PHÉP BIẾN ĐỔI PHÂN TUYẾN TÍNH VÀ ÁP DỤNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN PHỔ THÔNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNĐào Thị Anh Phương PHÉP BIẾN ĐỔI PHÂN TUYẾN TÍNH VÀ ÁP DỤNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội - 2011

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Đào Thị Anh Phương

PHÉP BIẾN ĐỔI PHÂN TUYẾN TÍNH

VÀ ÁP DỤNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Hà Nội - 2011

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Đào Thị Anh Phương

PHÉP BIẾN ĐỔI PHÂN TUYẾN TÍNH

VÀ ÁP DỤNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN PHỔ THÔNG

Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp

Mã số : 60 46 40

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học PGS.TS NGUYỄN MINH TUẤN

Hà Nội - 2011

Mục lục

LỜI NÓI ĐẦU 2

Chương 1 Một lớp phương trình hàm sinh bởi hàm phân tuyến tính 4

1.1 Kiến thức chuẩn bị 4

1.1.1 Hàm số 4

1.1.2 Hàm số đơn điệu 5

1.1.3 Hàm phân tuyến tính 6

1.2 Phép biến đổi phân tuyến tính trong phương trình hàm 6

1.2.1 Hàm số xác định bởi các phép biến đổi phân tuyến tính 6

1.2.2 Một số bài toán khác về hàm phân tuyến tính 23

1.2.3 Bài tập tham khảo 34

Chương 2 Một số bài toán về dãy số 36

2.1 Phương trình và hệ phương trình sai phân 36

2.1.1 Phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng 36

2.1.2 Hệ phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng 40

2.2 Phương trình sai phân dạng phân tuyến tính với hệ số hằng 41

2.3 Giới hạn của một số dãy truy hồi dạng phân tuyến tính 50

2.4 Bài tập tham khảo 56

KẾT LUẬN 58

Tài liệu tham khảo 59

LỜI NÓI ĐẦU

Phép biến đổi phân tuyến tính có nhiều ứng dụng trong môn Toán ở bậc phổthông Đặc biệt là ở trường chuyên, lớp chọn và trong các kỳ thi học sinh giỏi Toántrong nước, trong các kỳ thi Olympic các nước trên thế giới thông qua các bài toán

về phương trình hàm, các bài toán về dãy số

Để đáp ứng nhu cầu học tập và giảng dạy môn toán ở bậc phổ thông, luận văn

Phép biến đổi phân tuyến tính và áp dụng giải một số bài toán phổ thông vớimục tiêu tổng hợp và chọn lọc các kiến thức về phép biến đổi phân tuyến tính đểgiải quyết các bài toán về phương trình hàm và các bài toán về dãy số Luận vănđược chia thành hai chương

Chương 1: Một lớp phương trình hàm sinh bởi hàm phân tuyến tính.

Chương này nêu lên một số kiến thức cơ bản về hàm số nói chung và hàmphân tuyến tính nói riêng Phần trọng tâm của chương là giải quyết các bàitoán về phép biến đổi phân tuyến tính trong phương trình hàm

Chương 2: Một số bài toán về dãy số.

Chương này nêu lên các kiến thức cơ bản về phương trình và hệ phương trìnhsai phân tuyến tính với hệ số hằng Phần trọng tâm của chương là giải quyếtcác bài toán về hai mảng kiến thức của dãy số:

• Phương trình sai phân dạng phân tuyến tính với hệ số hằng

• Giới hạn của một số dãy sai phân dạng phân tuyến tính

Để hoàn thành được luận văn này, trước nhất tác giả xin được gửi lời cảm ơn

sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn đã dành thời gian hướng dẫn, đánh giá, chỉ

bảo tận tình giúp đỡ trong quá trình xây dựng đề tài cũng như hoàn thiện luận văn.Tiếp theo, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành các thầy cô đã đọc, kiểm trađánh giá và cho những ý kiến quý báu để luận văn được đầy đủ hơn, phong phúhơn Qua đây, tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu, phòng sauĐại học, khoa Toán-Cơ-Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên và các bạn đồng

nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập tại trường.

Tuy có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên các vấn đềtrong luận văn chưa được trình bày sâu sắc và không thể tránh khỏi có những sai sóttrong cách trình bày Rất mong được sự đóng góp ý kiến thêm nữa của thầy cô vàcác bạn

Tác giả xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, Tháng 02 năm 2011

Đào Thị Anh Phương

•D được gọi là tập xác định của hàm số.

