TÁN XẠ HAI HẠT TRONG ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC LƯỢNG TỬ TRONG GẦN ĐÚNG MỘT VÒNG

Trong mục $ 2.1, theo quy tắc Feynman cho tương tác điện từ ta viết yếu tố ma trận tương ứng với quá trình tán xạ electron ở bậc thấp nhất gần đúng Born của của lý thuyết nhiễu loạn hiệ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

Đỗ Đức Thành

TÁN XẠ HAI HẠT TRONG ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC LƯỢNG TỬ TRONG

GẦN ĐÚNG MỘT VÒNG

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán

Mã số: 60.44.01.03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH Nguyễn Xuân Hãn

Hà Nội – 2014

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo, GS TSKH Nguyễn Xuân Hãn, người đã trực tiếp chỉ bảo tận tình, trực tiếp giúp đỡ em trong

suốt thời gian học tập và hoàn thành bản luận văn thạc sĩ khoa học này

Em cũng gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới tất cả các Thầy Cô, tập thể cán

bộ Bộ môn Vật lý lý thuyết, cùng toàn thể người thân, bạn bè đã giúp đỡ, dạy bảo,

động viên, và trực tiếp đóng góp, trao đổi những ý kiến khoa học quý báu để em có thể hoàn thành bản luận văn này

Qua đây, em cũng chân thành gửi lời cảm ơn tới các Thầy Cô ở khoa vật lý

đã dạy bảo và tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập

và hoàn thành bản luận văn này

Hà Nội, tháng năm 2014 Học viên

Đỗ Đức Thành

MỤC LỤC

Mục lục……….………02

Danh mục hình vẽ……… ………… ………03

Mở đầu……… ……….……….……… 04

Chương 1: Tiết diện tán xạ…….…… ……….…07

1.1 Các biến Mandelstam……… ……… ….…… 07

1.2 Tiết diện tán xạ vi phân cho hai hạt…….……… ………10

1.2.1 Tiết diện tán xạ trong hệ khối tâm………… ………15

1.2.2 Tiết diện tán xạ trong hệ phòng thí nghiệm……….16

Chương 2: Tán xạ electron-electron … ……….……… …18

2.1 Tán xạ electron-electron………18

2.1.1 Tiết diện tán xạ trong hệ khối tâm……….……… 22

2.1.2 Tiết diện tán xạ trong hệ phòng thí nghiệm………23

2.2 Tán xạ electron-positron ……… ……… 25

2.2.1 Tiết diện tán xạ trong hệ khối tâm……….… 28

2.2.2 Tiết diện tán xạ trong hệ phòng thí nghiệm.……… ……30

Chương 3: Bổ chính một vòng cho tán xạ electron-electron ……… 33

3.1 Giản đồ Feynman ……….…… … 32

3.2 Tiết diện tán xạ khi tính đến bổ chính một vòng 34

3.3 Thế năng khi tính đến bổ chính một vòng……… …… 37

Kết luận……… ……… 43

Tài liệu tham khảo……….……….……… 45

Phụ lục A Metric giả Euclide……….……… 46

Phụ lục B Các toán tử chiếu ……… ….…… ……….50

Phụ lục C Tái chuẩn hóa……… ……… …….56

C.2 Năng lượng riêng của photon ……… …….62

DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 1.1 Các biến Mandelstam ………05

Hình 1.2 Tán xạ hai hạt thành hai hạt ……… … ……08

Hình 2.1 Tán xạ electron-electron 16

Hình 2.2 Tán xạ electron-positron 23

Hình 3.1 Giản đồ Feynman 30

Hình 3.2: Bổ chính một vòng trong tán xạ electron-electron……… …31

Hình 3.3 Bổ chính một vòng cho thế năng giữa hai hạt ….……… 39

Hình 3.2 Giản đồ phân cực chân không………53

Hình C.1 Tái chuẩn hóa điện tích electron ……… ……….57

Hình C.2 Giản đồ năng lượng riêng của photon ……….……….58

MỞ ĐẦU

Điện động lực học lượng tử (QED) dựa vào việc tái chuẩn hóa khối lượng và

điện tích hạt là lý thuyết tái chuẩn hóa, đã được chứng minh vào giữa thế kỷ 20 [1], [3], [6], [8], [10], [11], song việc tái chuẩn hóa cho các quá trình vật lý cụ thể vẫn

