Hàm riêng của biến đổi chính tắc tuyến tính OF(a,b,c,d) cho trường hợp a + d = 2

Trong luận văn này chúng ta sẽ tìm hiểu về trường hợp đặc biệt biến đổi tíchphân Fourier và ứng dụng của nó trong quang học.. Chương mở đầu là kiến thức chuẩn bị, chúng ta sẽ nhắc lại bi

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-TĂNG THỊ ĐỨC

HÀM RIÊNG CỦA BIẾN ĐỔI CHÍNH TẮC

TUYẾN TÍNH O O OF (a,b,c,d) F (a,b,c,d) F (a,b,c,d) CHO TRƯỜNG HỢP |a + d| > 2

Chuyên ngành: Giải tích

Mã số: 60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS.NGUYỄN MINH TUẤN

HÀ NỘI - 2016

Mục lục

Lời nói đầu

Toán học giải tích là một trong những chuyên ngành nghiên cứu quan trọnghàng đầu của toán học hiện đại Nó bao gồm nhiều lĩnh vực được mọi ngườiquan tâm, nghiên cứu Và biến đổi Fourier là một trong số đó vì nó có rất nhiềuứng dụng khoa học, ví dụ như trong vật lý, số học, xác suất, thống kê, hải dươnghọc, hình học và nhiều lĩnh khác Ngày nay các nhà khoa học vẫn đang cố gắngkhám phá ra những kết quả có tầm quan trọng nhằm nâng cao được ứng dụngcủa nó

Trong luận văn này chúng ta sẽ tìm hiểu về trường hợp đặc biệt biến đổi tíchphân Fourier và ứng dụng của nó trong quang học

Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh mụctài liệu

Chương mở đầu là kiến thức chuẩn bị, chúng ta sẽ nhắc lại biến đổi chính tắctuyến tính và các trường hợp biến đổi đặc biệt của biến đổi này, hàm riêng củabiến đổi Fourier phân thứ, một số kết quả đẫ được xây dựng về các hàm riêngcủa LCT Cuối cùng ta trình bày hai tính chất quan trọng sẽ được dùng trongsuốt luận văn

Chương hai, phần đầu ta trình bày hàm riêng của LCT trong trường hợp

|a + d| = 2 Trong trường hợp này ta trình bày hàm riêng của LCT khi a + d = 2

canonical transform" Soo-Chang Pie và Jian-Jiun Ding.

Trong quá trình thực hiện luận văn tôi đã nhận được sự chỉ bảo, hướng dẫntận tình của PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn Các thầy cô trong khoa Toán - Cơ -Tin học trường đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội đã giúp

đỡ tôi có thêm nhiều kiến thức để có thể hoàn thành luận văn và khóa học mộtcách tốt đẹp Bên cạnh đó còn có sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô phòngSau Đại học đã tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi hoàn thành các thủ tục bảo

vệ, các thầy cô và các bạn trong seminar Toán Giải Tích đã có những góp ý hữuích để tôi hoàn thành luận văn tốt nhất Cuối cùng, tôi xin gửi lời biêt ơn tớigia đình, người thân đã luôn động viên, ủng hộ tôi trong suốt thời gian học tập

và hoàn thành khóa luận

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi những thiếusót Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các bạn

Hà Nội, tháng 10 năm 2015

Tăng Thị Đức

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Biến đổi chính tắc tuyến tính (LCT)[1]-[4] là biến đổi tích phân với bốntham số {a, b, c, d} Biến đổi LCT được giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1970 [5],[6] Một số phép toán như, biến đổi Fourier (Fourier transform-FT), biến đổiFourier phân thứ (fractional Fourier transform-FRFT)[7]-[9], biến đổi Fresnel[10] và phép toán co giãn là trường hợp đặc biệt của LCT Trong một số bàibáo, phép biến đổi LCT được gọi là phép biến đổi Fourier afin (affine Fouriertransform-AFT) [2],[11], biến đổi Fresnel tổng quát [12], công thức Collins [6],biến đổi ABCD [3] (ABCD transform), hoặc biến đổi Fourier và biến đổi Fresnel.Phép biến đổi LCT được ứng dụng trong phân tích hệ rada, phân tích hệ môitrường Grin, thiết kế máy lọc và nhiều ứng dụng khác

