Luận văn thạc sĩ sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm đối với bất đẳng thức vi biến phân trong không gian hữu hạn chiều

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2TRỊNH THỊ HÒNG NHUNG sự TÒN TẠI VÀ TÍNH ỐN ĐỊNH CỦA NGHIỆM ĐỐI VỚI BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIÊU Chuyên

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

TRỊNH THỊ HÒNG NHUNG

sự TÒN TẠI VÀ TÍNH ỐN ĐỊNH CỦA NGHIỆM ĐỐI VỚI BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIÊU

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa

học: TS Nguyễn Thành Anh

đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn tốt nghiệp.

Tác giả xin được gửi lòi cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, ngưòi thân đãluôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập

và hoàn thành luận văn

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Thành Anh, luận văn Thạc

sỹ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm đốivới bất đẳng thức vi biến phân trong không gian hữu hạn chiều” do tôi tự làm Các kếtquả và tài liệu trích dẫn được chỉ rõ nguồn gốc

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu củacác nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 06 năm 2015

Tác giả

Trịnh Thị Hồng NhungMue lue

1

Kiến thức chuẩn bị

1.1

Giải tích đa trị 1.1.1 Tính nửa liên tục (trên, dưới ) của ánh xạ đa trị

1.1.2 Hàm đa trị đo được và tích phân của ánh xạ đa trị

1.1.3 Bậc tỗpỗ cho hàm đa trị 1.2

Bất đẳng thức biến phân 1.3

Một số bất đẳng thức 1.3.1 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

2 Sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm đối với bất đẳng

thức vi biến phân trong không gian hữu hạn chiều 2.1 Phát biểu bài toán

2.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán

555

12

16

20 22 22 22 22

22

23

Kết luận 48

Tài liệu tham khảo 49

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Bất đẳng thức vi biến phân là mô hình tổng quát của nhiều bài toán trong các lĩnh vực tài chính, kinh tế, giao thông, tối ưuhoá và khoa học kĩ thuật Đến nay bất đẳng thức vi biến phân được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và nhận đượcnhiều kết quả phong phú, bao gồm các kết quả về sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm, cấu trúc và dáng điệu của tậpnghiệm và vấn đề giải số

Gần đây bất đẳng vi biến phân vectơ cũng được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và tìm được nhiều ứng dụng trongcác lĩnh vực khác nhau Nó có thể được xét như là một sự mở rộng của bất đẳng vi biến phân Trong luận văn này chúng tôimuốn giới thiệu và nghiên cứu một lớp bất đẳng vi biến phân vectơ trong không gian Euclid hữu hạn chiều Bởi vậy dưới sựhướng dẫn của TS Nguyễn Thành Anh tôi đã chọn đề tài “ Sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm đối với bất đẳng vi biến phântrong không gian hữu hạn chiều” Luận văn sẽ được hoàn thành dựa trên kết quả được công bố công trình “ Differential VectorVariational Inequalities in Finite-Dimensional Spaces”, J Optim Theory Appl (2013) 158:109-129, của các tác giả Xing Wang

và Nan-Jing Huang Chúng tôi dự nhận được sự tồn tại của một nghiệm yếu Carathéodory đối với bất đẳng thức vi biến phânvectơ trong không gian hữu hạn chiều Euclid Ngoài ra, chúng tôi còn nghiên cứu tính đóng, nửa liên tục trên và nửa liên tụcdưới của ánh xạ

nghiệm yếu Carathéodory đối với bất đẳng thức vi biến phân vectơ trong không gian hữu hạn chiều Euclid khi cả ánh xạ vàtập ràng buộc bị nhiễu loạn bởi tham số

2 Mục đích nghiên cứu

Nhận được kết quả về tính giải được và tính ổn định bất đẳng thức vi biến phân vectơ trong không gian hữu hạn chiều

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu:

• Sự tồn tại của nghiệm yếu Carathéodory

• Tính ổn định của nghiệm

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Bất đẳng thức vi biến phân vectơ trong phạm vi không gian hữu hạn chiều

