Bai tap danh cho hoc sinh lop 9 tu hoc thi vao cap 3 (1)

a,1 so de thi thu vao hop 10 A.1. KiÕn thøc c¬ b¶n A.1.1. C¨n bËc hai a. C¨n bËc hai sè häc Víi sè d­¬ng a, sè ®­îc gäi lµ c¨n bËc hai sè häc cña a Sè 0 còng ®­îc gäi lµ c¨n bËc hai sè häc cña 0 Mét c¸ch tæng qu¸t: b. So s¸nh c¸c c¨n bËc hai sè häc Víi hai sè a vµ b kh«ng ©m ta cã:

Các dạng toán luyện thi vào lớp 10

A Căn thức và biến đổi căn thức

A.1 Kiến thức cơ bản

A.1.1 Căn bậc hai

a Căn bậc hai số học

- Với số dơng a, số a đợc gọi là căn bậc hai số học của a

- Số 0 cũng đợc gọi là căn bậc hai số học của 0

- Với A là một biểu thức đại số , ngời ta gọi A là căn thức bậc hai của A, A đợc gọi là biểu

thức lấy căn hay biểu thức dới dấu căn

b Quy tắc khai phơng một thơng: Muốn khai phơng một thơng a/b, trong đó a không âm và b dơng

ta có thể lần lợt khai phơng hai số a và b rồi lấy kết quả thứ nhất chí cho kết quả thứ hai

c Quy tắc chia các căn bậc hai: Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho số b dơng ta có thể chia số a cho số b rồi khai phơng kết quả đó

A.1.5 Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

a Đa thừa số ra ngoài dấu căn

- Với hai biểu thức A, B mà B  0, ta có A B2 A B , tức là

+ Nếu A  0 và B  0 thì A B2 A B

+ Nếu A < 0 và B  0 thì A B2  A B

b Đa thừa số vào trong dấu căn

+ Nếu A  0 và B  0 thì A B  A B2+ Nếu A < 0 và B  0 thì A B  A B2

c Khử mẫu của biểu thức lấy căn

- Với các biểu thức A, B mà A.B  0 và B  0, ta có A AB

B  B

d Trục căn thức ở mẫu

1

a Kh¸i niÖm c¨n bËc ba:

- C¨n bËc ba cña mét sè a lµ sè x sao cho x3 = a

2

k k

k

A A

B  B víi A, B mµ B 0, A B . 0

 m n A mn A víi A, mµ A 0

 m A n A m n víi A, mµ A 0

2

Chủ đề 1: Căn thức – Biến đổi căn thức.

Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa căn thức có nghĩa.

Bài 1: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau).

3 x 1 6x 14)

x 2x 1 ) 7 x 5 3x 3 x 1 13)

x 7 3 x 6) 6 5x x 1 12)

2 7x x 3 5) 3 5x 2x 11)

1 2x 4) 7 3x x 10)

14 7x 1 3) 2 x 9)

2x 5 2) 3 x 8)

1 3x 1) 2 2 2 2 2 2                        Dạng 2: Biến đổi đơn giản căn thức Bài 1: Đa một thừa số vào trong dấu căn. 2 2 x 7 x e)

; x 25 x 5) (x

d)

; 5 2 x

c)

0); x (với x 2 x

b)

; 3 5 5 3 a)    Bài 2: Thực hiện phép tính. 3 3 3; 3 3 3 3 15 26 3 15 26

h)

; 2 14 20 2 14 20

g) 7 2 5 7 2 5

f)

; 10 : ) 450 3 200 5 50 (15

c) 2 6 11 2 6 11

e)

; 0,4) 3 2 )( 10 2 3 8 (

b) ; 5 2 6 5 2 6

d)

; 8 7 7 ) 7 14 2 28 (

a)                         Bài 3: Thực hiện phép tính. 10 2 7 15 2 8 6 2 5

c)

5 7 1 : ) 3 1 5 15 2 1 7 14 b)

6 1 ) 3 216 2 8 6 3 2 (

a)               Bài 4: Thực hiện phép tính. 6 2 12 6,5 12 6,5

e) 7 7 4 7 4

d)

2 5 3 5 3

c) 5 3 5) (3 5 3 5) (3

b)

15 4 6) 10 )( 15 (4

)                     a Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau: 5 3 5 3 5 3 5 3

d)

6 5 6 2 5 6 5 6 2 5

c) 1 1 3 3 1 1 3 3

b)

1 24 7 1 1 24 7 1

a)                     Bài 6: Rút gọn biểu thức: 100 99 1

4 3 1 3 2 1 2 1 1 c)

3 4 7 10 48 5 3 5 4 b)

48 13 5 2

6

a)































Bài 7: Rút gọn biểu thức sau:

3

3y 6xy 3x

a

a 4 2a 8 a

a a 1 1 a

a a

1 : ab

a b b

a

a)

2 2

2 2

2 4

C

c)

; 1) 5 4(

1) 5 4(

x với 8 12x x

B

b)

5 4 9

1 y

; 2 5

1 x khi 2y, y 3x x

A

a)

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

3 3

Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức và kỹ năng tính toán.

Bài 1: Cho biểu thức

2 1 x

3 x P

a a A

a) Rút gọn A b) Biết a > 1, hãy so sánh A với A

c) Tìm a để A = 2 d) Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Bài 3: Cho biểu thức

x 1

x 2 x 2

1 2

x 2

1 C

2 2

b : b a

a 1 b a

a M

2 x 1

x

2 x P

1 x 2 2 x

3 x 6 x 5 x

9 x 2 Q

xy y

x : y x

y x y x

y x H

2 3

4

Bài 8: Xét biểu thức .

1 a a a a

a 2 1

a

1 : 1 a

a 1

2 x 2 x

1 x 2 x x

3 9x 3x M

3 x 2 x 1

2 x 3 3 x 2 x

11 x 15 P

1

2

1 2

2

a

a a

a a

a P

a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của a để P > 0

Bài 13: Cho biểu thức: 1

1

1 1

x x

a) Rút gọn A b) Tìm các giá trị nguyen của x sao cho A có giá trị nguyên

Bài 15: Cho biểu thức

2

2 : 1 1

a a a a

a a A

a) Tìm điều kiện để A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A

c) Tìm giá trị nguyên của a để biểu thức A nhận giá trị nguyên

1

1 2 2 : 1 1

x x x x

x x A

a) Rút gọn A b) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên

1 1

1

x

x x

x

a) rút gọn A b) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên

x

x x

x x

1 2

( với x 0 ;x 1 )

a) Rút gọn A b) Tìm các giá trị nguyên của x để

A

6 nhận giá trị nguyên

1 4







x x

1

2 3

3 4 5

1 Thực hiện phép tính, rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai:

5 2 6



 p) 3  53  5  2  32  3 q)

45

36 : 15 3

Bài 2: Tính:

a) 7 48  3 27  2 12: 3b) 7 : 7

7

16 7

1 2 3

3 5 3

2 2 3

3 2 3

4

29

2 2

y xy x y x

xy x



 với x 0 ;y 0 ;x  y

Đẳng thức xảy ra khi f x i i( ) 1,n cùng dấu

 Bất đẳng thức Côsi: a1, a2, …, an là các số không âm, khi đó

b Cho tam thức f(x) = ax2 + bx + c (a  0) Khi đó ta có

 Nếu  0

x -  -b/2a +

f(x) = ax2 + bx + c Cùng dấu với a 0 Cùng dấu với a

 Nếu  0

x -  x1 x2

+f(x) Cùng dấu a 0 Trái dấu a 0 Cùng dấu a

A.2.4 Biến đổi tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a  0) Khi đó ta có

a Rút gọn P b Tính giá trị của P với x  3 2 2

:1

b Tính giá trị của P với x  7 4 3

c Tính giá trị lớn nhất của a để P > a

a Rút gọn P b Tính giá trị của P với x  11 6 5 c Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Bài 5: Cho biểu thức:

2 1

Bài 10: Cho biểu thức: A2x x2 6x 9

a Rút gọn rồi tìm giá trị của A khi a = -5 b Tìm x khi A = 15

Bài 11: Cho biểu thức:

M M .

Bài 12: Cho biểu thức: A3x 1 4x2 9 12x.

a Rút gọn biểu thức A b Tìm giá trị của x để A = 3

4

A x  x  x rồi tìm giá trị của x để A = 3/2

x

+

x

 1

2 Chứng minh rằng A  0 với mọi x 1

3 Với giỏ trị nào của x thỡ A cú giỏ trị lớn nhất Tỡm GTNN đú ?

Bài 17 Cho biểu thức

a Rút gọn P b Tìm các giá trị của x để P < -1/3 c Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 18 Cho biểu thức

Bài 19 Cho biểu thức A x 2 2x2 1 x 8

a Rút gọn biểu thức A b Với giá trị nào của x thì A = -3

Bài 20: Cho biểu thức: A x22 x21 x2 2 x21.

a Tìm điều kiện của x để A có nghĩa b Tính giá trị của A khi x  2

a Tìm điều kiện của x để B có nghĩa b Tĩm x để B > 0

a Tìm điều kiện của a, b để A có nghĩa b Rút gọn A

Bài 25: Cho biểu thức: A x2 6x 9 x26x 9

b b b





 Chứng minh rằng a/b = 9/10

Bài 29 Xét biểu thức

:4

a Rút gọn P b Tìm các giá trị của x để P > 0, P < 0 c Tìm các giá trị của x

để |P| = 1

Bài 30 Cho biểu thức A4x 9x212x4

a Rút gọn A b Tính giá trị của A khi x = 2/7

Bài 31 Cho biểu thức A5x x26x9

B Hệ phơng trình

B.1 Kiến thức cơ bản

b.1.1 Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn

a Phơng trình bậc nhất hai ẩn

 Phơng trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c với a, b, c  R (a2 + b2  0)

