Về bài toán cân bằng giả đơn điệu mạnh và áp dụng vào một mô hình kinh tế thị trường điện

11 Chương 2.HAI THUẬT TOÁN GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH VÀ ÁP DỤNG.. Có rất nhiều bài toán liên quan đến bài toán cân bằng như:bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến ph

LU N V N TH C S TOÁN H C

B GIÁO D C VÀ ÀO T O

-

inh Th Tho

LU N V N TH C S TOÁN H C

CHUYÊN NGÀNH : TOÁN NG D NG

MÃ S : 60 46 01 12

NG I H NG D N KHOA H C : GS.TSKH Lê D ng M u

Hà N i - N m 2015

Lời cam đoanBản luận văn này là của tôi dưới sự hướng dẫn của GS TSKH LêDũng Mưu Bản luận văn tổng hợp lại từ các tài liệu trích dẫn dựa trêncác mục tiêu của đề tài Bản luận văn này không phải là một sự sao chéplại hoàn toàn từ các tài liệu đã có.

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới GS TSKH LêDũng Mưu, người thầy đã tận tình hướng dẫn và đóng góp cho tôi nhiều

ý kiến về nội dung của luận văn

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô đã giảng dạy và giúp đỡ tôitrong suốt quá trình tôi học tập tại trường Đại học Thăng Long

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới những người thân yêu trong giađình, bạn bè, đã luôn cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi để tôi có thể hoànthành được luận văn này

Bước đầu nghiên cứu khoa học nên bản luận văn thạc sĩ của tôi chắcchắn còn rất nhiều thiếu sót Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ýkiến của các thầy giáo, cô giáo và bạn đọc để bản luận văn được hoànthiện hơn

Hà Nội, tháng 5 năm 2015

Học viên

Đinh Thế Tho

Danh mục các kí hiệu viết tắt

H : Không gian Hilbert thực;

∇f (x) : Đạo hàm của hàm f tại x;

arg min f : Tập các cực tiểu của hàm f

Danh mục hình và bảngHình 2.1: Lợi nhuận tốt nhất của nhà máy thủy điện đối với nhà máynhiệt điện ( Trang 25)

Hình 2.2: Lợi nhuận tốt nhất của nhà máy nhiệt điện đối với nhà máythủy điện ( Trang 25)

Hình 2.3: Lợi nhuận tốt nhất của hai nhà máy ( Trang 26)

Bảng 2.1: Kết quả tính toán Ví dụ 2 theo Thuật toán 2 ( Trang 29)

Mục lục

Lời mở đầu 1

Chương 1.BÀI TOÁN CÂN BẰNG 2

1.1.Một số khái niệm và các kết quả cơ bản 2

1.1.1.Tập lồi 2

1.1.2.Hàm lồi 3

1.1.3.Toán tử chiếu lên một tập lồi đóng 4

1.2.Bài toán cân bằng và các trường hợp riêng 7

1.2.1.Bài toán tối ưu 7

1.2.2.Bài toán bất đẳng thức biến phân 8

1.2.3.Bài toán điểm bất động 9

1.2.4.Bài toán cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác 10

1.3.Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng 11

Chương 2.HAI THUẬT TOÁN GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH VÀ ÁP DỤNG 16

2.1.Thuật toán và sự hội tụ 16

2.1.1.Thuật toán 1 19

2.1.2.Thuật toán 2 20

2.1.3.Sự hội tụ của thuật toán 21

2.2.Áp dụng vào mô hình cân bằng thị trường điện 23

Kết luận 31

Tài liệu tham khảo 32

i

Lời mở đầu

Bài toán cân bằng có nhiều ứng dụng trong khoa học, kĩ thuật vàđời sống Có rất nhiều bài toán liên quan đến bài toán cân bằng như:bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán cân bằngNash trong các trò chơi không hợp tác, Do đó việc trình bày và đưa

ra các thuật toán giải bài toán cân bằng là rất cần thiết

Luận văn này nhằm giới thiệu về bài toán cân bằng giả đơn điệu mạnh

và hai thuật toán giải bài toán cân bằng giả đơn điệu mạnh qua đó ápdụng vào mô hình kinh tế thị trường điện