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu tài liệu tham khảo theo phương pháp: hệ thống lại các kiến thức có liên quan, phân tích, tổng hợp những địnhnghĩa, tính chất của giải tích đa trị, bất đẳng thức biến phân và một số bất đẳng thức

6 Dự kiến đóng góp

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Giải tích đa trị

1.1.1Tính nửa liên tục (trên, dưới ) của ánh xạ đa trị

Cho X , Y là các tập bất kì và P ( Y ) là tập tất cả các tập con khác rỗng nằm trong Y B x { 0 , r ) là hình cầu tâm 0 bán kính r trong X , d B x { 0 , r ) là một mặt cầu.

Định nghĩa 1.1.1 Ánh xạ đa trị T : X — > Y là một tương ứng mà mỗi X G X cho ta một tập khác rỗng p { x ) c Y , p { x ) được gọi là giá trị của X Vì vậy ánh xạ đa trị T có thể viết như sau

P:X^ P{Y).

Ỷ 0}- Cho X, Y là không gian tôpô.

Định nghĩa 1.1.2 Một ánh xạ đa trị T : X —>■ P ( Y ) là nửa liên tục trên tại một điểm X G X nếu với mỗi tập mở V c Y sao cho p { x ) c V thì tồn tại một lân cận ư ( x ) của X sao cho F { ư { x ) ) c V

Một ánh xạ đa trị T được gọi là nửa liên tục trên nếu nó là nửa liên tục trên tại mọi điểm X G X

Định lý 1.1.1 Các điều kiện sau là tương đương :

(i) ánh xạ đa trị T : X —>■ P(Y) là nứa liên tục trên;

Định nghĩa 1.1.3 Ánh xạ đa trị X : X —>■ P ( Y ) được gọi là nửa liên tục dưới tại một điểm X G X nếu với mỗi tập mở V ç Y

sao cho P { x ) P \ V Ỷ 0 thì tồn tại một lân cận Ư (æ) của X sao cho F { x ' ) C \ V Ỷ 0 v<3i m<?i x ' Ç i V (æ).

Một ánh xạ đa trị T được gọi là nửa liên tục dưới nếu nó là nửa liên tục dưới tại mọi điểm X G X

Định lý 1.1.2 Các điều kiện sau là tương đương :

(i) ánh xạ đa trị T : X —> P(Y) là nứa liên tục dưới;

(iii) tập pỊ l (Q) là đóng với mỗi tập đóng Q c Y.

Định nghĩa 1.1.5 (i) Một ánh xạ đa trị F : M" — > M" được gọi là đơn

điệu trên một tập lồi K c M" khi và chỉ khi với mỗi cặp các điểm x , y G K và với mọi X * G F ( X ), y * G F ( y ) , ( x * —

y * , x — y ) > 0.

(ii) Một ánh xạ đa trị F : R n — > R n được gọi là giả đơn điệu trên một tập lồi K c M" khi và chỉ khi với mỗi cặp các điểm

x , y G K và với mọi X * G F { x ) , y * G F { y ) , ( x * , y - x ) > 0 hay ( y * , y - x ) > 0

(iii) Một ánh xạ F := { F \ , F 2 , ■ ■ ■ , F P ) được gọi là giả đơn điệu trên một tập lồi K c M" khi và chỉ khi với mỗi £ = {£I,£2,

■■■)£?} € R+\{0} v ầ x , y G K v ó i X * G F ị { x ) , y * G F ị { y ) { i = 1,2,

(^2& x ĩ,y - > 0 => (^2&yĩ,y - x ^j > 0

(iv) Một ánh xạ F := { F \ , F 2 , ■ ■ ■ , F p ) được gọi là đơn điệu trên một tập lồi K c M" khi và chỉ khi với mỗi £ = {£I,£2, ,

