Sự tồn tại vector riêng của toán tử uo lõm chính quy tác dụng trong không gian banach với nón cực trị

SỰ TỒN SỰ TỒN TẠI VECTOR RIÊNG CỦA TOÁN TỬ u0- LÕM CHÍNH QUY TÁC DỤNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH VỚI NÓN CỰC TRỊ ...40 2.1... Những đóng góp của luận văn... Không gian Banach thực nửa sắp

SỰ TỒN TẠI VECTOR RIÊNG

TRONG KHÔNG GIAN BANACH VỚI NÓN CỰC TRỊ

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Phụ Hy

HÀ N I – 2015

ăn ng ĐH H ộ i s h PGS.TS Nguy H

Tôi xin cam ă ên c

1 Lý do ch n ề tài .1

2 M c ích nghiên c u 2

3 Nhi m v nghiên c u 2

4 Đ i t ng và ph m vi nghiên c u .2

5 Ph ơng pháp nghiên c u 2

6 Những óng góp c a lu n văn .3

Chương : KI N THỨC CHUẨN BỊ .4

1.1 Không gian Banach n a s p th t .4

1.1.1 Đ ộ t sơ .4

p th t trong không gian Banach .7

1.2 c giữ .9

1.3 u0 - o c 11

1.4 .15

.15

.19

1.5 Không gian Banach n a s p th t Rn , C 1 [a;b] 19

1.5.1 Không gian Rn ,n∈ N* .19

1.5.2 Không gian C 1 [a;b] 29

Chương 2 SỰ TỒN SỰ TỒN TẠI VECTOR RIÊNG CỦA TOÁN TỬ u0- LÕM CHÍNH QUY TÁC DỤNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH VỚI NÓN CỰC TRỊ .40

2.1 Đ nh ngh a toán t u0 - lõm chí ính ch t sơ c p .40

2.2.Toán t u0 –lõm chính quy tác d ông gian Banach .43

2.3.1 Đ .47

2.3.2 u0 – F 50

V .54

KẾT LUẬN .59

TÀI LIỆU THAM KHẢO .60

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

ý ể ộ ộ ý ề

ý ể ộ ề

và ề ổ ề ổ : Lipschitz, Kraxnoxelxki, Braide, Aylenbec, C

: T ơ , , F

,

ổ

ơ ( 96 ), ong không gian B ộ ( 956)

GS TS B ề ơ

ề ( 959), ơ ơ

( 98 ), ở ộ

(K, u0) - trong B

ỗ ( 98 ) C , B

ữ ề B h ộ , 0 -

ă 987, G T H ề ơ

ơ ơ ( , u0) -lõm ( 0 3) T ở ộ ể ề

B ộ

u0 -

Để tor riêng , rong công trình ể ổ ề ù

V ể â ơ ề , ,

h T , PGS.TS H

ề : “ 0- lõm chính

trong không gian Banach “

Mục đích nghiên cứu Đề , ở ộ ộ ề ơ 0 - ổ ề

nón 3 Nhiệm vụ nghiên cứu T ể ề B

T ể ề ơ u0- lõm chính quy B

T u0- Rn ở ộ ơ

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đ : C ơ ở , ề

u0 - lõm chính quy ơ u0- lõm chính quy tác B

: C ,

ơ u0-

B

5 Phương pháp nghiên cứu T ề ơ u0- lõm chính B

Tổ , phân tích, ,

T ý

6 Những đóng góp của luận văn

CHƯƠNG

KI N THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự

1.1.1 Định nghĩa nón và quan hệ sắp thứ tự trong không gian Banach Định nghĩa 1.1.1

Cho không gian Banach E ỗ E T

Định 1.1

ộ θ ∈ K ộ

+) T K(F) ∩ (-K(F)) = {θ}

G ề , x0 ∈ F sao cho -t0x0 ∈ K(F), t0 > 0 suy ra -t0x0 = t1x1 t1 > 0, x1 ∈ F

“  “

V “  “ ộ không gian E theo nón K : B E

n



 ∈ E ă , x1 2 n Các dãy ể không , ể ă ơ

( x M) x z; x z ', z ≤ ’ , ’ ≤ z Th

6 = ’

V ( )

 G ’ , w  E, ’ ∈ E ( x M) w x; w ' x  , ≤ ’, ’ ≤

t → ∞ –u0 ∈ , â

V không âm β(x) ho ≤ β(x)u0

t → ∞ –u0 ∈ , â Nên inf f-1(K) ∈ f-1

(K)

T B = ≥ 0 : x + tu0 ∈ } H ể , 1 ∈ B hay B ≠ ∅

T , ≥ 0 : x + tu0 ∈ K } = α(x) ∈ -1

f (K) -α(x)u0 ≤ x

:

max{ ( ) , ( )}

E u R u

x t

.)

