Giải hình không gian bằng cách gắn hệ trục Oxyz

Với hình chóp tứ giác đều S.ABCDChọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Giả sử cạnh hình vuông bằng a và đường cao SO = h Chọn O0;0;0 là tâm của hình vuông Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và đư

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI TOÁN HÌNH

HỌC KHÔNG GIANBước 1 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian

Ta có: Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một Do đó, nếu hình vẽ bài toán cho có chứa các cạnh vuông góc thì ta ưu tiên chọn các cạnh đó làm trục tọa độ Cụ thể:

1 Với hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’

Với hình lập phương

Chọn hệ trục tọa độ sao cho:

A(0; 0; 0); B(a; 0; 0); C(a; a; 0); D(0; a; 0)

A’(0; 0; a); B’(a; 0; a); C’(a; a; 0); D’(0; a; a)

Với hình hộp chữ nhật

Chọn hệ trục tọa độ sao cho:

A(0; 0; 0); B(a; 0; 0); C(a; b; 0); D(0; b; 0)

A’(0; 0; c); B’(a; 0; c); C’(a; b; c); D’(0; b; c)

2 Với hình hộp đáy là hình thoi ABCD.A’B’C’D’

Chọn hệ trục tọa độ sao cho:

• Gốc tọa độ trùng với giao điểm O của hai đường chéo của hình thoi ABCD

• Trục Oz đi qua 2 tâm của 2 đáy

3 Với hình chóp tứ giác đều S.ABCD

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Giả sử cạnh hình vuông bằng a và đường cao SO = h

Chọn O(0;0;0) là tâm của hình vuông

Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và đường cao bằng h Gọi I là trung điểm của AB

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho I(0;0;0)

5 Với hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và SA ⊥ (ABCD)

ABCD là hình chữ nhật AB = a; AD = b và chiều cao bằng h

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0)

Khi đó: B(a;0;0); C(a;b;0); D(0;b;0); S(0;0;h)

6 Với hình chóp S.ABC có ABCD là hình thoi và SA ⊥ (ABCD)

ABCD là hình thoi cạnh a và chiều cao bằng h

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho O(0;0;0)

7 Với hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và Δ ABC vuông tại A

Tam giác ABC vuông tại A có AB = a; AC = b đường cao bằng h.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0)

Khi đó: B(a;0;0); C(0;b;0); S(0;0;h)

8 Với hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và Δ ABC vuông tại B

Tam giác ABC vuông tại B có BA = a; BC = b đường cao bằng h

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho B(0;0;0)

Khi đó: A(a;0;0); C(0;b;0); S(a;0;h)

9 Với hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC), Δ SAB cân tại S và Δ ABC vuông tại C

ΔABC vuông tại C với CA = a; CB = b và chiều cao bằng h

H là trung điểm của AB

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho C(0;0;0)

Khi đó: A(a; 0; 0); B (0; b;0); S(a/2; b/2; h)

10 Với hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC), Δ SAB cân tại S và Δ ABC vuông tại A

hình a)

ΔABC vuông tại A: AB = a; AC = b và chiều cao bằng h

H là trung điểm của AB

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0)

Khi đó: B(a;0;0); C(0;b;0); S(0; a/2; h)

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho H(0;0;0)

11.Hình lăng trụ có đáy là tam giác vuông tại O

Bước 2: Sử dụng các kiến thức về tọa độ để giải quyết bài toán:

Các dạng câu hỏi thường gặp

1.khoảng cách giữa 2 điểm : (ý phụ)

 Khoảng cách giữa hai điểm A(xA;yA;zA) và B(xB;yB;zB) là:

 Lập ptmp(α )đi qua M vàvuông gócvới (d)

 Tìm tọa độ giao điểm H của mp(α) và d

Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì

của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

5.khoảng cách giữa 2 đường thẳng

A, Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau

B khoảng cách giữa 2 đường thẳng //:

-Khoảng cách giữa 2 đường thẳng // bằng khoảng cách từ 1 điểm bất kì thuộc đường thẳng này đến đường

thẳng kia => quay về dạng toán khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng 

uur uur

8.góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

(∆) đi qua M0 có VTCP a r

, mp(α) có VTPT nr =( ; ; )A B CGọi φ là góc hợp bởi (∆) và mp(α)

Aa +Ba +Casin os( , )

9 diện tích thiết diện

 Diện tích tam giác :

uuur uuur uuur

(nếu biết hết tọa độ các đỉnh)

- Thể tích khối hộp: VABCDA’B’C’D’ =[AB AD AA, ]. '

uuur uuur uuur

BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1(THPTQG 2015) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

cạnh SA vuông góc với mặt đáy, SC tạo với mặt đáy một góc 45° Tính theo a thểtích của khối chóp S.ABCD Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC

AB = BC = a AD = a Hình chiếu vuông góc H của S trên mặt phẳng ( ABCD là trung)

điểm của cạnh AB Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng

Bài 3 Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB = 2a , AD = a Trên cạnh

AB lấy điểm M sao cho 2

Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB = a, mặt phẳng

(SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính theo a thể tích hình chóp S.ABCD và bán kínhmặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Đáp số

3 3 6

a

V =

21 6

a

R=

Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên

mp(ABCD) trùng với giao điểm O của hai đường chéo AC và BD Biết

5

2

SA a= AC= a SM = a

, với M là trung điểm cạnh AB Tính theo a thể tích khối chóp

S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC.

Đáp số

3

3 3

Bài 1 (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối A năm 2002) Cho hình chóp tam giác đều S ABC có độ

dài cạnh AB a= Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC Tính theo a diện tích của

tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).

Đặt SG z= >0. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho tia Ox chứa A,

tia Oy chứa B và tia Oz nằm trên đường thẳng qua O và song

song với SG (xem hình vẽ) Khi đó

a

z=

Suy ra

2 10.16

Bài 2 (Trích đề dự bị 1 – ĐH Khối B năm 2007) Trong nửa mặt phẳng (P) cho đường tròn

đường kính AB và điểm C trên nửa đường tròn đó sao cho AC =R Trên đường thẳng vuông góc

với (P) tại A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng 60 o Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC Chứng minh rằng tam giác AHK vuông và tính thể tích khối

chóp S ABC.

Gợi ý:

Ta có AC R BC R= , = 3. Đặt SA z= >0.

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O C≡ , tia Ox chứa A,

tia Oy chứa B và tia Oz nằm trên đường thẳng qua O và

song song với SA (xem hình vẽ) Khi đó:

6.12

Bài 3 (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối D năm 2003) Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với

nhau, có giao tuyến là đường thẳng ∆ Trên ∆ lấy hai điểm A,B với AB a= Trong mặt phẳng

(P) lấy điểm C, trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với ∆ và

a

y z

x A B D

C

Bài 4 (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối D năm 2006) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là

tam giác đều cạnh a, SA=2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M, N lần lượt là hình

chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM.

Gợi ý:

Bài 5 (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối A năm 2011) Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác

vuông cân tại B, AB BC= =2a , hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng

(ABC) Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60 o Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.

(2 ;0;0 ,) (0;0;0 ,) (0;2 ;0 ,)

A a B C a M a( ;0;0 , (2 ;0; ).) S a z

+ Tìm được điểm N a a( ; ;0 )

+ Vectơ pháp tuyến của (SBC) là nuuuurSBC = −( z;0;2 a)

+Vectơ pháp tuyến của (ABC) là nuuuurABC =(0;0;1 )

+ Từ giả thiết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60 o

tìm được z=2a 3⇒S a(2 ;0;2a 3 )

+ Suy ra V SBCNM =a3 3 và d AB SN( , )= 2a1339.

Bài 6 (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối D năm 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác

vuông tại B, BA=3 ,a BC=4a , mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết

2 3

SB= a và SBC· =30 o Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt

phẳng (SAC) theo a.

