Giải gần đúng một số phương trình đại số và phương trình siêu việt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ HẰNG GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH SIÊU VIỆT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ HẰNG

GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

VÀ PHƯƠNG TRÌNH SIÊU VIỆT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN HÙNG

HÀ NỘI, 2015

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường ĐHSP Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng, người thầy đã hướng dẫn

và truyền thụ những kinh nghiệm đồng thời cũng là người khơi nguồn cảm hứng cho tác giả trong học tập và nghiên cứu khoa học Thầy luôn động viên khích lệ tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua khó khăn trong chuyên môn Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng, biết ơn chân thành và sâu sắc đối với thầy

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo trường ĐHSP Hà Nội 2, phòng Sau đại học đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội, Trường THPT Cổ Loa đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả có thời gian học tập và hoàn thành tốt luận văn

Hà Nội, ngày 10 tháng 11 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Thị Hằng

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới

sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hùng

Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học nghiên cứu và đồng nghiệp với sự trân trọng biết ơn

Hà Nội, tháng năm 2015

Tác giả

Nguyễn Thị Hằng

MỞ ĐẦU 5

CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7

1.1 Nghiệm và khoảng phân li nghiệm 7

1.1.1 Nghiệm của phương trình một ẩn 7

1.1.2 Ý nghĩa hình học của nghiệm 7

1.1.3 Sự tồn tại nghiệm thực của phương trình (1.1) 8

1.1.4 Khoảng phân li nghiệm 10

1.1.5 Phương pháp tìm khoảng phân li nghiệm của

phương trình (1.1) 11

1.2 Số xấp sỉ 11

1.3 Sai số 12

1.3.1 Khái niệm 12

1.3.2 Các loại sai số 12

CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH SIÊU VIỆT 14

2.1 Tổng quát hoá tìm nghiệm gần đúng của phương trình ( )f x  14 0 2.2 Phương pháp chia đôi 14

2.3 Phương pháp lặp đơn 16

2.4 Phương pháp dây cung 18

2.5 Phương pháp Newton 24

CHƯƠNG III: ỨNG DỤNG 29

3.1 Tìm nghiệm gần đúng của phương trình ( )f x 0với sai số cho trước 29

3.2 Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm gần đúng của phương trình 38

3.2.1 Áp dụng phương pháp lặp 38

3.2.2 Phương pháp 2 ( dùng đạo hàm kết hợp với phép lặp - phương pháp Newton ) 62

KẾT LUẬN 65

TÀI LIỆU THAM KHẢO 66

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Ngày nay các ngành khoa học nói chung và ngành toán học nói riêng

đã phát triển đến mức độ cao Rất nhiều các bài toán trong thực tế ( Thiên văn, đo đạc ruộng đất, vật lí, ) dẫn đến việc cần giải các phương trình một biến dạng ( )f x  Nhìn chung các phương trình dạng ( )0 f x  thường khó 0

có thể giải được bằng phương pháp đại số, hoặc nếu các bài toán đó nếu có thể giải được thì nó có công thức nghiệm phức tạp, cồng kềnh nên việc khảo sát các tính chất của nghiệm qua công thức nghiệm đó gặp rất nhiều khó khăn Bởi vậy việc tìm nghiệm gần đúng và đánh giá mức độ sai số của nghiệm gần đúng khi giải xấp xỉ phương trình một ẩn dạng f x  là rất cần thiết   0 Các nhà Toán học đã nghiên cứu và đưa ra một số phương pháp giải gần đúng phương trình một ẩn dạng f x  Kết hợp với sự hỗ trợ đắc lực   0của máy tính điện tử hiện đại nên việc tìm nghiệm gần đúng của các phương trình phi tuyến một ẩn dạng f x  trở nên đơn giản hơn rất nhiều Tuy   0nhiên trước mỗi bài toán phi tuyến dạng f x  thì việc lựa chọn phương   0pháp tìm nghiệm gần đúng nào để kết quả nghiệm tìm được chính xác hơn, sai

số nhỏ và tính toán nhanh thì phương pháp giải đó được xem là tối ưu hơn cả Không có phương pháp nào được xem là tối ưu tuyệt đối, mỗi phương pháp đều có nét đặc trưng riêng của nó Việc dùng phương pháp nào để giải bài toán cho phù hợp còn tùy thuộc vào yếu tố khách quan của bài toán và mức độ yêu cầu của công việc

