Luận văn thạc sĩ điều kiện cực trị và ổn định trong tối ưu véctơ với thứ tự suy rộng

Khái niệm điểm hữu hiệu của một tập hợp trong không gian có thứ tự sinh bởi nón lồi đã được đưa ra theo nhiều cách khác nhau dựa vào các tính chất tôpô, đại số của nón như: hữu hiệu Pare

NGUYỄN VĂN TUYÊN

TRONG TỐI ƯU VÉCTƠ VỚI THỨ Tự SUY RỘNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGUYỄN VĂN TUYÊN

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

HÀ NỘI - 2016

TRONG TỐI ƯU VÉCTƠ VỚI THỨ Tự SUY RỘNG

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 62.46.01.02

LUẬN ÁN TIẾN Sĩ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN QUANG HUY

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

HÀ NỘI - 2016

Lời cam đoan

Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Quang Huy

Các kết quả trong luận án này là mới và chưa từng công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác

Tác giả luận án

Nguyễn Văn Tuyên

Các kết quả chính của luận án bao gồm: 1) Đưa ra các phân tích chi tiết về khái niệm nghiệm tối ưu theothứ tự suy rộng 2) Thiết lập các điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm tối ưu với thứ tự suy rộng 3) Thiết lập cácđiều kiện đủ cho tính đóng và tính liên thông của tập nghiệm của bài toán tối ưu véctơ với thứ tự suy rộng; cácđiều kiện đủ cực trị cho nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng đối với lớp bài toán tối ưu véctơ lồi 4) Một số tínhchất tôpô như tính đóng, tính trù mật của tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối 5) Thiết lập các điều kiện đủ cho

sự hội tụ trên và sự hội tụ dưới theo nghĩa Kuratowski-Painleve của tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối; chotính nửa liên tục dưới theo nghĩa Berge của ánh xạ điểm hữu hiệu Pareto tương đối

solution with generalized order optimality such as: compares this notion with the traditional notions, the tence solution and some topological properties of solution set Chapter 2 establishes some optimality conditionsfor vector optimization problems with generalized order The goal of Chapter 3 is to deal with the stabilityanalysis of a vector optimization problem using the notion of relative Pareto efficiency.

exis-The main results of the thesis include: 1) A detailed analysis of the notion of generalized orderoptimality 2) Existence theorems in vector optimization with generalized order 3) Some criteria for theclosedness and connectedness of the set of generalized order solutions and some sufficient optimalityconditions in convex vector optimization problems 4) Some topological properties of the relative Paretoefficient set 5) Some sufficient conditions for the upper convergence and the lower convergence in the sense ofKuratowski-Painleve of the relative Pareto efficient sets; some criteria for the lower semicontinuity in the sense

of Berge of the relative Pareto efficient point multifunction

Mục lục

( x \ x ) cặp đối ngẫu giữa X * và X

\ \ x 1o o chuẩn của véctơ X

véctơ 0 trong không gian X

số 0, hoặc véctơ 0 trong không gian cho trước

hình cầu đơn vị đóng trong không gian định chuẩn cho trước

dưới vi phân Fréchet của / tại X

đối đạo hàm Fréchet của F tại ( x , ỹ )

đối đạo hàm Mordukhovich của F tại ( x , ỹ )

ri A phần trong tương đối của tập hợp A

bao aphin của tập hợp A bao lồi của tập hợp A

bao nón của tập hợp A kết thúc chứng minh

Tối ưu véctơ (Vector optimization) hay còn gọi là Tối ưu đa mục tiêu(Multicriteria optimization) được hình thành từ những ý tưởng về cân bằng kinh tế, lýthuyết giá trị của F Edgeworth (1881) và V Pareto (1906) Cơ sở toán học của lýthuyết này là những không gian có thứ tự được G Cantor đưa ra năm 1897, F.Hausdorff năm 1906 và những ánh xạ đơn trị cũng như đa trị có giá trị trong một khônggian có thứ tự thỏa mãn những tính chất nào đó Từ những năm 1950 trở lại đây, saunhững công trình về điều kiện cần và đủ cho tối ưu của H w Kuhn và A w Tuckernăm 1951, về giá trị cân bằng và tối ưu Pareto của G Debreu năm 1954, lý thuyết tối

ưu véctơ mới thực sự được công nhận là một ngành toán học quan trọng và có nhiềuứng dụng trong thực tế

Lúc đầu người ta mới nghiên cứu những bài toán có liên quan tới ánh xạ đơn trị từ không gian Euclide này sang không gian Euclide khác mà thứ tự trong nó được sinh ra bởi nón orthant dương Sau đó người ta mở rộng cho các bài toán trong không gian có số chiều vô hạn với nón lồi bất kì Khái niệm điểm hữu hiệu của một tập hợp trong không gian có thứ tự sinh bởi nón lồi đã được đưa ra theo nhiều cách khác nhau dựa vào các tính chất tôpô, đại số của nón như: hữu hiệu Pareto, hữu hiệu Pareto yếu, hữu hiệu lý tưởng, hữu hiệu thực sự Nhiều nhà toán học có tên tuổi như J M Borwein,

M I Henig, J Jahn, D T Luc đã có những đóng góp quan trọng về sự tồn tại của các điểm hữu hiệu loại này, và điều này dẫn tới việc nghiên cứu các lớp bài toán tối ưu khác

về tính nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới của ánh xạ đa trị Tương tự như vậy cáckhái niệm lồi trên, lồi dưới, Lipschitz trên và Lipschitz dưới cũng được đưa ra Tiếptheo là tính khả dưới vi phân của hàm số, dưới vi phân của hàm lồi, dưới vi phân củahàm Lipschitz địa phương theo nghĩa của F H Clarke Từ các khái niệm này người tatìm được những điều kiện cần và điều kiện đủ cực trị cho các lớp bài toán tối ưu khácnhau.

Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm là một trong những vấn đề quan trọng nhất khinghiên cứu các bài toán quy hoạch toán học và các bài toán tối ưu véctơ Sự tồn nghiệmcủa bài toán tối ưu véctơ trong các không gian vô hạn chiều đã được nhiều tác giả quantâm và nghiên cứu (xem [2,19,26-28,37,41,42,61,64,71,73] và các tài liệu trích dẫnđược trích dẫn trong đó) Theo hiểu biết của chúng tôi, hầu hết các kết quả về sự tồn tạinghiệm trong tối ưu véctơ đều được xét trong các không gian véctơ tôpô với thứ tự sinhbởi một nón lồi Một kết quả cổ điển (xem, p L Yu [71]) chỉ ra rằng tập các điểm hữu

hiệu Min ( A \ , C ) khác rỗng nếu c là nón lồi đóng và A là tập compact Tuy nhiên,giả thiết về tính compact là khá chặt khi giải bài toán trong không gian vô hạn chiều.Sau đó, có nhiều kết quả nghiên cứu đạt được về sự tồn tại điểm hữu hiệu đã loại bỏ

được hạn chế về tính compact Chẳng hạn, Định lý 3.3 trong [41] sử dụng tính C - đ ầ y

đ ủ ( C - c o m p ỉ e t e ) để thay cho tính compact.

Một vấn đề quan trọng khác trong lý thuyết tối ưu đó là việc nghiên cứu cácđiều kiện cần và đủ cực trị Để đưa ra các điều kiện tối ưu cho các bài toán tối ưu véctơkhông trơn, người ta sử dụng các khái niệm đạo hàm suy rộng Chẳng hạn, M.Pappalardo và w Stõcklin [54] đã sử dụng đạo hàm suy rộng của Dini - Hadamard đểđưa ra một số điều kiện tối ưu cho nghiệm Pareto yếu, trong trường hợp hữu hạn chiều

với thứ tự sinh bởi một nón lồi có phần trong khác rỗng Với các khái niệm cơ bản như

n ó n p h á p t u y ế n không lồi của các tập hợp trong không gian Banach, dưới vi phân không lồi của các hàm số thực, đối đạo hàm Fréchet và đối đạo hàm Mordukhovich của ánh xạ đa trị, sau 35 năm phát triển, lý thuyết vi phân suy rộng doGiáo sư B s Mordukhovich khởi xướng đã trở nên hoàn thiện và đưa đến nhiều ứngdụng quan trọng Bộ sách [49,50], gồm 2 tập, mỗi tập có 4 chương, được xuất bản năm

2006, đã nhanh chóng trở thành một tài liệu quan trọng, được nhiều người sử dụng Bộsách đó chứa đựng nhiều kết quả sâu sắc về Giải tích không trơn, Giải tích đa trị, Lýthuyết tối ưu, và ứng dụng

Bên cạnh việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm, các điều kiện cực trị, tính ổn địnhcũng là một vấn đề rất quan trọng trong lý thuyết Tối ưu véctơ và được nhiều nhà toánhọc quan tâm Trong các tài liệu, có hai hướng tiếp cận cơ bản khi nghiên cứu tính ổnđịnh của bài toán tối ưu véctơ Hướng thứ nhất là khảo sát sự hội tụ của tập điểm hữuhiệu của các tập hợp có nhiễu đến một tập cho trước Hướng thứ hai khi nghiên cứutính ổn định đó là nghiên cứu các tính chất liên tục của ánh xạ nghiệm Chẳng hạn, tínhnửa liên tục dưới (trên) của ánh xạ nghiệm hữu hiệu Pareto đã được khảo sát bởi Penot

và Sterna-Karwat [55] Luc, Lucchetti và Malivert [44] đã nghiên cứu tính sự hội tụ củatập các điểm hữu hiệu Pareto và Pareto yếu trong các không gian véctơ tôpô tổng quát.Miglierina và Molho [47, 48] đã nhận được các kết quả về sự hội tụ của tập các điểmhữu hiệu Pareto và Pareto yếu của các bài toán tối ưu véctơ lồi Đối với hướng nghiêncứu tính ổn định của các bài toán tối ưu véctơ lồi độc giả có thể tham khảo thêm các kếtquả trong [41,45] Ngoài ra, các kết quả nghiên cứu về tính liên tục của ánh xạ nghiệmhữu hiệu Pareto và Pareto yếu còn được trình bày trong các sách chuyên khảo [41,57]

và các bài báo (xem [11-15,23,24,55]) Bằng cách sử dụng các tính chất như tính chất trội (domination property), tính chất bao hàm (containment property) và tính chất bao hàm liên hợp (dual containment property) Bednarczuk [11-15] đã nghiên cứu các tính chất nửa liên tục trên, C- nửa liên tục trên theo nghĩa Hausdorff và tính nửa liên tục

dưới theo nghĩa Berge của ánh xạ nghiệm hữu hiệu và ánh xạ điểm hữu hữu hiệu Gầnđây, bằng cách sử dụng cách tiếp cận của Bednarczuk [11,13] và đề xuất các khái niệm

mới tính chất bao hàm địa phương (local containment property), tính chất K- trội địa phương (K- local domination property) và tính chất đóng địa phương đều (uniformly

local closedness) của một ánh xạ đa trị, Chuông, Yao và Yen [23] đã nhận được các kếtquả về tính nửa liên tục dưới của ánh xạ điểm hữu hiệu trong các không gian véctơ tôpôHausdorff với các giả thiết yếu hơn của Bednarczuk

Trong những năm gần đây xuất hiện nhiều bài báo nghiên cứu tối ưu véctơ quacác tập hoàn thiện (improvement set) cho phép xử lý nhiều khái niệm nghiệm tối ưu(nghiệm Pareto, nghiệm Pareto yếu, nghiệm tối ưu xấp xỉ, ) dưới một quan điểmthống nhất nhờ tập hoàn thiện (xem [22,30]) Tuy nhiên, để định nghĩa tập hoàn thiệnđòi hỏi không gian ảnh phải được sắp thứ tự bởi một nón lồi đóng và chính thường.Hơn nữa, bằng cách nào để có thể mở rộng khái niệm nghiệm tối ưu tương ứng với mộttập hoàn thiện cho lớp các bài toán cân bằng vẫn còn là một vấn đề mở (xem [22,Section 5])