Luận văn được chia làm hai chương

• Chương 1 của luận văn trình bày tóm tắt một số kết quả đã biếttrong giải tích lồi liên quan đến luận văn Giới thiệu bài toán cânbằng và các trường hợp riêng

• Chương 2 của luận văn trình bày hai thuật toán để giải bài toáncân bằng giả đơn điệu mạnh, xét sự hội tụ của hai thuật toán vàcuối chương là áp dụng vào mô hình kinh tế thị trường điện Cuốicùng trình bày các ví dụ cụ thể để minh họa thuật toán

Chương 1

BÀI TOÁN CÂN BẰNG

Trong chương này ta nhắc lại những khái niệm cơ bản, tính chất đặctrưng của tập lồi và hàm lồi trong không gian Hilbert−H thực qua đógiới thiệu về bài toán cân bằng và các trường hợp riêng của nó cùng một

số điều kiện về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng

Nội dung của chương này được lấy từ [1], [2], [3], [4]

1.1 Một số khái niệm và các kết quả cơ bản

được gọi là nón pháp tuyến ngoài của C và tập −NC(x) được gọi là nónpháp tuyến trong của C tại x.

1.1.2. Hàm lồi

Định nghĩa 1.1.5 Hàm f : C → R ∪ {+∞} được gọi là

(i) Lồi trên C nếu

f [λx + (1 − λ) y] ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) , ∀x, y ∈ C, 0 < λ < 1;

(ii) Lồi chặt trên C nếu

f [λx + (1 − λ) y] < λf (x)+(1 − λ) f (y) , ∀x, y ∈ C, x 6= y, 0 < λ < 1;(iii) Lồi mạnh trên C với hệ số γ > 0 nếu

f [λx + (1 − λ) y] < λf (x) + (1 − λ) f (y) − γλ (1 − λ) kx − yk2,

∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1) ;(iv) Tựa lồi trên C nếu ∀α ∈ R tập mức dưới

Lα(f ) = {x ∈ C, f (x) ≤ α} Định lý 1.1.2 Cho f là hàm lồi trên tập lồi C và g là hàm lồi trên tậplồi D Khi đó các hàm số sau là hàm lồi trên tập lồi C ∩ D

(i) αf + βg, ∀α, β ≥ 0;

(ii) max {f, g} (x) = max {f (x) , g (x)}

Định lý 1.1.3 Cho f : C → R ∪ {+∞} là một hàm lồi, khả vi trên tậplồi C Khi đó với mọi x, y thuộc C ta có:

Định nghĩa 1.1.6 Một hàm f : H → R được gọi là nửa liên tục dướiđối với C tại một điểm x, nếu như với mọi dãy xk ⊂ C, xk → x ta cólim inf f xk
≥ f (x) Hàm f được gọi là nửa liên tục trên đối với C tại

x nếu −f nửa liên tục dưới đối với C tại x hay với mọi dãy xk ⊂ C,

xk → x thì lim sup f xk
≤ f (x)

Định nghĩa 1.1.7 Cho C là một tập lồi và f : C → R ∪ {+∞} là mộthàm lồi, khi đó w ∈ C được gọi là dưới đạo hàm của f tại x nếu:

f (y) ≥ f (x) + hw, y − xi, ∀y ∈ C

Tập tất cả các điểm w thỏa mãn bất đẳng thức trên được kí hiệu là ∂f (x) Nếu ∂f (x) 6= φ thì ta nói f khả dưới vi phân tại x

1.1.3. Toán tử chiếu lên một tập lồi đóng

Định nghĩa 1.1.8 Giả sử C 6= ∅ (không nhất thiết lồi) là một tập concủa không gian Hilbert −H và y ∈ H là một véc tơ bất kì, gọi

dC(y) = inf

x∈C

kx − yk

Ta nói dC(y) là khoảng cách từ y đến C Nếu tồn tại PC(y) ∈ C sao cho

dC (y) = ky − PC(y)k, thì ta nói PC(y) là hình chiếu của y trên C

Từ định nghĩa này hình chiếu PC (y) của y trên C là nghiệm của bài toántối ưu

Mệnh đề 1.1.2 Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gianHilbert −H, khi đó với mọi x ∈ H, hình chiếu PC(x) của x trên C luôntồn tại và duy nhất.

