MỘT số PHƯƠNG PHÁP GIẢI hệ PHƯƠNG TRÌNH và hệ bất PHƯƠNG TRÌNH đại số

Dựa trên sự giúp đỡ chỉ dẫn của thầy Nguyễn Văn Mậu cùng với sự tìm tòi tham khảo tôi đã tổng hợp được một số phương pháp giải hệ phương trình và hệbất phương trình đại số.. Chương 1 trì

Trang 1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Trang 2

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

HÀ NỘI - NĂM 2014

Trang 3

Mục lục

LỜI GIỚI THIỆU 2

1 CÁC DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN 3

1.1 Hệ phương trình tuyến tính 3

1.2 Hệ phương trình đối xứng 10

1.3 Hệ phương trình dạng hoán vị vòng quanh 18

1.4 Hệ phương trình đẳng cấp 24

2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 28

2.1 Phương pháp thế 28

2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ 32

2.3 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số 39

2.4 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức 46

2.5 Phối hợp nhiều phương pháp 55

3 HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 57

3.1 Phương pháp tham số hóa giải hệ bất phương trình 57

3.2 Hệ phương trình và bất phương trình một ẩn 60

Kết luận 70

Tài liệu tham khảo 71

1

Trang 4

LỜI GIỚI THIỆU

Hệ phương trình là một chuyên đề quan trọng trong chương trình học phổ

thông Đề thi đại học các năm hầu hết đều có câu hệ phương trình Đó cũng làmột phần học quan trọng ở đại số lớp 10 Từ khá lâu nay việc tìm cách tổng hợpcác phương pháp để giải hệ phương trình cũng đã được rất nhiều người quan tâm

Hệ bất phương trình thì lại là một lĩnh vực mà ít được mọi người quan tâm

hơn Các tài liệu tổng hợp về phương pháp giải hệ bất phương trình có thể nói làkhá ít

Dựa trên sự giúp đỡ chỉ dẫn của thầy Nguyễn Văn Mậu cùng với sự tìm tòi

tham khảo tôi đã tổng hợp được một số phương pháp giải hệ phương trình và hệbất phương trình đại số

Ngoài phần mở đầu, phần kết luận chung, danh mục các tài liệu tham khảo,cấu trúc của luận văn bao gồm có ba chương

Chương 1 trình bày một số dạng cùng phương pháp và cách giải hệ phươngtrình đại số

Chương 2 trình bày một số phương pháp và những ví dụ về giải hệ bất phươngtrình đại số

Chương 3 xét các hệ chứa tham số và hệ bất phương trình một ẩn

Trang 5

3

Trang 6

Bàitoán+ 1.1 Giải hệ phương trình

TH3:D = 0 và DX = 0 hoặc DY = 0 Khi đó hệ vô nghiệm

Lưu ý : Đôi khi cũng cần một vài biến đổi như đặt ẩn phụ thì hệ mới quy về hệhai phương trình bậc nhất hai ẩn

Sau đây là một số bài toán Và thông thường, với một bài toán ta cũng có thểkết hợp vài phương pháp để giải một cách thuận lợi

= 5 3

x y =1

Lời giải

6u + 5v = 3 9u − 10v = 1

Trang 7

thu được với phương trình còn lại ta được u = , thay vào một trong hai phương

Trang 8

Sau đây ta đưa ra một số bài toán hình học phẳng là những câu trong đề thiđại học mấy năm gần đây như là một ứng dụng của giải hệ phương trình tuyếntính bậc nhất.

a a 10 4

3

(1; −3)

Trang 9

5 5

9

5 ; −

7

Trang 10

Gọi d là đường phân giác trong của góc A, tức là d có phương trình x−y−1 = 0.

A

Hình 1.2:

x + y +3=0

y = −2

Trang 11

2 là trung điểm của HH ′.