£p} G R+\{0} và x , y e K v ó i X * G F i { x ) , y * G F i { y ) { i = 1,2,

( Ỉ2&Vi - & x hy- x ) >

Định nghĩa 1.1.6 Cho X là một không gian tôpô, L là một tập con khác rỗng, đóng, lồi của X và cho

barr(L) = { x * G X * : sup ( x * , x ) < oo}

hằng số L f > 0, tương ứng, L B > 0, sao cho, với bất kì ( t I , x ) , (¿25 y) £ íì,

- f{t 2 ,y)\\ < Lfdti - t21 + ||x - y\\),

tương ứng,

\\B(t u x) - B(t 2 ,y)\\ < L B (\t x - t 2 \ + \\x - y\\).

Ta xét một lớp các ánh xạ đa trị quan trọng hơn

Định nghĩa 1.1.8 Một ánh xạ đa trị T được gọi là đóng nếu đồ thị của nó /y = {(x , y ) : X e x , y e X { x ) { là một tập con đóng

của không gian X x Y

Định lý 1.1.3 Các điều kiện sau là tương đương :

(i) ánh xạ đa trị T là đóng;

(ii) vối mỗi dãy suy rộng {xQ} c X, {y a } c Y, sao cho y a e J(xtt) nếu x a —> X và y a —> y thì y e F{x).

Điều kiện sau cùng có thể sử dụng dãy thông thường với điều kiện X và Y là các không gian metric.

Ta có một vài khái niệm sau

C { Y ) = { D e P { Y ) : D là đóng};

K { Y ) = { D e P { Y ) : D là compact};

Pv{Y) = {D e P{Y) : D là lồi};

Khi ánh xạ đa trị T nhận giá trị trong các tập C ( Y ) , K ( Y ) hoặc P v ( Y ) thì ta nói T tương ứng có giá trị đóng, compact

hoặc lồi

Từ định nghĩa ta thấy rằng một ánh xạ đa trị đóng có giá trị đóng Cho Y là không gian metric Hàm số h : K { Ỵ ) X K ( Y )

— > K+ xác định như sau

h{A, B) = inf{e > 0 : A c V e (B), B c V C {A)},

ở đây ve là một e — lân cận của một tập, được gọi là m e t r i c H a u s d o r f f trên K ( Y )

Mệnh đề 1.1.1 Cho X là không gian tôpô, Y là không gian metric Ánh xạ đa trị T : X —>■ K(Y) là liên tục khi

và chỉ khi nó liên tục như là một ánh xạ đơn trị từ X vào không gian metric (/^(y), h).

Mệnh đề 1.1.2 Cho X là không gian tôpô, Y là không gian metric và T : X —> C(Y) là một ánh xạ đa trị nứa

liên tục trên Khi đó T là đóng.

Để xây dựng điều kiện đủ cho ánh xạ đa trị đóng trở thành nửa liên tục trên, ta cần các định nghĩa sau

Định nghĩa 1.1.9 Một ánh xạ đa trị T : X —> P ( Y ) được gọi là:

(i) compact nếu miền giá trị P ( X ) là compact tương đối trong Y , tức là P { X ) là compact trong Y

xeX

(ii) compact địa phương nếu với mọi điểm X G X có lân cận ư ( x ) sao cho hạn chế của F trên ư ( x ) là compact;

(iii) tựa compact nếu hạn chế của nó trên mọi tập compact Ả c X là

compact

Rõ ràng (z) => ( i i ) => (U i ).

Mệnh đề 1.1.3 Cho F : X —> K(Y) là ánh xạ đa trị đóng và compact địa

phương Khi đó F là nửa liên tục trên.

Định nghĩa 1.1.10 Cho X là không gian metric Một ánh xạ đa trị nửa liên tục trên F :

X — > K ( Y ) , compact trên mỗi tập con bị chặn của X được gọi là nửa liên tục trên

hoàn toàn

Sau đây chúng ta sẽ đề cập đến tính chất quan trọng của ánh xạ đa trị nửa liên tục trên

Mệnh đề 1.1.4 Cho F : X —> K(Y) là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên Nếu A

c X là một tập compact thì ảnh của nó F{A) là tập compact nằm trong Y.