Với những lí do như đã nêu ở trên và mong muốn tìm hiểu sâu, trang bị cho bản thân kĩ năng đánh giá, lựa chọn phương pháp giải gần đúng tối ưu cho một số phương trình đại số và phương trình siêu việt dạng f x  ( với   0

 

f x là một hàm phi tuyến ) và cũng do điều kiện về thời gian, năng lực của bản thân còn hạn chế nên tôi đã chọn đề tài nghiên cứu để làm luận văn cao học là:

" Giải gần đúng một số phương trình đại số và phương trình siêu việt "

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu các phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình đại số và phương trình siêu việt dạng f x  Đưa ra các ví dụ số minh họa   0cho kết quả lí thuyết

Góp phần nâng cao năng lực nghiên cứu của bản thân, phục vụ hiệu quả cho công tác nghiên cứu khoa học và đào tạo sau đại học chuyên ngành toán giải tích của trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm tài liệu, đọc hiểu tài liệu

Viết luận văn

4 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là:

Các phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình đại số và phương trình siêu việt dạng f x  như: Phương pháp chia đôi, phương   0pháp lặp đơn, phương pháp Newtơn, phương pháp dây cung

Các bài toán về phương trình đại số và phương trình siêu việt dạng

5 Phương pháp nghiên cứu

Trang bị cho bản thân các kiến thức cơ bản về toán học cao cấp, giải tích số, sử dụng thành thạo máy tính bỏ túi

Sưu tầm và giải gần đúng một số bài toán đại số và siêu việt

6 Đóng góp của luận văn

Xây dựng luận văn thành một tài liệu tham khảo tốt cho sinh viên và học viên cao học về một số phương pháp giải gần đúng phương trình đại số

và phương trình siêu việt

CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nghiệm và khoảng phân li nghiệm

1.1.1 Nghiệm của phương trình một ẩn

Xét phương trình một ẩn: f x  ( ) 0 (1.1) trong đó:

f là một hàm số cho trước của đối số x

Giá trị x được gọi là nghiệm của phương trình (1.1) nếu 0 f x( )0  0

Nghiệm của phương trình (1.1) có thể là số thực hoặc số phức, nhưng ở đây ta chỉ khảo sát các nghiệm thực

1.1.2 Ý nghĩa hình học của nghiệm

Các nghiệm của phương trình (1.1) là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số

1.1.3 Sự tồn tại nghiệm thực của phương trình (1.1)

Trước khi tìm cách tính gần đúng nghiệm thực của phương trình (1.1)

ta phải kiểm tra xem nghiệm thực đó có tồn tại hay không Khi đó ta có thể sử dụng đồ thị hoặc sử dụng định lí sau

Không mất tính tổng quát giả sử f a( )0, f b( )0, ta chia đôi đoạn a b , 

bởi điểm chia

2

ab

Và khi đó định lí được chứng minh

Hoặc được một dãy vô hạn các đoạn chứa nhau Khi đó đối với đoạn thứ n,

a b n, n, (n 1, 2,3 )ta sẽ có f a n 0, f b n  và độ dài của đoạn bằng 0

2

Dãy các đoạn ta lập được thỏa mãn các điều kiện của bổ đề về dãy các đoạn

lồng nhau, bởi vì theo trên lim  lim 0

Thật vậy do tính liên tục của hàm số tại x , ta có ( )c lim ( n) 0

Vậy ( )f c  Ta có định lí được chứng minh 0

1.1.4 Khoảng phân li nghiệm

Nếu hàm số y f x  liên tục, đơn điệu trên a b và ,  f a f b      0

thì a b là một khoảng phân li nghiệm của phương trình ( ),  f x  0

Chứng minh: Theo định lí ( Bolzano - Cauchy ) ta có phương trình ( ) f x  0

ít nhất một nghiệm trên a b, 

Giả sử c c là hai nghiệm phân biệt của phương trình ( )1, 2 f x  0

Ta có f(c )1  f(c )2 0 Vì hàm số y f x  liên tục, đơn điệu trên a b , 

nên c1c2 ( trái giả thiết )