Ta xét một số trường hợp đặc biệt của LCT Ví dụ, hàm riêng của FRFT làhàm Hermite được nhân thêm vớiexp( −t 2 /2) Hàm riêng của LCT khi{a, b, c, d} = {1, b, 0, 1} (trường hợp này LCT trở thành biến đổi Fresnel) là hàm tuần hoàn(hàm tuần hoàn này gọi là hiệu ứng Talbot[16],[17]) Trong trường hợp{a, b, c, d} = {1/d, 0, 0, 1}(trong trường hợp này LCT trở thành phép toán co giãn) hàm riêng

là hàm Frac [18],[19] (fractal) Những hàm này bất biến với phép toán co giãn.Trong luận văn này ta sẽ tổng quát các kết quả đã được xây đựng và suy rahàm riêng của LCT cho tất cả các trường hợp Sau đó, hàm riêng của LCT được

sử dụng để giải thích hiện tượng tạo ảnh trong quang học

Ta sử dụng ký hiệu OF (a,b,c,d) hoặc OF(a,b,c,d) cho biến đổi chính tắc tuyến tính.Phần đầu của luận văn tôi sẽ trình bày lại một cách ngắn gọn kiến thức vềbiến đổi chính tắc tuyến tính, hàm riêng của biến đổi Fourier phân thứ và một

số kết quả đã được xây dựng về các hàm riêng của LCT, tính chất suy ra hàm

riêng của LCT.

1.1 Biến đổi chính tắc tuyến tính

Định nghĩa 1.1.1 Biến đổi chính tắc tuyến tính được định nghĩa như sau

O(a,b,c,d)F (f (t)) =

r

1 i2πbe

O(a1 ,b 1 ,c 1 ,d 1 ) F

a) Biến đổi Fourier (FT) Biến đổi chính tắc tuyến tính (LCT) là biến đổiFourier khi {a, b, c, d} = {0, 1, −1, 0},

O(0,1,−1.0)F (f (t)) =

r

1 i2πe

Z ∞

−∞

e−i.u.t.g(t)dt

√ i.O(0,1,−1,0)F (f (t)) = FT(f (t))

=

r

1 2π

Z ∞

−∞

e−i.u.t.g(t)dt.

b) Biến đổi Fourier phân thứ (FRFT) Biến đổi chính tắc tuyến tính (LCT)

là biến đổi Fourier phân thứ (FRFT) khi {a, b, c, d} = {cos α, sin α, − sin α, cos α}

[7]-[9]

OF(cos α,sin α,− sin α,cos α)(f (t)) =

r

1 2π sin αe

(i/2)(cos α/ sin α).u2

e−i csc α.ute(i/2) cot αt2f (t)dt. (1.3)

Biến đổi Fourier phân thứ (FRFT) là biến đổi tổng quát của biến đổi Fourier(FT) Biến đổi Fourier phân thứ thỏa mãn tính chất cộng tính

OFαOβF(f (t))= OFα+β(f (t)).

Biến đổi Fourier phân thứ với hiệu số pha không đổi

OαF(f (t)) = √

e iα O(cos α,sin α,− sin α,cos α)F (f (t)). (1.4)

Biến đổi Fourier phân thứ có ứng dụng trong phân tích hệ quang học, giảiphương trình vi phân,

c) Biến đổi Fresnel Biến đổi Fresnel là phép toán mô tả việc truyền ánh sángđơn sắc qua môi trường trong suốt Biến đổi Fresnel được định nghĩa như sau

ei(π/λz)((u−x)2+(v−y)2)f (x, y)dxdy, (1.5)

f (x, y) là hàm phân bố của nguồn ánh sáng đơn sắc, λ là bước sóng và z làkhoảng cách Công thức (1.5) có thể được biểu diễn dưới dạng hợp thành củahai biến đổi Fresnel

OFresnelz (f (x, y)) = OFresnel(y)z OzF resnel(x)(f (x, y)).

Biến đổi chính tắc tuyến tắc tuyến tính LCT là biến đổi Fresnel 1-D khi

{a, b, c, d} = {1, zλ/2π, 0, 1}

OF(1,zλ/2π,0,1)(g(t)) =

r

1 izλe

Như vậy, biến đổi Fourier, biến đổi Fourier phân thứ, biến đổi Fresnel và phéptoán co giãn là trường hợp đặc biệt của LCT

1.2 Hàm riêng của biến đổi Fourier phân thứ (FRFT)

Trong [7], Namias chỉ ra biến đổi Fourier phân thứ có hàm riêng

Hàm riêng của FRFT có tính chất trực giao

Z ∞

−∞

φ m (t).φ n (t)dt = δ m,n

Công thức (1.9) chỉ là các hàm riêng của FRT khi α/2π không là số hữu tỷ Khi

α/2π là số hữu tỷ biến đổi FRFT có hàm riêng khác công thức (1.9) Ví dụ, khi

α = 0(trong trường hợp này biến đổi FRFT trở thành phép toán đồng nhất) tất

cả các hàm sẽ là hàm riêng của biến đổi FRFT Khi α = π (trong trường hợpnày FRFT trở thành phép toán nghịch đảo) cả hàm chẵn và hàm lẻ là hàm riêngcủa biến đổi FRFT và khi α = ±π/2(trong trường hợp này FRFT trở thành FTnghịch đảo) các hàm sau là hàm riêng của FRFT (xem [20, chương 22])

x

√ 2π

−1/2

; 4)

x

√ 2π

Ta cũng chỉ ra rằng FRFT là LCT với tham số{cos α, sin α, − sin α, cos α}đượcnhân thêm với (eiα)1/2 [10] LCT với tham số {cos α, sin α, − sin α, cos α} cũng cócác hàm riêng như công thức (1.9) nhưng giá trị riêng là (e−iα)1/2 exp( −imα)