Để mở rộng phạm vi áp dụng của các khái niệm nghiệm cổ điển của các bài toánquy hoạch toán học và bài toán tối ưu véctơ, A Y

Kruger và B.s Mordukhovich (xem [50, Subsection 5.5.18] và các tài liệu trích dẫn

được trích dẫn trong đó) đã đề xuất khái niệm nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng (hay nghiệm (/; 0)-tối ưu địa phương), ở đó f : X —> z là một ánh xạ đơn trị giữa các

không gian Banach và tập sinh thứ tự 0 là một tập bất kì chứa gốc Một điểm X £

và một dãy {Zfc} với ll^fcll —> 0 khi k —> 00 thỏa mãn:

f ( x ) ị f ( x ) — 0 — z k với mọi X £ u và k £ N

Nếu 0 là một nón lồi có phần trong tương đối khác rỗng, thì khái niệm nghiệm

tối ưu trên bao phủ các khái niệm nghiệm cổ điển trong tối ưu véctơ như nghiệm Pareto, nghiệm Pareto tương đối (hay nghiệm tối ưu theo nghĩa Slater) (xem [50,67]).

Cần nhấn mạnh rằng, tập sinh thứ tự 0 không nhất thiết là tập lồi hay là nón.Điều này đáp ứng đòi hỏi ngày càng tăng trong thực tế và cả trong lý thuyết áp dụng

của tối ưu véctơ; đặc biệt là trong các mô hình kinh tế (xem [62]).

Ngoài khía cạnh mở rộng phạm vi áp dụng của các khái niệm nghiệm, nghiệm

tối ưu theo thứ tự suy rộng còn là một công cụ hữu ích để nghiên cứu các bài toán minimax (minimax problem) trên một tập compact (xem [50, Example 5.54]) Giả s ử X

ỉà một nghiệm tối ưu địa phương của bài toán minimax

minimize g>(x) := max {(z*, f { x ) ) I z* £ A}, X £ X ,

với f : X z và A c z * ỉà một tập compact yếu* theo dãy (weak* sequentially compact) của z * sao cho: tồn tại z ữ E z với { z * , z ữ ) > 0 với mọi z* £ A Để cho đơn giản, ta giả sử rằng ụ>(x) = 0 Khi đó, X là một nghiệm tối ưu địa phương theo thứ tự

suy rộng của hàm f ứng với tập sinh thứ tự

© : = { z e Z \ ự , z ) <0 M z * £ A}.

Việc xem nghiệm của một bài toán minimax như là nghiệm của một bài toán tối ưuvéctơ theo thứ tự suy rộng giúp chúng ta thuận lợi hơn khi nghiên cứu các điều kiệncần tối ưu cho các bài toán này (xem [50, Subsections 5.3.1, 5.5.19])

Với những ý nghĩa kể trên, việc nghiên cứu các tính chất định tính của nghiệmtối ưu theo thứ tự suy rộng của các bài toán tối ưu véctơ có một ý nghĩa rất quan trọng.Tuy nhiên, theo hiểu biết của chúng tôi mới chỉ có một vài nghiên cứu về các điều kiệncần cực trị (xem [9,50] và các tài liệu được trích dẫn trong đó) và độ nhạy nghiệm (xem[34]) của lớp bài toán này

Luận án này trình bày các kết quả mới về sự tồn tại nghiệm, các tính chất tôpôcủa tập nghiệm, các điều kiện cực trị và tính ổn định của các bài toán tối ưu véctơ vớithứ tự suy rộng Luận án bao gồm phần mở đầu, 3 chương, phần kết luận, và danh mụctài liệu tham khảo

Chương 1 khảo sát khái niệm tối ưu theo thứ tự suy rộng Mục 1.1 phân tíchkhái niệm nghiệm của bài toán tối ưu véctơ theo thứ tự suy rộng Mục 1.2 trình bày một

số kết quả về sự tồn tại nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng Mục 1.3 khảo sát một sốtính chất tôpô (tính đóng và tính liên thông) của tập nghiệm của bài toán tối ưu véctơtheo thứ tự suy rộng

Chương 2 nghiên cứu các điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu véctơ với thứ tựsuy rộng Mục 2.1 nhắc lại một số kiến thức cơ sở của giải tích biến phân Các kiếnthức này là cơ sở để đưa ra các điều kiện tối ưu trong các mục tiếp theo của chươngnày Trong Mục 2.2, bằng cách tiếp cận trên không gian ảnh chúng tôi đã đạt được một

số điều kiện cần, điều kiện đủ cho một điểm hữu hiệu suy rộng Các kết quả về điềukiện cần có thể coi là trường hợp đặc biệt của các kết quả trong [9,50] Tuy nhiên kếtquả về điều kiện đủ là mới Trong mục cuối của chương này, chúng tôi trình bày một sốđiều kiện đủ cho điểm là nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng dưới các giả thiết về tínhlồi

Chương 3 trình bày các kết quả nghiên cứu về tính ổn định của bài toán tối ưuvéctơ sử dụng khái niệm nghiệm Pareto tương đối Bằng cách sử dụng cách tiếp cậncủa Luc [44] chúng tôi nhận được các kết quả về sự hội tụ của tập điểm hữu hiệu Paretotương đối Các kết quả này mở rộng kết quả của [44, Theorem 2.1] và [45, Proposition3.1] từ tập điểm hữu hiệu Pareto yếu sang tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối Để nhậnđược kết quả về tính nửa liên tục dưới của ánh xạ điểm hữu hiệu Pareto tương đối củabài toán tối ưu véctơ có tham số với thứ tự được sinh bởi một nón lồi có phần trong

tương đối khác rỗng, chúng tôi đề xuất một số khái niệm mới được gọi là tính chất bao hàm tương đối (relative containment property), tính chất nửa liên tục dưới tương đối (relative lower semicontinuity) và tính chất nửa liên tục trên tương đối theo nghĩa Hausdorff (relative upper Hausdorff semicontinuity) của một ánh xạ đa trị Các kết quả

nhận được mở rộng và làm mạnh hơn các kết quả tương ứng trong [11,12] Trong Mục3.1, chúng tôi trình bày một số tính chất của tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối Mục3.2 trình bày các kết quả về sự hội tụ trên theo nghĩa Kuratowski-Painlevé của tập điểmhữu hiệu Pareto tương đối Mục 3.3 trình bày các kết quả về sự hội tụ dưới theo nghĩaKuratowski-Painlevé của tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối Trong mục cuối chúngtôi thiết lập một số điều kiện đủ cho tính nửa liên tục dưới của ánh xạ điểm hữu hiệuPareto tương đối

Các kết quả của luận án đã được báo cáo tại:

- Xêmina của Phòng Sau đại học (Trường ĐHSP Hà Nội 2)

- Xêmina của Phòng Giải tích số và Tính toán khoa học (Viện Toán học).

