Trình bày, chứng minh định lý Frank - Wolfe và địnhlý Eaves, đưa ra các hệ quả và một số kết luận về sự tồn tại nghiệmđịa phương của các quy hoạch toàn phương

Các định lý tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương.. Có nhiều lĩnh vựcvới những tên gọi khác nhau nhưng lại khá gần nhau của lí thuyếtnày như: tối ưu hóa, quy hoạch toán học,

Mục lục

Lời mở đầu 3

Bảng kí hiệu và viết tắt 6

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 7

1.1 Định nghĩa và kí hiệu 7

1.2 Tập lồi, hàm lồi 9

1.3 Quy hoạch toàn phương 11

1.3.1 Quy hoạch lồi 11

1.3.2 Quy hoạch tuyến tính 13

1.3.3 Quy hoạch toàn phương 14

Chương 2 Các định lý tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương 20

2.1 Định lý Frank-Wolfe 20

2.2 Định lý Eaves 28

2.3 Các điều kiện tối ưu bậc một và bậc hai 38

Chương 3 Một số ứng dụng khác của các định lý tồn tại nghiệm 42

3.1 Bất đẳng thức biến phân 42

3.2 Tính liên tục của ánh xạ nghiệm của quy hoạch toànphương phụ thuộc tham số 49Kết luận 53Tài liệu tham khảo 54

Lời mở đầu

Nhiều sự kiện của cuộc sống dẫn loài người đễn việc phải lựa chọn

"phương án" cho hành động của mình, rồi từ những "phương án" đó,người ta có mong muốn tự nhiên là chọn lấy "phương án" tối ưu Dầndần, người ta biết diễn đạt công việc của mình dưới mô hình toánhọc, cụ thể là các bài toán cực trị Trong các lĩnh vực khác như kinh

tế, quản lí cũng đặt ra yêu cầu nghiên cứu về "lí thuyết tối ưu"

Lý thuyết toán học về tối ưu được hình thành và phát triển mạnh

mẽ như một lĩnh vực khoa học từ giữa thế kỉ 20 Có nhiều lĩnh vựcvới những tên gọi khác nhau nhưng lại khá gần nhau của lí thuyếtnày như: tối ưu hóa, quy hoạch toán học, phép tính biến phân Bài toán quy hoạch toán học được hiểu như là bài toán tìm cựctrị của một hàm (hàm số hay hàm vectơ hoặc đa trị) dưới những điềukiện nhất định Để đơn giản ta xét quy hoạch toán học có dạng

(P ) min{f (x) : x ∈ ∆},trong đó ∆ ⊂ X là tập ràng buộc, X là một không gian nào đó,

f : ∆ → R là hàm mục tiêu Mỗi điểm x ∈ ∆ được gọi là một phương

án chấp nhận được (lời giải chấp nhận được) của bài toán (P ) Bàitoán này được hiểu là tìm một điểm x∗ ∈ ∆ sao cho f (x∗) ≤ f (x) vớimọi x ∈ ∆ Nghĩa là ta muốn tìm một phương án tối ưu (xem [2, tr.38])

Bài toán này có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau.Chẳng hạn, trong kinh tế là bài toán xác định phương án sản xuấtsao cho chi phí thấp nhất, hay bài toán đóng gói và bố trí mặt bằng

Có nhiều cách phân loại các quy hoạch toán học (xem [1, tr 3]).Khi X là không gian hữu hạn chiều: quy hoạch tuyến tính; quy hoạch

phi tuyến (quy hoạch lồi, không lồi; trơn, không trơn ) Trong luậnvăn này, tác giả tập trung nghiên cứu một lớp con của các quy hoạchphi tuyến là quy hoạch toàn phương Khi đó, f là một hàm toànphương và ∆ là một tập lồi đa diện trong Rn.