Gợi ý:

+ Kẻ SO⊥BC, khi đó SO⊥(ABC) Tính được

Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa: Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC),

AD = 3a, AB = 2a, AC = 4a, ·BAC 60= o Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của B trên

AC và CD Đường thẳng HK cắt đường thẳng AD tại E Chứng minh rằng BE vuông góc với CD

và tính thể tích khối tứ diện BCDE theo a.

a

z= −

Vậy E(0;0;

43

a

−

)

a

Vậy BE vuông góc với CD

A12: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của S trên mặt

phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB Góc giữa đường thẳng SC và mặt

phẳng (ABC) bằng 60o Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA

B12: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a Gọi H là hình chóp vuông góc

của A trên cạnh SC Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH) Tính thể tích khối chóp

S.ABH theo a.

Giải:

K O

A

B

C S

Ta có:

50; ;03

ABC 30= Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng tạo với đáy một góc 60o Biết rằng hình chiếu

vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) thuộc cạnh BC Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.

Giải:

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với gốc tọa độ O trùng điểm A.

x> y> z> ;H x y( ; ;0) với H là hình chiếu vuông

góc của của S trên (ABC)

uur uuur uur

là vectơ pháp tuyến của (SAC)

a x

x a

B

C S

Giải hệ (1), (2) và (3), ta được S(2a;-3a;6a)

Suy ra đường cao của hình chóp S.ABC là h z= =S 6a.

21

Bài 1 (Trích đề dự bị 1 – ĐH Khối B năm 2006) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình

thoi cạnh a, góc BAD· =60 ,o SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD và ) SA a= Gọi C’ là trung

điểm của SC Mặt phẳng (P) đi qua AC và song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại ', '' B D Tính

thể tích khối chóp S AB C D ' ' '

Gợi ý:

Gọi O là giao điểm của AC và DB.

Vì tam giác ABD đều nên

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho tia Ox chứa A, tia Oy

chứa B và tia Oz nằm trên đường thẳng qua O và song

song với SA (xem hình vẽ) Khi đó:

V =V +V = SA SC SBuur uuur uuur + SA SC SDuur uuur uuur = + =

Bài 2 (Trích đề ĐH Khối B năm 2006) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật

với AB a AD a= , = 2,SA a= và SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD Gọi M, N lần lượt là)

trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB.

Gợi ý:

+Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O≡ A, tia Ox chứa B, tia

Oy chứa D và tia Oz chứa S (xem hình vẽ) Khi đó:

Vectơ pháp tuyến của (SAC) là uuur uuurAS AC,  = − ( a2 2; ;0 a2 )

x

z

y I

N

C B

A S

Vectơ pháp tuyến của (SBM) là

2

22

V = uuur uur uuurAN AI AB = =

Bài 3 (Trích đề ĐH Khối A năm 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt

bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD Chứng minh rằng AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP.

Gợi ý:

Gọi O là trung điểm AD, khi đó SO⊥(ABCD). Chọn

hệ trục tọa độ Oxyz sao cho tia Ox chứa A, tia Oy

chứa N và tia Oz chứa S (xem hình vẽ) Khi đó:

M

NO

CD

A

BS

Bài 4 (Trích đề ĐH Khối B năm 2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình

vuông cạnh a Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là

trung điểm của BC Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.

Gợi ý:

Gọi O là giao điểm của AC và BD Chọn hệ trục tọa độ

Oxyz sao cho tia Ox chứa A, tia Oy chứa B và tia Oz

chứa S (xem hình vẽ) Đặt SO=z, Khi đó:

EI

O

CD

ABC=BAD= AB BC a AD= = = a Cạnh bên SA vuông góc với đáy là SA a= 2. Gọi H

là hình chiếu của A trên SB Chứng minh rằng tam giác SCD vuông và tính (theo a) khoảng cách

từ H đến mặt phẳng (SCD).

Gợi ý:

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O≡ A, tia Ox chứa B, tia

Oy chứa D và tia Oz chứa S (xem hình vẽ).