 Tập nghiệm của phơng trình bậc nhất hai ẩn:

Phơng trình bậc nhât hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm Tập nghiệm của nó đợc biểu diễn bởi đờng thẳng (d): ax + by = c

b Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn

 Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn:

 Minh họa tập nghiệm của hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn

Gọi (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, khi đó ta có

c Ví dụ: Giải hệ phơng trình :

713

 Trừ vế theo vế hai phơng trình trong hệ để đợc phơng trình hai ẩn

 Biến đổi phơng trình hai ẩn vừa tìm đợc thành phơng trình tích

 Giải phơng trình tích ở trên để biểu diễn x theo y (hoặc y theo x)

 Thế x bởi y (hoặc y bởi x) vào 1 trong 2 phơng trình trong hệ để đợc phơng trình một ẩn

 Giải phơng trình một ẩn vừa tìm đợc ròi suy ra nghiệm của hệ

c Ví dụ

 Giải hệ phơng trình :

2 2

- Xét xem x = 0 có là nghiệm của hệ phơng trình không

- Nếu x 0, ta đặt y = tx rồi thay vào hai phơng trình trong hệ

- Khử x rồi giải hệ tìm t

- Thay y = tx vào một trong hai phơng trình của hệ để đợc phơng trình một ẩn (ẩn x)

- Giải phơng trình một ẩn trên để tìm x từ đó suy ra y dựa vào y = tx

* Lu ý: ta có thể thay x bởi y và y bởi x trong phần trên để có cách giải tơng tự

a Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình vô nghiệm

b Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình có vô số nghiệm? Khi đó hãy tìm dạng tổng quát nghiệm của hệ phơng trình

c Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình có nghiệm duy nhất

Bài 2 Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình : 4

 Khi đó hãy tìm các giá trị của x và y.

Bài 3 Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phơng trình : 2 3

b Nghiệm của hệ phơng trình đã cho có phải là nghiệm của phơng trình 3x - 7y = - 8 không ?

c Nghiệm của hệ phơng trình đã cho có phải là nghiệm của phơng trình 4,5x + 7,5y = 25 không ? Bài 5 Cho hai đờng thẳng (d1): 2x - 3y = 8 và (d2): 7x - 5y = -5

Tìm các giá trị của a để đờng thẳng y = ax đi qua giao điểm của hai đờng thẳng (d1) và (d2)Bài 6 Cho ba đờng thẳng: (d1): y = 2x - 5 (d2): y = 1 (d3): y = (2m - 3)x -1

Tìm các giá trị của m để ba đờng thẳng đồng quy

Bài 8 Tìm các giá trị của a và b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A(-5; -3) và điểm B(3; 1)

12

Bài 9 Tìm các giá trị của m để

P(x) = mx3 + (m + 1)x2 - (4n + 3)x + 5n đồng thời chia hết cho (x - 1) và (x + 2)

a Giải và biện luận hệ phơng trình

b trong trờng hợp hệ có nghiệm duy nhất hãy tìm giá trị của m để nghiệm của phơng trình thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0

Bài 15 Tìm a và b để hệ phơng trình sau có nghiệmcó nghiệm với mọi giá trị của tham số m

Bài 18 Giả sử (x, y) là nghiệm của hệ phơng trình: 2 22 21

a Giải và biện luận theo tham số m

b Tìm các số nguyên m để cho hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x, y là các số nguyên

a Giải và biện luận theo m.

b Với giá trị nào của số nguyên m, hệ có nghiệm (x; y) với x, y là các số nguyên dơng

b Tìm m để hệ có vô số nghiệm, trong đó có nghiệm: x = 1, y = 1

Bài 25 Giải và biện luận hệ phơng trình sau đây theo tham số m: 2 1

b Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x > 0 và y < 0

c Tìm số nguyên n để có nghiệm duy nhất (x; y) mà x, y là các số nguyên

a Giải và biện luận hệ đã cho

b Tìm điều kiện của m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn hệ thức:

2 21

b Xác định m để M thuộc góc vuông phần t thứ nhất

c Xác định m để M thuộc đờng tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng 5

Bài 31 Với giá trị nào của số nguyên m, hệ phơng trình: 4 2

a Giải và biện luận theo m

b Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x; y là các số nguyên

c Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x; y), điểm M(x; y) luôn luôn chạy trên một đờng thẳng cố định

14

d Xác định m để M thuộc đờng tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng 2

2 .Bài 33 Giải và biện các hệ phơng trình:

b Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham số

Bài 35 Cho hệ phơng trình (m là tham số ): 1

Bài 36 Với giá trị nào của x, y, z; ta có đẳng thức sau: 4x2 + 9y2 + 16z2 - 4x - 6y - 8z +3 = 0

Bài 37 Với giá trị nào của m, hệ phơng trình:

Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất Tìm nghiệm đó

Bài 41 Cho x, y là hai số nguyên dơng sao cho: 2 2 71

a Giải và biện luận hệ phơng trình trên

b Không giải hệ phơng trình, cho biết với giá trị nào của m thì hệ phơng trình có nghiệm duy nhất?Bài 43 Cho hệ phơng trình: ( 1) 1

b Giải và biện luận hệ phơng trình

c Tìm giá trị nguyên của a để hệ phơng trình có nghiệm nguyên

d Tìm giá trị của a để nghiệm của hệ thỏa mãn điều kiện x + y nhỏ nhất

Bài 44 Lập phơng trình đờng thẳng đi qua gốc O và song song với AB biết:

A(-1; 1), B(-1; 3)

A(1; 2), B(3; 2)

A(1; 5), B(4; 3)

Bài 45 Cho ba điểm A(-1; 6), B(-4; 4), C(1; 1) Tìm tọa độ đỉnh D của hình bình hành ABCD

Bài 46 Cho bốn điểm: A(0; -5), B(1; -2), C(2; 1), D(2,5; 2,5) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng

Bài 47 Cho bốn điểm A(1; 4), B(3; 5), C(6; 4), D(2; 2) Hãy xác định tứ giác ABCD là hình gì?

15

Bài 48 Tìm giá trị của m để hệ phơng trình sau vô nghiệm, vô số nghiệm: 2( 1) ( 2) 3

b Tìm giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm nguyên

c Tìm giá trị của m để hệ phơng trình có nghiệm dơng duy nhất

b Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện xy nhỏ nhất

Bài 52 Tìm giá trị của a để hệ sau có nghiệm duy nhất:

a Tìm các giá trị nguyên của tham số a hoặc m để hệ phơng trình có nghiệm là số

21

b Tìm giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất

2 Tìm các giá trị của a để hệ phơng trình sau vô nghiệm

b x

a

  

)

 Chú ý: Nếu phơng trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì ta có thể viết

Bài 2 Cho hai phơng trình x2 + p1x + q1 = 0; x2 + q2x + q2 = 0

Chứng minh rằng nếu p p1 2 2(q1q2) thì ít nhất một trong hai phơng trình đã cho có nghiệmBài 3 Với giá trị bào của k thì hai phơng trình sau: 2x2 + (3k + 1)x - 9 = 0; 6x2 + (7k - 1)x - 19 =0

Có ít nhất một nghiệm chung, tìm nghiệm chung đó

Bài 4 Chứng minh rằng phơng trình sau luôn có nghiệm với mọi a, b, c

Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phơng trình trên có nghiệm

Bài 7 Cho phơng trình: ax2 + bx + c = 0 Chứng minh rằng phơng trình đã cho có nghiệm nếu một trong

hai điều kiện sau đợc thỏa mãn

a a(a + 2b + c) < 0

b 5a + 3b + 2c = 0

Bài 8 Tìm các giá trị của k để phơng trình: kx2 - (1 - 2k)x + k - 2 = 0 có nghiệm là số hữu tỉ

Bài 9 Cho phơng trình: 2x2 - 3x + 1 = 0 Gọi x1, x2 là các nghiệm của phơng trình Không giải phơng

trình hãy tìm giá trị các biểu thức sau:

a Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m

b Gọi x1, x2 là các nghiệm của phơng trình Tìm giá trị của m để biểu thức

Bài 14 Tìm các giá trị của m để các nghiệm x1, x2 của phơng trình:

17

a x2 + (m - 2)x + m + 5 = 0 thỏa mãn x12x22 10

b x2 - (m + 3)x + 2(m + 2) = 0 thỏa mãn x1 = 2x2

c x2 - mx + m + 1 = 0 thỏa mãn x1x2 + 2(x1 + x2) -19 = 0

Bài 15 Cho phơng trình bậc hai: mx2 - (5m - 2)x + 6m - 5 = 0

a Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm là hai số đối nhau

b Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau

Bài 16 Cho phơng trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0

Tìm các giá trị của m để hai nghiệm x1, x2 của phơng trình thỏa mãn

A10x x1 2x12x22 đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị đó

Bài 17 Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình

2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = |x1x2 - 2x1 - 2x2|

Bài 18 Cho phơng trình: x2 - mx + m - 1 = 0

a Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m

b Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 1 2

x x P

x2 + ax + b - 1 = 0

x2 + bx + c - 1 = 0

x2 + cx + a - 1 = 0Bài 23 Cho 2 phơng trình:

x2 + 2x + a = 0 (1) và (1 + a)(x2 + 2x + a) - 2(a - 1)(x2 + 1) = 0 (2)