Một vấn đề tự nhiên đặt ra là các quy hoạch toán học có hay khôngmột phương án tối ưu? Tất nhiên với các quy hoạch toàn phương cũng

có câu hỏi tương tự Hai định lý: định lý Frank - Wolfe và định lýEaves sẽ giúp trả lời câu hỏi này Đây cũng là phần nghiên cứu trọngtâm của luận văn

Luận văn được chia làm 3 chương cùng với phần mở đầu, kết luận

và danh mục tài liệu tham khảo

Chương 1: Trình bày các khái niệm cơ bản của các quy hoạchtoán học, các định nghĩa, kí hiệu dùng cho các chương sau

Chương 2: Trình bày, chứng minh định lý Frank - Wolfe và định

lý Eaves, đưa ra các hệ quả và một số kết luận về sự tồn tại nghiệmđịa phương của các quy hoạch toàn phương

Chương 3: Trình bày một số ứng dụng khác của các định lýtồn tại nghiệm trong chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán bấtđẳng thức biến phân và khi xét tính liên tục dưới của quy hoạch toànphương phụ thuộc tham số

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS

TS Nguyễn Năng Tâm, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Tác giảxin bày tỏ lòng kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến thầy về sự giúp

đỡ khoa học và những điều kiện thuận lợi nhất mà thầy dành cho tácgiả

Nhân dịp này, tác giả cũng gửi lời cảm ơn các thầy phản biện,những người đã đọc và đóng góp ý kiến cho tác giả để luận văn đượchoàn thiện hơn, cảm ơn các thầy cô giáo trường Đại học Khoa học

Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã tận tình hướng dẫn, giảng dạytrong suốt thời gian tác giả học tập tại trường.

Cuối cùng, tác giả cũng xin cảm ơn gia đình và Cơ quan công táccủa mình - trường THPT Thuận Thành số 1 - Bắc Ninh, đã tạo điềukiện cho tác giả được đi học và hoàn thành khóa học này

Hà Nội, tháng 5 năm 2011

Nguyễn Thanh Tâm

cấp hai theo nghĩa Fréchet

52f (x) ma trận Hessian của f tại x

Sol(P ) tập nghiệm của bài toán (P )

loc(P ) tập nghiệm địa phương của bài toán (P )

min{f (x) : x ∈ ∆}.

Định nghĩa 1.1 Ta gọi (P ) là một bài toán quy hoạch toán học, f

là hàm mục tiêu, ∆ là tập ràng buộc (hay miền chấp nhận được của

(P )) Các phần tử của ∆ được gọi là các vectơ chấp nhận được của(P ) Nếu ∆ = Rn thì ta nói (P ) là một bài toán không có ràng buộc,ngược lại, (P ) là bài toán có ràng buộc.

Định nghĩa 1.2 Một vectơ chấp nhận được x ∈ ∆ được gọi làmột nghiệm (toàn cục) của (P ) nếu f (x) 6= +∞ và f (x) ≥ f (x) vớimọi x ∈ ∆ Ta nói x ∈ ∆ là một nghiệm địa phương của (P ) nếu

f (x) 6= +∞ và tồn tại một lân cận U của x sao cho

f (x) ≥ f (x) với mọi x ∈ ∆ ∩ U (1.1)Tập các nghiệm của (P ) kí hiệu là Sol(P ), tập các nghiệm địa phương

kí hiệu là loc(P ) Hai quy hoạch là tương đương nếu tập nghiệm củachúng trùng nhau

Định nghĩa 1.3 Giá trị tối ưu υ(P ) của (P ) được xác định bởi

υ(P ) = inf {f (x) : x ∈ ∆} (1.2)Nếu ∆ = ∅ thì quy ước υ(P ) = +∞

Chú ý 1.4 Dễ thấy, Sol(P ) ⊂ loc(P ), và

Một điểm x được gọi là một nghiệm (toàn cục) của (P1) nếu f (x) 6=

−∞ và f (x) ≤ f (x) với mọi x ∈ ∆ Ta nói x là một nghiệm địaphương của (P1) nếu f (x) 6= −∞ và tồn tại một lân cận U của xsao cho f (x) ≤ f (x) với mọi x ∈ ∆ ∩ U Rõ ràng x là một nghiệm(tương ứng một nghiệm địa phương) của (P1) nếu và chỉ nếu x là mộtnghiệm (tương ứng một nghiệm địa phương) của bài toán giá trị nhỏnhất sau