được nghiên cứu liên tục và phát triển bởi khi chúng ta tính đến cấu trúc bên trong của các hạt cơ bản thì ta lại gặp các bài toán tương tự trong tương tác giữa các hạt bên trong đó với nhau Trong tự nhiên tồn tại bốn loại tương tác: tương tác điện từ, tương tác yếu, tương tác mạnh và tương tác hấp dẫn, các công cụ tính toán định lượng của tương tác điện từ-QED thường được vận dụng để mô phỏng và xây dựng công cụ tính toán tương tự cho các dạng tương tác khác, hay tổ hợp giữa các dạng tương tác kể trên dựa vào lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến với việc tái chuẩn hóa các tham số vật lý tùy từng mô hình Việc nghiên cứu quá trình vật lý cụ thể trong bổ

chính một vòng của QED là cần thiết và quan trọng, [8], [11]

Mục đích của bản luận văn thạc sĩ khoa học vật lý này dành cho việc nghiên cứu quá trình tán xạ hai hạt thành hai hạt (22) khi tính đến bổ chính một vòng ở đường trong trong QED

Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận, phụ lục và tài liệu tham khảo

Chương 1: Tiết diện tán xạ hai hạt Trong mục $1.1 giới thiệu vắn tắt các biến

số Mandelstam và công thức cho biên độ tán xạ vi phân qua các biến này Mục $1.2 dành cho việc xây dựng công thức tiết diện tán xạ vi phân kể trên ở hệ khối tâm và

hệ phòng thí nghiệm

Chương 2: Tán xạ electron-electron Trong mục $ 2.1, theo quy tắc Feynman

cho tương tác điện từ ta viết yếu tố ma trận tương ứng với quá trình tán xạ electron ở bậc thấp nhất (gần đúng Born) của của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến Dựa vào yếu tố ma trận, ta tính tiết diện tán xạ vi phân cho quá trình tán xạ electron-electron trong hệ khối tâm và hệ phòng thí nghiệm Mục $2.2 dành cho việc nghiên cứu quá trình tán xạ electron lên positron Cách tính tương tự như quá

electron-trình tán xạ electron–electron, có thay đổi khi một electron được thay bằng positron Kết quả ta thu được tiết diện tán xạ vi phân cho quá trình tán xạ electron-positron

So sánh kết quả tiết diện tán xạ vi phân của hai quá trình tán xạ kể trên ta nhận thấy hai kết quả hầu như giống nhau chỉ khác nhau về dấu, có nghĩa là ta có thể chuyển

từ kết quả này thành kết quả kia bằng cách chuyển đổi dấu của chúng

Chương 3: Bổ chính một vòng cho tán xạ electron-electron.Trong mục $3.1

giới thiệu các giản đồ Feynman cho quá trình tán xạ electron-electron ở gần đúng bậc 4 theo hằng số tương tác điện từ So với các gản đồ Feynman xét ở chương trước, số lượng giản đồ tăng lên do việc trao đổi hai photon (giản đồ d) gữa các hạt, giản đồ phân cực của chân không (chân không vật lý của trường electron-positron) gắn với photon ảo trao đổi giữa các hạt (giản đồ c), các giản đồ còn lại liên quan đến tương tác của electron với chân không vật lý của trường điện từ Trong bản luận văn này chúng tôi chỉ xét các giản đồ (b) và giản đồ (c) và bỏ các giản đồ Feynman còn lại Giản đồ (a) không cho đóng góp vào tương tác giữa hai electron, các giản

đồ gắn với các đường electron liên quan đến việc tái chuẩn hóa khối lượng của electron, chứ không cho đóng góp vào tương tác hai electron Mục $3.2 dành cho việc tính tiết diện tán xạ electron-electron , kết quả thu được tiết diện tán xạ vi phân (3.6) Nghiên cứu thế năng tương tác tương ứng giữa hai electron khi tính bổ chính một vòng được giới thiệu ở mục $3.3

Kết luận dành cho việc liệt kê các kết quả thu được trong luận văn và phương hướng nghiên cứu tiếp theo