Chứng minh: Giả sửx ∈ H,y ∈ C,y = PC(x)ta códC(x) = ky − xk,suy ra tồn tại dãy (xn)n∈N trong C sao cho

Bây giờ ta chỉ ra tính duy nhất của hình chiếu Thật vậy nếu tồn tại haiđiểm y và z đều là hình chiếu của x trên C thì

x − y ∈ NC(y) , x − z ∈ NC(z) Tức là

hy − x, z − yi ≤ 0

hz − x, y − zi ≤ 0

Cộng hai bất đẳng thức này ta suy ra ky − zk ≤ 0, và do đó y = z.Mệnh đề 1.1.3 Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gianHilbert −H, ánh xạ y ֒→ PC(y) khi đó:

(i) kPC(x) − PC(y)k ≤ kx − yk ∀x, y ∈ H (tính không giãn);

(ii) kPC(x) − PC(y)k2 ≤ hPC(x) − PC(y) , x − yi∀x, y ∈ H (tính đồngbức)

Chứng minh: Theo (ii) ánh xạ x ֒→ PC(x) xác định khắp nơi Do

z − p (z) ∈ NC(p (z)) với mọi z.Nên áp dụng với z = x và z = y, ta có:

1.2 Bài toán cân bằng và các trường hợp riêng

Cho f : C × C → R ∪ {+∞} thỏa mãn f (x, x) = 0, với mọi x ∈ C C

là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert −H Khi đó bài toáncân bằng hay bất đẳng thức Ky Fan được phát biểu như sau: Tìm

x∗

∈ C : f (x∗

, y) ≥ 0, ∀y ∈ C (1.2.1)Bài toán cân bằng có ý nghĩa quan trọng trong kinh tế và nhiều lĩnhvực khác, nó bao hàm được rất nhiều bài toán khác như: bài toán tốiưu,bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm bất động, bài toáncân bằng Nash Phần trình bày dưới đây là một số ví dụ về những bàitoán có thể được mô tả dưới dạng bài toán cân bằng

1.2.1. Bài toán tối ưu

Cho C ⊂ H là tập lồi đóng khác rỗng và ϕ : C → R xác định trên C.Khi đó bài toán tối ưu được phát biểu như sau: Tìm

x∗

∈ C : ϕ (y) ≥ ϕ (x∗

) , ∀y ∈ C (1.2.2)Bằng cách đặt

f (x, y) = ϕ (y) − ϕ (x) , ∀x, y ∈ Cthì bài toán (1.2.2) tương đương với bài toán (1.2.1)

∈ C là nghiệm của bài toán (1.2.1)

Ngược lại, cho x∗

∈ C là nghiệm của bài toán (1.2.1), ta có

ϕ (y) ≥ ϕ (x∗

) , ∀y ∈ C

Vậy x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (1.2.2)

1.2.2. Bài toán bất đẳng thức biến phân

Cho C ⊂ H là tập lồi đóng khác rỗng và F : C → R là một ánh xạ đatrị Khi đó bài toán bất đẳng thức biến phân được phát biểu như sau.Tìm:

thì bài toán (1.2.3) tương đương với bài toán (1.2.1)

Thật vậy, giả sử x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (1.2.3) Ta có

hw∗

, y − x∗

i ≥ 0, ∀y ∈ C, w ∈ F (x∗

) Mặt khác theo cách đặt ta có

∈ C là nghiệm của bài toán (1.2.1)

Ngược lại, giả sử x∗

∈ C là nghiệm của bài toán (1.2.1) nên ta có

Vậy x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (1.2.3)