- Xêmina của Nhóm nghiên cứu Lý thuyết tối ưu (Viện nghiên cứu

Các kết quả của luận án đã được công bố trong 4 bài báo được đăng ở

Nonlinear Analysis [67], Acta Mathematica Vietnamica [68] và gửi đăng ở Vietnam

Journal of Mathematics [35], Taiwanese Journal of Mathematics [69].

Luận án này được hoàn thành tại Trường ĐHSP Hà Nội 2 Tác giả xin chânthành cám ơn PGS TS Nguyễn Quang Huy đã tận tình hướng dẫn để có được nhữngkết quả trong luận án

Xin chân thành cám ơn GS TSKH Nguyễn Đông Yên, PGS TS Nguyễn NăngTâm, PGS TS Khuất Văn Ninh, TS Trần Văn Bằng và các thành viên của XêminaGiải tích - Phòng Sau đại học Trường ĐHSP Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong quátrình nghiên cứu

Tác giả xin trân trọng cảm ơn các Giáo sư trong hội đồng chấm luận án cấp cơ

sở về các ý kiến đóng góp quí báu cho Luận án

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường ĐHSP Hà Nội 2, PhòngSau đại học, Khoa Toán, và cán bộ công nhân viên của Trường ĐHSP Hà Nội 2 đã luônđộng viên giúp đỡ tác giả

Xin cám ơn các bạn nghiên cứu sinh, gia đình và bạn bè đã luôn khuyến khích giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu

Mục 1.1 trình bày một số tính chất của nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng vàmối liên hệ giữa khái niệm nghiệm này với các khái niệm nghiệm cổ điển trong tối ưuvéctơ Mục 1.2 trình bày một số kết quả về sự tồn tại nghiệm tối ưu theo thứ tự suyrộng Mục 1.3 khảo sát một số tính chất tôpô (tính đóng và tính liên thông) của tậpnghiệm của bài toán tối ưu véctơ theo thứ tự suy rộng.

Chương này được viết trên cơ sở các bài báo [35,68]

1.1 Khái niệm nghiệm

Cho z là một không gian Banach Với mỗi tập o c z, kí hiệu ¿(0) là tập hợp 0 n (—0)

Định nghĩa 1.1 Cho A là một tập con khác rỗng trong z và 0 c z là một tập chứa Oz.

Một điểm Z £ A được gọi là một điểm, hữu hiệu suy rộng (generalized efficient point) của A tương ứng với 0, nếu tồn tại một dãy {Zfc} c z với ll^fcll —> 0 khi k —> 00 thỏa

Chứng minh Giả sử Z là một điểm hữu hiệu suy rộng bất kì của A tương ứng với 0 Khi

đó, tồn tại một dãy {zk} c z với ||zfc|| —» 0 khi k oo sao cho Z — z k Ệ (A + 0) với mọi

k £ N Vì vậy, Z — z k £ (A + 0)c với mọi k £ N Lấy u là một lân cận tùy ý của Z Vì Z

£ A và Oz £ 0 nênta suy ra Z G { A + 0) Do đó, U n { A + 0) Ỷ 0- Từ lim (z — Zk) = ta CÓ Z — Zk G U với k đủ lớn Vì vậy, Z — Zk G U n { A + 0)c với k đủ lớn Suy ra U n { A + 0)c Ỷ 0- Vì vậy Z G bd (Ẩ + 0) Điều này kéo theo GMin ( A I0) c A n bd ( A + 0) Để chứng minh bao hàm thức ngược lại lấy Z G A n bd ( A + 0)

Cuối cùng, nếu A là một tập con đóng của z , từ tính đóng của bd (Ẩ+0), ta suy ra

Nhận xét 1.2 (i) Từ Định lý 1.1, ta có GMin(j4|0) c bdA Thật vậy, giả sử tồn tại một

điểm hữu hiệu suy rộng của A tương ứng với 0 không là điểm biên của A Từ Z E A ta suy ra Z E int A Vì vậy, tồn tại một lân cận u của Z sao cho u c A Từ A c A + Q ta có

U c 1 + 0 Do đó, Z E int (A + 0), mâu thuẫn với (1.3).

(ii) Nếu A mở hoặc Ẩ+0 mở thì GMin (A I 0) = 0 Thật vậy, nếu A mở, thì từ A

c Ẩ+0 ta suy ral c int (Ẩ+0) Do đó, Ẩnbd (Ẩ+0) = 0, hay là GMin (A I 0) = 0 Nếu A +

0 mở, thì bd (A + 0) = 0 Theo Định lý 1.1 ta cũng suy ra GMin (A I 0) = 0.

Z

Khi đó, 2* được gọi là một hàm tựa (supporting functional) của A tại Z Kí hiệu 0* là

tập cực (polar set) của 0:

0* = {z* £ z* I {z*, ớ) < 0 Vớ G 0}.

Mệnh đề 1.1 Cho A ỉà một tập con khác rỗng trong không gian Banach z và 0 c z

chứa 0z ■ Nếu z G A là một điểm tựa của A tương ứng với hàm tựa z* £ 0*, thì Z £

0 Vì vậy, tồn tại 2 G A và 0 G 0 thỏa mãn

ự , z ) < ự , z + Q ) (1.4)

Vì 2* G 0* nên ( z * , 6 ) < 0 Điều này và (1.4) suy ra

( z \ z ) < ự , z ) ,

Mệnh đề sau chỉ ra rằng, nếu A + 0 là một tập lồi với phần trong khác rỗng, thì mọi điểm hữu hiệu suy rộng của tập A cũng là điểm tựa của tập hợp này.

