

1

x

x











 10 0

1 0







 2

1

x

x





 1

0

u

y =1 0 











2

1

x x

IV Thiết kế bộ điều khiển kinh điển PID theo phương pháp Nichols-Zigler: Kết hợp 3 tác động điều khiển tỷ lệ, tích phân, vi phân, ta có bộ điều khiển PID

có ưu điểm của cả 3 tác động trên Phương trình của bộ điều khiển có dạng:

dt

t de T K dt t e T

K t

e

K

t

t

p I

P P

) ( )

( )

(

)

(

0

 





]

1 1

[

)

(

)

(

s T s T

K

s

E

s

U

d i



Với : T d được gọi là hằng số vi phân( thời gian vi phân)

T iđược gọi là hằng số tích phân( thời gian tích phân)

K Pđược gọi là hệ số khuếch đại tỷ lệ

) 1 ](

1 1

[

)

s T K

s

i p

Các hằng sồ T d ,T i,K P là các thông số của bộ điều khiển Phương trình (1)

có thể được viết dưới dạng:

s K s

K K

s

p

K Pđược gọi là hệ số khuếch đại tỷ lệ

K iđược gọi là hệ số khuếch đại tích phân

K d được gọi là hệ số khuếch đại vi phân

Trong trường hợp này K P,K i,K d là các thông số của bộ điều khiển

Viết lại phương trình chuyển đổi của bộ điều khiển PID:

s

K s K s K s K s

K K

s

d

i p

C













2 )

(

Viết chương trình M-file mô phỏng:

J=0.01;

b=0.1;

k=0.01;

kp=0.01;

)

(t e

PID Đối tượng điều khiển

)

(t

)

(s E

]

1 1

s T

i

)

(s

Km=k/dd;

Tm=(Ra*J)/dd;

den=[Tm 1 0];

Kp=700;

Ki=10;

Kd=20;

numc=[Kd, Kp, Ki];

denc=[1 0];

numa=conv(num,numc);

dena=conv(den,denc);

[numac,denac]=cloop(numa,dena);

step(numac,denac)

title('PID Control with small Ki and Kd')

Kết quả mô phỏng:

Thõa mãn điều kiện đặt ra với Kp=700, Ki=10, Kd=20;

IV THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN

1 Khi chưa có bộ điều khiển:

Dùng Matlab m-file mô phỏng đặc tính của hệ thống :

J=0.01;

b=0.1;

k=0.01;

kp=0.01;

Ra=1;

den=(Ra*b)+(k*kp);

Km=k/den;

Tm=(Ra*J)/den;

A22=-1/Tm;

B2=Km/Tm;

A=[0 1;0 -1/Tm]

A =

0 1.0000

0 -10.0100

B=[0;Km/Tm]

B =

0

1

C=[1 0];

D=0;

step(A,B,C,D)

title('Step Response for the Open Loop System')

2 Sử dụng phương pháp đặt cực thiết kế bộ điều khiển cho hệ thống

Yêu cầu bài toán cần thiết kế:

o Thời gian ổn định = 2sec

o Độ vọt lố 5%

o Sai số tĩnh là 2%

Từ các dữ kiện bài toán cho, ta xác định các cực vòng kín mong muốn phù hợp (Ta sẽ chọn một cặp cực vòng kín liên hợp phức trội có  và tương ứng yêu cầu, nên các yêu cầu về tốc độ ổn định sẽ được thoả mãn)

Theo yêu cầu ta có được các tham số tương ứng như sau:

o Thời gian ổn định dưới 2sec

o Sai số tĩnh là 2%.

Biểu thức xác định các thông số trong đáp ứng quá độ hệ thống bậc 2:

Ta có:

9522 , 0 1416 , 3

) 05 , 0 ln(

) ln(









) 1 ( 9522 ,

2





477 , 0 9522 , 0 1

9522 , 0

2

2









) sec / ( 19 , 4 2

* 477 , 0

rad

Cực phức hệ thống mong muốn được xác định theo biểu thức:

68 , 3 999 , 1

1 2 2

,

1 n jn    j



Thiết kế bộ điều khiển với luật điều khiển là

Bước 1: Lập ma trận điều khiển M = [B : AB]

với ma trận B= 





 1 0







0

1 0

Suy ra:







1

1 0

Ta có: Det (M)= -1 ≠ 0 Hạng của ma trận n=2, cho nên hệ thống điều khiển được hoàn toàn trạng thái

Bước 2: Phương trình đặc tính của hệ thống là:

A

SI  = 01 10 00 110 0 110



























S S

 a1=10

a2=0

Bước 3: Xác định ma trận chuyển T chuyển phương trình trạng thái của hệ thống thành dạng chuẩn tắc điều khiển được