Nếu F là ánh xạ đơn trị thì bài toán bất đẳng thức biến phân có dạng.Tìm

 x∗ ∈ Csao cho

hf (x∗

) , y − x∗i ≥ 0, ∀y ∈ C (1.2.4)Bằng cách đặt

f (x, y) = hF (x) , y − xi, ∀x, y ∈ C

Thì bài toán (1.2.4) tương đương với bài toán (1.2.1)

8

1.2.3. Bài toán điểm bất động

Cho C ⊂ H là tập lồi đóng khác rỗng và F : C → 2C là ánh xạ đa trị.Khi đó bài toán điểm bất động được phát biểu như sau, tìm

Thì bài toán (1.2.5) tương đương với bài toán (1.2.1)

Thật vậy, giả sử x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (1.2.5) nên ta có

F (x∗

) = x∗

.Mặt khác theo cách đặt ta có

∈ C là nghiệm của bài toán (1.2.5)

Nếu F là ánh xạ đơn trị thì bài toán điểm bất động có dạng Tìm:

1.2.4. Bài toán cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tácXét một trò chơi không hợp tác gồm p đối thủ, C ⊆ H là tập lồi khácrỗng, Ci là tập chiến lược của người chơi thứ i Hàm chi phí( tổn thấtcủa người chơi thứ i) là

fi : C1× C2× × Cp → R

Với

C = C1× C2× × Cp;

x1 ∈ C1, x2 ∈ C2, , xp ∈ Cp.Thì chi phí của mỗi đối thủ tương ứng là

f1(x1, x2, , xp) , f2(x1, x2, , xp) , , fp(x1, x2, , xp) ;

x = (x1, x2, , xp) Khi đó bài toán cân bằng Nash được phát biểu như sau Tìm:



≥ 0.Theo cách đặt ta được



≥ 0,

∀xi, yi ∈ Ci, ∀i = 1, 2, , p

(1.2.8)Giả sử x∗

∈ C không là nghiệm của bài toán (1.2.7) nên tồn tại i và một

p

< 0.Điều này trái với (1.2.8) Vậy x∗

∈ C là nghiệm của bài toán (1.2.7)

1.3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng

C ⊆ H là một tập lồi đóng, khác rỗng và f : C × C → R ∪ {+∞} làsong hàm cân bằng xác định trên C, với các giả thiết sau:

(P1) f (., y) là hàm số nửa liên tục trên với mọi y thuộc C;

(P2) f (x, ) là hàm lồi, nửa liên tục dưới và khả dưới vi phân trên C vớimọi x thuộc C;

(P3) f thỏa mãn điều kiện bức trên C tức là tồn tại tập compact D saocho

C ∩ D 6= ∅, ∀x ∈ C\D, ∃y ∈ C; f (x, y) < 0

Định lý 1.3.1 (Ky Fan)

Giả sử C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert −H và

f : C × C → R ∪ {+∞} là song hàm cân bằng xác định trên C Nếu fthỏa mãn (P1) và f (x, ) tựa lồi trên C với mọi x thuộc C Khi đó nếu

C là tập compact hoặc điều kiện bức (P3) được thỏa mãn thì bài toán(1.2.1) có nghiệm

Từ định lí này ta suy ra hệ quả sau

Hệ quả 1.3.1 Cho f : C × C → R ∪ {+∞} là song hàm cân bằng ,

f (., y) là nửa liên tục trên với mọi y ∈ C và f (x, ) là lồi, nửa liên tụcdưới với mọi x ∈ C Giả sử điều kiện bức sau đây thỏa mãn Tồn tại tậpcompact B sao cho

C ∩ B 6= ∅, ∀x ∈ C\B, ∃y ∈ C : f (x, y) < 0

Khi đó bài toán (1.2.1) có nghiệm

Để xét tính duy nhất nghiệm và các phương pháp tìm nghiệm của bàitoán (1.2.1) ta cần có các định nghĩa về tính đơn điệu của song hàm cânbằng sau