OF(cos α,sin α,− sin α,cos α)(φ m (t)) = (e−iα)1/2e−i.m.α.φ m (t).

1.3 Một số kết quả đã được xây dựng về các hàm riêng của

Ngược lại, tham số gốc {a, b, c, d} biểu diễn bởi {σ, τ, α}

a = cos α + τ sin α, b = σ2sin α,

c = −(τ 2 + 1).sin α

σ 2 , d = cos α − τ sin α.

Vì vậy, hàm riêng của LCT được xây dựng như hàm riêng của FRFT nhưngkhác phép co giãn và phép nhân Ta chú ý rằng có ba tham số {σ, τ, α} trongcông thức (1.11) và (1.12) Ba tham số{σ, τ, α} tương ứng với ba biến tự do củaLCT (LCT có bốn tham số {a, b, c, d} và một ràng buộc ad − bc = 1, bậc tự dobằng 3) Tham số σ, τ xác định hàm riêng và tham số α xác định giá trị riêng.Cần chú ý rằng, các kết quả trong [12] là phù hợp với trường hợp |a + d| < 2.Tuy nhiên, trong trường hợp|a+d| < 2 các kết quả trong công thức (1.11)-(1.12)cũng là chưa đầy đủ Nội dung của luận văn sẽ trình bày hoàn chỉnh cho cáctrường hợp hàm riêng của LCT Hình 1.1 7 trường hợp để thảo luận hàm riêngcủa LCT

Hình 1.1: 7 trường hợp để thảo luận hàm riêng của LCT.

Phần cuối chương trình bày lại các tính chất quan trọng được sử dụng trongluận văn

bộ tham số{a 2 , b 2 , c 2 , d 2 } Trong đó các tham số {a 2 , b 2 , c 2 , d 2 }được lựa chọn saocho hàm riêng của LCT tương ứng là dễ dàng được xây dựng Xuyên suốt phầntrình bày của luận văn, tính chất này sẽ được sử dụng để xây dựng cho hàmriêng của LCT.

Tùy theo các trường hợp cụ thể của bộ tham số {a, b, c, d} mà ta lựa chọn các

bộ tham số {a 2 , b 2 , c 2 , d 2 } phù hợp Cụ thể, trong các trường hợp luận văn xétđến ta lựa chọn các bộ tham số tương ứng như sau:

Chương 2

Hàm riêng của biến đổi chính tắc tuyến tính O O O F (a,b,c,d) F (a,b,c,d) F (a,b,c,d) cho trường hợp

|a + d| > 2

2.1 Hàm riêng của LCT cho trường hợp |a + d| = 2

Đối với trường hợp |a + d| = 2, chúng ta xét các trường hợp sau đây trong cácmục tương ứng

Nếu s n thỏa mãn điều kiện

· · · = e(i/2)c.s2−1 = e(i/2)c.s2 = e(i/2)c.s2 = e(i/2)c.s2 = · · · ,

2.1.3 Hàm riêng của LCT khi {a, b, c, d} = {±1, b, 0, ±1}

Ta biết rằng với tham số {a, b, c, d} là biến đổi 1-D Fresnel [xem công thức(1.7) và (1.8)] Biến đổi Fresnel mô tả ánh sáng đơn sắc qua môi trường trongsuốt Từ lý thuyết của hiệu ứng Talbot [16], [17], nếu giả thiết ánh sáng đầu vào

là hàm tuần hoàn f (x, 0) Khi đó, f (x, 0) = f (x + q, 0) sau khi qua môi trường

trong suốt cường độ ánh sáng ở khoảng cách N.z tương tự cường độ ánh sánglúc ban đầu

|f(x, N.z)| = |f(x, 0)|,

z = 2q

2

λ khoảng cách Talbot, N là số nguyên.

Như vậy, kết hợp công thức (1.7) và (1.8) ta có thể kết luận e(t) tuần hoàn vớichu kỳ của q Khi đó, hàm riêng của LCT với tham số {1,N qπ2, 0, 1 }, N là sốnguyên, có dạng