Chứng minh rằng nếu phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì phơng trình (2) vô nghiệm.Bài 24 Cho phơng trình: x2 - 2(m + 1)x + m - 1 = 0

a Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b Chứng minh rằng biểu thức: A = x1(1 - x1) + x2(1 - x2) tron đó x1, x2 là hai nghiệm của phơngtrình không phụ thuộc vào m

Bài 25 Cho phơng trình (m - 1)x2 - 2mx + m + 4 = 0

a Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m

b Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm có tích bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiệm của phơng trình

c Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

d Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn đẳng thức:

502

x x

x  x  

Bài 26 Tìm các giá trị của m và n để hai phơng trình sau tơng đơng

x2 + (4m + 3n)x - 9 = 0; x2 + (3m + 4n)x + 3n = 0

Bài 27 Cho phơng trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm dơng phân biệt x1, x2

a Chứng minh rằng phơng trình cx2 + bx + a = 0 cũng có hai nghiệm dơng phân biệt

b Chứng minh rằng S = x1 + x2 + x3 + x4  4

Bài 28 Cho phơng trình: x2 - (2m + 1)x + m2 + m = 0

a Biết rằng phơng trình có một nghiệm x1 = 2,tìm m rồi tìm nghiệm còn lại

b Tìm các giá trị của m để các nghiệm của phơng trình thỏa mãn bất đẳng thức : -2 < x1 < x2

< 4

Bài 29 Tìm a sao cho nghiệm của phơng trình : x4 + 2x2 + 2ax + a2 + 2a + 1 = 0

Đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

18

Bài 30 Cho a, b, c là ba số dơng khác nhau có tổng bằng 12 Chứng minh rằng trong ba phơng trình sau:

Bài 32 Biết số đo độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là nghiệm của phơng trình bậc hai:

(m - 2)x2 - 2(m - 1)x + m = 0 Tìm m để số đo chiều cao ứng với cạnh huyền là 2

5Bài 33 Tìm giá trị của m để các nghiệm x1, x2 của phơng trình: mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = 0

thỏa mãn điều kiện: x12x22  :1

Bài 34 Cho phơng trình: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m là tham số)

1 Tìm m để phơng trình có nghiệm

2 Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn

3 Xác định m để các nghiệm x1, x2 của phơng trình thỏa mãn x1 + 4x2 = 3

4 Tìm một hệ thức giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m

Bài 39 Tìm giá trị của m để hệ phơng trình sau có nghiệm: 4 2 3 27

x2 + ax + 8 = 0 (1) và x2 + x + a = 0 (2)

Bài 41 Tìm giá trị của m để phơng trình sau có ít nhất một nghiệm x ≥ 0: (m + 1)x2 - 2x + (m - 1) = 0.Bài 42 Xác định m để phơng trình: (m + 1)x2 - 2(m + 2)x + 2(m + 1) = 0 có hai nghiệm cùng âm, cùng dơng, và trái dấu nhau

Bài 43 Tìm giá trị của m để phơng trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt: x3 - m(x + 1) + 1 = 0.Bài 44 Chứng minh rằng phơng trình sau có nghiệm với mọi a, b và c:

Bài 47 Cho phơng trình bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Chứng minh rằng nếu tồn tại số thực α mà af(α) ≤ 0 thì phơng trình có nghiệm

Bài 48 Cho biết các phơng trình ax2 + bx +2 c = 0 và ax2 + bx - c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm Vận dụng bài

Bài 56 Cho các số a, b, c khác nhau đôi một, c ≠ 0 Biết rằng các phơng trình

x2 + ax + bc = 0(1) và x2 + bx + ca = 0 (2) có ít nhất một nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó

Bài 63 Tìm m để phơng trình 3x2 - 4x + 2(m - 1) = 0 có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2

Bài 64 Tìm m để phơng trình (m - 1)x2 - (m - 5)x + (m - 1) = 0 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn -1.Bài 65 Với giá trị nào của m thì hai nghiệm của phơng trình x2 + x + m = 0 đều lớn hơn m?

Bài 66 Tìm giá trị của m để phơng trình sau có ba nghiệm phân biệt:

x3 - (m + 1)x2 + (m2 + m - 3)x - m2 + 3 = 0

Bài 67 Tìm giá trị của m để phơng trình sau có nghiệm: (m - 3)x4 - 2mx2 + 6m = 0

Bài 68 Tìm giá trị của m để phơng trình: mx4 - 10mx2 + m + 8 = 0

1 Có bốn nghiệm phân biệt

2 Có bốn nghiệm x1, x2, x3, x4 (x1< x2< x3< x4) thỏa mãn điều kiện:x4 - x3 = x3 - x2 = x2 - x1.Bài 76 Cho phơng trình ẩn x: x2 - 2(m - 1)x - 3 - m = 0

1 Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm số với mọi m

2 Tìm m sao cho nghiệm x1, x2 của phơng trình thỏa mãn điều kiện: x12x22 10

Bài 78 Cho phơng trình: (m - 1)x2 + 2(m -1)x - m = 0

a Định m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép này

b Định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều âm

Bài 79 Cho phơng trình: x2 - (2m - 3)x + m2 - 3m = 0

a Chứng minh rằng, phơng trình luôn luôn có hai nghiệm khi m thay đổi

b Định m để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 1 < x1 < x2 < 6

Bài 80 Cho hai phơng trình: x2 + x + a = 0 (1) x2 + ax + 1 = 0 (2)

Tìm các giá trị của a để hai phơng trình:

1 Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm với mọi m

2 Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và khi đó hãy tìm giá trị của m để nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia

2 Khi đó hãy tính giá trị của biểu thức: E x1  x2 theo m

Bài 87 Cho phơng trình: 3x2 - mx + 2 = 0 Xác định m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn:

3x1x2 = 2x2 - 2

Bài 88 Cho phơng trình: x2 - 2(m - 1)x - m = 0

20

1 Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m.

Bài 94 Cho phơng trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) Chứng minh rằng, điều kiện cần và đủ để phơng trình

có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia là: 9ac = 2b2

Bài 95 Cho phơng trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) Chứng minh rằng, điều kiện cần và đủ để phơng trình

có hai nghiệm mà nghiệm này gấp k lần nghiệm kia (k > 0) là: kb2 = (k + 1)2 ac

Bài 96 Cho hai phơng trình: x2 + mx + 2 = 0 (1) x2 + 2x + m = 0 (2)

a Định m để hai phơng trình có ít nhất một nghiệm chung

Bài 105 Cho hai phơng trình: 2x2 + mx - 1 = 0 (1) mx2 - x + 2 = 0 (2)

Với giá trị nào của m, phơng trình (1) và phơng trình (2) có nghiệm chung

Bài 106 Giả sử x1 và x2 là hai nghiệm của phơng trình: 3x2 - cx + 2c -1 = 0 Tính theo c giá trị của biểu

Bài 107 Xác định a để 2 phơng trình: x2 + ax + 8 = 0 và x2 + x + a = 0 có nghiệm chung

Bài 108 Cho phơng trình: 2x2 + 6x + m = 0 Với giá trị nào của tham số m, phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: 1 2

1 Chứng minh rằng phơng trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m.

2 Đặt x = t + 2 Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phơng trình f(x) = 0 có hai nghiệm lớn hơn 2

Bài 112 Cho phơng trình: x2 - (2m + 1)x + m2 + m - 6

1 Định m để phơng trình có hai nghiệm đều âm

2 Định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x13 x23 50

Bài 114 Cho phơng trình: x2 - 6x + m = 0 Với giá trị nào của tham số m, phơng trình có 2 nghiệm phânbiệt x1, x2 thỏa mãn x13x23 72

Bài 116 Cho phơng trình: x2 - (m - 1)x - m2 + m - 2 = 0

1 Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m

2 Với giá trị nào của tham số m, biểu thức: E x 12x22 đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 117 Cho hai phơng trình: x2 + a1x + b1 = 0 và x2 + a2x + b2 = 0

Cho biết a1a2 ≥ 2(b1 + b2) Chứng minh ít nhất một trong hai phơng trình đã cho có nghiệm

1 Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x12x22 x1x2

2 Lập một hệ thức giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m

1 Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m

2 Với giá trị nào của tham số m, biểu thức: E x 12x22 đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 122 Cho phơng trình: (a - 3)x2 - 2(a - 1)x + a - 5 = 0

3 Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: -1 < x1 < x2 < 1

4 Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2, hãy lập một hệ thức giữa x1, x2 không có m

Bài 124 Cho phơng trình: x2 - 2(m - 1)x + m - 3 = 0

1 Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có nghiệm với mọi m

2 Xác định m để phơng trình có hai nghiệm đối nhau

Bài 125 Cho phơng trình: x2 + ax + b = 0 Xác định a và b để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2thỏa mãn: x1 - x2 = 5 và x13 x32 35 Tính các nghiệm đó

Bài 126 Giả sử phơng trình: ax2 + bx + c = 0; (a, b, c khác 0) có hai nghiệm phân biệt trong đó có đúng một nghiệm dơng x1 thì phơng trình: ct2 + bt + a = 0 cũng có hai nghiệm phân biệt trong đó t1 > 0 thỏa mãn: x1 + t1 ≥ 2

Bài 130 Cho phơng trình: 2x2 – (2m + 1)x + m2 – 9m + 39 = 0

1 Giải phơng trình khi m = 9

2 Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt

3 Xác định m để phơng trình có hai nghiệm mà một nghiệm gấp đôi nghiệm còn lại Tìm các nghiệm đó

Bài 131 Cho phơng trình: x2 + ax + b = 0 Xác định a và b để phơng trình có hai nghiệm là a và b.Bài 132 Cho f(x) = (4m - 3)x2 - 3(m + 1)x + 2(m + 1)

1 Khi m = 1, tìm nghiệm của phơng trình f(x) = 0

2 Xác định m để f(x) viết đợc dới dạng một bình phơng

3 Phơng trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Lập một hệ thức giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m

Bài 138 Giả sử phơng trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Xác định m

để biểu thức: E x 12x2210x x1 2 đạt giá trị nhỏ nhất Tính min E

22

Bài 140 Cho phơng trình: x - 2(m + 1)x + 4m = 0

a Chứng minh rằng với mọi m, phơng trình luôn luôn có nghiệm Tìm m để phơng trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó

b Xác định m để phơng trình có một nghiệm x = 4 Tính nghiệm còn lại

Bài 141 Cho phơng trình: x2 - mx + m -1 = 0 Có 2 nghiệm x1, x2 Với giá trị nào của m, biểu thức:

   đạt giá trị lớn nhất Tìm giá trị lớn nhất đó.