1(a + 1) + 1(b + 1) = 0

a − 1 b =1 2

Trang 12

Đường thẳng CH đi qua H (−1; −1) nhận 1 −−→

hệ

Phương pháp tổng quát

P = xy

Lưu ý đôi khi ta cũng cần qua một vài biến đổi như đặt ẩn phụ để đưa hệ vềdạng đối xứng loại 1 Sau đây là một vài bài minh họa

Bài toán 1.8 Giải hệ phương trình sau

x2 + y2 + xy = 7

x + y + xy = 5

Trang 13

ĐặtS = x + y

TH1 S = 3, P = 2 Khi đó x, y là hai nghiệm của phương trình t2 − 3t + 2 = 0

y =2 vàTH2 S = −4, P = 8 Trường hợp này vô nghiệm

Dễ dàng giải được hệ này, ta có hai trường hợp như sau:

Ta thu được hai nghiệm là

y =1

Trang 15

Ta tìm được hai nghiệmx =3 ; x = −1 + √

Trang 16

Phương trình này có hai nghiệm v = −13, v = 6 Vì v ≥ 0 nên v = 6 Suy ra

S − P√= 3 2

Trang 17

√ √ √

v =2

Lời giải

xy 1

xy =4

Hệ phương trình đề bài tương đương với

y x 1

=4

y 1

Trang 18

x(x + y + 1) + y(y + 1) = 2 Bài 2 [Dự bị 1 khối D 2006] Giải hệ phương

x4 − x2y2 + y4 = 13 Bài 4 Giải hệ phương trình

x2 + y2 + xy = 3 Bài 7 Giải hệ phương trình

xy(x + y) = −2 Bài 8 Giải hệ phương trình

xy(x + 1)(y + 1) = 72 Bài 9 Giải hệ phương trình

Trang 19

7x2y2 − (x4 + y4) = 155 Bài 12 Giải hệ phương trình

x2 + 4x + y = 6 Bài 13 Giải hệ phương trình

x + y − √

xy(x2 + y2) = 10 Bài 15 Giải hệ phương trình

(x2 + y2)(1 + x2y2) = 208x2y2 Bài 16 Giải hệ phương trình

Để chứng minh khẳng định trên, không mất tính tổng quát ta giả sử

x1 = min{x1; x2; ; xn}

Khi đó ta có x1 ≤ x2 suy ra f (x1) ≤ f (x2) Từ đó g(x2) ≤ g(x3), suy ra x2 ≤ x3

Từ đó suy ra x1 = x2 = = xn

17

Trang 20

x ≤ y suy ra f (x) ≤ f (y) hay y ≤ z Từ đó f (y) ≤ f (z) hay z ≤ x.

nghiệm duy nhất của phương trình

f (xn) = g(x1)

Nếu hàm số f nghịch biến trên tập A, g đồng biến trên A và (x1; x2; ; xn) là

Để chứng minh khẳng định trên, không mất tính tổng quát, giả sử

Ta có

x1 ≤ x2 suy ra f (x1) ≥ f (x2) hay g(x2) ≥ g(x1) Từ đó x2 ≥ x3,

x1 ≥ x2

Trang 21

là nghiệm của hệ phương trình với xi ∈ A, ∀i = 1, 2, , n thì

Chứng tỏ x1 = x2

Bài toán 1.18 Giải hệ phương trình

Lời giải Nhận thấy vế trái của các phương trình trong hệ đều dương nên hệ chỉ

có nghiệm x, y, z > 0

3 2

2

4

1 2

Trang 22

Tiếp tục quá trình, đến f (xn−2) ≤ f (xn), suy ra g(xn−1) ≤ g(x1) Do đó

h

2+ 3

3

3; x = y = z = t =

Sau đây ta xét một số hệ phương trình dạng hoán vị vòng quanh với hai ẩn số

mà trong chương trình phổ thông còn gọi là hệ phương trình đối xứng loại hai vàcũng có cách giải đặc trưng riêng là trừ từng vế hai phương trình để tạo nhân tử

Trang 23

x − 3y = 4y

Bài toán 1.20 

Lời giải

x2 − 3xy = 4y(1)

Trừ từng vế hai phương trình và nhóm thành nhân tử ta thu được

Khi đó ta xét hai trường hợp

TH1 y = x thế vào (1) ta được x2 + 2x = 0 Từ đây ta thu được hai nghiệm của

Trang 24

3y = y + 2



Bài toán 1.22 Giải hệ phương trình sau

Sau đây là một số bài ta có thể dễ dàng giải được tương tự

Trang 25

y 1 x

vô nghiệm trong trong trường hợp này

y

x x

23

Trang 26

hay x = ± Từ đó thu được hai nghiệm , (− ; − ).