D A

B

S

H

Bài 6 (Trích đề ĐH Khối B năm 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh

2a, SA a SB a= , = 3và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N lần lượt là

trung điểm của các cạnh AB, BC Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN.

Gợi ý:

Gọi O là hình chiếu của S trên AB Ta có:

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho tia Ox chứa A, tia Oy

vuông góc với AB và tia Oz chứa S (xem hình vẽ) Khi

S

+ Thể tích của khối chóp S.BMDN là

3

3.3

Bài 7 (Trích đề ĐH Khối A năm 2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang

vuông tại A và D; AB= AD=2 ,a CD a= ; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 o

Gọi I là trung điểm của cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

Gợi ý:

Từ giả thiết suy ra SI ⊥(ABCD). Đặt SI = >z 0

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O I≡ , tia Ox chứa D,

tia Oy vuông góc với AB và tia Oz chứa S (xem hình

a

z=

+ Thể tích khối chóp S.ABCD là

3

3 15

.5

DS

Bài 8 (Trích đề ĐH Khối A năm 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông

cạnh a Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với

DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH =a 3. Tính thể tích khối chóp S.CDNM

và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.

Gợi ý:

Trước hết chứng minh được DM ⊥CN.

.5

a DH

+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O H≡ , tia Ox

chứa N, tia Oy chứa D và tia Oz chứa S (xem hình vẽ).

M

CB

S

+ Thể tích khối chóp S.CDNM là

3

.24

Bài 9 (Trích đề ĐH Khối D năm 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông

cạnh a cạnh bên SA a= , hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H

thuộc đoạn AC, 4

+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O H≡ , tia Ox

song song với tia AB, tia Oy song song với tia AD

và tia Oz chứa S (xem hình vẽ) Khi đó:

S

Ta có SC= SH2+CH2 =a 2 = AC nên tam giác SAC cân tại C do đó M là trung điểm SA Suy

14.48

S BMC

a

Bài 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là bình hành, AD=4 ,a các cạnh bên của hình chóp

bằng nhau và bằng a 6 Tìm côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) khi thể tích của khối chóp S.ABCD lớn nhất.

Gợi ý:

+ Gọi O là giao điểm của AC và BD; M,N lần lượt là

AB và AD Từ giả thiết suy ra

3 Hình lăng trụ tam giác

Bài 1 (Trích đề Dự bị 1- ĐH Khối A năm 2007) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có 1 1 1

Bài 2 (Trích đề dự bị 2 – ĐH Khối D năm 2007) Cho lăng trụ đứng ABC A B C có tất cả các 1 1 1

cạnh đều bằng a, M là trung điểm của đoạn AA Chứng minh 1 BM ⊥ B C1 và tính khoảng cách

giữa hai đường thẳng BM và B C1

Gợi ý:

Gọi O là trung điểm BC và chon hệ trục tọa độ Oxyz có tia Ox chứa

A, tia Oy chứa C và tia Oz chứa trung điểm của B C (xem hình vẽ).1 1

x

y O

Bài 3 (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối D năm 2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có ' ' '

đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB a AA= , ' 2 , '= a A C=3 a Gọi M là trung điểm của đoạn

thẳng ' 'A C , I là giao điểm của AM và ' A C Tính theo a thể tích của khối tứ diện IABC và khoảng

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O B≡ , tia Ox chứa A, tia

Oy chứa C và tia Oz chứa B’ (xem hình vẽ) Khi đó:

x

y

z

3a I

M

C' A'

phương trình: 2− + =x z 0. Vậy khoảng cách từ A đến (IBC) là ( ,( )) | 2 |2 2 5

5( 2) 1

− +

Bài 4 (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối A năm 2008) Cho hình lăng trụ ABC A B C có độ dài ' ' '

cạnh bên bằng 2 ,a đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB a AC a= , = 3và hình chiếu vuông góc

của đỉnh A trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp

+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho tia Ox chứa H, tia Oy

chứa K và tia Oz chứa A’ (xem hình vẽ) Khi đó:

z

K H

O

C' B'

Bài 5 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại B, góc ' ' '