Mệnh đề 1.2 Cho A là một tập con khác rỗng trong không gian Banach z, và 0 c z chứa 0z■ Giả sử rằng, A + 0 là một tập lồi và có phần trong khác rỗng Khi đó,

GMin (A I 0) = 1J{^°(^) I z* e Q * , z * ỹé 0}.

Chứng minh Từ Mệnh đề 1.1, để chứng minh mệnh đề trên ta chỉ cần chỉ ra rằng

GMin (A I 0) c |J{Ẩ°(^) I G 0*, Ỷ

0}-Thật vậy, lấy 2 G GMin (A I 0) tùy ý Theo Định lý 1.1, 2 là một điểm biên của A + 0.

Do A + 0 là một tập lồi có phần trong khác rỗng nên cl (A + 0) cũng có các tính chất này Vì vậy, tồn tại một hàm tựa z* của cl (A + 0) tại 2 (xem [18]) Từ { z * , z ) >

{ z * , z ) với mọi 2: G cl ( A + 0), ta suy ra

( z * , z ) > ( z * , Z + 0 )

với mọi 0 £ 0 Do đó, { z * , ô ) < 0 với mọi 0 £ 0 Điều này có nghĩa là z* £ 0* Từ A c

A + 0 c cl ( A + 0) ta suy ra là một hàm tựa của A tại z , hay là z £ A°(z*) Do đó, ta có

0}-Chú ý rằng các kết quả trên không đòi hỏi rằng 0 phải là một nón với 0 \ ¿(0) Ỷ

0- Hệ quả 1.1 là một mở rộng của [71, Lemma 4.5] từ điểm hữu hiệu (xem Định nghĩa1.3 ở bên dưới) sang điểm hữu hiệu suy rộng

Vì vậy,

= [0,1] X {0,1}

Mệnh đề sau được suy ra trực tiếp từ định nghĩa của điểm hữu hiệu suy rộng

Mệnh đề 1.3 Cho A là một tập con khác rỗng trong z và 0 c z là một tập chứa

Trong Định nghĩa 1.1 chúng ta không đòi hỏi 0 là một nón lồi và cũng không

đòi hỏi 0 phải có phần trong khác rỗng Nếu 0 là một nón lồi với với riO / 05 thì khái

niệm điểm hữu hiệu suy rộng bao phủ các khái niệm điểm hữu hiệu cổ điển trong tối ưuvéctơ

Định nghĩa 1.2 Giả sử 0 là một nón lồi với riO / 0- Một điểm Z G A được gọi là một điểm, hữu hiệu Pareto tương đối/điểm hữu hiệu Slater (relative Pareto efficient point/Slater efficient point) của A tương ứng với 0, nếu

Tập hợp tất cả các điểm hữu hiệu tương đối của A tương ứng với 0 được kí hiệu bởi RMin (A I 0).

Nếu 0 là một nón lồi trong z, thì 0 sinh ra một quan hệ thứ tự trên z như sau:

Z ị , z 2 G z , z 2 > Zị nếu z 2 — Z1 G 0 Ta viết X > y nếu X > y và không có y > X ,

hoặc là, X G y + 0 \ ¿(0) Một nón 0 được gọi là nhọn nếu ¿(0) = {0^}.

Định nghĩa 1.3 Cho 0 là một nón lồi trong Z, A c z là một tập con khác rỗng

(i) Một điểm Z G A được gọi là điểm hữu hiệu Pareto yếu/điểm hữu hiệu yếu (weak Pareto efficient point/weak efficient point) của A tương ứng với 0, nếu

A n {z — int 0) = 0 và int 0 / 0 Tập hợp tất cả các điểm hữu hiệu Pareto yếu của A tương ứng với 0 được kí hiệu là WMin (A I 0).

(ii) Một điểm Z E A được gọi là một điểm hữu hiệu Pareto/điểm hữu hiệu (Pareto efficient point/efficient point) của A tương ứng với 0, nếu

(z > y, với y E A nào đó ) => (y > z).

Tập hợp tất cả các điểm hữu hiệu Pareto của A tương ứng với 0 được kí hiệu bởi Min (A I 0).

Mệnh đề 1.5 Nếu 0 là một nón lồi thì các phát biểu sau đây đúng

(i) Nếu int 0^0, thì GMin (A I 0) c WMin (A I 0).

(ii) Nếu int 0^0, thì WMin (A I 0) c RMin (A I 0).

(iii) Nếu ri o ^ 0, thì RMin (A I 0) c GMin (A I 0).

Vì vậy, nếu 0 là một nón lồi với phần trong khác rỗng, thì

WMin ( A \ G ) = RMin ( A I 0) = GMin ( A I 0). (1.11)

Chứng minh, (i) Giả sử, int 0^0 Lấy Z G GMin (A I 0) tùy ý Theo định nghĩa của điểm

hữu hiệu suy rộng, tồn tại một dãy {Tfc} c z với ll^fcll —> 0 khi k —> 00 thỏa mãn

A n (z — int 0) = 0.

Suy ra Z G WMin (A 1 0).

(ii) Nếu into Ỷ 0J thì ri© = int© và (ii) là hiển nhiên.

(iii) Giả sử ri© Ỷ 0- Lấy Z G RMin (A 1 ©) tùy ý Suy ra

k + 1 c ri O.

Từ điều này và (1.16) ta suy ra

ri n (z - 0 - z k ) = 0 VA; G N,

Mệnh đề 1.6 (xem [41, Proposition 2.3]) Một điểm Z G Min (ri I 0) khi và chỉ khi A

n (z — 0) c Z + ỉ(0), hoặc là, không có y G ri nồỡ thỏa mãn Z > y Đặc biệt, khi 0

là một nón nhọn, Z G Min (ri I 0) khi và chỉ khi A n (z — 0) = {z}.