Bài 142 Cho a là số thực khác -1 Hãy lập một phơng trình bậc hai có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn các

a Với giá trị nào của a, phơng trình có nghiệm kép Tính các nghiệm kép

b Xác định a để phơng trình có hai nghiêm phân biệt lớn hơn -1

Bài 146 Cho phơng trình: x2 - ax + a + 1 = 0 có hai nghiệm là x1 và x2

a Không giải phơng trình, hãy tính giá trị của biểu thức:

a Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm với mọi m

b Chứng minh rằng có một hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

Bài 148 Cho phơng trình: ax2 + (ab + 1)x + b = 0

a Chứng minh rằng với mọi a, b phơng trình đã cho đều có nghiệm

b Muốn cho phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất bằng 1/2 thì a và b phải bằng bao nhiêu?Bài 149 Cho phơng trình: x2 - 2mx - 2m - 1 = 0

a Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m

b Tìm biểu thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m

c Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 1 2

52

x x

x  x  .

Bài 150 Cho phơng trình: (m - 1)x2 - 2(m + 1)x + m = 0

a Giải và biện luận phơng trình theo m

b Khi phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2:

a Chứng minh phơng trình luôn có nghiệm với mọi m

b Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1x22

Bài 153 Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình: x2 - 3x + a = 0

Gọi t1, t2 là hai nghiệm của phơng trình: t2 - 12t + b = 0

Bài 2: Giải các phơng trình sau bằng cách nhẩm nghiệm:

1) 3x2 – 11x + 8 = 0 ; 2) 5x2 – 17x + 12 = 0 ;

3) x2 – (1 + 3)x + 3 = 0 ; 4) (1 - 2)x2 – 2(1 + 2)x + 1 + 3 2 = 0 ;5) 3x2 – 19x – 22 = 0 ; 6) 5x2 + 24x + 19 = 0 ;

7) ( 3 + 1)x2 + 2 3x + 3 - 1 = 0 ; 8) x2 – 11x + 30 = 0 ;

9) x2 – 12x + 27 = 0 ; 10) x2 – 10x + 21 = 0.

Dạng 2: Chứng minh phơng trình có nghiệm, vô nghiệm.

Bài 1: Chứng minh rằng các phơng trình sau luôn có nghiệm.

1) x2 – 2(m - 1)x – 3 – m = 0 ; 2) x2 + (m + 1)x + m = 0 ;

3) x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0 ; 4) x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 = 0 ;

5) x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + 2 = 0 ; 6) x2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = 0 ;

7) x2 – 2mx – m2 – 1 = 0 ; 8) (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x – 3 + m = 0 9) ax2 + (ab + 1)x + b = 0

Bài 2:

a) Chứng minh rằng với a, b , c là các số thực thì phơng trình sau luôn có nghiệm:

(x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0b) Chứng minh rằng với ba số thức a, b , c phân biệt thì phơng trình sau có hai nghiệm phân biết:

x) (ẩn 0 c x

1 b x

x2 + 2ax + 4b2 = 0 (1)

x2 - 2bx + 4a2 = 0 (2)

x2 - 4ax + b2 = 0 (3)

x2 + 4bx + a2 = 0 (4)Chứng minh rằng trong các phơng trình trên có ít nhất 2 phơng trình có nghiệm

c) Cho 3 phơng trình (ẩn x sau):

(3) 0 c b

1 x b a

b a 2a cx

(2) 0 b a

1 x a c

a c 2c bx

(1) 0 a c

1 x c b

c b 2b ax

2 2 2

Biết a ≠ 0 và 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh rằng phơng trình đã cho có hai nghiệm

b) Chứng minh rằng phơng trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có hai nghiệm nếu một trong hai điềukiện sau đợc thoả mãn: a(a + 2b + 4c) < 0 ; 5a + 3b + 2c = 0

Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phơng trình bậc hai nhờ nghiệm của phơng trình bậc hai cho trớc.

Bài 1: Gọi x1 ; x2 là các nghiệm của phơng trình: x2 – 3x – 7 = 0.Tính:

4 2

4 1

3 2

3

1

1 2 2 1 2

1

2 1

2 2

2

1

x x F

; x x

E

; x 3x x 3x D

; 1 x

1 1

x

1

C

; x x B

; x x

Lập phơng trình bậc hai có các nghiệm là

1 x

1

và 1 x

3xx5x3xC

;x

1x

11x

xx

x1x

xx

xB

;x3x2xx3x2xA

2

2 1

2 2 1

2 2 2 1

2 1

2 2 1 1

2 1

2 2

1 2 1

2 2 1

3 2 2

2 1

3 1

q

và 1 q

1

và 72 10

x

1 x y

và x

1 x

1 2

1

1

2 2

1 1

2 2 1

x

2xx

2xD

;xxC

;1x

x1x

xB

;2x3x2x3xA

2 2 1 1

x y x y b) 2 x y 2 x y a)

Bài 8: Cho phơng trình x2 + x – 1 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2 Hãy thiết lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn:

; 3x 3x y y y y x x x x y y a)

2 1 2 2 2 2 2 1

2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1

Bài 9: Cho phơng trình 2x2 + 4ax – a = 0 (a tham số, a ≠ 0) có hai nghiệm x1 ; x2 Hãy lập phơng trình

2 1 2

1 2

y

1 y

1

và x

1 x

1 y

- Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm

- Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó

x12m212xx

2 2

Xác định m để phơng trình có ít nhất một nghiệm.

b) Cho phơng trình: (m2 + m – 2)(x2 + 4)2 – 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2 = 0 Xác định m để phơngtrình có ít nhất một nghiệm

Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm của phơng trình ax 2 + bx + c = 0 thoả mãn điều kiện cho

trớc.

Bài 1: Cho phơng trình: x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0

1) Xác định m để phơng trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó

2) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 4 Tính nghiệm còn lại

3) Với điều kiện nào của m thì phơng trình có hai nghiệm cùng dấu (trái dấu)

4) Với điều kiện nào của m thì phơng trình có hai nghiệm cùng dơng (cùng âm)

5) Định m để phơng trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia

6) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 – x2 = - 2

7) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 sao cho A = 2x1 + 2x2 – x1x2 nhận giá trị nhỏ nhất

Bài 2: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra:

a) Cho phơnmg trình: (m + 2)x2 – (2m – 1)x – 3 + m = 0 Tìm điều kiện của m để phơng trình

có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia

b) Ch phơng trình bậc hai: x2 – mx + m – 1 = 0 Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 saocho biểu thức

)xx2(1x

x

3x2xR

2 1

2 2

2 1

2 1









 đạt giá trị lớn nhất Tìm giá trị lớn nhất đó

c) Định m để hiệu hai nghiệm của phơng trình sau đây bằng 2

mx2 – (m + 3)x + 2m + 1 = 0

Bài 5: Cho phơng trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

CMR điều kiện cần và đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia là 9ac =2b2

Bài 6: Cho phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để

ph-ơng trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp k lần nghiệm kia (k > 0) là : kb2 = (k + 1)2.ac

Dạng 6: So sánh nghiệm của phơng trình bậc hai với một số.

a Chứng minh rằng phơng trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m

b Đặt x = t + 2 Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phơng trình f(x) = 0 có hai nghiệm lớn hơn 2

Bài 3: Cho phơng trình bậc hai: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0

a) Với giá trị nào của tham số a, phơng trình có nghiệm kép Tính các nghiệm kép

b) Xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn – 1

Bài 4: Cho phơng trình: x2 + 2(m – 1)x – (m + 1) = 0

a) Tìm giá trị của m để phơng trình có một nghiệm nhỏ hơn 1 và một nghiệm lớn hơn 1

b) Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm nhỏ hơn 2

Bài 5: Tìm m để phơng trình: x2 – mx + m = 0 có nghiệm thoả mãn x1 ≤ - 2 ≤ x2

Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình bậc hai không phụ thuộc tham số Bài 1:

a) Cho phơng trình: x2 – mx + 2m – 3 = 0 Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình không phụ thuộc vào tham số m

26

b) Cho phơng trình bậc hai: (m – 2)x – 2(m + 2)x + 2(m – 1) = 0 Khi phơng trình có nghiệm, hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.

c) Cho phơng trình: 8x2 – 4(m – 2)x + m(m – 4) = 0 Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập với m, suy ra vị trí của các nghiệm đối với hai số – 1

và 1

Bài 2: Cho phơng trình bậc hai: (m – 1)2x2 – (m – 1)(m + 2)x + m = 0 Khi phơng trình có nghiệm, hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m

Bài 3: Cho phơng trình: x2 – 2mx – m2 – 1 = 0

a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm x1 , x2 với mọi m

b) Tìm biểu thức liên hệ giữa x1 ; x2 không phụ thuộc vào m

c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn:

2

5x

xx

x1

2 2

1   .