Tiếp theo là những khẳng định về tính liên tục tuyệt đối của các phép toán trên ánh

xạ đa trị

Cho X , Y và z là các không gian tôpô

Mệnh đề 1.1.5 Nếu các ánh xạ đa trị F Q : X —> p(y) và F\ : Y —> p ( z ) là nứa liên tục trên (nứa liên tục dưới) thì tích hợp thành F\ o F Q : X —>

p ( z ) được xác định như sau

Mệnh đề 1.1.6 Nếu các ánh xạ đa trị Xo : X —,► K(Y) và X\: Y —> K(z) là

là nứa liên tục trên (tương ứng nửa liên tục dưới).

1 4

{Xo X Xi){x) = Xo{x) X Xi{x)

tò nứa /zển tục trên (tương ứng nứa liên tục dưới).

Mệnh đề 1.1.7 Cho ánh xạ đa trị Xo: X —,► C{Ỵ), ánh xạ đa trị X\: X —>

Cho X là không gian tôpô, Y là không gian véctơ tôpô.

Mệnh đề 1.1.8 Nếu các ánh xạ đa trị F Q , T\ : X —> K(Y) là nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới) thì tổng của chúng Xo + T\ : X —ì► K(Y),

{Xo + Xi){x) = Xo{x) + Xi{x)

là nứa liên tục trên (tương ứng nứa liên tục dưới).

Mệnh đề 1.1.9 Nếu ánh xạ đa trị X : X —»■ K{Y) là nửa liên tục trên (nứa

liên tục dưới) và hàm số f : X —> R là liên tục, thì tích của chúng f ■

X : X —> K{Y),

(/ • F)i x ) = fix) • F{ x )

là nứa liên tục trên (tương ứng nửa liên tục dưới).

Mệnh đề 1.1.10 Cho Y là không gian Banach Nếu ánh xạ đa trị X : X —>

K{Y) là nứa liên tục trên (nứa liên tục dưới) thì bao lồi của nó cõX:X ^ Kv(Y),

(cõX)(x) = cõ(X(x))

là nứa liên tục trên (tương ứng nửa liên tục dưới).

1

1.1.2 Hàm đa trị đo được và tích phân của ánh xạ đa trị

Cho I c R là đoạn compact, ¡1 là độ đo Lebesgue trên I và E là không gian Banach Định nghĩa 1.1.11 Một hàm đa trị F : I — > K ( E ) được gọi là đo được nếu với mỗi tập mở V c E thì nghịch ảnh nhỏ F ^ C V ) là đo được.

Rõ ràng định nghĩa là tương đương về tính đo được của nghịch ảnh hoàn toàn

F Z 1 ( Q ) với tập con đóng Q c E Khẳng định sau cho ta hai định nghĩa tương đương

về tính đo được của hàm đa trị

Mệnh đề 1.1.11 Một hàm đa trị F : I —>■ K(E) là đo được khi và chỉ khi:

được.

Ta có mọi hàm đa trị nửa liên tục trên hoặc nửa liên tục dưới là đo được

Để mô tả thêm tính chất của hàm đa trị đo được ta cần các khái niệm sau đây

Định nghĩa 1.1.12 Hàm f \ I — > E được gọi là lựa chọn đo được của một hàm đa trị F : I — > K ( E ) với điều kiện / là đo được và

f ( t ) G F ( t ) đối với ¡ J L — hầu khắp t G I

Tập tất cả các lựa chọn đo được của F kí hiệu là S ( F )

Định nghĩa 1.1.13 Một họ đếm được {/n}“=i c S ( F ) được gọi là biểu diễn Castaing của F nếu

00

n = 1

đối với ụ — hầu khắp t G I

Hàm đa trị F : / — > K ( E ) là một hàm đa trị bậc thang nếu tồn tại một phân hoạch của / trong một họ hữu hạn các tập con đo được ròi nhau uj l j = I sao cho F là không đổi trên mỗi I j