Mệnh đề 1.7 Giả sử 0 c z là một nón lồi thỏa mãn 0 \ ¿(0) khác rỗng và A là một tập

con khác rỗng trong z Nếu Z là một điểm hữu hiệu Pareto của A tương ứng với 0, thì

Z là một điểm hữu hiệu suy rộng của A tương ứng vói 0, hay là

Chứng minh Giả sử phản chứng, tồn tại z G Min (ri I 0) nhưng z không thuộc GMin (ri

I 0) Theo Định lý 1.1, z ị bd (ri + 0) Điều này có nghĩa là tồn tại một lân cận u của z

sao cho

u n (ri + 0) = 0 hoặc u n (ri + 0)c = 0

Rõ ràng, z G ri c ri + 0 Vì vậy, u n (ri + 0) Ỷ 0- Điều này kéo theo

tức là

U c A + G

Hơn nữa, ta có U n ( z — 0 \ ¿(0)) Ỷ 0- Thực vậy, từ 0 \ ¿(O) Ỷ 0 chọn VẼ0 \

¿(0)- Dễ thấy, Z — -ị^ụịV G ( z — 0 \ ¿(O)) với mọi k G N Từ

điều này mâu thuẫn với Z G Min ( A I 0) Mệnh đề được chứng minh □

Nhận xét 1.3 Nếu 0 \ ỉ(0) = 0, thì bao hàm thức (1.17) trong Mệnh đề 1.7 không đúng.

thiết cho mệnh đề này Ví dụ sau chứng tỏ điều này

Ví dụ 1.3 Lấy A = { x = ( x i , x2) G M2 I x ị + x \ < 1}, 0 = { x = ( x i , x2) G M2

I x2 = 0} Ta có 0 là một nón lồi và 0 \ ỉ(0) = 0 Bằng cách tính toán trực tiếp, ta có

A + 0 = { x = ( x \ , x 2 ) G M2 I \ x21 < 1},và

bd ( A + 0) = { x = { x i , x 2 ) € M2 I \x 2 \ = 1}.

Vì vậy

GMin ( A I 0) = A n bd ( A + 0) = {( 0 , 1 ), ( 0 , - 1 )} Tuy nhiên, dễ

thấy Min (A I 0) = A ç GMin (A I 0)

1.2 Sự tồn tại nghiệm

1.2.1 Sự tồn tại điểm hữu hiệu suy rộng

Giả sử 0 là một nón lồi z Một lưới {x a I a G 1 } trong z được gọi là giảm

(tương ứng với 0) nếu x a > X ß với mỗi a, ß G I, ß > a Với mỗi X G Z, đặt Ax := A n

(x — 0) Tập Ax được gọi là một lát cắt của A tại X

Định nghĩa 1.4 (xem [41, Definition 3.2, p 46]) Một tập A c z được gọi là Q-đầy đủ (O-complete) nếu không có phủ nào có dạng {(x a — Cl0) c I a G 1 } với {xQ} là một lướigiảm trong A

Định nghĩa 1.5 Một nón lồi 0 trong z được gọi là nón đúng (correct cone) nếu

Định lý 1.2 Giả sử rằng 0 là một nón lồi đúng thỏa mãn 0 \ ỉ ( 0 ) khác rỗng và A là

một tập con khác rỗng trong z Nếu A có lát cắt Q-đầy đủ, thì

GMin ( Ẩ | 0 )

khác rỗng.

Chứng minh Dưới các giả thiết của định lý, theo Mệnh đề 1.8, ta có Min (A I 0) khác

Ví dụ sau chứng tỏ rằng điều kiện về sự tồn tại lát cắt O-đầy đủ trong Định lý1.2 chỉ là điều kiện đủ cho GMin ( A I 0) Ỷ 0 mà không cần.

Ví dụ 1.4 Cho A = { x = (£1,0:2) € K2 I x2 > 0} và 0 = Rị Dễ thấy 0 là một nón lồi,

đóng, nhọn và 0 \ ¿(0) = Rị \ {0} Ỷ 0- Dễ thấy Min ( A I 0) = 0 Theo Mệnh đề 1.8, tập

A không có lát cắt O- đầy đủ Tuy nhiên, bằng các tính toán trực tiếp ta có A + 0 = A

Vì vậy, điều kiện 0 \ ¿(0) Ỷ 0 trong Định lý 1.2 là không thể bỏ được.

Định lý 1.3 Giả sử rằng A là một tập con khác rỗng trong z và 0 c z là một tập bất

kì chứa Oz■ Nếu nón lồi đóng 0 := clconvconeO thỏa mãn

và A có lát cắt Q-đầy đủ, thì GMin (A I 0) Ỷ 0'

Chứng minh Do 0 c 0, nên theo Mệnh đề 1.3 ta có

Vì 0 là một nón lồi đóng, nên 0 là nón đúng Theo Định lý 1.2, tập hợp GMin I 0^ khác

rỗng Điều này và (1.19) suy ra GMin (A I 0) Ỷ 05 chứng minh kết thúc. □

Kết quả sau đảm bảo sự tồn tại điểm hữu hiệu suy rộng của một tập compact

khác rỗng A trong một không gian vô hạn chiều.

Hệ quả 1.2 Cho A là một tập compact khác rỗng trong z và 0 c z là một tập chứa

Oz■ Nếu 0 := clconvconeO thỏa mãn điều kiện (1.18), thì GMin (A I 0) khác rỗng.

Chứng minh Từ tính compact của A và [41, Lemma 3.5 (1)] ta suy ra A là tập 0-đầy đủ.