(),(max

u

x x

x t

.)

(),(max  x  x  x u  x u

0 max{ 1, 2}, 0 max{ 3, 4}

x  inft inft y  inft inft , :

0 0 inf 1 inf 3 inf(t1 3)

2 4

( 2,3, ) ,1

T , ể  ( )

1

k k

2

1

2 ( )

0 1

d) Không gian Rn B ( )

T ,  ( )

1

k k

x ộ → ∞ trong Rn V n Banach

T , x, y ∈ Rn

, x = ( x1, x2, , xn), y = ( y1, y2, , yn), ≤ y – x ∈ K yi – xi 0, ∀ i = 1, 2, , n, xi ≤ yi, ∀ = , ,…, n “≤ “ ộ ộ T , , ộ Rn ể “ ≤ “ V = ( , 0, 0, …, 0), = (0, , 0, …, 0) ∈ Rn

x – y = ( 2, - , 0,…, 0)  K, y – x = (- , , 0,…, 0)  , , “ ≤ “

 G  ( )

1

m m

T , ∀m ∈ N*

th  ( )

1

m k m

i i

u  ∈ (m) ≤ , ∀m ∈ N*

( )

1

m k m

aui = a.0 = 0 ≤ i = 0 ≤ 0 = b.0 = bui , i ∈ I2

∈ I1 i > 0 nên

1 1

i n

i n i

i n

i n i

V = Banach R2

Khi = {x = (x1, x2) ∈ R2

: x1 0, 2 0}

u0 = (1; 1) ∈ K\ θ}

K(u0) = {x = ( x1, x2) ∈ R2

: x1 > 0, x2 > 0 } 0

u

E = {x = (x1, x2) ∈ R2

} = R2

1.5.2 Không gian C 1 [a;b]

max{max ( ) ; max '( ) }, max{max ( ) ; max '( ) }

max ( ) max ( ) max ( ) y(t)

max '( ) max '( ) max '( ) y'(t)

0

max ( )( )

n nmax ( ' ')( )

( )( )

t [ ; ], n n ( ' ')( )

n

t a b

n

t a b n n

, n( )} ộ ề ( ), ’n( )} ộ ề ’( ) [ ; nên

T , n} ơ 1

[a;b]

C ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N* : ∀n, 0

0

,max ( ' ')( )

lim ' ( ) lim ' ( ) lim[ ( ) ( )] 1( )

V {xn} ộ 1

[a;b]

C nên C1[a;b] B (1.7)

n

0 n

x (t)-x(t)

, t [ ; ]x' (t)-x'(t)

x (t)<x(t)

, t [ ; ]x' (t)<x'(t)

T , t ∈ [ ; ( ) < 0 x (t)<x(t)+εn < 0 ε< x(t) , ề â n(t) 0, ∀t ∈ [a; b] ( ) 0,

∀t ∈ [a; b]

T ơ , t ∈ [ ; ’( ) < 0 x' (t)<x'(t)+εn < 0 ε< x'(t) , ề â ’n(t) 0, ∀t ∈ [ ; ’( ) 0, ∀t ∈ [a; b]

V ộ 1

[a;b]

C g) T 6 ể C1[a;b] ộ “ ≤ “ “ ≤ “ 1

max{ max x(t) , max x'(t) } max{ max y( ) , max y'( ) }

i) T

x (t)n

n

t b

 

    0 < a ≤ t ≤ b

T :

* n

1

* n

0 khi a t < blim x (t)

∀t ∈ [a; b]

[ ; ] [ ; ]

[ ; ]

max x(t)( ) ( ) ( ) max x(t) x(t), [ ; ]

[ ; ]

min x'(t)' ( ) ' ( ) ' ( ) min x'(t) x'(t), [ ; ]

[ ; ]

max x'(t)' ( ) ' ( ) ' ( ) max x'(t) x'(t), [ ; ]

ộ ( 8), x = x(t) ∈ 1

[a;b]

C : x(t) > 0, x’( ) = 0, ∀t ∈ [a; b] x = x(t) = d > 0, ∀t ∈ [a; b]

max x( )

0min u ( )

t a b

t a b

t t



  , 2 [ ; ]

0 [ ; ]

max x'(t

0min u' ( )

t a b

t a b

) t



  ,  max{ , 1 2}0

[ ; ]

[ ; ] 0

[ ; ]

[ ; ] 0

CHƯƠNG

SỰ TỒN TẠI VECTOR RIÊNG CỦA TOÁN TỬ u 0 - LÕM CHÍNH QUY TÁC DỤNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH VỚI NÓN CỰC TRỊ

2.1 Định nghĩa toán tử u 0 - l m chính quy và tính chất sơ cấp

G E B  E,

u0 ∈ K\ θ}, , B E

Định nghĩa 1.1

T A 0 - ,

1, AKK (∀x, y ∈ : ≤ ) ≤ ;