Do đó phương trình ( )f x  có nghiệm duy nhất trên 0 a b , 

Vì vậy theo định nghĩa 2 thì a b là một khoảng phân li nghiệm của phương , 

trình ( )f x  0

Nếu f x có đạo hàm thị điều kiện đơn điệu có thể thay thế bằng điều  

kiện không đổi dấu của đạo hàm ta có định lí sau

Định lí 1.1.4.2

Nếu hàm số y f x  liên tục, đạo hàm f ' x không đổi dấu trên

a b và ,  f a f b  thì     0 a b là một khoảng phân li nghiệm của phương , 

trình ( ) f x 0 (1)

Chứng minh:

Ta có hàm số y f x  liên tục, đạo hàm f ' x không đổi dấu trên a b , 

nên hàm số y f x  liên tục, đơn điệu trên a b , 

Theo định lí 1.1.4.1 hàm số y f x  liên tục, đơn điệu trên a b và , 

Một đa thức bậc n có không quá n nghiệm, vì vậy phương trình đa thức bậc n có không quá n khoảng phân li nghiệm

b) Phương pháp hình học

Vẽ đồ thị của hàm số y f x  trên giấy kẻ ô vuông suy ra ước lượng khoảng phân li nghiệm ( hoành độ giao điểm của đồ thị y f x  với trục hoành )

Trường hợp khó vẽ đồ thị của hàm số y f x , có thể biến đổi

f x  (1.1), ta thường thiết lập cả một dãy x x0, , ,1 x n, sao cho x n 

khi n   , trong đó  là nghiệm đúng của phương trình (1.1) Do giả thiết liên tục của hàm f x  ta có: lim  n   0

n f x f 

Điều này có nghĩa là khi x khá gần n  thì f x n khá gần f   và có thể xem f x n  hay 0 x n thực sự có thể xem là xấp xỉ của nghiệm

Người ta thường cho số  đủ nhỏ và nếu 0 x n  thì chọn  x làm n

nghiệm xấp xỉ của phương trình (1.1) và dừng quá trình tính toán

Một câu hỏi đặt ra là với cách chọn như vậy thì f x n đã có thể thực sự xem là xấp xỉ của f   không, có bảo đảm rằng f x n  f    f x n

khá gần 0 không? Cũng có lúc ta chỉ quan tâm là x xấp xỉ n  tốt như thế nào thôi, nhưng cũng có trường hợp ta lại quan tâm là f x n có thể coi là gần 0 không, thì lúc này sự xấp xỉ của x so với n  chưa đủ, mà ta cần phải xét cả giá trị f x n nữa Chính vì lí do này mà trong các chương trình tính toán tôi đưa thêm điều kiện dừng về f x n Quá trình tính toán sẽ dừng nếu điều kiện

1.3.1 Khái niệm

Giả sử x là số gần đúng của x ( xlà số đúng), khi đó   xx gọi là

sai số thực sự của x Vì không xác định được  nên ta xét đến hai loại số sau:

- Sai số tuyệt đối: Giả sử   đủ bé sao cho x x 0 x   khi đó x x 

gọi là sai số tuyệt đối của x

- Sai số tương đối: x x

x

   1.3.2 Các loại sai số:

Dựa vào nguyên nhân sai số, ta có các loại sau:

- Sai số giả thiết: Xuất hiện do việc giả thiết bài toán đạt được một số điều kiện lý tưởng nhằm làm giảm độ phức tạp của bài toán

- Sai số do số liệu ban đầu: Xuất hiện do việc đo đạc và cung cấp giá trị đầu vào không chính xác

- Sai số phương pháp: Xuất hiện do việc giải bài toán bằng phương pháp gần đúng

- Sai số tính toán: Xuất hiện do quá trình làm tròn số trong quá trình tính toán, quá trình tính toán càng nhiều thì sai số tích lũy càng lớn

CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH SIÊU VIỆT 2.1 Tổng quát hóa tìm nghiệm gần đúng của phương trình f x  ( ) 0

