Tính toán dao động của dầm bằng phương pháp ma trận chuyển tiếp (ma trận truyền

Mặc dù vấn đề tính toán kết cấu là rất quantrọng và đã được nhiều nhà khoa học quan tâm, và đã có nhiều công trình nghiên cứu,song vẫn còn nhiều vấn đề về phương pháp tính toán các kết c

MỤC LỤC

Mục lục 1

Mở đầu 3

1 Tính cấp thiết của đề tài 3

2 Mục đính nghiên cứu 3

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3

4 Phương pháp nghiên cứu 3

5 Đóng góp mới của đề tài 3

Chương 1 5

1.1 Các vấn đề nghiên cứu động lực học công trình cầu 5

1.1.1 Những vấn đề nghiên cứu lý thuyết 5 1.1.2 Những vấn đề nghiên cứu ứng dụng 5 1.2 Các phương pháp nghiên cứu về động lực học công trình cầu 5

1.2.1 Phương pháp nghiên cứu trên mô hình vật lý 5 1.2.2 Phương pháp nghiên cứu mô hình toán 5 1.3 Các thành tựu nghiên cứu chuyên sâu về động lực học công trình cầu 5

1.4 Đặt vấn đề nghiên cứu của đề tài 6

Chương 2 7

2.1 Phương pháp ma trận chuyển tiếp 7

2.1.1 Ma trận chuyển tiếp của đoạn dầm có tiết diện không đổi chịu dao động uốn 7 2.1.2 Ma trận độ cứng của 1 đoạn dầm chịu dao động uốn 11 2.1.3 Lập ma trận chuyển tiếp cho các phần tử rời rạc 11 2.2 Áp dụng để tính tần số riêng của các loại dầm 14

2.2.1 Dầm có tiết diện không đổi, hai đầu gối tựa cứng 14 2.2.2 Dầm có tiết diện không đổi, 2dầu ngàm 16 2.2.3 Dầm có 2 gối tựa đàn hồi ở hai đầu mút 17 2.2.4 Dầm gối trên nhiều gối tựa cứng 19 2.2.5 Dầm liên tục có công xon ở 2 đầu 21 Chương 3 24

3.1 Trình tự tính toán cụ thể 24

3.2 Lập chương trình tính toán bằng phần mềm Mathlab 24

3.3 Tính toán kiểm tra thực tế 24

3.3.1 Tính toán tần số dao động tự do cho cầu Bùng 24

3.3.2 Tính toán tần số dao động tự do cho cầu Đông Hà, Quảng Trị 25

Kết luận và kiến nghị 31

Tài liệu tham khảo 32

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Việt Nam là một đất nước đang phát triển, đời sống kinh tế xã hội đang ngày càngđược cải thiện và nâng cao.Các ngành công nghiệp trong nước cũng đang từng bướcphát triển mạnh mẽ.Ngành xây dựng trong nước cũng đang có những bước phát triểnđáng kể Các công trình xây dựng và giao thông ngày càng được thiết kế với kiến trúc

đa dạng và hiện đại, đòi hỏi phần kết cấu phải theo kịp để đáp ứng yêu cầu kiến trúc vàchất lượng công trình Trước kia, các kết cấu có tiết diện thay đổi thường được đơngiản hóa, tính toán như các kết cấu có tiết diện không đổi tương đương Nhưng ngàynay, yêu cầu cần phải phát triển và hoàn thiện công nghệ tính toán các công trình xâydựng nói chung và các công trình kỹ thuật đặc biệt nói riêng để nâng cao độ chính xáctrong quá trình thiết kế kết cấu Việc tính toán các kết cấu phải có sự chính xác cao vàthuận tiện cho việc sử dụng máy vi tính Mặc dù vấn đề tính toán kết cấu là rất quantrọng và đã được nhiều nhà khoa học quan tâm, và đã có nhiều công trình nghiên cứu,song vẫn còn nhiều vấn đề về phương pháp tính toán các kết cấu vẫn chưa được giảiquyết triệt để Một trong những vấn đề cần được nói đến đầu tiên là dao động của dầm,khung

Hiện nay đã có những công trình tính toán dao động của dầm sử dụng phươngpháp phần tử hữu hạn, tuy nhiên, trong quá trình nghiên cứu tính toán động lực họccủa hệ thanh, vòm, khung, việc áp dụng ma trận chuyển tiếp để tính toán rất có hiệuquả, ngay đối với một hệ phức tạp, việc áp dụng cũng rất thuận lợi Phương pháp nàycòn thích hợp và thuận lợi cho việc dùng máy tính điện tử, vì các phép tính lặp đi lặplại nhiều lần Chính vì những lý do này mà em đưa đến việc nghiên cứu đề tài khoahọc: “Tính toán dao động của dầm bằng phương pháp ma trận chuyển tiếp (ma trậntruyền)”

2 Mục đính nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết tính toán dao động của dầm Áp dụng các công thức, lậpthuật toán và xây dựng chương trình tính bằng phần mềm Mathcad để tính toán daođộng của dầm theo phương pháp ma trận chuyển tiếp

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là dao động của dầm bằng phương pháp ma trận chuyểntiếp.