Trong bản luận văn này, chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử  c 1 và

metric giả Euclide (metric Feynman) tất cả bốn thành phần véctơ 4-chiều ta chọn

là thực AA A0, gồm một thành phần thời gian và các thành phần không gian, các chỉ số0,1, 2,3, và theo quy ước ta gọi là các thành phần phản biến của véctơ 4-chiều và ký hiệu các thành phần này với chỉ số trên

AA A0, A A A A0, 1, 2, 3def A

(0.1)

Các véctơ phản biến là tọa độ:

x x0t x, 1x x, 2 y x, 3z t x, ,

(0.2) Các véctơ tọa độ hiệp biến:

x g x  x0 t x, 1  x x, 2  y x, 3   z t, x

(0.3) Véctơ năng xung lượng:

p E p p p, x, y, zE p,

(0.4) Tích vô hướng của hai véc tơ được xác định bởi công thức:

ABg A B   A B   A B AB 

(0.5) Tensor metric có dạng:

tơ hiệp biến được xác định bằng công thức sau:

A g A , A0  A0, A k  A k

(0.7) Các chỉ số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ 0 đến 3

CHƯƠNG 1:

TIẾT DIỆN TÁN XẠ

Chương này dành cho việc dẫn những công thức cơ bản của tán xạ hai hạt [8]

Biên độ tán xạ, mà tỷ lệ với yếu tố của S-matrận tán xạ, là một đại lượng phức Trước tiên ta xem xét quá trình p1p2p3p4, mà ta gọi nó là tán xạ 22 Tính toán mang tính bất biến (biểu diễn qua các biến bất biến- u, s, t là các biến số Mandelstam) của quá trình tán xạ 22 này sẽ là bài toán động học cơ sở của vật

lý hạt cơ bản Trong chương này ta xem xét các đại lượng bất biến cho quá trình tán

xạ hai hạt vô hướng 22, tìm biểu thức giải tích tổng quát cho tiết diện tán xạ vi phân cho quá trình này qua biên độ tán xạ Viết biểu thức tiết diện tán vi phân này

trong hai hệ phòng thí nghiệm và hệ khối tâm Việc tổng quát hóa cho những quá

trình mà có spin sẽ không là vấn đề khó khăn nào

1.1 Các biến Mandelstam

Chúng ta sử dụng cho quá trình tán xạ của hai hạt với hai hạt Mọi công thức sẽ trở nên đơn giản hơn nếu ta biểu diễn xung lượng của các hạt theo một tập hợp các biến được gọi là biến Mandelstam Các biến Mandelstam được định nghĩa như sau:

p3

4

p

p2

lượng) Các kênh này miêu tả giản đồ Feynman khác nhau hoặc quá trình tán xạ khác nhau

ở đây tương tác là sự trao đổi các lượng tử-các hạt giữa chúng, và bình phương các xung lượng bốn chiều kể trên là biểu thức s, t, u tách ra theo thứ tự định sẵn

Ví dụ: kênh s tương ứng với quá trình hai hạt 1, 2 tương tác kết hợp thành một hạt truyền tương tác trung gian, cuối cùng sinh ra hai hạt 3 và 4, kênh s là cách duy nhất có thể chỉ ra sự xuất hiện của cộng hưởng và một hạt mới với điều kiện thời gian sống ở đây là đủ dài để ta có thể đo được trực tiếp Kênh t trình bày quá trình trong đó hạt 1 phát ra một hạt tương tác và cuối cùng trở thành hạt 3, trong khi

đó hạt 2 hấp thụ hạt tương tác và trở thành hạt 4 Kênh u là kênh t với việc đổi vị trí giữa các hạt 3, 4 Các biến Mandelstam lần đầu tiên được đưa vào bởi nhà vật lý Stanley Mandelstam vào năm 1938 Trong giới hạn năng lượng cao và trong tương đối tính, khi khối lượng nghỉ có thể bỏ qua , vì vậy ta có:

s p p  p  p  p p  p p (1.4) Bởi vì: 2 2

Bây giờ ta sẽ đi chứng minh biểu thức sau đây đối với biến s, t, u:

t p p  p  p  p p , (1.6)  2 2 2

u p p  p  p  p p (1.7) Đầu tiên sử dụng biểu thức (i), ta viết lại các biến s, t, u như sau:

u p p m m  p p , (1.10) Cộng biểu thức (1.8), (1.9), (1.10), ta được:

2 2 2 2

s t    u m  m  m  m (1.11)Trong trường hợp tán xạ hai hạt, A + B → C + D, các biến Mandelstam được đưa

vào có dạng như sau:

p gp p  Lý thuyết có ưu điểm của các biến Mandelstam

là ở đây chúng bất biến Lorentz, với một vài giá trị là quán tính của hệ Mặc dù vậy,

hơn nữa qua thực nghiệm nó là thông số giới hạn giữa năng lượng và góc tán xạ

1.2 Tiết diện tán xạ vi phân cho hai hạt

Chúng ta xét quá trình tán xạ xạ hai hạt 1 + 2 → 3 + 4 xảy ra do tương tác, yếu tố

ma trận được xác định bởi công thức sau:

int

ST L x d x , (1.13) Trong đó T là T-tích, Lint( )x là Lagrangian tương tác, việc cụ thể hóa Lagrangian

tương tác sẽ được xem xét sau tùy thuộc vào bài toán cụ thể

Như vậy để nghiên cứu bài toán tán xạ phải tính yếu tố ma trận S if  f S i

(S-ma trận) Hằng số tương tác ở đây giả thiết là nhỏ, và việc tính toán quá trình vật

lý này ta tính toán theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến

 4  

f S i    P P M

    , (1.14) trong đó P f và P i là các tổng năng xung lượng của trạng thái cuối và đầu tương

ứng M f ilà biên độ tán xạ hai hạt 22

a a'

Hình 1.2 Tán xạ hai hạt thành hai hạt Yếu tố ma trận của phép chuyển dời từ trạng thái đầu  i i đến trạng thái cuối

Từ đây suy ra :

 

2

4 ,

đó có thể xảy ra quá tình tương tác Nhân công thức trên với các yếu tố thể tích

dWfi  R fi (p f p d p d p i)  a b

Dễ dàng nhận thấy rằng hai hạt tự do tương tác với nhau thì xác suất sẽ tỷ lệ nghịch với thể tích chuẩn hóa V mà V có thể chọn tùy ý Do đó để đặc trưng cho quá trình tán xạ không phụ thuộc vào V ta cần phải chia xác suất tán xạ vi phân dWfi cho mật

độ dòng của các hạt tương tác đầu mà nó tỷ lệ nghịch với thể tích chuẩn hóa V Đại lượng được xác định như vậy được gọi là tiết diện ngang tán xạ vi phân và được ký hiệu bằng

dWfi

d

J

 

Trong hệ quy chiếu phòng thí nghiệm thì mật độ dòng J bằng tích mật độ dòng của

các hạt a, b trong một đơn vị thể tích nhân với vận tốc tương đối của hai hạt đó :

l l l

a b a

J  v

(1.22) Trong cơ học tương đối tính, năng xung lượng của hạt được xác định bằng biểu

thức :

2 0

p v p c

p p  



(1.26) Bây giờ ta viết yếu tố ma trận dưới dạng :

2 Yếu tố ma trận là một vô hướng Nếu chúng ta chuẩn

hóa véc tơ trạng thái để trong một đơn vị thể tích mật độ hạt

 3

12

2 2

Tính toán trong trường hợp tán xạ đàn hồi A + B → A + B trong trường hợp hạt B

đứng yên, khối lượng hạt bia là rất lớn (m B E A), sự giật lùi là không đáng kể Sử

dụng vế phải của biểu thức (1.16) để xác định tiết diện vi phân tán xạ d /d

1.2.1 Trong hệ khối tâm

Nếu chúng ta coi hệ hai hạt là một thể thống nhất thì hệ khối tâm là hệ quy chiếu

gắn liền và chuyển động cùng vận tốc với hệ hạt Với định nghĩa trên thì xung

lượng bốn chiều của hạt trong hệ khối tâm được xác định bởi:

Trong các trường hợp còn lại, giả sử m3m1, m4m2 Vẫn trong hệ quy chiếu

phòng thí nghiệm thì (1.41) được rút gọn lại như sau:

E E m pp E m m

(1.42) Điều này chỉ ra rằng momen bốn chiều qp3p1 liên quan tới các biến khác theo

như sau:

2 2

CHƯƠNG 2:

TÁN XẠ ELECTRON-ELECTRON

Trong chương này chúng tôi nghiên cứu quá trình tán xạ electron-electron Trong mục $ 2.1, theo quy tắc Feynman cho tương tác điện từ ta viết yếu tố ma trận tương ứng với quá trình tán xạ electron-electron ở bậc thấp nhất (gần đúng Born) của của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến Dựa vào yếu tố ma trận, ta tính tiết diện tán

xạ vi phân cho quá trình tán xạ electron-electron trong hệ khối tâm và hệ phòng thí nghiệm Mục $2.2 dành cho việc nghiên cứu quá trình tán xạ electron lên positron Cách tính tương tự như quá trình tán xạ electron-electron, có thay đổi khi một electron được thay bằng positron Kết quả ta thu được tiết diện tán xạ vi phân cho quá trình tán xạ electron positron So sánh kết quả tiết diện tán xạ vi phân của hai quá trình tán xạ kể trên ta nhận thấy hai kết quả hầu như giống nhau chỉ khác nhau

về dấu, có nghĩa là ta có thể chuyển từ kết quả này thành kết quả kia bằng cách

chuyển đổi dấu của chúng [11].

2.1 Tán xạ electron-electron ee ee

Trong phần đầu này ta xét quá trình tán xạ giữa electron-electron trong gần

đúng bậc thấp nhất Hai electron với xung lượng lần lượt là p1, p2 đến và tương tác

với nhau, sau đó sinh ra hai electron với xung lượng lần lượt là p1',p2' Do hai

electron ở trạng thái cuối hoàn toàn giống nhau, ta không có cách nào để phân biệt chúng, vì thế ta xét cả hai quá trình như hình vẽ dưới đây

Sử dụng quy tắc Feynman ta có biên độ tán xạ cho quá trình này:

d

A là yếu tố ma trận của quá trình tán xạ ứng với kênh t khi hạt hạt ra có xung

lượng lần lượt là p1' p2' trong hình vẽ (2.1a)

ex

A là yếu tố ma trận của quá trình tán xạ ứng với kênh u khi hati hat có xung lượng lần lượt là p2' p1' trong hình vẽ ( 2.1b)

int

A là yếu tố ma trận của cả hai quá trinh tán xạ ứng với kênh t và kênh u

Các ký hiệu trên đã được sử dụng trong tài liệu [11]

Ta thu được biểu thức:

2 2

21

2.1.1 Trong hệ khối tâm

Hệ khối tâm là hệ quy chiếu chuyển động với vận tốc của khối tâm của hệ hạt và

tổng xung lượng trước và sau của hệ đều bằng không Do đo ta có xung lượng của

các electron là:

1 2 1 2

Từ công thức (2.9), (2.14) và (2.17) cuối cùng ta thu được tiết diện tán xạ cho hai

hạt trong hệ khối tâm là:

4 0

' '

( , )( , 0)

2 '

1 '

1 '

1

2 ' 1

Từ công thức (2.9), (2.14) và (2.23) Ta thu được công thức cuối cùng cho tiết diện

tán xạ hai hạt trong hệ phòng thí nghiệm

d lab

-( - E)cos θ + (E + ) ( -E)cos θ +(E + )

P là tiết diện tán xạ của quá trinh tán xạ giữa hai hạt ứng với kênh t và kênh u

Các ký hiệu trên đã được dùng trong tài liệu [11]

2.2 Tán xạ electron-positon e e e e

Trong phần đầu này ta xét quá trình tán xạ giữa electron-positron trong gần đúng

bậc thấp nhất Electron và positron với xung lượng lần lượt là p1, '

2

p đến và tương tác với nhau, sau đó một electron và positron bay ra với xung lượng lần lượt là

 

' '

1 1

' '

2 2

' '

' '

' '

A là yếu tố ma trận của cả hai quá trinh tán xạ ứng với kênh t và kênh u

Ta thu được biểu thức:

2 2

2.2.1 Trong hệ khối tâm

Hệ khối tâm là hệ quy chiếu chuyển động với vận tốc của khối tâm của hệ hạt và tổng xung lượng trước và sau của hệ đều bằng không Do đo ta có xung lượng của electron và positron là:

1 ' 2 1

Do đó, các bất biến mandelstam có các giá trị:

' 2

1 '

1

2 ' 1

cos

cos2

2 1

P là tiết diện tán xạ của quá trình tán xạ giữa hai hạt ứng với kênh t và kênh u

Các ký hiệu trên đã được dùng trong tài liệu [11]