Tiếp đó ta lại làm hoàn toàn tương tự như trên

Sau đây là một số bài toán

2x2 − xy + 3y2 = 1

Lời giải

Từ đây ta có hai trường hợp:

trình có hai nghiệm

5 31 5 31 (− √241 ; − √241 241 ; √

Trang 27

(−1; 1) và (1; −1).

) ; √ ; (−1; 1) và (1; −1)

− 2 − 3 = 0 Từ đó ta có hai trường hợp sau:

= −1 hay x = −y, thế vào phương trình (2) ta có

nghiệm của hệ phương trình là

Đến đây ta cũng có thể giải theo cách tương tự với các bài vừa đưa, tuy nhiên ta

có thêm cách khác, sử dụng phương pháp biến đổi và thế phù hợp cũng khá haynhư sau:

Cộng rồi trừ từng vế hai phương trình trên ta được hệ mới tương đương

25

Trang 28

Thay y = x − 1 vào (1) ta có x2 − x − 6 = 0, phương trình có hai nghiệm

x = −2; x = 3 Từ đó ta tìm được hai nghiệm của hệ phương trình là:

(−2;3 ), (3; 2)

Dưới đây là một vài bài cũng có thể được giải tương tự

Trang 29

27

Trang 31

- TH2: xy = −1 ⇔ y = − , thế vào phương trình (2), ta thu được

Trang 32

10y3 − 19y2 + 10y − 1 = 0

⇔ (y − 1)(10y2 − 9y + 1) = 0

41 41 (1; 1),

Trang 33

Điều kiện: x > 0, từ (1) suy ra y

Sau đây là một số bài có thể giải bằng phương pháp tương tự

Có những bài toán cần phải đặt ẩn phụ để việc giải quyết bài toán trở

nên dễ dàng hơn (thường là khi thấy trong hệ phương trình xuất hiện cụm

ẩn nào đó được lặp lại) Sau đây là một số bài toán minh họa cho phương pháp này

Trang 34

(x + 1)(y + x − 2) = y

v = y + x − 2 , (u

⇔ u = 2y − yv (2y − yv)v = y (3)

(3) ⇔ yv 2 − 2yv + y = 0 ⇔ y(v 2 − 2v + 1) = 0 ⇔ y(v − 1)2

Từ đó ta tìm được hai nghiệm

Trang 35

Bài toán y 2.13.yGiải hệ+phương−trình sau

Lời giải

Hệ đã cho tương đương với

4 4

2

4 (1)

4 (2)

5 4

33

x2 + y = 0

5

xy = − 4 4

2 2 2

⇔

Trang 36

3 ), (1; − 2)

Trang 37

Trang 38

4x4 − 6x2 +

√ + 2 3 − 4x trên [0; ]

Bài toán 2.18 Giải hệ phương trình sau

y =2

3 (x + y)2=7 1

x + y =3

Lời giải

x + y =7 1

x + y + x − y = 3

Trang 39

Trang 40

x y

Sau đây là một số bài toán hệ phương trình cũng sử dụng phương pháp đặt

ẩn phụ

(x + y)(1 + xy) = 18xy

(x2 + y2)(1 + x2y2) = 208x2y2

xy xy

y

y + x (x + y) = 15

2 2

y 2 x2(x2 + y2) = 85

Một số hệ phương trình có thể giải bằng phương pháp hàm số Để nhận biết

có thể giải bằng phương pháp này không ta chú ý hai tính chất sau:

(a; b) Khi đó ta có

Trang 41

2 2

(2x2 22 − 3x + 4)(2y2 − 3y + 4) = 18 (1)(Đề thi chọn đội tuyển trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội)

Lời giải

∆ = (y − 7)2 − 4(y2 − 6y + 14) = −3y2 + 10y − 7 0 ⇔

Trang 42

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

√ (1)

√4x + 2 + 2y + 4 = 6 (2)Lời giải

√ 2y + 4 = 6(4)