Bài 4: Cho phơng trình: (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = 0

a) Giải và biện luận phơng trình theo m

b) Khi phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2:

Định m để sao cho phơng trình (2) có một nghiệm bằng k (k ≠ 0) lần một nghiệm của phơng trình (1),

ta có thể làm nh sau:

i) Giả sử x0 là nghiệm của phơng trình (1) thì kx0 là một nghiệm của phơng trình (2), suy ra hệ

phơng trình:

(*) 0 c' kx b' x k a'

0 c bx ax

0 2 2 0 2

Giải hệ phơng trình trên bằng phơng pháp thế hoặc cộng đại số để tìm m

ii) Thay các giá trị m vừa tìm đợc vào hai phơng trình (1) và (2) để kiểm tra lại

2/ Định giá trị của tham số m để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với nhau.

Xét hai phơng trình:

ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (3)a’x2 + b’x + c’ = 0 (a’ ≠ 0) (4)Hai phơng trình (3) và (4) tơng đơng với nhau khi và chỉ khi hai phơng trình có cùng 1 tập nghiệm (kể cả tập nghiệm là rỗng)

Do đó, muỗn xác định giá trị của tham số để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với nhau ta xét hai trờnghợp sau:

i) Trờng hợp cả hai phơng trinhg cuùng vô nghiệm, tức là:

Giải hệ trên ta tịm đợc giá trị của tham số

ii) Trờng hợp cả hai phơng trình đều có nghiệm, ta giải hệ sau:

(4) (3 )

( 4)

P P

S S

0 Δ

0 Δ

Chú ý: Bằng cách đặt y = x2 hệ phơng trình (*) có thể đa về hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn nh sau:

c ay bx

Để giải quyết tiếp bài toán, ta làm nh sau:

- Tìm điều kiện để hệ có nghiệm rồi tính nghiệm (x ; y) theo m

- Tìm m thoả mãn y = x2

- Kiểm tra lại kết quả

Bài 1: Tìm m để hai phơng trình sau có nghiệm chung: 2x2 – (3m + 2)x + 12 = 0 và 4x2 – (9m – 2)x+ 36 = 0

Bài 2: Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó:

a) 2x2 + (3m + 1)x – 9 = 0; 6x2 + (7m – 1)x – 19 = 0

b) 2x2 + mx – 1 = 0; mx2 – x + 2 = 0

27

c) x – mx + 2m + 1 = 0; mx – (2m + 1)x – 1 = 0.

Bài 3: Xét các phơng trình sau: ax2 + bx + c = 0 (1) cx2 + bx + a = 0 (2)

Tìm hệ thức giữa a, b, c là điều kiện cần và đủ để hai phơng trình trên có một nghiệm chung duynhất

Bài 4: Cho hai phơng trình: x2 – 2mx + 4m = 0 (1) x2 – mx + 10m = 0 (2)

Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình (2) có một nghiệm bằng hai lần một nghiệm của

ph-ơng trình (1)

Bài 5: Cho hai phơng trình: x2 + x + a = 0 và x2 + ax + 1 = 0

a) Tìm các giá trị của a để cho hai phơng trình trên có ít nhất một nghiệm chung

b) Với những giá trị nào của a thì hai phơng trình trên tơng đơng

Bài 6: Cho hai phơng trình: x2 + mx + 2 = 0 (1) và x2 + 2x + m = 0 (2)

a) Định m để hai phơng trình có ít nhất một nghiệm chung

5t 2t t 1 t

t

c)

1 2x

3 x 3 x

1 2x

b)

6 1 x

3 x 2 x

x

a)

2 2

A Loại

B A

0) (hayB 0 A B

A Loại

c)

14 5x 3x 2

x b) 1 x 11 3x 2x

a)

2 2

2 2

2 2

x x 2 2x x

c)

3 2x x 1 2x 2 x b) 3 x x 1 x

a)

2 2

4 2

2 4

2 2

   

7.

3x x 5 3x x k) 6 3 x 2x

13x 3

5x 2x

2x

i)

0 x

4 3

x 10 x

48 3

x h) 0 24 3 3x 2x 5 1 3x 2x

3

g)

0 6 4x x 10 4x x

21 f)

0 4 5 x x

3x x

5 x x

e)

0 23 x

1 x 16 x

1 x 4 d) 0 3 x x 2 x x

c)

2 2

2 2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

2 2x 9

x

3 2x x d) 4 x

2 x x 4

3 x 1 x

4x b) 4

1 1 x

3 1

2 2

2 x

1 2x 4 2 x

1x

1 x x 1 x x f) 3 x 2 x 1 4x

4x

e)

2 x 4 3x x d) 2 x 1 6x

2x

c)

1 x 9 x 2x b) 14 x 4x

x

a)

3 2

3 2

2

3 2

2 2

- Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác

định đợc chỉ một giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số tơng ứng của x và x đợc gọi làbiến số

- Hàm số có thể cho bởi bảng hoặc công thức

a Khái niệm hàm số bậc nhất

- Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax + b Trong đó a, b là các số cho trớc và a

- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b

- Song song với đờng thẳng y = ax, nếu b 0, trùng với đờng thẳng y = ax, nếu b = 0

* Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 0)

Bớc 1 Cho x = 0 thì y = b ta đợc điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy.

Cho y = 0 thì x = -b/a ta đợc điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành

Bớc 2 Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm P và Q ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b

d Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng

Cho hai đờng thẳng (d): y = ax + b (a 0) và (d’): y = a’x + b’ (a’0) Khi đó

e Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b (a 0)

 Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox

- Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đó A là giao

điểm của đờng thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đờng thẳng y = ax + b và có tung độ dơng

- Đờng thẳng đi qua điểm A(x0, 0) và B(0; y0) với x0.y0 0 là

- Hàm số y = ax2 (a 0) xác đinh với mọi giá trị của c thuộc R và:

+ Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0

+ Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0

Công thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng

Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x1, y1) và B(x2, y2) Khi đó

- Độ dài đoạn thẳng AB đợc tính bởi công thứcAB (x B  x A)2(y B  y A)2

- Tọa độ trung điểm M của AB đợc tính bởi công thức ;

Quan hệ giữa Parabol y = ax 2 (a 0) và đờng thẳng y = mx + n (m 0)

Cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) và đờng thẳng (d): y = mx + n Khi đó

- Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ phơng trình

- Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phơng trình ax2= mx + n (*)

- Số giao điểm của (P) và (d) là số nghiệm của phơng trình (*)

+ Nếu (*) vô nghiệm thì (P) và (d) không có điểm chung

+ Nếu (*) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau

+ Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt

Ví dụ minh học

Bài tập chọn lọc

Bài 1 Cho hai hàm số: y = x và y = 3x

a Vẽ đồ thị của hai hàm số đó trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy

b Đờng thẳng song song với trục Ox, cắt Oy tại điểm có tung độ bằng 6, cắt các đờng thẳng: y

= x và y = 3x lần lợt ở A và B Tìm tọa độ các điểm A và B, tính chu vi, diện tích tam giác OAB

Bài 2: Cho hàm số y = - 2x và 1

2

y x

a Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy đồ thị của hai hàm số trên;

b Qua điểm (0; 2) vẽ đờng thẳng song song với trục Ox cắt đờng thẳng 1

2

y x và y = - 2x lầnlợt tại A và B Chứng minh tam giác AOB là tam giác vuông và tính diện tích của tam giác

a Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến

b Tìm các giá trị của m, biết rằng đờng thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 2) Vẽ đồ thị của hàm số với giá trị tìm đợc của m

c Chứng minh rằng khi m thay đổi thì các đờng thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định.Bài 5: Cho hàm số: y = (3m – 2)x – 2m

a Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2

b Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2

c Xác định tọa độ giao điểm của hai đồ thị ứng với giá trị của m tìm đợc ở câu a, b

31

Bài 6: Cho ba đờng thẳng y = -x + 1, y = x + 1 và y = -1.

a Vẽ ba đờng thẳng đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy

b Gọi giao điểm của đờng thẳng y = -x + 1 và y = x + 1 là A, giao điểm của đờng thẳng y = -1 với hai đờng thẳng y = -x + 1 và y = x + 1 theo thứ tự là B và C Tìm tọa độ các điểm A, B, C

c Tam giác ABC là tam giác gì? Tính diện tích tam giác ABC

Bài 7: Cho đờng thẳng (d): ;y = - 2x + 3

a Xác định tọa độ giao điểm A và B của đờng thẳng d với hai trục Ox, Oy, tính khoảng cách từ

điểm O(0; 0) đến đờng thẳng d

b Tính khoảng cách từ điểm C(0; -2) đến đờng thẳng d

Bài 9: Tìm giá trị của k để ba đờng thẳng:

Bài 10: Cho hai đờng thẳng: y = (m + 1)x - 3 và y = (2m - 1)x + 4

a Chứng minh rằng khi 1

2

m  thì hai đờng thẳng đã cho vuông góc với nhau

b Tìm tất cả các giá trị của m để hai đờng thẳng đã cho vuông góc với nhau

Bài 11: Xác định hàm số y = ax + b trong mỗi trờng hợp sau:

a Khi a  3, đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng  3.

b Khi a = - 5, đồ thị hàm số đi qua điểm A(- 2; 3)

c Đồ thị hàm số đi qua hai điểm M(1; 3) và N(- 2; 6)

d Đồ thị hàm số song song với đờng thẳng y 7x và đi qua điểm 1;7 7

Bài 12: Cho đờng thẳng: y = 4x (d)

a Viết phơng trình đờng thẳng (d1) song song với đờng thẳng (d) và có tung độ gốc bằng 10

b Viết phơng trình đờng thẳng (d2) vuông góc với đờng thẳng (d) và cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng – 8

c Viết phơng trình đờng thẳng (d3) song song với đờng thẳng (d) cắt trục Ox tại A, cắt trục Oy tại B và diện tích tam giác AOB bằng 8