Định nghĩa 1.8 Ta gọi ∆ ⊂ Rn là một tập lồi nếu

tx + (1 − t)y ∈ ∆ với mọi x ∈ ∆, y ∈ ∆ và t ∈ (0, 1) (1.3)

Định nghĩa 1.9 Một hàm f : Rn → R được gọi là lồi nếu trên đồthị của nó

epif = {(x, α) ∈ Rn × R : f (x) ≤ α}, (1.4)

là tập con lồi của không gian tích Rn × R Một hàm f được gọi làhàm lồi chính thường nếu f (x) < +∞ với ít nhất một x ∈ Rn và

f (x) > −∞ với mọi x ∈ Rn Một hàm f được gọi là lõm nếu hàm −fcho bởi công thức: (−f )(x) = −f (x) là lồi Hàm f được gọi là afinnếu f vừa lồi, vừa lõm

Chú ý rằng một hàm f : Rn → R ∪ {+∞} được gọi là lồi nếu vàchỉ nếu

f (tx + (1 − t)y) ≤ tf (x) + (1 − t)f (y), ∀x, y ∈ Rn, ∀t ∈ (0, 1) (1.5)Thật vậy, theo định nghĩa f là lồi nếu và chỉ nếu tập trên đồ thị của

nó là lồi, nghĩa là

t(x, α) + (1 − t)(y, β) ∈ epif,

với mọi t ∈ (0, 1) và mọi x, y ∈ Rn, mọi α, β ∈ R thỏa mãn α ≥ f (x),

β ≥ f (y) Điều này tương đương với (1.5) Tổng quát hơn, một hàm

f : Rn → R ∪ {+∞} là lồi nếu và chỉ nếu

f (λ1x1+ +λkxk) ≤ λ1f (x1)+ +λkf (xk) (Bất đẳng thức Jensen),

với bất kì x1, , xk ∈ Rn và λ1 ≥ 0, , λk ≥ 0, λ1+ + λk = 1 (Xem[6,Theorem 4.3])

Định nghĩa 1.10 Cho hàm f : Rn −→ R, tập

dom(f ) := {x ∈ Rn : f (x) < +∞}, (1.6)được gọi là miền hữu dụng của f Với mỗi điểm x ∈ domf và mộtvectơ υ ∈ Rn, nếu giới hạn

f0(x, υ) := lim

t↓0

f (x + tυ) − f (x)

(có thể nhận giá trị +∞ hoặc −∞) tồn tại thì f được gọi là khả vitheo hướng υ tại x và giá trị f0(x, υ) được gọi là đạo hàm theo hướng

υ của f tại x Nếu f0(x, υ) tồn tại với mọi υ ∈ Rn thì f được gọi làkhả vi theo hướng tại x

Định nghĩa 1.11 Một tập con M ⊂ Rn được gọi là một tập afinnếu tx + (1 − t)y ∈ M với mọi x ∈ M, y ∈ M và t ∈ R

Định nghĩa 1.12 Một tập con ∆ ⊂ R được gọi là một tập lồi đadiện nếu ∆ có thể được biểu diễn là giao của một số hữu hạn các nửakhông gian con đóng của Rn, nghĩa là tồn tại các vectơ khác không

a1, , am ∈ Rn và các số thực β1, , βm sao cho

∆ = {x ∈ Rn : i, x ≥ βi với i = 1, , m} (1.8)Nói cách khác, ∆ là tập nghiệm của một hệ gồm hữu hạn các bấtphương trình tuyến tính Một điểm x ∈ ∆ được gọi là một đỉnhcủa ∆ nếu x không thể biểu diễn dưới dạng x = ty + (1 − t)z, ở