Phạm vi nghiên cứu là lấy công trình cầu Bùng, Nghệ An và cầu Đông Hà,Quảng Trị

4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp thu thập số liệu, khảo sát thực địa, phương pháp chuyên gia được

sử dụng để tích lũy kiến thức, biết tổng quan tìm vấn đề nghiên cứu, bổ sung, kiểm tra

số liệu và kết quả tính toán

Phương pháp mô hình toán được sử dụng để xác định dao động của dầm trongcông trình thực

5 Đóng góp mới của đề tài

Dựa trên việc sử dụng ma trận chuyển tiếp, tác giả đã đề xuất và lập trình trênMathcad, Mathlab nhằm tự động hóa việc tính toán dao động của dầm Qua đó có thểphục vụ cho việc thiết kế, tính toán kết cấu trong xây dựng nói chung và trong xâydựng cầu đường nói riêng

Chương 1

GIỚI THIỆU CHUNG1.1 Các vấn đề nghiên cứu động lực học công trình cầu

1.1.1 Những vấn đề nghiên cứu lý thuyết

- Nguyên lý làm việc của các loại công trình cầu

- Mô phỏng chế độ dao động của công trình cầu

- Tính toán tần số dao động tự do và cưỡng bức của các bộ phận cũng như của cảkết cấu tổng thể

1.1.2 Những vấn đề nghiên cứu ứng dụng

- Xác định các phương án bố trí không gian cho công trình cầu, tính toán kết cấu

và ổn định công trình

- Đánh giá dao động của công trình cầu

1.2 Các phương pháp nghiên cứu về động lực học công trình cầu

Các nghiên cứu về cầu vượt sông thường tiến hành nhiều nhất bằng các thínghiệm trên mô hình vật lý (MHVL), những năm gần đây mới bắt đầu có nhữngnghiên cứu trên mô hình toán (MHT)

1.2.1 Phương pháp nghiên cứu trên mô hình vật lý

Với những vấn đề lý thuyết cơ bản, các thí nghiệm thường được tiến hành trongcác phòng thí nghiệm thủy lực.Đối với những nghiên cứu ứng dụng, thường tiến hànhtrên các mô hình thực tế, với các điều kiện có tính địa phương tại khu vực xây cầu.Các thí nghiệm về cầu thường được quy định hệ số biến hình để không ảnhhưởng đến tính tương tự

1.2.2 Phương pháp nghiên cứu mô hình toán

Mô hình toán có thể thay thế mô hình vật lý đối với bài toán dao động Vớinhững vấn đề dao động cho các công trình cầu, mô hình toán cũng đang phát triển quáphức tạp, do điều kiện biên quá phức tạp và chưa được nghiên cứu đầy đủ, do đó cònphải tốn nhiều công sức để làm cho mô hình toán 3D ứng dụng được vào thực tế

Điểm còn tồn tại của các nghiên cứu trên mô hình toán là để mở rộng phạm vi sửdụng của mô hình toán, nâng cao độ chính xác tính toán, bảo đảm tính ổn định và hội

tụ của các nghiệm, giảm thiểu dung lượng bộ nhớ và tăng tốc độ tính toán cũng cầnđược nghiên cứu

Trên thế giới, những công trình cầu lớn đều được nghiên cứu trên mô hình toán

và mô hình vật lý.Ở nước ta, mô hình vật lý thì không phải dễ dàng thực hiện.Những

mô hình toán lớn hiện nay lại rất khó ứng dụng cho loại công trình cầu vì kích thướctrụ cầu, mố cầu thường quá nhỏ so với lưới tính toán Những công trình do chưanghiên cứu dự báo tốt hiệu quả kỹ thuật của nó, nên không phát huy tác dụng hoặc dẫnđến những hậu quả xấu

1.3 Các thành tựu nghiên cứu chuyên sâu về động lực học công trình cầu

- Chế độ dao động tổng thể của cả công trình

- Chế độ dao động của từng bộ phận (trụ tháp, dầm cầu )

