Ứng dụng mathematica trong một số bài toán vật lý phổ thông và vật lý lý thuyết

LỜI CAM ĐOANMè Tiến Mạnh Tôi xin cam đoan đề tài ‘ủng dụng Mathematìca trong một số bài toán vật lý phổ thông và vật lý lý thuyef’lh đề tài do bản thân tôi nghiên cứu dưới sự hướng dẫn

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN THẠC sĩ KHOA HỌC VẬT CHẮT

MÈ TIẾN MẠNH

ỨNG DUNG MATHEMATICA

TRONG MÔT SỐ BÀI TOÁN VẢT LÝ

• •PHỎ THÔNG VÀ VÂT LÝ LÝ THUYẾT

Chuyên ngành : Vật lí lí thuyết và Vật lí toán Mã sổ

: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC sĩ KHOA HỌC VẬT CHẤT

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Vật lý lý thuyết, Phòng Sau đại học Truờng Đại học Sư phạm Hà Nội 2, cùng các thầy, cô giáo đã tận tình giảng dạy quan tâm tạo điều kiện giúp tôi hoàn thành khóa học

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS.Trần Thái Hoa đã tận tình chỉ

bảo và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thiện luận văn

Xin cảm ơn gia đình, bạn bè cùng các học viên lóp KI 7 VLLT & VLT

đã ủng hộ động viên và tạo mọi điều kiện trong thời gian học tập, nghiên cứu

để hoàn thành luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn mọi sự giúp đỡ vô cùng quý báu ấy!

Hà Nội, tháng 7 năm 2015

Tác giả

LỜI CAM ĐOAN

Mè Tiến Mạnh

Tôi xin cam đoan đề tài ‘ủng dụng Mathematìca trong một số bài toán

vật lý phổ thông và vật lý lý thuyef’lh đề tài do bản thân tôi nghiên cứu dưới sự

hướng dẫn của thầy giáo, TS Trần Thái Hoa, Khoa Vật lý trường Đại học sư

phạm Hà Nội 2 Đề tài không hề trùng lặp với bất kỳ một luận văn nào, kết quả nghiên cứu không trùng với tác giả khác

Hà Nội, tháng 7 năm 2015 Người

cam đoan

Mè Tiến Mạnh

MỤC LỤC

I MỞ ĐẦU 1

1

Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tuợng và phạm vi nghiên cứu 2

5 Những đóng góp mới của đề tài 2

6 Phuơng pháp nghiên cứu 2

II NỘI DUNG 3

Chuông 1 MỘT VÀI NÉT VỀ PHẦN MỀM MATHEMATICA 3

1.1 Giới thiệu sơ bộ về phần mềm Mathematica 3

1.2

Khả năng đồ họa của phần mềm Mathematica 3

1.3 Một số hàm thông dụng của Mathematica 5

Chuơng 2 ỦNG DỤNG PHẦN MỀM MATHEMATICA VÀO GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TOÁN VẬT LÝ 6

2.1 Một số bài toán vật lý phổ thông 6

2.1.1 Bài toán về chuyển động ném xiên 6

2.1.2 Xử lý số liệu khi làm thực hành ở phổ thông 8

2.2 Một số bài toán về cơ học luợng tử và vật lý thống kê 11

2.2.1 Cơ học lượng tử 11

2.2.2 Vật lý thống kê 20

III KẾT LUẬN 26

IV DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO 27 PHU LUC

Macsyma và Reduce, chủ yếu dùng cho các bài toán vật lý năng lượng cao, nhưng nó có nhược điểm là được định hướng chạy chủ yếu trên các máy tính lớn (main-frame computer) Thế hệ thứ hai là ngôn ngữ Maple so với thế hệ trước có ưu điểm là chạy nhanh hơn và chấp nhận bộ nhớ nhỏ hơn (do vậy có thể chạy trên máy tính cá nhân) và được bổ sung nhiều khả năng đại số và đồ thịhơn Thế hệ thứ ba của dạng ngôn ngữ này chính là các ngôn ngữ Mathematica