Bài 13: Cho hàm số: y = 2x + 2 (d1) 1

22

y x (d2)

a Vẽ đồ thị của hai hàm số đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy

b Gọi giao điểm của đờng thẳng (d1) với trục Oy là A, giao điểm của đờng thẳng (d2) với trục

Ox là B, còn giao điểm của đờng thẳng (d1) và (d2) là C Tam giác ABC là tam giác gì? Tìm tọa độ các điểm A, B, C

c Tính diện tích tam giác ABC

Bài 14: Cho các hàm số sau: y = - x - 5 (d1) ; 1

4

y x (d2) ; y = 4x (d3)

a Vẽ đồ thị của các hàm số đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy

b Gọi giao điểm của đờng thẳng (d1) với đờng thẳng (d2) và (d3) lần lợt là A và B Tìm tọa độ các điểm A, B

c Tam giác AOB là tam giác gì? Vì sao?

d Tính diện tích tam giác AOB

Bài 15: Cho hai đờng thẳng: y = x + 3 (d1) và y = 3x + 7 (d2)

a Vẽ đồ thị của các hàm số đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy

b Gọi giao điểm của đờng thẳng (d1) và (d2) với trục Oy lần lợt là A và B Tìm tọa độ trung

điểm I của đoạn AB

c Gọi J là giao điểm của hai đờng thẳng (d1) và (d2) Chứng minh tam giác OIJ là tam giác vuông Tính diện tích của tam giác đó

Bài 16: Cho hai đờng thẳng: y = (k - 3)x - 3k + 3 (d1) và y = (2k + 1)x + k + 5 (d2)

Tìm các giá trị của k để:

a (d1) và (d2) cắt nhau

b (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm trên trục tung

c (d1) và (d2) song song với nhau

d (d1) và (d2) vuông góc với nhau

e (d1) và (d2) trùng nhau

Bài 17: Cho hàm số y = (m + 3)x + n (m ≠ - 3) (d) Tìm các giá trị của m, n để đờng thẳng (d):

a Đi qua điểm A(1; - 3) và B(- 2; 3)

32

b Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 3, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 3 3.

F

a và đờng thẳng (d):

14

y a

 (a ≠ 0) Gọi M(x;y) là một điểm thuộc mặt phẳng, H là hình chiếu của điểm M trên đờng thẳng (d)

a Tính MF2 và MH2 theo x, y là tọa độ của điểm M

b Biết MF = MH, hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa x và y

a Chứng tỏ rằng hàm số đồng biến trong khoảng (0; +∞), hàm số nghịch biến trong khoảng

c Tìm các giá trị của k khi x = 2, y = 10

Bài 21: Cho hàm số: y = (2m + 1)x2

a Tìm m, biết rằng đồ thị hàm số cắt đờng thẳng y = 4x – 2 tại điểm A có hoành độ 1

b Với giá trị tìm đợc của m hãy vẽ đồ thị hàm số y = (2m + 1)x2 và đồ thị y = 4x – 2 trên cùng một mặt phẳng tọa độ

c Bằng đồ thị, hãy xác định tọa độ giao điểm thứ hai của hai đồ thị vẽ trong ý b

Bài 22 Cho hàm số y = ax2 + bx + c (a 0) Tìm các giá trị của a, b, c biết đồ thị của hàm số thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

a Hàm số nhận giá trị – 1 khi x = 0, x = 1 và nhận giá trị bằng 1 khi x = -1

b Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 và cắt trục hoành tại điểm có hoành

độ bằng 1/2 và 1

c Đồ thị hàm số đi qua các điểm A(-1, 0), B(1, 3) và C(3, 2)

Bài 23 Cho đờng thẳng (d): y = (k - 2)x + q Tìm các giá trị của k và q biết rằng đờng thẳng (d) thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

a Đi qua điểm A(-1; 2) và B(3; 4)

b Cắt trục tung tại điểm có tung độ 1 2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 2 2

c Cắt đờng thẳng -2y + x - 3 = 0

d Song song với đờng thẳng 3x + 2y = 1

Bài 24 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-2; 2) và đờng thẳng (d): y = -2x - 2

a Chứng minh A (d)

b Tìm các giá trị của a để Parabol: y = ax2 đi qua A

c Tìm đờng thẳng đi qua A và vuông góc với đờng thẳng (d)

d Gọi A và B là giao điểm của (P) với đờng thẳng tìm đợc trong câu c, và C là giao điểm của

đờng thẳng (d) với trục Oy Tìm tọa độ các điểm B, C và tính diện tích tam giác ABC

Bài 25 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x2/4 và đờng thẳng (d): y = mx + n Tìm các giá trị của m và n biết đờng thẳng (d) thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

a Song song với đờng thẳng y = x và tiếp xúc với (P)

b Đi qua điểm A(1,5; -1) và tiếp xúc với (P)

Tìm tọa độ tiếp điểm của (P) và (d) trong mỗi trờng hợp trên

Bài 26 Cho hàm số: 1 2

2

y x

1 Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên

2 Trên (P) lấy hai điểm M và N lần lợt có hoành độ là - 2; 1 Viết phong trình đờng thẳng MN

3 Xác định hàm số y = ax + b biết rằng đồ thị (D) của nó song song với đờng thẳng MN và chỉ cắt(P) tại 1 điểm

33

2 Tìm tất cả các giá trị của x sao cho f(x) ≤ 1.

Bài 29 Cho hàm số: y = x2 và y = x + m (m là tham số)

1 Tìm m sao cho đồ thị (P) của hàm số y = x2 và đồ thị (D) của y = x + m có hai giao điểm phân biệt A và B

2 Tìm phong trình của đờng thẳng (d) vuông góc với (D) và (d) tiếp xúc với (P)

3 a) Thiết lập công thức tính khoảng cách giữa hai điểm theo tọa độ của hai điểm ấy

b) áp dụng: Tìm m sao cho khoảng cách giữa hai điểm A, B (ở câu 1) là 3 3

Bài 30 Trong cùng hệ trục tọa độ gọi (P) là đồ thị hàm số y = ax2 và (D) là đồ thị hàm số y = - x + m

1 Tìm a biết rằng (P) đi qua A(2; -1) và vẽ (P) với a tìm đợc

2 Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P) (ở câu 1) và tìm tọa độ tiếp điểm

3 Gọi B là giao điểm của (D) (ở câu 2) với tung độ C là điểm đối xứng của A qua trục tung Chứng tỏ rằng C nằm trên (P) và tam giác ABC vuông cân

Bài 31 Trong cùng mặt phẳng tọa độ cho hai đờng thẳng:

(D1): y = x + 1; (D2): x + 2y + 4 = 0

1 Tìm tọa độ giao điểm A của (D1) và (D2) bằng đồ thị và kiểm tra lại bằng phép toán

2 Tìm a trong hàm số y = ax2 có đồ thị (P) qua A Khảo sát và vẽ đồ thị (P) với a vừa tìm đợc

3 Tìm phong trình của đờng thẳng tiếp xúc với (P) tại A

Bài 32 Cho (P) là đồ thị của hàm số y = ax2 và điểm A(- 2; -1) trong cùng hệ trục

1 Tìm a sao cho A thuộc (P) Vẽ (P) với a tìm đợc

2 Gọi B là điểm thuộc (P) có hoành độ là 4 Viết phong trình đờng thẳng AB

3 Viết phong trình đờng thẳng tiếp xúc với (P) và song song với AB

Bài 33 Cho parabol (P): 1 2

4

y x và đờng thẳng (D) qua 2 điểm A và B trên (P) có hoành độ lần lợt là

- 2 và 4

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên

2 Viết phong trình của (D)

3 Tìm điểm M trên cung AB của (P) (tơng ứng hoành độ) x   2; 4 sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất

Bài 34 Trong cùng hệ trục vuông góc, cho parabol (P): 1 2

4

y x và đờng thẳng (D): y = mx - 2m - 1

1 Vẽ (P)

2 Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P)

3 Chứng tỏ rằng (D) luôn luôn đi qua một điểm cố định A thuộc (P)

Bài 35.Trong cùng hệ trục vuông góc có parabol (P): 1 2

4

y x và đờng thẳng (D) qua điểm 3

( ; 1)2

I  có

hệ số góc m

1 Vẽ (P) và viết phong trình của (D)

2 Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P)

3 Tìm m sao cho (D) và (P) có hai điểm chung phân biệt

Bài 36 Trong cùng hệ trục tọa độ cho parabol (P): 1 2

4

y x và đờng thẳng (D): 1

22

y x

1 Vẽ (P) và (D)

2 Bằng phép toán, tìm tọa độ giao điểm của (P) và (D)

3 Tìm tọa độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đó đờng tiếp tuyến của (P) song song với (D)

Bài 37 Cho họ đờng thẳng có phong trình: mx + (2m - 1)y + 3 = 0 (1)