đó y ∈ ∆, z ∈ ∆, y 6= z và t ∈ (0, 1) Tập hợp các đỉnh của ∆được kí hiệu là extr∆ Cho A là ma trận cỡ m × n với các phần tử

aij(i = 1, , m, j = 1, , n), b = (β1, , βm) ∈ Rm Khi đó (1.8) cóthể viết lại như sau

∆ = {x ∈ Rn : Ax ≥ b}

1.3.1 Quy hoạch lồi

Định nghĩa 1.13 Ta nói (P ) là một quy hoạch lồi (một bài toánquy hoạch lồi) nếu ∆ là một tập lồi và f là một hàm lồi Nếu mộttrong hai điều đó không xảy ra thì (P ) là một quy hoạch không lồi

Dưới đây là một tính chất quan trọng của quy hoạch lồi.

Mệnh đề 1.14 Nếu (P ) là một quy hoạch lồi thì Sol(P ) = loc(P ).Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh rằng loc(P ) ⊂ Sol(P ) với quyhoạch lồi (P ) bất kỳ Lấy x0 ∈ loc(P ) và U là một lân cận của x0thỏa mãn (1.1) Giả sử x0 ∈ Sol(P ), khi đó tồn tại ˆ/ x ∈ ∆ sao cho

ra (1.10) mâu thuẫn với (1.1)

Xét trường hợp còn lại, f (ˆx) = −∞ Cố định t ∈ (0, 1) Với sốthực α bất kì, vì (ˆx, α) ∈ epif và (x0, f (x0)) ∈ epif nên

t(ˆx, α) + (1 − t)(x0, f (x0)) ∈ epif

Do đó f (tˆx + (1 − t)x0) ≤ tα + (1 − t)f (x0) với mọi α ∈ R Suy ra

f (tˆx + (1 − t)x0) = −∞ Điều này xảy ra với mọi t ∈ (0, 1), hơn nữa

tˆx + (1 − t)x0 ∈ ∆ ∩ U nếu t ∈ (0, 1) đủ nhỏ, vì vậy (1.1) không thỏamãn Điều giả sử là sai, mệnh đề được chứng minh

Chú ý 1.15 Nếu (P ) là quy hoạch không lồi, mệnh đề trên khôngcòn đúng Chẳng hạn, ta xét ví dụ sau

Ví dụ 1.16 Cho quy hoạch (P ), với hàm mục tiêu

f (x) = min{f1(x), f2(x)},

trong đó f1(x) = −x + 3, f2(x) = x + 1, và tập ràng buộc ∆ = [0, 3].Khi đó, bằng cách chọn: x = 1

Sol(P ) = {3}, loc(P ) = {0, 3}

1.3.2 Quy hoạch tuyến tính

Định nghĩa 1.17 Bài toán (P) được gọi là một bài toán quy hoạchtuyến tính (ngắn gọn là một quy hoạch tuyến tính) nếu f là một hàmafin và ∆ là một tập lồi đa diện Ngược lại, (P) được gọi là một quyhoạch phi tuyến

Có ba dạng quy hoạch tuyến tính đặc trưng là: dạng chuẩn tắc,dạng chính tắc, và dạng tổng quát Chúng được mô tả lần lượt nhưsau

min{f (x) = n, Ax = b, x ≥ 0},

min{f (x) = n, Ax ≥ b, Cx = d}

Trong đó, A ∈ Rm×n, C ∈ Rs×n là các ma trận cho trước, c ∈ Rn, b ∈

Rm, d ∈ Rs là các vectơ cho trước

Ví dụ 1.18 Quy hoạch sau là một quy hoạch tuyến tính

minx1 + 2x2 : x = (x1, x2) ∈ R2, x1 + x2 ≥ 2, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

Dễ thấy, Sol(P ) = {(2, 0)} Để ý rằng tập ràng buộc

∆ = {x = (x1, x2) ∈ R2 : x1+ x2 ≥ 2, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0},

có hai đỉnh, cụ thể extr∆ = {(2, 0), (0, 2)}; và một trong hai đỉnh này

là nghiệm của bài toán đã cho Đây là một tính chất quan trọng củaquy hoạch tuyến tính