Dễ thấy rằng 0 là một nón đúng Theo Định lý 1.3, tập GMin (A I 0) khác rỗng. □

Nhận xét 1.4 Trong [41], D T Luc đã chỉ ra rằng “Nếu z là một không gian hữu hạn chiều, thì Min (A I 0) khác rỗng với mọi tập compact khác rỗng A và nón lồi 0” Tuy

nhiên, A Sterna-Karwat [64] đã đưa ra một ví dụ chứng tỏ rằng khẳng định trên khôngcòn đúng trong trường hợp không gian được xét là vô hạn chiều, cần nhấn mạnh rằng,

Hệ quả 1.2 chứng tỏ rằng mọi tập compact khác rỗng A trong một không gian vôhạn

chiều đều có ít nhất một điểm hữu hiệu suy rộng miễn là tập sinh thứ tự 0 thỏa mãnđiều kiện (1.18)

Ví dụ 1.6 (xem [41, Example 3.13] và [64]) Cho z là không gian véctơ gồm tất cả các

dãy số thực X = {x n } sao cho x n = 0 với mọi n trừ một số hữu hạn chỉ số Không gian z

là một không gian định chuẩn với chuẩn

x\\ = max{|a;n| I n = 1, 2, • • • }.

Lấy 0 c z là nón hợp của véctơ không và các dãy có số hạng cuối cùng khác không là

số dương Khi đó, 0 là một nón lồi nhọn Nón này được gọi là nón hầu khắp (ubiquitous cone) vì bao tuyến tính của 0 là toàn bộ không gian z Lấy e n là các véctơ

đơn vị với phần tử khác không duy nhất bằng 1 tại vị trí thứ n Xét tập hợp

trong đó

n

lim y X ị = x ồ n—ìoo *

%— 1

Hơn nữa,

x 0

Điều này chứng tỏ rằng Min (A I

0) = 0 Tuy nhiên, GMin (A I 0) là một tập con khác rỗng trong z Thực vậy, ta có

Rõ ràng 0 là đóng Vì vậy, 0 là nón đúng Dễ thấy điều kiện (1.18) thỏa mãn Theo Hệ

quả 1.2, tập GMin ( A I 0) khác rỗng.

1.2.2 Áp dụng cho bài toán tối ưu véctơ

Giả sử rằng X và zlà hai không gian Banach và 0 c zlà một tập chứa gốc Cho

F là một ánh xạ đa trị từ X tới z.Các kí hiệu sau sẽ được sử dụng cho các ánh xạ đa trị

domF = { x £ X \ F { x )

gph F = { ( x , y ) £ X X z \ y £ F ( x ), X £ dom F }

Định nghĩa 1.6 (xem [41,42]) Giả sử rằng ũ là một tập con của dom F và 0 c zlà một

tập chứa 0 z

-(i) F được gọi là Q-liên tục trên (upper O-continuous) tại X £ íĩ nếu với mỗi lân

cận Vcủa F ( x ) trong z, tồn tại một lân cận ucủa X trong X sao cho

Nếu điều này đúng với mọi X £ Q, thì ta nói rằng F là 0-nửa liên tục trên trên tập Q.

(iii) F là Q-ỉiên tục dưới (lower 0-continuous) tại X nếu với mỗi y £ F ( x )

và với mỗi lân cận V của y trong z, tồn tại một lân cận ucủa X trong X sao

cho

F ( x ) n ( V + 0) Ỷ 0 v<3i mỗi X £ u n dom F

Ta nói rằng F là 0-liên tục dưới trên tập o nếu nó là 0-liên tục dưới tại mọi điểm thuộc

Q

(iv) F được gọi là Q-liên t ụ c (O-continuous) tại X nếu nó là O-liên tục trên

và O-liên tục dưới tại điểm này

Trong định nghĩa trên, nếu 0 = {0} thì ta nói một cách đơn giản F là liên tục trên thay cho F là {0}-liên tục trên Dễ thấy rằng nếu F là O-liên tục trên tại X e D, thì

F là O-nửa liên tục trên tại X Điều ngược lại nói chung không đúng

Định nghĩa 1.7 Cho F : X =4 zlà một ánh xạ đa trị giữa các không gian Banach, 0 c

zlà một tập chứa gốc, và tập ràng buộc íĩ c X.Ta nói rằng cặp ( x , z ) e gph F là một

nghiệm tối ưu địa phương theo thứ tự suy rộng (locally generalized optimal

solution) của F tương ứng với tập sinh thứ tự 0 trên íĩ, nếu z e GMin (F(fĩ n u ) I 0), với

u là một lân cận nào đó của X

Nếu trong Định nghĩa 1.7 có thể lấy u = X, thì (x, z) được gọi là nghiệm tối

ưu toàn cục (hay nghiệm tối ưu) theo thứ tự suy rộng. Tập tất cả các nghiệm tối ưu

theo thứ tự suy rộng của F tương ứng với 0 trên íĩ được kí hiệu là GS (íĩ, F).

Khi F = f : X —> zlà một ánh xạ đơn trị, chúng ta bỏ qua Z trong nghiệm hữu

hiệu suy rộng và X được gọi là một nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng của / tương ứngvới 0 trên Q (hay nghiệm (f , Q ) - t ố i ưu, xem [50, Definition 5.53]).

Mệnh đề 1.9 Giả sử rằng 0 ỉà một nón lồi đúng với 0 \ l(Q) khác rỗng, ílc X là một tập compact khác rỗng và F là Q-nửa liên tục trên trên Q với F ( x ) + Q đóng và Q - đ ầ y đủ với mọi X E o Khi đó, GS (Q, F ) khác rỗng.

Chứng minh. Theo [42, Lemma 3.2], F(Q) là 0-đầy đủ Áp dụng Định lý 1.2 cho tập

Nhận xét 1.5 Nếu 0 không lồi, thì Mệnh đề 1.9 không đúng Điều này có nghĩa là tính

lồi của 0 là điều kiện thiết yếu của mệnh đề này

Ví dụ sau được thiết kế cho điều ta vừa khẳng định trong Nhận xét 1.5

Ví dụ 1.7 Lấy X= z= R2, ũ = { x = ( x i , X 2 ) e R2 I x 2 = \x\, —1 < X ị < 0}, F ( x )

= {x} với mọi X e íĩ và

0 = { z = { z i , z 2 ) e R2 I z 2 > Z i } u { z = { z l ĩ z 2 ) e R2 I z 2 > - Z i }

Dễ dàng kiểm tra được tất cả các giả thiết trong Mệnh đề 1.9 đều thỏa mãn ngoại trừ

điều kiện 0 là một tập lồi Ta sẽ chỉ ra GS (íĩ, F ) = 0, tức là GMin ( A I 0) = 0 với Ả := F(íĩ) Thực vậy, ta có Ả + 0 = ị z = ( Z Ị , Z2) E R2 I z 2 > Z ị } u { z = (zi, z2 ) G R2 I

z 2 > — Z \ — |}, và

A c int(yl + 0).