Định nghĩa 1.1.14 Một hàm đa trị F : I — > K ( E ) được gọi là đo được mạnh nếu

1 6

tồn tại một dãy { F n } ^ = 1 hàm đa trị bậc thang sao cho

h{F n {t),F{t))^ 0

khi n — > 00 đối với ¡1 - hầu khắp t G I , ở đây h là metric Hausdorff trên

K ( E )

Bằng cách giống như vậy ta có thể định nghĩa một hàm đo được mạnh, hơn thế nữa

là lựa chọn đo được mạnh Một hàm đa trị đo được không phải là đo được mạnh.Nhưng hàm đa trị nhận giá trị compact trong một không gian Banach tách được thì cáckhái niệm này là trùng nhau Điều đó được thể hiện trong khẳng định sau

Mệnh đề 1.1.12 Cho E là không gian Banach tách được Khi đó đối với ánh

xạ đa trị F : / —» K(E) thì các điều kiện sau là tương đương:

(a) F là đo được;

sao cho n(I\Is) < ỗ và hạn chế của F trên ỈỊ là liên tục.

Mệnh đề 1.1.13 Cho E là không gian Banach, F : I K(E) là hàm đa trị đo

được mạnh Khi đó F là đo được và có biểu diễn Castaing bao gồm các hàm đo được mạnh.

1

Cho E là không gian Banach, F : I P ( E ) là hàm đa trị Kí hiệu S 1 ( F ) là tập tất

cả các lựa chọn khả tích Bochner, tức là

S 1 ( F ) = {/ G L l ự ) E ) : /(í) G F ( t ) đối với Ị 1 — với mỗi t G /}.

Nếu S 1 ( F ) Ỷ 0) thì hàm đa trị F được gọi là khả tích và tích phân của nó được

định nghĩa như sau

J F(s)ds = y f ( s ) d s : f e S 1 (F)j

với tập con đo được bất kì r c /

Dễ thấy, nếu một hàm đa trị F : I — > K ( E ) là đo được mạnh và bị chặn khả tích, tức là tồn tại một hàm khả tổng V G L l

Cho E là không gian Banach, E Q là không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.1.15 Ánh xạ đa trị F : I X E Q —> K ( E ) được gọi là ánh xạ đa trị

Carathéodory trên nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau đây:

(Fl) với mỗi X G E Q , hàm đa trị

F ( - , x ) : I K ( E )

chứa một lựa chọn đo được mạnh;

(F2) với hầu khắp t G I ánh xạ đa trị F : E Q —,► K ( E ) là nửa liên tục trên.

Nhận xét 1.1.2 Khi không gian E là tách được, "đo được mạnh" trong

điều kiện (F1) có thể thay thế bởi "đo được" Điều kiện (Fl) là đủ để

Tính chất chính của ánh xạ đa trị Carathéodory trên được trình bày trong khẳng

1 8

định sau đây.

Mệnh đề 1.1.14 Nếu F : I X E Q —»■ K(E) là ánh xạ đa trị Carathéodory

đa trị f : I —>■ E của hàm đa trị <p : I —> K(E),

m = F{t,q{t)).

Định nghĩa 1.1.16 Cho số nguyên p > 0, một ánh xạ đa trị Carathéodory trên F : I

X E 0 —»■ K ( E ) được gọi là Ư — Carathéodory trên nếu nó thỏa mãn điều kiện bổ

sung sau của tính bị chặn khả tích địa phương:

(F3) với mỗi r > 0 tồn tại hàm u r G L p

+ Ự ) sao cho

\\F{t, z)|| := supinan : y G F(t,x)} < v r (t)

đối với ¡1 - hầu khắp t G I , với mỗi X G E Q , ||a:|| < r

Mỗi ánh xạ đa trị L p — Carathéodory trên F : I X E 0 —> K ( E ) tạo ra sự chồng

chất toán tử đa trị V F ■ c ự ] E Q ) —> P ( L P Ự , E ) ) ,

V F { X ) = {/ G L p Ự , E ) : f ( t ) G F ( t , x ( t ) ) v ó Ì Ị 1 — hầu khắp, t G /}.