Để tìm nghiệm gần đúng của phương trình đại số và phương trình siêu việt ta tiến hành qua hai bước:

- Tách nghiệm: Xét tính chất nghiệm của phương trình (1.1), phương trình (1.1) có nghiệm hay không, có bao nhiêu nghiệm, các khoảng chứa nghiệm nếu có Đối với bước này ta có thể dùng phương pháp đồ thị kết hợp với các định lí mà toán học hỗ trợ

- Chính xác hóa nghiệm: Thu hẹp dần khoảng chứa nghiệm để hội tụ được đến giá trị nghiệm gần đúng với độ chính xác cho phép Trong bước này ta có thể áp dụng một trong các phương pháp:

+ Phương pháp chia đôi

f x x

quá  cho trước

b) Nội dung của phương pháp:

+ Nếu f x 0  và sai số 0 x0  thì xét dấu f a f x :     0

Nếu f a f x    0 0 thì khoảng phân li nghiệm mới là a x, 0

Nếu f a f x    0  thì khoảng phân li nghiệm mới là 0 x b 0, 

- Lặp lại phương pháp chia đôi với khoảng phân li nghiệm mới

- Quá trình lặp lần lượt cho ta các nghiệm gần đúng x x0, , 1 và kết thúc khi tìm được x với sai số n x n  

Vậy dãy  x n hội tụ về nghiệm của phương trình khi n  

e) Sơ đồ tóm tắt phương pháp chia đôi

- Cho phương trình f x    0

- Ấn định sai số  cho phép

- Xác định khoảng phân li nghiệm a b , 

- Giải thuật của phương pháp chia đôi

f) Ưu nhược điểm của phương pháp

- Ưu điểm: Đơn giải, dễ lập trình

- Nhược điểm: Hội tụ về nghiệm chậm

2.3 Phương pháp lặp đơn

a) Nội dung của phương pháp

Biến đổi phương trình ( )f x 0 về dạng x x với  x liên tục trên

H1 H2

- Hình H1: hội tụ đến nghiệm 

- Hình H2: không hội tụ đến nghiệm  (phân li nghiệm)

c) Sự hội tụ về nghiệm của phương pháp

Định lí: Giả sử a b là khoảng phân li nghiệm của phương trình ( ),  f x 0

quá  cho trước

b) Nội dung của phương pháp

- Thay cung AB bởi dây trương cung AB

AB cắt trục hoành tại điểm x1,0

- Nếu x1  thì  x1 là nghiệm gần đúng cần tìm

- Nếu không, lặp lại phương pháp dây cung với khoảng phân li mới

x b hoặc 1,  a x tùy theo tích chất của , 1 f x  

+ Nếu f x   1 f a  thì 0 a x là khoảng phân li mới , 1

+ Nếu f x   1 f a  thì 0 x b là khoảng phân li mới 1, 

Với khoảng phân li nghiệm mới x b1, , tính được nghiệm gần đúng x bằng 2

phương pháp dây cung

- Quá trình lặp kết thúc khi tìm được nghiệm gần đúng x có sai số n

d) Đánh giá sai số của phương pháp dây cung

Gọi  là nghiệm đúng của phương trình ( )f x 0 (1), f x liên tục trên  

x n,(hoặc ,x nnếu f ' x f '' x  ) và 0 f x có đạo hàm trên   x n,

(hoặc ,x nnếu f ' x f '' x  ) 0

Nếu số M m thỏa mãn: , 0m f ' x M  , x a b,  thì có thể chọn sai

số tuyệt đối giới hạn cho x là: n  n

n

f x x

“ Cho hàm số f x liên tục trên   a b , có đạo hàm trong khoảng ,  a b thì , 

tồn tại một số ca b,  sao cho: f b  f a  f ' c ba ” ta có:

f) Ưu nhược điểm của phương pháp dây cung:

- Ưu điểm: Có thuật toán đơn giản, biết x n chỉ cần tính một giá trị của

 n

f x để tính x n1 Nhanh hơn thuật toán chia đôi

- Nhược điểm: Tốc độ hội tụ về nghiệm chậm, chỉ hội tụ tuyến tính

b) Nội dung phương pháp

Ý tưởng chủ đạo của phương pháp Newton là thay phương trình ( ) 0 (1)

f x  phi tuyến đối với x bằng phương trình gần đúng, tuyến tính đối với x, cụ thể