- Khoảng cách hữu hiệu giữa bộ phận (trụ cầu, mố cầu, trụ tháp )

- Hình dạng kết cấu các bộ phận (trụ cầu, trụ tháp, mặt cắt dầm )

- Tính toán dự báo hệ quả kỹ thuật của công trình

1.4 Đặt vấn đề nghiên cứu của đề tài

Trong tính toán động lực học công trình cầu, quan trọng nhất là xác định các tần

số dao động tự do và cưỡng bức Với nhận thức này trong phạm vi đề tài, tác giả sẽ đisâu nghiên cứu vấn đề sau đây:

Việc tính toán dao động thường thực hiện theo các phương pháp gần đúng (Ritz,Rayleigh ), đối với dự án lớn mới có điều kiện thí nghiệm trên mô hình vật lý Các

mô hình toán với các cách chia lưới khác nhau (hình chữ nhật, cong, tam giác….) cũngđều có khó khăn trong khai báo công trình vì kích thước công trình nhỏ hơn lưới tínhtoán điều đó dẫn đến kết quả còn hạn chế trong mô phỏng tác dụng của công trình Đềtài sẽ đi sâu nghiên cứu sử dụng phương pháp ma trận chuyển tiếp (ma trận truyền) đểtính toán dao động tự do của cầu, sau đó sẽ tính toán cho các công trình thực tế là cầu

Bùng – Nghệ An, cầu Đông Hà – Quảng Trị rồi so sánh với kết quả tính toán từphương pháp giải tích hoặc phương pháp ma trận độ cứng động lực để rút ra nhận xét

Chương 2

Cơ sở lý thuyết

1.5 Phương pháp ma trận chuyển tiếp

1.5.1 Ma trận chuyển tiếp của đoạn dầm có tiết diện không đổi chịu dao động uốn

Xét một đoạn thẳng chiều dài l, ký hiệu đoạn thẳng bằng chữ j, đầu bén phải củađoạn thẳng ký hiệu (j+1) và bên trái ký hiệu (j) Lực cắt và mô men uốn ở hai đầu mútđược biểu diễn theo hình (hình 2.1)

Hình 1.1 Biểu diễn đoạn dầm

Phương trình vi phân của dầm khi dao động tự do

0

2 4

z

(2.1)Trong đó:

z - chuyển dịch uốn của dầm khi dao động

EJ: Độ cứng của dầm khi uốn

m - Khối lượng đơn vị của dầm

Chuyển dịch uốn của dầm khi dao động có thể biểu diễn

Nghiệm của phương trình 2.3 có thể dưới dạng:

y(x) = a1(chx + cosx) + a2(shx + sinx) + a3(chx - cosx) + a4(shx -

sinx) (2.4)

Dạng 2.4 được gọi là dạng Krylôv; ở đây a1, a2, a3, a4 là những hằng số

Bây giờ lần lượt lấy đạo hàm 2.4 theox

) (

) (

) (

) (

) (

) (

) (

) (

) (

) (

) (

3 3

3

2 2

2

c C

s S

c C

s S

s S

c C

s S

c C

c C

s S

c C

s S

s S

c C

s S

c C

a a

y y

2.8 là hệ phức biểu diễn dưới dạng ma trận véc tơ yj+1 của đoạn thẳng ở mút bên

phải (x=1) Để tìm hệ thức trên của đoạn thẳng ở đầu mút bên trái, thay x = 0 vào hệ

phương trình 24 và 2.5 và tập hợp dưới dạng ma trận

1 2 2

3 2 4

a y

1

2 / 1 0

0 0

0 2

/ 1 0

0

0 0

2 / 1 0

0 0

0 2

/ 1



B

(2.12)Thay a từ 2.11 vào 2.8 đưa đến hệ thức liên hệ giữa yj+1 và yj

Trong thực tế tính toán thường gặp ma trận cột

y r M Q

Để tìm liên hệ giữa r và y chúng ta để ý đến liên hệ lực cắt và mômen uốn của

dàm với y'' và y''

0 0

0 EJ

0 0

0 0

1 0

0 0

0 1

(2.19)Thay 2.18 vào 2.13

T-1.rj+1=A B-1.T-1.rjhoặc

rj+1 = T A.B-1 T-1 rj (2.20)Viết ký hiệu dưới dạng

C = T.A.B-1.T-1 là ma trận chuyển tiếp của đoạn thẳng từ mút (j+1)(j)