và MatLab (bản có bổ sung phần tính toán đại số tượng trưng) Trong đó

Mathematica có ưu điểm vượt trội về giao diện thân thiện, về khả năng vẽ đồ thịsiêu việt và khả năng xử lý dữ liệu không thua kém các ngôn ngữ tính toán khácMặc dù lúc đầu ứng dụng của Mathematica chủ yếu trong các lĩnh vực vật

lý, kỹ thuật và toán, tuy nhiên việc ứng dụng của Mathematica ngày càng được

mở rộng ra các lĩnh vực khác như sinh học, các khoa học xã hội nhờ khả năng

mô hình hóa và mô phỏng các hệ lớn, kể cả các hệ động Hiện nay nó được sử dụng trong tất cả các công ty có tên trong Fortune 50, trong tất cả 15 bộ của chính phủ Mỹ và được giảng dạy trong tất cả 50 trường tổng hợp hàng đầu thế giới Nó trở thành chương trình ứng dụng lớn nhất được phát triển và chứa một

số lượng lớn các thuật toán và các đổi mới kỹ thuật quan trọng Một trong những sáng kiến kỹ thuật là môi trường phần mềm dựa trên giao diện tương tác

được biết đến với tên là notebook Hiện nay đã có vài trăm chương trình đặc

chủng viết trên Mathematica được thương mại hóa một số đầu tạp chí chuyên nghành và khoảng 200 đầu sách về ngôn ngữ Mathematica.[8]

Với những tính năng ưu việt của phần mềm toán học Mathematica như

khả năng tính toán, khả năng đồ họa, cũng như tính dễ sử dụng của nó trong việc xây dựng các mô hình và giải quyết các bài toán vật lý và cũng muốn mọi người có thêm một công cụ hữu ích để làm việc Nên bản thân tôi đã chọn đề

tài: “ửng dụng Mathematìca trong một số bài toán vật lý phổ thông và vật lý

lý thuyết”.

2 Mục đích nghiên cứu

Sử dụng phần mềm Mathematica áp dụng để giải các bài toán vật lý phổ thông, cơ học lượng tử và vật lý thống kê

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Lựa chọn các bài toán vật lý và lập trình bằng Mathematica để giải các bàitoán vật lý này

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Vật lý tính toán và áp dụng phần mềm Mathematica để giải một số bài toán vật lý phổ thông, vật lý thống kê và cơ học lượng tử

5 Những đóng góp mới của đề tài

Tìm hiểu rõ hơn về phần mềm Mathematica, cách sử dụng và các tính năng của phần mềm Lập trình các bài toán vật lý bằng phần mềm Mathematica

để giúp các bạn học viên, sinh viên có thể dễ dàng sử dụng cộng cụ

Mathematica để thuận lợi hơn trong quá trình nghiên cứu khoa học cũng như giải bài tập

6 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp nghiên cứu của vật lý lý thuyết và vật lý toán đểnghiên cứu các bài toán vật lý phổ thông, vật lý thống kê và cơ học lượng tử và nghiên cứu các tài liệu về phần mềm Mathematica

II NỘI DUNG Chương 1 MỘT VÀI NÉT VÈ PHẦN MÈM MATHEMATICA

1.1 Giới thiệu sơ bộ về phần mềm Mathematica

Mathematica là ngôn ngữ tích họp đầy đủ các tính toán kỹ thuật (technical computing), là dạng ngôn ngữ dựa trên nguyên lý xử lý các dữ liệu tượng trưng (symbolic manipulation) Khởi thủy của nguyên lý này là ngôn ngữ LIPS - ngônngữ nghiên cứu trí tuệ nhân (artificial intellect) - nghiên cứu các vấn đề như xử

lý tiếng nói tự nhiên, các hệ chuyên gia (expert system), các vấn đề logic trong

kỹ thuật robot (robotech), điều khiển và tự động hóa

Thế hệ ngôn ngữ giải tích đầu tiên đó là ngôn ngữ Macsyma và Reduce, chủ yếu dùng cho các bài toán vật lý năng lượng cao, nhưng chúng lại có nhượcđiểm là được định hướng chạy trên các máy tính lớn