Thay đường cong f x trên   a b bởi tiếp tuyến ,   T với đường cong tại

điểm A hoặc B Hoành độ giao điểm x của 1  T với trục hoành xem như

nghiệm gần đúng của phương trình ( )f x 0 (1)

Để xây dựng công thức tính nghiệm của phương pháp Newton ta xét:

- Trường hợp 1: f ' x f '' x 0

c) Công thức tính nghiệm tổng quát

Giả sử ở bước thứ n , xác định được nghiệm gần đúng x thì: n

Phương trình tiếp tuyến  T với n f x tại điểm   B x f x n n,  n  là:

Giả sử ở bước thứ n , xác định được nghiệm gần đúng x n thì:

Phương trình tiếp tuyến  T với n f x tại điểm   A x f x n n,  n  là:

Với: x0  nếu a f '' a cùng dấu với f a  

x0  nếu b f '' b cùng dấu với f b  

d) Sự hội tụ đến nghiệm của phương pháp Newton :

Giả sử  là nghiệm đúng của phương trình f x  trên ( ) 0 a b Dãy các , 

e) Đánh giá sai số của phương pháp Newton

Giả sử  là nghiệm đúng của phương trình f x ( ) 0, m m1, 2 là các số thỏa mãn điều kiện: 0m1 f ' x , x a b,  và f ' x m2   , x a b, ,

1

n n

f x x

'''

f) Ưu nhược điểm của phương pháp Newton:

- Ưu điểm: Phương pháp Newton hội tụ nhanh hơn phương pháp chia đôi

và phương pháp dây cung

- Nhược điểm: Phương pháp Newton đòi hỏi đạo hàm được tính trực tiếp

+ Nếu giá trị ban đầu ta dự đoán quá xa nghiệm thì phương pháp Newton có thể không hội tụ

+ Phương pháp Newton sẽ không thành công trong trường hợp ta dự đoán nhưng mà đạo hàm của nó là bằng 0, bởi đường tiếp tuyến khi

đó là gần như nằm ngang

+ Việc kiểm tra điều kiện để áp dụng phương pháp Newton phức tạp hơn, nếu chọn điểm xuất phát không thích hợp thì không đạt được kết quả như mong muốn

CHƯƠNG III: ỨNG DỤNG 3.1 Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f x  với sai số cho trước ( ) 0

Bài 1:

Tìm nghiệm gần đúng của phương trình x34x2  (3.1.1) 1 0

trên 0;1 với sai số không vượt quá 0,1 bằng phương pháp chia đôi 

Vậy 0;1 là khoảng phân li nghiệm của phương trình (3.1.1) 

Kết quả thực hiện của 4 lần lặp ( với phương pháp chia đôi )

Tìm nghiệm gần đúng của phương trình 5x3x2   (3.1.2) x 1 0

trên 0,5;1,5với sai số không vượt quá 0,02 bằng phương pháp dây cung Lời giải:

 

15

13

 là khoảng phân li nghiệm của phương trình (3.1.2)

Công thức tính nghiệm gần đúng của phương trình 3 2  

Vậy x 0,777508 là nghiệm gần đúng cần tìm của phương trình 3.1.2 với 

sai số không vượt quá 0,02

Bài 3:

Tìm nghiệm gần đúng của phương trình 5x320x  (3.1.3) 3 0

trên  0;1 với sai số không vượt quá 0,01 bằng phương pháp lặp Lời giải:

Nên (0;1) là khoảng phân li nghiệm của phương trình

Nhận xét: Phương trình (3.1.3) tương đương với:

5

x

2 3

4

20 33

20

n n

x

Công thức đánh giá sai số: 0,75 1

Vậy x 0,15086 là nghiệm gần đúng cần tìm của phương trình (3.1.3) trên

 0;1 với sai số không vượt quá 0,01

Bài 4:

Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2x 4x (3.1.4) 0

bằng phương pháp tiếp tuyến với độ chính xác 105 Lời giải:

Công thức tìm nghiệm gần đúng của phương trình (3.1.4) bằng phương pháp