Rõ ràng, các quy hoạch tuyến tính là các quy hoạch lồi Do đó,chúng có đầy đủ các tính chất của các quy hoạch lồi Ngoài ra, cácquy hoạch tuyến tính còn có nhiều tính chất đặc biệt khác

Định lí 1.19 (Xem [3, Theorem 1.10]) Cho (P ) là một trong ba dạngquy hoạch tuyến tính đặc trưng Khi đó ta có các tính chất sau:(i) Nếu tập ràng buộc là khác rỗng và nếu υ(P ) > −∞, thì Sol(P )

là một tập lồi đa diện khác rỗng

(ii) Nếu cả hai tập extr∆ và Sol(P ) đều khác rỗng, thì extr∆∩Sol(P )cũng khác rỗng

(iii) Nếu tập ∆ := {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0} khác rỗng, thì ∆ phải

có một đỉnh

Sau đây ta xem xét một lớp quan trọng của các quy hoạch phituyến là lớp các quy hoạch toàn phương Lớp các quy hoạch tuyếntính được xem như một lớp con đặc biệt của lớp này

1.3.3 Quy hoạch toàn phương

Định nghĩa 1.20 Ta nói f : Rn → R là một hàm toàn phương nếutồn tại một ma trận Q ∈ Rn×n, một vectơ c ∈ Rn và một số thực αsao cho

f (x) = 1

2x

TQx + cTx + α

= 12

(1.11)

với mọi x ∈ Rn

thì (1.11) có thể viết như sau

T(Q+QT)x với mọi x ∈ Rn nên trong biểu diễn (1.11)

ta có thể thay thế Q bởi ma trận đối xứng 1

2(Q + Q

T) Do đó, có thểgiả sử rằng ma trận vuông trong biểu diễn của hàm toàn phương làđối xứng Không gian các ma trận đối xứng cỡ n × n được kí hiệu là

Ví dụ 1.23 Quy hoạch toàn phương sau là không lồi

min{f (x) = x12− x22 : x = (x1, x2) ∈ R2, 1 ≤ x1 ≤ 3, 1 ≤ x2 ≤ 3}

Ta có thể kiểm tra f không là hàm lồi, Sol(P ) = {(1, 3)}, υ(P ) = −8

Dễ thấy, nếu ta bỏ hằng số α trong biểu diễn (1.11) thì tập nghiệmcủa bài toán (P ) không thay đổi Do đó, ta thường xét hàm mục tiêudưới dạng f (x) = 1

Định nghĩa 1.25 Một ma trận Q ∈ Rn×nđược gọi là xác định dương(tương ứng, xác định âm) nếu υTQυ > 0 (tương ứng, υTQυ < 0) vớimọi υ ∈ Rn\{0} Nếu υTQυ ≥ 0 (tương ứng, υTQυ ≤ 0) với mọi

υ ∈ Rn thì Q được gọi là nửa xác định dương (tương ứng, nửa xácđịnh âm)

u, υ thuộc Rn ta có

0 ≤ (u − υ)TQ(u − υ) = uTQu − 2υTQu + υTQυ

Suy ra

υTQυ ≤ uTQu − 2υTQ(u − υ) (1.12)Với x, y bất kỳ thuộc Rn và t ∈ (0, 1), đặt z = tx + (1 − t)y

(1 − t)zTQz + tzTQz ≤ (1 − t)yTQy + txTQx,chia cả hai vế của bất đẳng thức trên cho 2 ta được

Chú ý 1.27 Nếu hàm f cho bởi (1.11) với Q ∈ RSn×n thì 52f (x) =

Q với mọi x ∈ Rn Do đó, kết luận của mệnh đề trên có thể suy ratrực tiếp từ định lý được phát biểu dưới đây

Định lí 1.28 (Xem [6, Theorem 4.5]) Nếu f : Rn → R là một

C2−hàm và nếu ma trận Hessian 52f (x) là nửa xác định dương vớimọi x ∈ Rn, thì f là một hàm lồi