Giả sử ánh xạ đa trị F có giá trị lồi, ta có tính chất chính xác sau đây của sự chồng

chất toán tử đa trị

Mệnh đề 1.1.15 Cho F : I X E Q —i► Kv(E) tò một ánh xạ đa trị L p —

toán tứ tuyến tính bị chặn Khi đó tích hợp thành

(F3’) tồn tại một hàm a G L P

+ ( I ) sao cho

||F(í,a;)|| < CK(Í)(1 + ||a;||) với mỗi t G I,

với mọi XG E o

Định nghĩa 1.1.17 Với số nguyên p > 1, một ánh xạ đa trị F : / X E o —i► K { E )

thỏa mãn điều kiện (FI) -(F2) và (F3’) được gọi là ánh xạ đa trị L p — Carathéodory

trên với cấp tăng a — tuyến tính dưới.

Định nghĩa 1.1.18 Một ánh xạ đa trị F ' K X E o —ì► K ( E ) được gọi là T — tuần

hoàn nếu nó thỏa mãn điều kiện tuần hoàn sau:

(F T ) F(t, X) = F(t + T, X) với t G R và X G E ữ

1.1.3 Bậc tôpô cho hàm đa trị

Cho X c Y là các tập đã biết, T : X —> p(y) là một ánh xạ đa trị Một điểm X G X được gọi là điểm bất động của ánh xạ đa trị T nếu X G F ( x ) Tập tất cả các điểm bất động của T kí hiệu là F i x T

Cho X và Y là không gian metric.

Định nghĩa 1.1.19 Ánh xạ đa trị T : X —> K { Ỵ ) thuộc về lớp c J ( x , Y ) (hay một

C J — ánh xạ đa trị) nếu tồn tại một không gian metric z , một

J — ánh xạ đa trị F : X —>■ K ( z ) , và một ánh xạ liên tục t p : z —>■ Y

sao cho

F = i p o F

Ánh xạ F và là dạng phân tích của F và viết là F = { i p o F )

Trong toàn bộ mục này E là không gian Banach thực

Cho X ç E ] mỗi ánh xạ đa trị F : X —>■ P ( E ) định nghĩa ánh xạ đa t r ị

: X —>■ P { E ) ,

<p(x) = % — F{x)

gọi là miền vectơ đa trị hay miền đa trị tương ứng với T.

2 0

Kí hiệu i : X — > E là ánh xạ bao hàm thức, ta viết

< Ị > = i - F

Nếu A là một không gian của tham số, và Q : X X A — > P ( E ) là một họánh xạ đa trị, khi đó ị p : X X A — > P ( E ) ,

&(X, A) = X — Ç(x, A)

được gọi là họ các miền đa trị

Một điểm X G < p ( x ) sao cho

0 G $(x)

được gọi là điểm kì dị của miền đa trị 0 Dễ thấy rằng điểm X là điểm kì dị của miền

đa trị 0 = i — T khi và chỉ khi nó là điểm cố định của ánh xạ đa trị F

Cho u c E là một tập mở bị chặn, bao đóng của nó kí hiệu là u và biên là d ư

Cho F : u — > K ( E) là một C J — ánh xạ đa trị compact sao cho

FixFndU = 0.

Sau đây là những tính chất chính của bậc tôpô của miền đa trị 0 = i — F

Bổ đề 1.1.1 Nếu <ỉ> = % — F là miền đa trị tương ứng với ánh xạ đa trị F

thì tập <P(dƯ) là tập con đóng của E.