√ 2y + 4 > 2.6 + 4 = 16 suy ra √2y = 4 > 16 = 4

nghiệm

√ 2y + 4 < 2 + 4 = 6, tức là mọi

y < 6 phương trình (4) vô nghiệm

Vậy y = 6 là nghiệm duy nhất của phương trình (4)

Trang 43

⇔ 2 sin2 2 = cos 2t + 2 cos t sin2 t

⇔ √ 2 = cos 2t + 2 cos t sin t

Trang 44

Đặt x 1 = u, y − 1 = thay vào hệ đề bài ta có√ (1)

Trang 45

Ta có f ′(u) = √u2 + 1 − ln 3 < 0, ∀u (vì √u2 + 1 1).

y − 1 + logxx − 1 = (x −

2014)2015

Lời giải

(1)(2)

hàm số đều đơn điệu trên hai khoảng đó

Trang 46

Xét hàm số f (u) = u3 + u ta có f ′(u) = 3u2 + 1 > 0∀u Mà theo (3) ta có

16 3

4 1

Sau đây là một số bài toán có thể được giải theo phương pháp hàm số

1 1

x − x = y − y

2y = x3 + 1

Trang 48

⇔ 5(x + y)(x2 − 2xy + y2 2) 0 ⇔ 5(x + y)(x − y)2, điều này đúng vì theo (1)

Điều (2), (3) chứng tỏ đẳng thức xảy ra, do đó x = y Thay y = x vào (1) ta cóphương trình

5 2

Ta xét các trường hơp sau:

ra y4 > 1 Từ đó mâu thuẫn với phương trình (1) Do đó hệ vô nghiệm

Trang 49

Từ (1), (2), ta suy ra x = y = 1.

Lời giải

 3

x − y2 + x = −2.

47

Trang 50

Ta xét các trường hợp sau đây

Trang 51

y2 = 2x

(1) (2)

y = −x3 + 3x + 4 Lời giải

x = 2y3 − 6y − 2

Ta viết lại hệ dưới dạng

 3

2y3 − 6y − 4 = x − 2

Trang 52

(x − 2)(x + 1)2 = 2 − y 2(y − 2)(y + 1) = x − 2 (2)

Trang 53

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 4 x = 4 32 − x ⇔ x = 16 (3)

Từ (1) và (4) dấu bằng xảy ra khi x=16 và y=3 thử vào hệ đã cho thấy thỏa mãn

+

Theo Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta

có:

1 2x + y )=

6 + 80x

2x + y )= (92 + 12)(x2 + (√2x + y)2) ≥ 9x + √

1.3 9.(2x + y)

≥ 9x +

6 2x + y + 9

Suy ra hệ phương trình có nghiệm là (x;y)=(3;3)

Trang 54

Bài toán 2.44 (Đề thi học sinh giỏi quốc gia năm 2009) Giải hệ phương trình:

1 1

2

+ 1 2√2

Trang 56

x =

324

5913 81 + 5913

; 5913

324 ; 324 )

ềGiải phương trình

Trang 58

Bài toán 2.46 (Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình) Giải hệ phương trình

Trang 59

⇔ 4x2y − 5xy2 − x3 + 2y3 = 0

⇔ y − 4 y +5 y − 2=0

+ Với t = 1 ⇔ y = x, do đó 2x2 = 2 ⇔, ta lại ải được nghiệm (1; 1), (−1; −1).√ √

5x2y − 4xy2 + 3y3 − (x + y)(x2 + y2) = 0

Trang 60

Bài toán 3.1 Chứng minh rằng hệ sau có nghiệm

Từ đó suy ra hệ đã cho có nghiệm

Trang 61

Bài toán 3.2 Giải hệ x + y ≤ 1

4 2 y2 b + 4 a

Đối với một số hệ đơn giản, có thể áp dụng phương pháp đồ thị để giải Ởđây, chúng ta sẽ làm quen với phương pháp biểu diễn nghiệm thông qua tham số,được gọi là phương pháp tham biến