2, (∀x ∈ K\ θ}) Ax ∈ K(u0); 3, (∀x ∈ K\ θ}) (∀ t ∈ (0; 1) Atx > tAx; 4, (∀ x ∈ K(u0) ) (∀ t ∈ (0; 1) ) (∃η = η( , ) > 0) > ( +η) ; Định nghĩa 1

T A 0 – ,

1, AK  K (∀x, y ∈ : ≤ ) ≤ ;

2, (∀x ∈ K\ θ}) (∀ t ∈ (0; 1) ) Atx > tAx; 3, (∀x ∈ K\ θ}) (∀ t ∈ (0; 1) ) (∃η = η( , ) > 0) > ( +η) ; Định 1

0 – α R * αA

u0 –

C

*) Do A l 0 –

*

x K Ax K α(Ax) K ( α R ) (αA)x K αAK K

∀x, y ∈ K, ≤ ≤  α( ) ≤ α α R *(α ) ≤ (α ) ;

*) (∀x ∈ K\ θ}) (∀ t ∈ (0; 1) ) Atx > tAx α( ) > α( ) α R *

 (α ) > (α )

*

*) ( x K \{θ}) ( t (0;1)) ( η η(x,t ) 0) Atx (1+η) tAx

α(Atx) α (1+η) tAx ( α R ) (αA)tx (1+η) t(αA)x

V 0 – α R * αA

u0 –

Định 1.4 B hai 0 – + B 0 –

C

D , B 0 –

*) ∀ x ∈

Ax K, Bx    K Ax  Bx   K ( A + B )x K   ( A + B )K  K , ∀ x, y ∈ : ≤ Ax  Ay, Bx  By  ( A + B )x  ( A + B )y 1 1 2 2 1 2 *) ( x K \{θ}) ( t (0;1)) ( η η (x,t ) 0)( η η (x,t ) 0) Atx (1+η ) tAx , Btx (1+η ) tBx             Đ η min{η ,η } 0 1 2  (A+B)tx (1+η) t(A+B)x. V + B 0 –

Định 1

A 0 – ∀n ∈ N* An

u0 –

C

T ơ

V = A1A 0 –

G = , Ak 0 –

Toán tử u 0 - l m chính quy tác dụng trong không gian Banach

T u0 - lõm chính quy trong không gian Banach Rn

c t





 

i

c t

) Atx Atx [Q(tx)+W(tx)] Qx +

1

x = A( tx) (1+c

W(tx)

, 1

t

Ax Qx +  t

C → +∞, : ≤

H ể , θ = θ ≤ θ V ≤ x∈ K Định

G ề :

, 0 – , (∃ v∈ K(u0))(∀x ∈ ) ≤ ;

, Đ ( 0) ơ iêng xQ ơ Q > 0; 3,

, ơ ( 0)

C

*) G 0 ∈ (0; ) -1

0 0 Q Q x =t l Ax T , Q ∈ K(u0),

0 – , -1

1 1 Q Q 0 c =c (l Ax ,t ) 0   sao cho -1 -1 0 0 Q Q 1 0 Q Q -1 1 0 Q Q 1 0 Q =A (t l Ax ) (1 )t A(l Ax ) (1 ) (l Qx ) (1 )t Ax Ax c c t A c       -1 1 -1 0 0 Q Q 1 0 x =t l Ax l Q (1+c ) Ax   Đ 1

1 Q (1 1) A l c A :

 A1 0 –

 (∃x0 ∈ K(u0)) x0 ≤ 1x0  1 1 1 Q (1 1) Q Q l c  1

1( 1) Q (1 c )1 ( ) (1 c )1 1

r Q l   r Q    

A

r Q

  0 Suy ra

suy ra x* ≤ A1x* (2.1) , ơ α, β

(z )W(x) A x

0

n i

do 0 ≤ zi ≤ 1, ∀ i = 1, 2, , n

Suy ra

 T ể vector riêng trong K(u0)

T ỗ ỗ λ > 0 xK(u0) ể = λ

w  v  v , ∀ = , , , > , â ề , ở 3 3 ề u0 - lõm chính quy A

ở v∈ K(u0) K(u0)

T

T ỗ ỗ λ > 0 x K(u0) ể = λ

K T LUẬN

ă : “ i vector 0-

trong không gi B ộ ề

0 – ổ ề

ă ơ : C ơ

T ề B ,

, , , không gian 0 u E ( 0)

ề Rn , C1[a;b] C ơ : 0 –

B

T ề 0 – ,

ề , ộ

u0 – Rn D ă ể

ữ , ý ,

ể ă ơ T â ơ

T I LIỆU THAM KHẢO

Tài liệu Tiếng Việt