Tập < p ( d ư ) không chứa 0, giá trị ổo = d i s t ( 0 , < p ( d ư ) ) là dương Lấy tập compact K = F ( ư ) và chọn 0 < ô < ổo, một không gian con hữu hạn chiều E ' c E

và ánh xạ liên tục 7T : K ^ E ' sao cho

deg(i — F, ư)

của miền giá trị tương ứng với ánh xạ đa trị T là bậc tôpô của xấp xỉ hữu hạn chiều

của nó

deg{i-F',ữ).

Kí hiệu C J ỹ Ị j ( U , E ) là tập tất cả các c J — ánh xạ đa trị compact T : u —>

K { E ) thỏa mãn điều kiện F i x T n d ư = 0.

Định nghĩa 1.1.21 Các ánh xạ đa trị F Q , T\ Gc J QU (U, E);

[0,1] —> E thỏa mãn các điều kiện sau đây:

(ii)fc(.,0) = (Po, k { - , 1) =

{k O H){x, A) = k{H{x, A), A) vai mọi (x, A) G ữ X [0,1], là

x ệ H { x , A), V(æ, A) G d ư X [o, 1].

Ánh xạ đa trị k o H được gọi là đồng luân trong lóp c JQ U{Ư , E ) liên thông

ánh xạ đa trị E o và J - \ (và liên thông miền đa trị $0 và ).

Sau đây là các tính chất quan trọng của bậc tôpô cho hàm đa trị

2 2

(1) Tính bất biến của phép đồng luân.

Cho Eo, T\ G CJQ U{Ư,E ) và miền đa trị tương ứng $0 = i — Eũ và = %

— T \ là đồng luân Khi đó

deg(#o, U ) = deg(#i, u ).

Bổ đề 1.1.2 Cho Eo G CJỹu{ư,E) và F : u —> K{Ỵ) là một CJ — ánh xạ đa

trị thỏa mãn điều kiện biên

T(x)

ở đẫy <Po = i — Eo ■ Khi đó đối với ánh xạ đa trị E\ = Eo + E ta có E\

G CJ 9 u (U, E) và

= ỉ — E\ ~ ^0 nghĩa là deg(<p 0, u) = deg(<Pi, u).

Bổ đề 1.1.3 Cho các ánh xạ đa trị E Q ,E I G cJ QU ( Ư , E) thỏa mãn điều kiện biên

Zữ

Z \

INI r INI

với mọi Z Q G @ O ( X ), Z \ G @ I ( X ), X G dư, ở đây $k = i — Ek, k = 0,1.

(2) Sự phụ thuộc cộng tính trên miền xác định.

Cho { ư j } ™ = 1 là một họ các tập con mở ròi nhau của ư và C J — ánh xạ đa trị compact J - : ư — > K ( Ỵ ) không có điểm cố định trên tập ữ \ U " = 1 ư ý Khi đó

deg(z - J 7 , ư) = ^2 des(^ _ F ì

deg(z - E,ư) = deg E i (i - J 7 , ưi),

ở đó U \ = ư n E l và d e g E 1 là bậc đánh giá trong không gian E \

Tìm u G K thỏa mãn bất đẳng thức biến phân sau

Ta có một số kết quả sau đây

Định lý 1.2.1 [5] Cho K c M" là compact và lồi, F : K —> M" là liên tục Khi đó tồn tại u G K sao cho

(F(u),v — u) > 0, Vv G K.

Định lý 1.2.2 [5] Cho K c M" là đóng và lồi, F : K —> M" là liên tục.

Điều kiện cần và đủ để tồn tại một nghiệm cho bài toán (1.2.1) là tồn

(1.2.2)

với K R = B(0,R) n K.

C h ứ n g m i n h Dễ thấy rằng nếu tồn tại một nghiệm cho bài toán (1.2.1), thì u là

một nghiệm của (1.2.1) đối với miền K R , ở đây |ti| < R

Giả sử rằng U R G K R thỏa mãn (1.2.2) Khi đó U R cũng là một nghiệm của bài toán(1.2.1) Thật vậy, \ u R \ < R , cho V G K ,