Thế hệ thứ hai là ngôn ngữ Maple so với thế hệ trước là có ưu điểm là chạy nhanh hơn và chấp nhận bộ nhớ nhỏ hơn và bổ sung nhiều khả năng đại số

và đồ thị hơn và nó thể chạy trên máy tính cá nhân

Thế hệ thứ ba của dạng ngôn ngữ này chính là các ngôn ngữ Mathematica

và MatLab, trong đó Mathematica có ưu điểm vượt trội về giao diện thân thiện,

về khả năng vẽ đồ thị siêu việt và khả năng xử lý dữ liệu không thua kém các môi trường ngôn ngữ tính toán khác

Nhờ khả năng siêu việt của mình Mathematica không chỉ được ứng dụng trong các lĩnh vực vật lý, kỹ thuật và toán mà còn mở rộng trong các lĩnh vực phức tạp khác như sinh học, khoa học xã hội,

Phiên bản đầu tiên của Mathematica được phát hành 23/6/1988 Bản 2.0 được phát hành năm 1991 Bản mới nhất của Mathematica là bản 10.0.2

1.2 Khả năng đồ họa của phần mềm Mathematica

Mathematica cho phép vẽ tất cả các dạng đồ thị của một hàm số với cấu trúc lệnh đơn giản nhất như đồ thị hai chiều, đồ thị ba chiều, đồ thị đường viền,

đồ thị mật độ, [8]

Hình 1.2

1.3 Một số hàm thông dụng của Mathematica

Thời gian rơi:

(2.7)

Sau đó chiếu lên các trục tọa độ để tìm phương trình chuyển động [5]

B Bài toán: Một vật có khối lượng m được ném đi với tốc độ v0 hợp với

phương ngang một góc a Hiệu ứng cản của không khí được mô tả bởi lực cản

Trong đó V và V là tốc độ và vận tốc của vật, k là hệ số cản củakhông khí Vẽ

Từ đó rút ra vai trò của hệ số cản của không khí trong chuyển động ném xiên

Kết quả thu được khỉ thực hiện trẽn Mathematica [Phụ lục 1]: (Hình 2.1) Chú

thích: Đồ thị khi không có lực cản là màu đỏ, khi có hệ số cản kl

là màu xanh lục, khi có hệ số cản k2 là xanh lam

Đồ thị ném xiên trong các trường hợp

Hình 2.1

Từ trên biểu đồ ta dễ dàng nhận thấy khi hệ số cản k càng lớn thì chuyểnđộng của vật ném xiên sẽ nhanh dừng lại hon, tầm ném xa và độ cao cực đại giảm dẫn tới có quỹ đạo nhỏ dần

y(t)

Khi một vật chuyển động có vận tốc ban đầu bằng không, chuyển động nhanh dần đều với gia tốc a, thì quãng đường đi được s sau thời gian t được xác định bởi công thức:

b, Hãy xử lý số liệu để xác định gia tốc

do [1,2]

Kết quả thu được khỉ thực hiện trên Mathematica [Phụ lục 2]:

của gia tốc rơi tự do là g= 9.88386±0.0696416

s(m) 0.7

0 6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

Hình 2.2

thẳng Mặt khác đồ thị v=v(t) Hình 2.3 có dạng là đường thẳng hướng lên suy ra vận tốc tăng đều theo thời gian Vậychuyển động rơi tụ do là chuyển động thẳng nhanh dần đều