1 Viết phong trình đờng thẳng đi qua A(2; 1)

2 Chứng minh rằng các đờng thẳng trên luôn đi qua một điểm cố định M với mọi m Tìm tọa độ của M

34

3 Qua điểm M(2; 2) có thể vẽ đợc mấy đờng thẳng không cắt đồ thị (D) của hàm số?

Bài 39 Cho parabol (P): y = x2 - 4x + 3

1 Chứng minh đờng thẳng y = 2x - 6 tiếp xúc với (P)

2 Giải bằng đồ thị bất phong trình: x2 - 4x + 3 > 2x - 4

Bài 40 Cho parabol 1 2

2

y x (P), điểm I(0; 2) và điểm M(m; 0) với m ≠ 0

1 Vẽ (P)

2 Viết phong trình đờng thẳng (D) đi qua hai điểm M, I

3 Chứng minh rằng đờng thẳng (D) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m ≠ 0

4 Gọi H và K là hình chiếu của A và B lên trục hoành Chứng minh rằng tam giác IHK là tam giácvuông

5 Chứng minh rằng độ dài đoạn AB > 4 với mọi m ≠ 0

Bài 41 Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho parbol (P): 1 2

4

y x và điểm I(0; -2) Gọi (D) là

đờng thẳng đi qua I và có hệ số góc m

Bài 43 Trong cùng hệ trục tọa độ, cho parabol (P): y = ax2 (a ≠ 0) và đờng thẳng (D): y = kx + b

1 Tìm k và b cho biết (D) đi qua hai điểm A(1; 0) và B(0; -1)

2 Tìm a biết rằng (P) tiếp xúc với (D) vừa tìm đợc ở câu 1)

3 Vẽ (D) và (P) vừa tìm đợc ở câu 1) và 2)

4 Gọi (d) là đờng thẳng đi qua điểm 3

; 12

C  

  và có hệ số góc m.

a Viết phong trình đờng thẳng của (d)

b Chứng tỏ rằng qua điểm C có hai đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P) (ở câu 2) và vuông góc với nhau

Bài 44 Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) trong mặt phẳng tọa độ Oxy

1 Vẽ (P)

2 Gọi A và B là hai điểm nằm trên (P) lần lợt có hoành độ -1 và 2 Chứng minh rằng; tam giác OAB vuông

3 Viết phong trình đờng thẳng (D) song song với AB và tiếp xúc với (P)

4 Cho đờng thẳng (d): y = mx + 1 (với m là tham số)

a Chứng minh rằng; (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định với mọi m

b Tìm m sao cho (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm có hoành độ x1, x2 thỏa mãn: 2 2

2 Tìm giá trị nhỏ nhất của y và các giá trị của x tơng ứng

3 Với giá trị nào của x thì y ≥ 4

Bài 46 Cho hàm số:

2 44

y  có đồ thị (P).

1 Vẽ (P)

2 Viết phong trình các đờng tiếp tuyến từ điểm A(2; - 2) đến (P)

3 Tìm tập hợp các điểm mà qua đó có hai tiếp tuyến vuông góc đến (P)

35

2 Tìm vị trí của A thuộc (P) và B thuộc (D) sao cho độ dài đoạn AB ngắn nhất.

Bài 49 Cho parabol (P): y = - x2 + 6x - 5 Gọi (d) là đờng thẳng đi qua A(3; 2) và có hệ số góc m

1 Chứng tỏ rằng với mọi m, đờng thẳng (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt B, C

2 Xác định đờng thẳng (d) sao cho độ dài đoạn BC đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 50 Cho parabol (P): 1 2

2

y x và đờng thẳng (d) có phong trình: 1

2

y mx 

1 Chứng minh rằng với mọi m, (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định

2 Chứng minh rằng với mọi m, (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng MN

Bài 51 Cho hai đờng thẳng (d1): y = (m2 + 2m)x và (d2): y = ax (a  0)

1 Định a để (d2) đi qua A(3; -1)

2 Tìm các giá trị m để cho (d1) vuông góc với (d2) ở câu 1)

1 Xác định m để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O Vẽ đồ thị (d1) vừa tìm đợc

2 Tính theo m tọa độ các giao điểm A, B của đồ thị hàm số (1) lần lợt với các trục Ox và Oy Xác

định m để tam giác AOB có diện tích bằng 2 (đ.v.d.t)

3 Chứng minh rằng đồ thị hàm số (1) luôn luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi

Bài 54 Cho parabol (P): y = ax2 và hai điểm A(2; 3), B(- 1; 0)

1 Tìm a biết rằng (P) đi qua điểm M(1; 2) Khảo sát và vẽ (P) với a tìm đợc

2 Tìm phong trình đờng thẳng AB rồi tìm giao điểm của đờng thẳng này với (P) (ở câu 1)

3 Gọi C là giao điểm có hoành độ dơng Viết phong trình đờng thẳng qua C và có với (P) một

điểm chung duy nhất

Bài 55

1 Cho parabol (P): y = ax2; cho biết A(1; -1) (P) Xác định a và vẽ (P) với a tìm đợc

2 Biện luận số giao điểm của (P) với đờng thẳng (d): y = 2mx - m + 2

3 Chứng tỏ rằng, 1

; 22

x

y  và đờng thẳng (d): 1

2

y x 

2 Chứng minh rằng (d) là một tiếp tuyến của (P)

3 Biện luận số giao điểm của (P) và (d’): y = x - m bằng hai cách (đồ thị và phép toán)

Bài 57 Cho parabol (P): 1 2

4

y x và đờng thẳng (d) qua hai điểm A và B thuộc (P) có hoành độ lần lợt

là 2 và - 4

1 Khảo sát và vẽ đồ thị (P)

2 Viết phong trình đờng thẳng (d)

3 Tìm điểm M trên cung AB của (P) sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất

4 Tìm trên trục Ox điểm N sao cho NA + NB nhỏ nhất

Bài 58 Cho parabol (P): y = ax2 và hai điểm A(- 2; - 5) và B(3; 5)

1 Viết phong trình đờng thẳng AB Xác định a để đờng thẳng AB tiếp xúc với (P) Tìm tọa độ tiếp

điểm

2 Khảo sát và vẽ đồ thị (P) với a vừa tìm đợc

36

3 Một đờng thẳng (D) di động luôn luôn vuông góc với AB và cắt (P) tại hai điểm M và N Xác

định vị trí của (D) để 5

2

MN  Bài 59 Cho hàm số: y = x2 - 2x + m - 1 có đồ thị (P)

1 Vẽ đồ thị (P) khi m = 1

2 Xác định m để đồ thị (P) của hàm số tiếp xúc với trục hoành

3 Xác định m để đồ thị (P) của hàm số cắt đờng thẳng (d) có phong trình: y = x + 1 tại hai điểm phân biệt

Bài 60 Cho đờng thẳng (D1): y = mx - 3

(D2): y = 2mx + 1 - m

1 Vẽ trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy các đờng thẳng (D1) và (D2) ứng với m = 1 Tìm tọa độ giao

điểm B của chúng Qua O viết phong trình đờng thẳng vuông góc với (D1) tại A Xác định A và tính diện tích tam giác AOB

2 Chứng tỏ rằng các đờng thẳng (D1) và (D2) đều đi qua những điểm cố định Tìm tọa độ của điểm

1 Chứng minh rằng (d1) và (d2) đi qua các điểm cố định Tìm tọa độ điểm cố định

2 Viết phong trình các đờng thẳng (d1) và (d2); cho biết (d1) thẳng góc với (d2)

3 Viết phong trình các đờng thẳng (d1) và (d2); cho biết (d1) song song với (d2)

Bài 62 Cho parabol (P): 1 2

2

y x

1 Viết phong trình đờng thẳng có hệ số góc m và đi qua điểm A trên trục hoành có hoành độ là 1,

đờng thẳng này gọi là (D)

2 Biện luận theo m số giao điểm của (P) và (D)

3 Viết phong trình đờng thẳng (D) tiếp xúc với (P) Tìm tọa độ tiếp điểm

4 Trong trờng hợp (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B Tìm quỹ tích trung điểm I của AB

5 Tìm trên (P) các điểm mà đờng thẳng (D) không đi qua với mọi m

Bài 63 Cho parabol (P): y = x2 - 4x + 3 và điểm A(2; 1) Gọi (D) là đờng thẳng đi qua A và có hệ số góc m

1 Chứng minh rằng (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N

2 Xác định m để MN ngắn nhất

Bài 64 Cho hàm số: y = x2 - 2mx + m2 - 1 có đồ thị là (P)

1 Chứng minh rằng; với mọi m, đồ thị (P) luôn luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt

2 Chứng minh rằng khi m thay đổi, đỉnh của parabol luôn luôn chạy trên một đờng thẳng song song với trục hoành

Bìa 1: Viết phơng trình đờng thẳng (d) biết:

a) (d) đi qua A(1 ; 2) và B(- 2 ; - 5)

b) (d) đi qua M(3 ; 2) và song song với đờng thẳng () : y = 2x – 1/5

c) (d) đi qua N(1 ; - 5) và vuông góc với đờng thẳng (d’): y = -1/2x + 3

d) (d) đi qua D(1 ; 3) và tạo với chiều dơng trục Ox một góc 300

e) (d) đi qua E(0 ; 4) và đồng quy với hai đờng thẳng

f) (): y = 2x – 3; (’): y = 7 – 3x tại một điểm

g) (d) đi qua K(6 ; - 4) và cách gốc O một khoảng bằng 12/5 (đơn vị dài)

Bài 2: Gọi (d) là đờng thẳng y = (2k – 1)x + k – 2 với k là tham số.

a) Định k để (d) đi qua điểm (1 ; 6)

b) Định k để (d) song song với đờng thẳng 2x + 3y – 5 = 0

c) Định k để (d) vuông góc với đờng thẳng x + 2y = 0

d) Chứng minh rằng không có đờng thẳng (d) nào đi qua điểm A(-1/2 ; 1)

e) Chứng minh rằng khi k thay đổi, đờng thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định