Ta có: T=MW

Với:







1

1

0

























0 1

1 10 0

1

1

1

a





































0 1 0 1

1 10 10 1

1 0

=I Bước 4: Từ giá trị riêng mong muốn 1,2   1 , 999 j3 , 68 ta được phương trình đặc tính mong muốn của hệ thống là:

Ta có : (S-µ1)(S-µ2) = (S+1,999+j3,68)(S+1,999-j3,68)

= S2 + 3,998S + 17,538

= S2 + 1S + 2

=> 1 = 3,998

2

 =17,538 Bước 5: Ma trận hệ số phản hồi trạng thái yêu cầu K có thể được xác định như sau:

1 1 2

2  a   a T

  =[17,538-0: 3,998-10]I =[17,538 - 6,002]

Vậy K = [ 17,538 - 6,002]

Tín hiệu điều khiển u trong trường hợp này là:

u=-Kx=-17,538x1+6,002x2

Mô phỏng Matlab m-file của hệ thống vòng kín mà đã thiết kế bộ điều khiển:

J=0.01;

b=0.1;

k=0.01;

kp=0.01;

Ra=1;

den=(Ra*b)+(k*kp);

Km=k/den;

Tm=(Ra*J)/den;

A22=-1/Tm;

B2=Km/Tm;

A=[0 1;0 -1/Tm]

B=[0;Km/Tm]

C=[1 0]

D=0;

p1 = -1.999 + 3.68i;

p2 = -1.999 - 3.68i;

K =place(A,B,[p1 p2])

t=0:0.01:3;

step(A-B*K,B,C,D,1,t)

Từ mô phỏng trên ta nhận thấy rằng thời gian ổn định ts đã thõa mãn yêu cầu đặt ra là 2s, tuy nhiên biên độ ra vẫn còn quá nhỏ để biên độ ra mong muốn ổn định bằng 1 chúng ta cần đặt vào hệ thống một giá trị độ lợi Nbar như hình sau:

Chúng ta có thể tìm thừa số Nbar bằng cách dùng Matlab command rscale như sau:

function[Nbar]=rscale(A,B,C,D,K)

% Given the single-input linear system:

%

% y = Cx + Du

% and the feedback matrix K,

%

% the function rscale(A,B,C,D,K) finds the scale factor N which will

% eliminate the steady-state error to a step reference

% using the schematic below:

%

% / -\

% R + u | |

% -> N ->() >| X=Ax+Bu | > y=Cx -> y

% -| \ -/

% | |

% |< K < |

%

%8/21/96 Yanjie Sun of the University of Michigan

% under the supervision of Prof D Tilbury

%

s = size(A,1);

Z = [zeros([1,s]) 1];

N = inv([A,B;C,D])*Z';

Nx = N(1:s);

Nu = N(1+s);

Nbar=Nu + K*Nx;

Mô phỏng Matlab m-file của hệ thống vòng kín có thêm giá trị Nbar vào bộ điều khiển:

J=0.01;

b=0.1;

k=0.01;

kp=0.01;

Ra=1;

den=(Ra*b)+(k*kp);

Km=k/den;

Tm=(Ra*J)/den;

A22=-1/Tm;

B2=Km/Tm;

A=[0 1;0 -1/Tm]

B=[0;Km/Tm]

C=[1 0]

D=0;

p1 = -1.999 + 3.68i;

p2 = -1.999 - 3.68i;

K =place(A,B,[p1 p2])

Nbar=rscale(A,B,C,D,K)

t=0:0.01:3;

step(A-B*K,B*Nbar,C,D,1,t)

title('Step Response with a K controller and Nbar')

V KẾT LUẬN

Từ mơ phỏng trên thì bộ điều khiển đạt được các yêu cầu đặt ra, tuy nhiên

để tối ưu hơn cĩ thể dùng lý thuyết điều khiển hiện đại khác để thiết kế như điều khiển mờ, điều khiển thích nghi, điều khiển nơron để so sánh kết quả

Do hạn chế kiến thức matlab nên đồ án này chỉ dùng m-file viết chương trình và mơ phỏng hệ thống, vì vậy để mơ phỏng rỏ hơn chúng ta cĩ thể dùng simulink trong ngơn ngữ matlab

VI TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Bài giảng lý thuết điều khiển tự động Ts Trần Hồi An, 1998

2 Matlab và ứng dụng trong điều khiển Nguyễn Đức Thành, 2004

3 Lý thuyết điều khiển hiện đại,Ts Nguyễn Thị Phương Hà, 1999

4 Modern Control Engineering (Third Edition), Katsuhiko Ogata, Prentical Hall, 1997