Hệ thức 2.21 gọi là hệ thức chuyển tiếp của đoạn thẳng 1 khi chịu dao động uốn

Thay thế các ma trận T, A, B-1 từ 2.17, 2.7, 2.12, 2.19 để tính C, kết quả sau khi

nhân liên tiếp 4 ma trận trên, nhận được

) (

) (

) (

/ ) (

) (

) (

) (

/ ) (

/ ) (

) (

) (

) (

/ ) (

/ ) (

) (

2

2 3

2

2 3 3

c C

s S

E J c

C

E J s

S

s S

c C

E J s

S EJ

c C

E J c

C

E J s

S c

C s

S

E J s

S

F J c

C s

S c

C C

Đặt ký hiệu

) ( 2 1

) ( 2 1

) ( 2 1

) ( 2 1

4 3 2 1

s S F

c C F

s S F

c C F

3 2 2

2

2 1

4 3

2

2 3

2 1

4

2 4

2 3

2 1

/ / /

/ F - EJ

/ /

F F

F EJ

F EJ

F F

F EJ

F EJ

EJ F

EJ F

F F

EJ F

F F

Ma trận chuyển tiếp C được dùng để tính toán tần số riêng của hệ dầm, khung khi

dao động uốn, sẽ được áp dụng để tính toán ở phần sau:

Các hàm F1, F2, F3, F4 có thể triển khai thành dạng chuỗi số

! 7 6

/

! 10

! 6 2

/

! 9

! 5 1

/

! 12

! 8

! 4 1

8 4

8 4

2 3

8 4

2

12 8

4 1

=l

1.5.2 Ma trận độ cứng của 1 đoạn dầm chịu dao động uốn

Hình 1.1 Đánh số đoạn dầm chịu dao động uốn

Xét một đoạn thẳng chiều dài l có độ cứng EJ, nếu ta bỏ qua khối lượng của đoạn

thẳng mà chỉ kể đến độ cứng của nó, thì ma trận chuỷen tiếp của đoạn thẳng trong

l

trường hợp này gọi là ma trận độ cứng ( = l = 0) Thay = 0 và chú ý đến dạng triểnkhai (2.25) vào ma trận C ở 2.24 ta nhận được ma trận độ cứng chuyển tiếp

2 0

1.5.3 Lập ma trận chuyển tiếp cho các phần tử rời rạc

Khi tính toán một hệ thống dao động thường gặp những phần tử rời rạc như khốilượng tập trung, độ cứng tập trung (các lò xo) Ta sẽ lần lượt lập ma trận chuyển tiếpcủa các phần tử đó

Hình 1.1 Biểu diễn phần tử rời rạc

a) Ma trận chuyển tiếp có khối lượng tập trung M, momen quán tính  Chuyểndịch thẳng và góc ở 2 phía của j

M = -2j- mô men quán tính của khối lượng M Thay M0 vào biểu thức trên

M F M y

0 0 1 0

0 0 0 1

0

0 1

0

0 0

1 0

0 0

0 1

Ma trận dạng này thường gặp khi tính dầm, trục gối trên gối tựa đàn hồi thẳng vàquay, độ cứng k biểu diễn độ cứng thẳng đứng, K - độ cứng quay

K

J

(F,M)J+1(F,M)J



Hình 1.2 Dạng lò xo

Chuyển dịch thẳng đứng và quay ở trái và phải của j

1 1

Phương trình cân bằng lực momen tại j:

1 1

0 0

J

(F,M) J+1 (F,M) J



Hình 1.3 Hệ có độ cứng và khối lượng tập trung

Ma trận được lập bằng cách cộng 2 ma trận CM và Ck ký hiệu ma trận hỗn hợp

2 2

1.6 Áp dụng để tính tần số riêng của các loại dầm

1.6.1 Dầm có tiết diện không đổi, hai đầu gối tựa cứng

Hình 1.1 Dầm đơn giản kê trên gối tựa

Hệ thức chuyển tiếp ở hai đầu từ phải đến trái của dầm

Điều kiện biên

y

(2)Thay (2)vào (1)

C C

C C

Khai triển thành

0

14 32 34

2 34

4 32

3 4 14

2 12

F C

EJ F C

EJ F

C

F C

(n = 1, 2, )