Định nghĩa 1.3.1 Giả sử f : C × C → R ∪ {+∞} là song hàm cânbằng Khi đó hàm f được gọi là :

(i) đơn điệu mạnh trên C với hệ số λ > 0, nếu:

(v) giả đơn điệu mạnh trên C với hệ số λ > 0, nếu:

Định nghĩa 1.3.2 Cho C ∈ H và toán tử A : C → R được gọi là:

(i) đơn điệu mạnh trên C với hệ số λ > 0, nếu:

Chứng minh: Giả sử C không bị chặn Khi đó nó thỏa mãn điều kiệnbức sau: Tồn tại hình cầu đóng B sao cho

f y0, x0
+ λ xr − y0 2 → ∞

Điều này mâu thuẫn với (1.3.10) Vậy điều kiện bức (1.3.9) được thỏamãn, khi đó theo hệ quả 1.3.1 thì bài toán (1.2.1) có nghiệm duy nhất.Trường hợp C là Compact, thì chứng minh được suy ra bằng định lý KyFan

Để chứng minh tính duy nhất ta giả sử ngược lại là bài toán có hainghiệm là x∗ và y∗ Khi đó

f (x∗

, y∗

) ≥ 0Và

f (y∗

, x∗

) ≥ 0

14

Theo tính giả đơn điệu mạnh, từ f (x∗

Chương 2

HAI THUẬT TOÁN GIẢI BÀI

TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN

ĐIỆU MẠNH VÀ ÁP DỤNG

Trong chương này, tôi trình bày hai thuật toán giải bài toán cân bằnggiả đơn điệu mạnh trên tập nghiệm của nó Qua đó chứng minh tínhđúng đắn và sự hội tụ của thuật toán và đưa vào áp dụng mô hình kinh

tế thị trường điện

Nội dung của chương này được lấy từ [5], [6], [7]

2.1 Thuật toán và sự hội tụ

Để tìm được tập nghiệm của bài toán cân bằng trong chương này ta

sử dụng các giả thiết sau với song hàm cân bằng f : C × C → R có cáctính chất sau:

(P1) f (., y) là hàm số nửa liên tục trên với mọi y thuộc C;

(P2) f (x, ) là hàm lồi, nửa liên tục dưới và khả dưới vi phân trên C vớimọi x thuộc C

Mệnh đề 2.1.1 Giả sử f : C × C → R là song hàm cân bằng Khi đóvới các giả thiết (P1) , (P2), thì các điều kiện sau đây là tương đương.(i) x∗

là nghiệm của bài toán (1.2.1)

(ii) min {g (x) : x ∈ C} = 0, trong đó hàm g được cho bởi

g (x) = sup {f (x, y) : y ∈ C} ;(iii) x∗

= argmin {f (x∗

, y) : y ∈ C}

16

Chứng minh: Từ (i) ⇒ (ii) Giả sử x∗ là nghiệm của bài toán (1.2.1),do

f (x, x) = 0, ∀x ∈ CNên

Vậy x∗ là nghiệm của bài toán (1.2.1).

Bây giờ ta chứng tỏ (i) tương đương với (iii) Thật vậy x∗ là cực tiểucủa f (x∗

, ) trên C khi và chỉ khi

Do f giả đơn điệu mạnh với hệ số λ nên

f xk, x∗

≤ −f x∗

, xk
− λ xk− x∗ 2

.Thay vào (2.1.4) ta có

xk+1 − x∗ 2

≤ (1 − 2ρλ) xk − x∗ 2

++2ρ−f x∗

xk+1− x∗ 2

≤ [1 − 2ρ (λ − L1)] xk− x∗ 2

− (1 − 2ρL2) xk+1 − xk 2.Theo giả thiết 0 < ρ ≤ 1

2L2 nên ta có

xk+1 − x∗ 2

≤ [1 − 2ρ (λ − L1)] xk− x∗ 2

.Vậy mệnh đề được chứng minh

2.1.1. Thuật toán 1

Bước khởi tạo: Chọn sai số τ ≥ 0 và 0 < ρ ≤ 1

2L2, lấy x0 ∈ CBước lặp thứ k: k = (0, 1, 2, )