Bằng cách sử dụng mệnh đề (1.26) ta có thể kiểm tra một quyhoạch toàn phương cho trước có là lồi hay không Sau đây chúng taxét một ví dụ đơn giản về quy hoạch toàn phương lồi

Ví dụ 1.29 (Xem [3, Example 1.6]) Cho k điểm a1, a2, , ak thuộc

Rn Bài toán đặt ra là, tìm một điểm x ∈ Rn sao cho hàm số

f (x) := kx − a1k2 + + kx − akk2đạt giá trị nhỏ nhất

x0 đặc biệt đó gọi là tâm tỉ cự của hệ {a1, a2, , ak}

Chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho các chươngsau Cụ thể là các kí hiệu, các định nghĩa về: tập lồi, hàm lồi, một sốquy hoạch toán học (trong đó có các quy hoạch toàn phương) và đưa

ra một số ví dụ minh họa Nội dung chính của luận văn được trìnhbày trong chương tiếp theo

Chương 2

Các định lý tồn tại

nghiệm của bài toán

quy hoạch toàn phương

Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu hai định lý tồn tại cơbản của các bài toán quy hoạch toàn phương là định lý Frank-Wolfe

và định lý Eaves Sau đó, ta xem xét một vài điều kiện tồn tại nghiệmđịa phương của các quy hoạch này

(2.1)

ở đó Q ∈ Rn×nS , c ∈ Rn và b ∈ Rn Ta kí hiệu tập ràng buộc và giátrị tối ưu của bài toán (2.1) lần lượt như sau

∆(A, b) = {x ∈ Rn : Ax ≥ b},

θ = inf {f (x) : x ∈ ∆(A, b)}

Nếu ∆(A, b) = ∅ thì quy ước θ = +∞ Nếu ∆ 6= ∅ thì có hai khảnăng: (i) θ ∈ R , (ii) θ = −∞ Nếu (ii) xảy ra thì chắc chắn (2.1) vônghiệm Một câu hỏi tự nhiên là: nếu (i) xảy ra, phải chăng bài toántrên luôn có nghiệm? Định lý sau đây sẽ giúp trả lời câu hỏi này.Định lí 2.1 (Xem [3, Theorem 2.1]) Nếu θ = inf {f (x) : x ∈

∆(A, b)} là một số thực hữu hạn thì bài toán (2.1) có nghiệm

Chứng minh Giả sử θ ∈ R nghĩa là ∆(A, b) 6= ∅ Khi đó, tồn tại ρ > 0sao cho

∆ρ = ∆(A, b) ∩ B(0, ρ),

là một tập lồi, khác rỗng và compact (ở đây, 0 = (0, 0, , 0) ∈ Rn)

Ta xét bài toán sau

min{f (x) : x ∈ ∆ρ} (2.2)Theo định lý Weierstrass, tồn tại y thuộc ∆ρ sao cho

Thật vậy, nếu điều đó không xảy ra, ta sẽ tìm được một dãy tăng

ρk → +∞ sao cho với mọi k tồn tại yρk ∈ ∆ρk sao cho

f (yρk) = qρk, kyρkk = ρk (2.4)

Để đơn giản chúng ta viết yk thay cho yρk Vì yk ∈ ∆(A, b) nên

Aiyk > bi với i = 1, , m, ở đó Ai ký hiệu cho dòng thứ i của ma trận

A và bi kí hiệu cho thành phần thứ i của b Với i = 1, vì dãy {A1yk}

bị chặn dưới, nên ta có thể chọn được một dãy con {k0} ⊂ {k} sao cholim

 y

k

ρk hội tụ đến υ ∈ Rn khi k → ∞ Dễ thấy kυk = 1 Khi ρk → +∞,

Aiυ = 0 với mọi i ∈ I0, Aiυ ≥ 0 với mọi i ∈ I1 (2.5)