Dạng 3: Vị trí tơng đối giữa đờng thẳng và parabol

37

Bài 1:

a) Biết đồ thị hàm số y = ax2 đi qua điểm (- 2 ; -1) Hãy tìm a và vẽ đồ thị (P) đó

b) Gọi A và B là hai điểm lần lợt trên (P) có hoành độ lần lợt là 2 và - 4 Tìm toạ độ A và B từ đó suy ra phơng trình đờng thẳng AB

Bài 2: Cho hàm số x2

2

1

y  a) Khảo sát và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên

b) Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua A(- 2; - 2) và tiếp xúc với (P)

b) Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P)

c) Chứng tỏ rằng (D) luôn đi qua một điểm cố định A thuộc (P)

Bài 4: Cho hàm số x2

2

1

y  a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên

b) Trên (P) lấy hai điểm M và N lần lợt có hoành độ là - 2; 1 Viết phơng trình đờng thẳng MN.c) Xác định hàm số y = ax + b biết rằng đồ thị (D) của nó song song với đờng thẳng MN và chỉ cắt(P) tại một điểm

Bài 5:

Trong cùng hệ trục toạ độ, cho Parabol (P): y = ax2 (a  0) và đờng thẳng (D): y = kx + b

1) Tìm k và b cho biết (D) đi qua hai điểm A(1; 0) và B(0; - 1)

2) Tìm a biết rằng (P) tiếp xúc với (D) vừa tìm đợc ở câu 1)

3)Vẽ (D) và (P) vừa tìm đợc ở câu 1) và câu 2)

4) Gọi (d) là đờng thẳng đi qua điểm 

3

C và có hệ số góc ma) Viết phơng trình của (d)

b) Chứng tỏ rằng qua điểm C có hai đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P) (ở câu 2) và vuông góc vớinhau

bài tập về hàm số

Bài tập 1

cho parabol y= 2x2 (p)

a tìm hoành độ giao điểm của (p) với đờng thẳng y= 3x-1

b tìm toạ độ giao điểm của (p) với đờng thẳng y=6x-9/2

c tìm giá trị của a,b sao cho đờng thẳng y=ax+b tiếp xúc với (p) và đi qua A(0;-2)

d tìm phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (p) tại B(1;2)

e biện luận số giao điểm của (p) với đờng thẳng y=2m+1 ( bằng hai phơng pháp đồ thị và đạisố)

f cho đờng thẳng (d): y=mx-2 Tìm m để

+(p) không cắt (d)

+(p)tiếp xúc với (d) tìm toạ độ điểm tiếp xúc đó?

+ (p) cắt (d) tại hai điểm phân biệt

+(p) cắt (d)

Bài tập 2

cho hàm số (p): y=x2 và hai điểm A(0;1) ; B(1;3)

a viết phơng trình đờng thẳng AB tìm toạ độ giao điểm AB với (P) đã cho

b viết phơng trình đờng thẳng d song song với AB và tiếp xúc với (P)

c viết phơng trình đờng thẳng d1 vuông góc với AB và tiếp xúc với (P)

d chứng tỏ rằng qua điểm A chỉ có duy nhất một đờng thẳng cắt (P) tại hai điểm phân biệt C,Dsao cho CD=2

Bài tập 3

Cho (P): y=x2 và hai đờng thẳng a,b có phơng trình lần lợt là

y= 2x-5y=2x+m

a chứng tỏ rằng đờng thẳng a không cắt (P)

b tìm m để đờng thẳng b tiếp xúc với (P), với m tìm đợc hãy:

+ Chứng minh các đờng thẳng a,b song song với nhau

+ tìm toạ độ tiếp điểm A của (P) với b

+ lập phơng trình đờng thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc bằng -1/2 tìm toạ độ giao điểm của(a) và (d)

38

cho hàm số y=2x2 (P) và y=3x+m (d)

a khi m=1, tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (d)

b tính tổng bình phơng các hoành độ giao điểm của (P) và (d) theo m

c tìm mối quan hệ giữa các hoành độ giao điểm của (P) và (d) độc lập với m

Bài tập 6

cho hàm số y=-x2 (P) và đờng thẳng (d) đI qua N(-1;-2) có hệ số góc k

a chứng minh rằng với mọi giá trị của k thì đờng thẳng (d) luôn cắt đồ thị (P) tại hai điểm A,B.tìm k cho A,B nằm về hai phía của trục tung

b gọi (x1;y1); (x2;y2) là toạ độ của các điểm A,B nói trên, tìm k cho tổng S=x1+y1+x2+y2 đạt giátrị lớn nhất

c các điểm A(16;4) và B(16;-4), điểm nào thuộc đồ thị hàm số, điểm nào không thuộc đồ thịhàm số? tại sao

d không vẽ đồ thị hãy tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với đồ thị hàm số y=x-6

Bài tập 8

cho hàm số y=x2 (P) và y=2mx-m2+4 (d)

a.tìm hoành độ của các điểm thuộc (P) biết tung độ của chúng y=(1- 2)2

b.chứng minh rằng (P) với (d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt tìm toạ độ giao điểm củachúng với giá trị nào của m thì tổng các tung độ của chúng đạt giá trị nhỏ nhất

trên hệ trục toạ độ Oxy cho các điểm M(2;1); N(5;-1/2) và đờng thẳng (d) y=ax+b

a tìm a và b để đờng thẳng (d) đI qua các điểm M, N

b xác định toạ độ giao điểm của đờng thẳng MN với các trục Ox, Oy

Bài tập 11

cho hàm số y=x2 (P) và y=3x+m2 (d)

a chứng minh với bất kỳ giá trị nào của m đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt

b gọi y1, y2 kà các tung độ giao điểm của đờng thẳng (d) và (P) tìm m để có biểu thức y1+y2=11y1.y2

bài tập 12

cho hàm số y=x2 (P)

a vẽ đồ thị hàm số (P)

b trên (P) lấy 2 điểm A, B có hoành độ lần lợt là 1 và 3 hãy viết phơng trình đờng thẳng AB

c lập phơng trình đờng trung trực (d) của đoạn thẳng AB

d tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P)

Bài tập 13

a viết phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (P) y=2x2 tại điểm A(-1;2)

b cho hàm số y=x2 (P) và B(3;0), tìm phơng trình thoả mãn điều kiện tiếp xúc với (P) và đi quaB

c cho (P) y=x2 lập phơng trình đờng thẳng đi qua A(1;0) và tiếp xúc với (P)

d cho (P) y=x2 lập phơng trình d song song với đờng thẳng y=2x và tiếp xúc với (P)

39

e viết phơng trình đờng thẳng song song với đờng thẳng y=-x+2 và cắt (P) y=x tại điểm cóhoành độ bằng (-1).

f viết phơng trình đờng thẳng vuông góc với (d) y=x+1 và cắt (P) y=x2 tại điểm có tung độbằng 9

Dạng 3: Đồ thị hàm số y ax b  (a  0) )

Bài 1: Cho hàm số y = 2x.

a) Vẽ đồ thị của hàm số trên

b) Xác định điểm A thuộc đồ thị hàm số có tung độ bằng -3

c) Tính số đo góc tạo bởi đờng thẳng y = 2x với trục Ox.

Bài 2: Cho đờng thẳng y2x 4 cắt hai trục toạ độ tại hai điểm A và B

a) Xác định toạ độ các điểm A và B

b) Tính diện tích tam giác tạo bởi đờng thẳng ấy với hai trục toạ độ

c) Tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến đờng thẳng trên

Bài 3: a) Vẽ đồ thị hàm số y2x và y2x trên cùng một hệ trục toạ độ.1

b) Tìm toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng trên

Bài 4: a) Vẽ trên cùng một mặt phẳng toạ độ đồ thị các hàm số sau:

a) Với giá trị nào thì hàm số đồng biến trên R? Nghịch biến trên R?

b) Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua điểm B(1; - 2)

c) Tìm m biết khi x=1 3 thì hàm số có giá trị bằng -3

B i 6 C ài 6 C ho hàm số y=3x+m

1) Tính giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua A(-2; 5)

2) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là -5

3) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là -3

Bài 7: Cho hàm số ym1x m +3

a)Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua gốc toạ độ

b)Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -3 c)Xác

định giá trị của m để đ.t.h.s cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -2

d)Tìm m biết khi x=-3 thì hàm số có giá trị bằng 2

Bài 8: a)Xác định hàm số y ax b biết hàm số có hệ số góc bằng 3 và đi qua điểm A(2;1) 

b)Xác định hàm số y ax b biết đờng thẳng    y ax b đi qua điểm A(2;1) và song song với đờng

thẳng y2x5

Dạng 4: Điểm cố định của đờng thẳng

Bài 1: Cho hàm số y mx 2m1 (1)

 Chứng tỏ rằng đờng thẳng (1) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m

 Hãy xác định toạ độ điểm đó

Bài 2: Chứng minh rằng các đờng thẳng sau đây luôn đi qua một điểm cố định

a) y mx m   2

b) y2mx 1 m

c) ym1xm1

Dạng 5 Hệ số góc của đờng thẳng Đờng thẳng song song và đờng thẳng cắt nhau

Bài 1: Với điều kiện nào của k và m thì hai đờng thẳng :

y = (k - 2)x + m – 1 và y = (6 - 2k)x + 5 - 2m

a) Trùng nhau b) Song song c) Cắt nhau

Bài 2: Cho hàm số y ax  Hãy xác định hệ số a trong mỗi trờng hợp sau:5

a) Đồ thị của hàm số song song với đờng thẳng y3x

b) Khi x 1 2 thì hàm số có giá trị bằng y 2 2

Bài 3: Cho hàm số ym 3x k (d) Tìm giá trị của m và k để đờng thẳng (d):

40