Tính xk+1 bằng cách giải bài toán quy hoạch lồi mạnh

(a) Nếu xk+1 − xk ≤ τ (1 − r)

r , với r = p1 − 2ρ (λ − L1), thì dừng:

xk+1 là một nghiệm τ −xấp xỉ của bài toán (1.2.1)

(b) Trái lại chuyển sang bước lặp thứ k với k được thay bằng k + 1.Chú ý: Do xk+1 − x∗

≤ r xk − x∗ với r < 1, ta có

xk+1 − x∗

≤

r

Trong trường hợp này ta được một nghiệm τ −xấp xỉ của bài toán

Dưới đây ta sẽ trình bày một phương pháp dựa vào toán tử chiếu đểgiải bài toán cân bằng giả đơn điệu mạnh không cần điều kiện Lipschitz.2.1.2. Thuật toán 2

Bước khởi tạo: Chọn các dãy số {ak} ⊂ (0, 1) sao cho P∞

ρf xk, y
+ hwk, y − xki ≥ 0,∀y ∈ C,trong đó ρ > 0 là tham số hiệu chỉnh

(a) Nếu wk = 0, và ρk ≤ τ thì dừng thuật toán: xk là τ −nghiệm củabài toán

20

(b) nếu wk 6= 0, chuyển qua bước 2.

Bước 2: Đặt zk+1 = xk + akwk và xk+1 = PC zk+1
, trong đó PC là toán

Khi đó wk là điểm cần tìm ở bước 1 của thuật toán trên

(ii) Do f (x, ) lồi, khả dưới vi phân trên C, nên với mọi y thuộc C,

2.1.3. Sự hội tụ của thuật toán

Để chứng minh sự hội tụ của thuật toán, ta cần đến bổ đề sau:

σk < ∞ Khi đó dãy {ak} hội tụ

Định lý 2.1.1 Giả sử f giả đơn điệu mạnh trên C với hệ số λ và xk

là dãy được tạo ra bởi Thuật toán 2 Khi đó ta có

xk+1− x∗ 2

≤ (1 − 2ρλak) xk − x∗ 2

+ a2k wk 2, ∀k ≥ 0,

trong đó x∗ là nghiệm duy nhất của bài toán (1.2.1) Hơn nữa, nếu

Nên từ (2.1.10) theo Bổ đề 2.1.1 ta có xk+1 − x∗ hội tụ khi k → +∞.Vậy xk+1 bị chặn, do đó tồn tại một dãy con xkj

hội tụ đến x với x

là nghiệm của bài toán cân bằng

Tương tự như trên ta chứng minh được xkj − x hội tụ, nhưng do

xkj → x nên xkj − x → 0 do đó xk+1 − x∗ → 0 khi k → +∞

Vậy định lí được chứng minh

2.2 Áp dụng vào mô hình cân bằng thị trường điện

Giả sử có nc công ty sản xuất điện, công ty thứ i (i = 1, 2, , nc)

sở hữu Ii nhà máy phát điện Gọi x là véc tơ có các thành phần là

xi(i = 1, 2, , ng) với ng là tổng số tất cả các nhà máy phát điện và xi

là lượng điện năng được sản xuất bởi nhà máy phát điện thứ i Giả sửgiá điện p là một hàm affine của σ với σ = n

g

P

i=1

xi là tổng điện năng sảnxuất được của tất cả các nhà máy phát điện, cụ thể là:

Ở đây a0 > 0 là một hằng số(rất lớn) Khi đó lợi nhuận của công ty thứ

i được cho bởi

c0j (xj) = α

0 j

2 x

2

j + βj0xj + γj0, c1j (xj) = αj1xj + β

0 j

βj1+ 1γ

− 1/β 1 j

C =nx = (x1, , xn g)T : xminj ≤ xj ≤ xmaxj , ∀j = 1, 2, , ngo