Bài toán 3.3 Giải hệ

2a + 2 − 2b 3

x2 + y2 = b + 4xy

⇔ xy = a +1 − b

3 2a + 2 + b 3

Trang 62

2 2

2a + 2 + b 2a + 2 + b

−2 ≤ b ≤ 0

b

2a + 2 + b 3

2

10 4+ 10

2 ≤ y ≤ 2

0 4 +

√ 2

Trang 64

9(1 + a)2 − 24 4

2√6 3

m

α ≤ 2

α4 ≤ m

x2 + 2y ≤ m

y2 + 2x ≤ m

Trang 65

Thay vào hệ đã cho 

(x, y) = (β), α) cũng là nghiệm Suy ra điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất

là α = β). Thế vào hệ, ta được

α2 + 2α ≤ m ⇔ α2 + 2α − m ≤ 0 (3.2)Bất phương trình (3.2) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi

x2 + 2y ≤ −1

(x + 2y) + (y2 + 2x) ≤ −1 − 1

y = −1

Bài toán 3.8 Giải hệ

x2 − 3x + m + 1 ≤ 0

x2 − 5x + 4m + 2 ≤ 0

có nghiệm duy nhất

60

Trang 66

17 − 16m 2

Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi

Trang 67

Nếu ∆′2 = 9 − (2m + 2) ≤ 0 (⇔ m ≥ ) thì (3.6) nhận mọi x là nghiệm Khi

có nghiệm duy nhất

x2 − 5x + 9 − m ≤ 0

x2 − 6x + 2m + 2 ≥ 0

Lời giải Nhận xét rằng bất phương trình

luôn luôn có nghiệm

g(x) := x2 − 6x + 2m + 2 ≥ 0 (3.6)

7 2

đó hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi bất phương trình

f (x) := x2 − 5x + 9 − m ≤ 0 (3.7)

11 7

Trang 68

⇔ x1<=6x3 ⇔ x1 = x3

4m − 11 2

Trang 69

của mỗi bất phương trình.

Trang 70

= 36m2(m + 1) + 6m(m + 1)2m + (m + 1)2

= (m + 1)(48m2 + m + 1)

Hệ này vô nghiệm

Lời giải Điều kiện để (3.15) và (3.16) đều có nghiệm là

Trường hợp này không xảy ra

Phương trình này vô nghiệm

Trang 72

thỏa mãn ều kiện x ≥ 4√ √

[

Trang 73

(3.23)

4|y| − |y − 1| + |y + 3|2 − 8 ≤ 0 (3.24)

0

⇔ −11 ≤ y ≤ 0 (không thỏa mãn với y > 0)

- Với y√≥ 1 73 73 thì |y| = y, |y√− 1| = y − 1, (3.24) ⇔ y2 + 9y + 2 ≤ 0

2 2

3 |(x+1)(x−3)|.3−log3 5 = 5−(y+4)

1 5

Trang 74

Kết luận

Luận văn đã hoàn thành và đạt một số kết quả sau:

1 Giới thiệu tổng quan các hệ phương trình đại số cơ bản với các tính chất vàcách giải chúng

2 Khảo sát một cách chi tiết và hệ thống các bài toán về giải hệ phương trìnhchứa tham số và phương pháp bất đẳng thức trong giải hệ phương trình

3 Đưa ra một số ví dụ áp dụng từ các đề thi đại học, đề thi HSG và Olympicquốc gia và khu vực

Trang 75

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Văn Mậu (1993), Một số phương pháp giải phương trình và bất phương

trình, NXB Giáo dục

[2] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Thủy Thanh, Đặng Huy Ruận (2003),Đại số tuyếntính, NXB Giáo dục bibitem3Nguyễn Văn Mậu, 2004, Đa thức đại số và phânthức hữu tỷ, NXB Giáo dục

[3] Nguyễn Văn Mậu (2006),Bất đẳng thức, định lý và áp dụng, NXB Giáo Dục.[4] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Trần Nam Dũng, Nguyễn Đăng Phất, TrịnhĐào Chiến (2007) Chuyên đề chọn lọc về đa thức và áp dụng, NXB Giáo dục.[5] Trần Nam Dũng (Chủ biên), (2010) Phương trình và hơn thế nữa, NXB

ĐHQG Tp HCM

Định dạng
Số trang	75
Dung lượng	2,56 MB