Từ đó suy ra υ là một hướng lùi xa của tập lồi đa diện ∆(A, b) Nhắclại, một vectơ khác vectơ không υ ∈ Rn được gọi là một hướng lùi xacủa một tập lồi khác rỗng Ω ⊂ Rn nếu

và dãy tăng ρk tiến đến +∞, nên dãy {f (yk)} là dãy không tăng vàhội tụ tới θ Do đó, với k đủ lớn, ta có

Do đó

kyk − tυk2 = kykk2 − 2t k, υ + t2kυk2 < kykk2, (2.9)

với mọi t > 0 đủ nhỏ Theo (2.5),

yk − tυ ∈ ∆(A, b) với mọi t ∈ (0, δk)

Kết hợp với (2.9) ta thu được yk − tυ ∈ ∆(A, b) và

kyk − tυk < kykk = ρk, (2.10)với mọi t ∈ (0, δk) đủ nhỏ Từ (2.7) và (2.8) suy ra

Tiếp theo ta chỉ ra

tồn tại ρ ≥ ˆρ sao cho qρ = θ (2.12)

Vì qρ = min{f (x) : x ∈ ∆ρ}, nên dễ thấy kết luận của định lý suy

ra từ (2.12) Để thu được (2.12) ta dùng phương pháp phản chứng,giả sử ngược lại

qρ > θ với mọi ρ ≥ ˆρ (2.13)

Dễ thấy, qρ ≥ qρ0 với bất kì ρ0 ≥ ρ Và cũng có qρ → θ khi ρ → +∞

Do đó từ (2.13) suy ra tồn tại ρi ∈ (ρ0, +∞) (i = 1, 2) sao cho ρ1 < ρ2

và qρ1 > qρ2 Vì ρ > ρ0 nên từ (2.3) ta có

kyρ2k < ρ2

Vì qρ1 > qρ2 nên ρ1 < kyρ2k (Thật vậy, nếu ρ1 ≥ kyρ2k thì yρ2 ∈ ∆ρ1

và f (yρ2) = qρ2 < qρ1 = f (yρ1) Điều này mâu thuẫn với việc chọn

yρ1) Đặt ρ3 = kyρ2k ta có ρ1 < ρ2 < ρ3 Vì ρ3 > ˆρ và ρ2 > ˆρ nên từ(2.3) suy ra

kyρ3k < ρ3 = kyρ2k < ρ2 (2.14)

Vì ρ2 > ρ3 nên

qρ3 = f (yρ3) ≥ (yρ2) = qρ2.Nếu f (yρ3) = f (yρ2) thì từ (2.14) suy ra yρ3 là một vectơ chấp nhậnđược của bài toán

thức f (yρ3) > f (yρ2) mâu thuẫn với kết luận yρ3 là một nghiệm củabài toán tối ưu này Mâu thuẫn này giúp ta có được (2.12) Định lýđược chứng minh.

Trong định lý trên, f là một hàm toàn phương và ∆ là một tậplồi đa diện Ta đã biết, bất kỳ tập lồi đa diện ∆ nào đều có thể biểudiễn dưới dạng ∆ = {x ∈ Rn : Ax ≥ b}, trong đó A ∈ Rm×n, b ∈ Rm

Do đó, định lý Frank-Wolfe có thể được phát biểu như sau: " Nếumột hàm toàn phương bị chặn dưới trên một tập lồi đa diện thì bàitoán tìm giá trị nhỏ nhất của hàm này trên tập đó có nghiệm "

Ta có thể lấy một vài ví dụ đơn giản minh họa cho đinh lý này

Ví dụ 2.2 Cho hàm f (x) = x1 + x2 với x = (x1, x2) ∈ R2

Cho ∆ = {x = (x1, x2) ∈ R2 : 1 ≤ x1 ≤ 3; 1 ≤ x2 ≤ 3} Dễ thấy f làmột hàm toàn phương và ∆ là một tập lồi đa diện Không khó để chỉ

ra rằng θ := inf {f (x) : x ∈ ∆} = 2 và bài toán min{f (x) : x ∈ ∆}