1.6.2 Dầm có tiết diện không đổi, 2 đầu ngàm

Điều kiện bên phải và trái của dầm

Hình 1.1 Dầm tiết diện không đổi 2 đầu ngàm

F

M

nên từ phương trình 11 ta có

24 23

14 13

C C

C C

Thay

EJ F

C

EJ F

C

EJ F

C

EJ F

C

2 3 24

2 23

3 4 14

2 3 13

/ / / /

l = 4,73

Từ đó, tần số riêng bậc 1

m

EJ l

l  (4,73)2



Dùng hệ thức chuyển tiếp 1 với các điều kiện khác nhau, ta có thể tìm được tần

số riêng của dầm có điều kiện thay đổi

1.6.3 Dầm có 2 gối tựa đàn hồi ở hai đầu mút

Hình 1.1 Dầm kê trên gối đàn hồi

Điều kiện biên

- Trái: 1 1 1

1

.0

2 11 12 14

1

1

1 0

0 1 0

2 1 41 11

(22)Mặt khác, từ hàng thứ 3 của (16), rút ra

1 42 12 2 44 14 2 1 41 11 2

34 1

) (

C k C



y

nên phương trình (25) chỉ thoả mãn khi:

0 )

( 2 14 44 2 12 42

1 41 11 2

32 34

C C

k C

(26)

Đó là phương trình tần số của hệ dầm có 2 gối tựa đàn hồi Các phần tử C31, C34,

C32, C11 áp dụng từng trường hợp cụ thể của dạng dầm Nếu dầm phức tạp như dạngtrục ở ví dụ 2.3 thì các phần tử Cij của (26) lấy từ ma trận kết quả C81 Nếu dầm dạngđơn giản, có tiết diện không đổi, độ cứng EJ thì Cij có thể lấy trực tiếp từ côngthức2.24

1.6.4 Dầm gối trên nhiều gối tựa cứng

Các ma trận chuyển tiếp đã lập được trong các tiết trước không thể dùng tính trựctiếp cho trường hợp trục hoặc dầm gối trên nhieue gối tựa cứng Trong phần này chúng

ta sẽ tìm một dạng ma trận để có thể giải quyết được bài toán này

Cho một dầm có tiết diện không đổi, tựa trên n gối tựa cứng được đánh số từ 1đến n - Xem hình 2-7

Hình 1.1 Dầm trên gối tựa cứng

Cắt dầm thành nhiều đoạn ở các điểm có gối tự - xem hình 2-7b Ta có thể lập

ma trận chuyển tiếp của đoạn thẳng ở 2 đầu có gối tựa cứng, với điều kiện biên

C C

C C

C

C

C

C































14 12 34

32

24

22

1

14

1

Sau khi nhân 2 ma trận với nhau, hệ thức chuyển tiếp của dầm j với 2 đầu có gối tựa cứng có dạng

j

j M C C C C C C









































14 33 34 14 23 24

Hoặc viết gọn

 

j j

j C M















 







Trong đó:





































sC cS EJ sS

EJ cC sC cS s S C C C C

C j



 2

/) 1 ( 1

22 21 12 11

(2.47)

Nếu bỏ qua khối lượng của bản thân dầm, ma trận  

j

C trở thành

 

j















2 /

6

2 / 2

l EJ

EJ l

(2.48)

1.6.5 Dầm liên tục có công xon ở 2 đầu

a) Lập ma trận chuyển tiếp của dầm công xon ở phía trái

Hình 1.1 Dầm liên tục có conson

Hệ thức chuyển tiếp của đoạn dầm 1



(2.49)

Điều kiện biên:

M2 2

1

0 0,

0

M y

Q

   

     

Thay (4.50) vào (4.49)

1

4 4

4 2

4 1

2 4

2 2

2 1

1 4

1 2

1 1

0

















































C C

C

C C

C

C C

C

F

M

y

(2.51)

Từ hàng thứ 2 và 3 của (2.51), rút ra

1 32

21

22

12













































C C

C C

Từ hàng thứ 1 của (4.51), rút ra

0 = C11y1 C12  1

Do đó

1 11

12

1 

C

C

y   Lập liên hệ:

1 11 12 32

31 22 21 2

1







































C C C

C C C y

(2.53) Thay (2.53) vào (2.52) ta có

hoặc

1 2 1 1

11 12 31 32

11 12 21 22

1

.

.

.











































C C C

C C C

C C C C

M

(2.54) Các phần tử C22, C21, C12, C11, C32, C31 tính từ ma trận C ở (2.24) đối với dầm có tính đến trọng lượng bản thân) hoặc (2.26) với dầm bỏ quan trọng lượng bản thân

Với dầm có trọng lượng bản thân

1 1

2 1 2

)

(

1

















































EJ c C sC cS c C cC C

C

Với dầm bỏ qua trọng lượng bản thân