Vì vậy

Ẩnbd(Ẩ + 0) = 0,hay là

GMin ( A I 0) = 0.

Mệnh đề 1.10 G i ả s ử rằng ílc z ỉà một tập compact, F ỉà nửa liên tục trên trên tập

Q và 0 c z ỉà một tập chứa gốc Nếu 0 := clconvconeB thỏa mãn điều kiện (1.18), thì

1.3 Tính chất tôpô của tập nghiệm

Chứng minh. Giả sử phản chứng, tồn tại một dãy nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng

{xn} của / trên Q hội tụ đến X , nhưng X Ệ GS (Q, /) Do tính đóng của Q ta có X £

o Vì vậy f ( x ) E /(O) Vì X Ệ GS (Q, /) nên f ( x ) ị GMin (/(Q) I 0) Theo Định lý

f { x n 0 ) - 01 € int (/(D) + 0).

Ta chỉ ra rằng f ( xno) ị GMin (/(D) I 0) Thực vậy, lấy {Tfc} là một dãy tùy

ý với ll^fcll - ¥ 0 khi k — > 00 Từ (1.21) và ll^fcll — > 0 khi k — > 00 ta suy ra

với k 0 đủ lớn Vì vậy, f ( xn o ) Ệ GMin(/(fĩ) |0) Điều này có nghĩa là xn o Ệ GS (íĩ, /),

Hệ quả 1.3 G i ả s ử 0 l à m ộ t n ó n l ồ i v ớ i phần trong khác rỗng Nếu Q đóng, f

là Q-liên tục trên Q, thì tập nghiệm yếu của bài toán (VOP) đóng.

Nhận xét 1.6 (i) Một tập 0 chứa gốc và thỏa mãn điều kiện (1.20) không nhất thiết

Ví dụ 1.8 Cho X= Z= R2, 0 = {x = ( x i , x 2 ) G R2 I X \ > |x2|}u{a; = ( x i , x 2 ) G

R2I X \ < 0, x 2 = 0}, íĩ = {0} X [—1,1] và / : X —> z được định nghĩa như sau

Tập sinh thứ tự 0 là một nón không lồi Vì vậy, điều kiện (1.20) không được thỏamãn Dễ thấy / là O-liên tục trên R2nhưng không liên tục trên íĩ Bằng các tính toánđơn giản ta được

Cho A là một tập con khác rỗng trong không gian Banach z, B c A Kí hiệu

A f ( 0 z ) là tập tất cả các lân cận của điểm 0 Z Trong mục này, chúng ta giả sử rằng

0 là một nón lồi

Định nghĩa 1.8 (xem [41, Definition 4.1, p 54]) Ta nói rằng tính chất trội (the

domination property), kí hiệu là (DP), đúng cho cặp (A, B) c zX z, nếu

Định nghĩa 1.9 (xem [11]) Ta nói rằng tính chất bao hàm (the containment

property), kí hiệu là ( C P ) , đúng cho ( A , B ) c z X z,nếu với mỗi w e Á í ( 0 z ) i tồn tại V G A í ( 0 z ) sao cho

(1.24)

Mệnh đề 1.11 Cho A là một tập con khác rỗng trong không gian Banach z , 0

là một nón lồi với 0 \ ¿(0) Ỷ 0- Nếií ( C P ) đúng cho (A, Min (A I 0)), thì

Min (A I 0) c GMin (A I 0) c cl Min (A I 0) (1.25)

Hệ quả 1.4 Cho A ỉà một tập con đóng khác rỗng trong không gian Banach z,

0 ỉà một nón lồi thỏa mãn 0\ỉ(0) Ỷ 0- Nếu (CP) đúng cho (Ẩ, Min ( A I 0)) thì

Chứng minh. Từ tính đóng của A và Định lý 1.1, ta có GMin ( A I 0) đóng Theo

Mệnh đề 1.11, ta có GMin ( A I 0) = clMin(yl|0) Chứng minh kết thúc. □

Một tập A c z tương ứng được gọi là Q-lồi (O-convex), Q-đóng (O-closed) nếu tập A + 0 tương ứng là lồi, đóng Đặt

0+i = ự G Z* I ự , e ) > 0 Vớ G 0 \ {0}}.

Định lý sau cho ta một kết quả về tính liên thông của tập điểm hữu hiệu suy rộng trong không gian Banach

Định lý 1.6 Cho A là một tập compact yếu, Q-lồi trong không gian Banach z Giả

sử 0 là một nón nhọn thỏa mãn 0+i Ỷ 0- Neu ( C P ) đúng cho (A, Min (A I 0)), thì tập GMin (A I 0) liên thông tương ứng với tôpô yếu ơ(z, z * )

Chứng minh Theo [59, Theorem 3.2], E(A I 0)) là liên thông tương ứng với tôpô yếu

ơ ( z , z * ) Điều này và Mệnh đề 1.11 suy ra G E ( A I 0) liên thông. □

Nhận xét 1.7 Nếu ( C P ) không đúng cho cặp ( A , Min (A I 0)), thì tập GMin ( A I

0) có thể không liên thông (xem Ví dụ 1.9 ở bên dưới)

Mệnh đề 1.12 (xem [40, Theorem 4.1]) Cho Rm là không gian Euclide m-chiều Giả sử 0 là một nón lồi, đóng, nhọn và A là một tập khác rỗng, 0-đóng, Q-lồi trong

M m Khi đó, tập Min (A I 0) co rút được.

Định lý 1.7 Giả sử rằng 0 là một nón lồi, đóng, nhọn và A là một tập lồi, khác rỗng, Q-đóng trong Mm Nếu Min (A I 0) khác rỗng, thì tập GMin (A I 0) là liên