2.1.2.2 Thực hành đo hệ sổ ma sát trượt A Lý thuyết

Cho một vật nằm trên mặt phang nghiêng p với góc nghiêng a so với mặt nằm ngang Khi anhỏ, vật vẫn nằm yên trên p không chuyển động Khi tăng độ nghiêng vật chuyển động xuống với gia tốc a Độ lớn của a chỉ phụ thuộcvào góc ngiêng a và hệ số - gọi là hệ số ma sát trượt:

Gia tốc a đươc xác đinh theo công thức: a = -7- 5 trong đó quãng đường

Kết quả thu được khỉ thực hiện trẽn Mathematica [Phụ lục 3]:

Mô tả phép đô đại lại F để có số đof Trong phép đo đó, hệ lượng tử chuyển từ trạng thái nào đó về nằm ở

trạng thái liên kết Xịt Trường hợp phép đo F không thực hiện được thì khi liên kết với hệ máy đo hệ lượng tử không chuyển về trạng thái Xịt [4,7]

Hệ hàm riêng {Xịt } của toán tử F là một hệ cơ sở trực chuẩn đủ của không gian Hilbert các hàm trạng thái, vì

vậy có thể khai triển duy nhất theo hệ cơ sở này:

B Một số bài toán về trị trung bình.

Bài 1: Hạt ở trạng thái được mô tả bởi hàm sóng:

\]/(x) = A.e(ikx““2x2) trong đó -00 < X < 00, a và k là các hằng số Hãy tìm các

Giá trị của p =kh Giá trị của p2 = (k2 + a)h

Bài 2\ Hạt chuyển động trong giếng thế chữ nhật một chiều có thành cao vô hạn được mô tả bởi hàm sóng đã chuẩn

hóa: [6]

trong đó d là bề rộng giếng thế và n=l,2,3

a, Dùng hệ thức bất định ước tính mức năng lượng thấp nhất có thể có của hạt

Kết quả thu được khỉ thực hiên trên Mathematica [Phụ lục 5]:

Giá trị của E M in= — 2 2 d m

—-12 t n n J

Giá trị của p = 0

Giá trị của động năng trung bình T:

Bài 3: Hàm sóng chuẩn hóa của

2.2.1.2 Các bài toán về nhiễu loạn A Lý thuyết

Ta sẽ đặt điều kiện hạn chế cho bài toán nhiễu loạn, truớc hết ta xét lý thuyết nhiễu loạn cho các bài toán có phổ gián đoạn

Giả thiết toán tử H có thể tách ra làm hai phần:

Biểu thị V là nhỏ, để biểu diễn điều đó ta đặt:

Với X là một thông số nhỏ không thứ nguyên.

Giả sử biết các nghiệm E° và cpj (1 = 1,2,3 ) của phương trình cho hàm

Khi xét bài toán nhiễu loạn dừng sẽ có 2 trường họp xảy ra:

+Trường họp bài toán lý tưởng không có suy biến

+Trường họp bài toán lý tưởng có suy biến

B Một số bài toán về lỷ thuyết nhiễu loạn.

, , 0

Bài 1 : Xét một electron trong hộp một chiêu có chiêu dài 1 A.

a, Hãy tìm 4 hàm sóng đầu tiên (các hàm sóng chuẩn hóa) và vẽ dạng đồ thị của chúng.

b, Tính 4 mức năng lượng tương ứng và vẽ sơ đồ mức năng lượng

sự nhiễu loạn thì xác suất để thấy hệ ở từng trạng thái n=2, n=3, n=4 là bao nhiêu? (Chiều cao và chiều rộng của giếng thế đặc trưng cho 1 notron tương tác với 1 electron)

Kết quả khỉ thực hiện trẽn Mathematìca [Phụ lục 7] :

(*Ket quả của 4 hàm sóng đầu tiên*)

Bốn hàm sóng đầu tiên là:

(*Kết quả 4 mức năng lượng đầu tiên*)

Bốn mức năng lượng đầu tiên tính theo Jun là

Đồ thị 4 mức năng lượng đầu tiên

£„(■))

1.X10 16 ■ s * 10 1 76 X 10 17 4 X 10 1 7 2 X 10 1 7

Hình 2.5(*Kết quả thu được*)

Bài 2: Xét một dao động tử điều hòa một chiều có tần sốcữ0 Kí hiệu các trị riêng năng lượng bằng n, bắt đầu từ n=0 ứng với giá trị năng lượng thấp nhất Một thế nhiễu loạn không phụ thuộc vào thời gian H = V(x) được thêm vào thế năng dao động tử ban đầu Thay vì đưa ra dạng của thế nhiễu loạn V(x), ta sẽ chỉ ra tường minh các phần tử ma trận của nó được tính toán trong biểu diễn của các trạng thái riêng không nhiễu loạn Một phần của ma trận đó được chỉ radưới đây trong đó 8 là một hằng số nhỏ và không có thứ nguyên

IPM

Hình 2.4

1 8

b, Tìm các năng lượng mới cho n=0 và n=l tới bậc hai trong lý thuyết nhiễu loạn

Kết quả thu được khỉ thực hiện trên Mathematica [Phụ lục 8]:

Các mức năng lượng đầu tiên tính tới gần đúng bậc nhất theo lý thuyết nhiễu loạn là

'nn

7(ữ0 ti

1 9

Trong khuôn khổ luận văn này chúng ta chỉ xét đến phần các đại lượng nhiệt động [3]

A Tích phân trạng thái và các hàm nhiệt động.

<D = F + PV = kT

ịí õìnZ^

kNTV

3kNT47kNT

7kN

~T~

3kN4

Thế nhiệt động Gibbs:

Như vậy, để tính các đại lượng nhiệt động ở trên chúng ta có thể thông qua tích phân trạng thái z

B Bài toán.

Bài 1: Thiết lập phương trạng thái của khí lý tưởng đơn nguyên tử Trong đó

năng lượng và xung lượng của các hạt khí đó liên hệ với nhau bằng hệ thức £ =

năng u, thế nhiệt động Gibbs 0, nhiệt dung riêng đẳng áp và đẳng tích

Kết quả thu được khỉ thực hiện trên Mathematica [Phụ lục 9]:

Áp suất của hệ là p =

Ta suy ra phương

trình trạng thái PV= k N T

Các đại lượng nhiệt động khác

Nhiệt dung riêng đẳng tích Cv

Bài 3: Tính tổng thống kê, năng lượng trung bình và nhiệt dung của hệ N dao

( N_(n+1)(n + 2)

g(£n) = ^ -z

-( 3Ì

n +

-l 2) h suy biến bội

Kết quả thu được khi thực hiện trên Mathematica [Phụ lục 11]:

Tổng thống kê của hệ là

z = e™ r /I -l + e*r

Năng lượng trung bình

Bài 2: Tìm năng lượng tự do F và nội năng u của cột khí lí tưởng có chiều cao

h và diện tích đáy ơ ở trong trường trọng lực một chiều có gia tốc g, nhiệt độ T,

số hạt khí là N, khối lượng hạt là m

Kết quả thu được khỉ thực hiện trên Mathematica [Phụ lục 10]:

Tích phân trạng thái của hệ

Năng lượng tự do

a, Tính năng lượng tự do và Entropy của N dao động tử điều hòa tuyến tính độc lập.

b, Tính năng lượng trung bình, nhiệt dung đẳng áp của N dao động tử điều hòa tuyến tính độc lập

Kết quả thu được khỉ thực hiện trên Mathematica [Phụ lục 12]:

Tổng thống kê của hệ là

( N e2 kT I

Entropy của N dao động tử

Kết quả thu được khi thực hiện trên Mathematica [Phụ Lục 13] [8]:

ĐỒ thị Cp và T

Cp(Cal/K)

T(K)

Hình 2.6

III KẾT LUẬN

Với đề tài: “ửng dụng Mathematica trong một số bài toán vật lý phổ thông

và vật lý lý thuyết”, tôi đã hoàn thành cơ bản các nhiệm vụ nghiên cứu đã đề ra

3, Dùng phần mềm Mathematica để giải một số bài toán cơ học lượng tử

và vật lý thống kê một cách nhanh chóng, có hình vẽ mô tả các trạng thái mà ta cần xét đến

Do thời gian có hạn, nên số lượng bài toán vật lý tôi đưa ra chưa nhiều và chưa nhiều bài toán ở mức độ khó Tôi hi vọng đề tài này sẽ được nhiều bạn quan tâm, sẽ đem lại cho các bạn sinh viên, học viên và những người yêu thích

bộ môn vật lý có thêm một công cụ toán hữu ích trong quá trình nghiên cứu khoa học

IV DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 GS-TS Tôn Tích Ái Phương pháp số NXB ĐHQG Hà Nội, 2001

2 GS-TS Tôn Tích Ái Phần mềm toán cho kỹ sư NXB ĐHQG Hà Nội, 2005

3 Nguyễn Quang Báu, Bùi Bằng Đoan, Nguyễn Văn Hùng Vật lý thống kê NXB ĐHQG Hà Nội

4 TS Trần Thái Hoa Cơ học lượng tử NXB Giáo dục

5 Vũ Thanh Khiết Một số phương pháp chọn lọc giải các bài toán vật lý sơ cấp NXB Hà Nội, 2007

6 Nguyễn Hữu Mình, Tạ Duy Lợi, Đỗ Đình Thanh, Lê Trọng Tường Bài tập

graphics Evaluation Palettes Window Help

Clear ["Global'*"];

kl = 5.2 X 10 A -3; k2 = 5.2x 10 A -2.5; g = 9.81;

Ỹ0 = 50; a = Pi/4; vxO = vO Costa]; vyO =

vO Sin [a-]: vO 2 Sill [2 a]

Lệnh vè đồ thị khi không có lực cản đồ thị màu đỏ*)

p = Plotf " xx , + Tan [a] X X, {x, 0, L}, PlotRange -» {0, H + 10},

L 2xvx0

DisplayFunction -» Identity, Plotstyle -> {RGBColor[l, 0, 0], Thickness[0.006]] ;

( Vẽ đồ thị với Èệ số kl đồ thị màu xanh lục 0 n = NDSolve[|x”[t] = -kl (\'[t]) A 2 + (y’[t] A 2)

x’[t],

y"[t] = -kl ^ (x’[t]) A 2 + (y’[t] A 2) y’[t] - g, x[0] = 0, y[0] = 0, x’[0] = vxO, y’[0] = vyo|, {x, y}, {t, 0, tO}];

x[r_] = x[t] / n[[l]];

y[U = y[t] /■ n[[l]];

tmax = t / FindRoot[y[t] = 0, {t, tO}]; m = ParametricPlot[{x[t], y[t]}, {t, 0, tmax}, Frame -* True,

Plotstyle {RGBColorfO, 1, 0], Thickness[0.006]}];

Ve đồ thị với hệ số k2 đồ thị màu xanh lam*)

1 = NDSolve[{u"[z] = -k2 V(u’[z]) A 2 + (v’[z] A 2) u’[z], v"[z] = — k2 V(u'[z]) A 2 + (v'[z] A 2) v'[z] - g, u[0] =

O, v[0] = 0, u'[0] = vxO, v'[0] = vyOỊ, {u, v}, {z, 0, tO}]; u[z_] = u[z]/ 1[[1]]; v[z_] = v[z]/ 1[[1]];

PLInem xien hoan thanh.nb - Wolfram Mathematica 10.0