• f (x0) là giá trị của hàm số tại điểm x0 ∈D

• Tập hợpT = { f (x)|x ∈ D} được gọi là tập giá trị của hàm số f

Chú ý

1) t ∈T khi và chỉ khi phương trình f (x) = t có nghiệm x ∈ D

2) t ∈T, suy ra t có thể viết dưới dạng t = f (x) với x ∈ D

• Điểm x0 ∈Dđược gọi là điểm bất động của hàm f nếu như f (x0) = x0

Ví dụ:

Ánh xạ x 7→ f (x) = ax+ b

cx+ d c6= 0 và ad − bc 6= 0 xác định một hàm ( gọi làphân tuyến tính trên tập D = R \ {−d

c })

5) Nếu f :Df → R và g : Dg→ R tăng và Tf ⊂Dg thì hàm số hợp g ◦ f tăng.

Chú ý: Từ kết quả trên suy ra:

Nếu hàm f tăng thì hàm số hợp f ( f (x)) (nếu được xác định) cũng tăng

Nếu hàm f giảm thì hàm số hợp f ( f (x)) (nếu được xác định) cũng giảm

(i) Hàm ngược của một hàm phân tuyến tính là hàm phân tuyến tính.

(ii) Hợp thành của hai hàm phân tuyến tính là hàm phân tuyến tính

và p 6= 0

Giải a) Trường hợp w(x) = x có hai nghiệm phân biệt x1, x2.

Với x = x2 ta có f (w(x2)) = p f (x2) + q ⇒ f (x2) = p f (x2) + q

=⇒ f (x2)(1 − p) = q

+)Nếu p 6= 1 thì f (x2) = q

1 − p,+)Nếu p = 1 thì







Phương trình vô nghiệm nếu q 6= 0

Phương trình có nghiệm f (x2) bất kỳ nếu q = 0

+) Nếu p 6= 1 thì f (x) = q

1 − q.

+) Nếu p = 1 thì







Phương trình vô nghiệm nếu q 6= 0

Có nghiệm f (x0) tùy ý nếu q = 0

+ q với t 6= 0

nghiệm, ở đó w1(x) = w(x) = ax+ b

cx+ d.

Giải Gọi k ∈ Z+ là số bé nhất sao cho wk(x) = x có nghiệm

+) Nếu k = 1 thì chính là bài toán 1.2.1

(với ak· dk− bk· ck6= 0) có nghiệm Nếu ck 6= 0 hoặc dk 6= 0 thì bài toán sẽ quay

về bài toán 1.2.1 vừa xét

Sau đây, ta minh họa cách giải ứng với các trường hợp thông qua bài toán cụ thể.

Ta chỉ cần xét các phương trình hàm sinh bởi hàm phân tuyến tính

h(t + 1) = h(t), ∀t ∈ R\{−1; 0}

Khi đó có thể viết (1.2.5) dưới dạng

Bài toán 1.2.5.[1] Cho hàm số:

w(x) = ax+ b

cx+ d , ad − bc 6= 0, c 6= 0,sao cho phương trình w(x) = x có nghiệm kép x = x0 Tìm tất cả các hàm số

Khi đó có thể viết (1.2.9) dưới dạng

h



x0+dc



= −h(t) , ∀t 6= 0

trong đó

g(t) = 2

t t0h(t), ∀t 6= 0,với h(t) là hàm tùy ý thỏa mãn:

h



x0+dc

3 − x = 2 +

1t

2− 1

Viết (1.2.13) dưới dạng sau



= 2g(t) − 3

g(t) = f2 + 1

t− 1

, ∀t /∈ {2, 1, 0} (1.2.14)Đặt

g(t) = 3 + t−1h(t), ∀t /∈ {2, 1, 0},

và viết (1.2.14) dưới dạng

3 +

t2

−1

h

t2



= 2[3 + t−1h(t)] − 3, ∀t /∈ {2, 1, 0}

Vậy

ht2

g(t) = 3 + t−1h(t),với h(t) là hàm tùy ý thỏa mãn

h

t2

1 −√3.Và

x= −1 +

√

3 +2

√3

t− 1,

αt − 1.Khi đó ta có thể viết (1.2.17) dưới dạng sau:

f−1 +√3 + 2

√3

αt − 1



= −3 f−1 +√3 + 2

√3

t− 1

+7, ∀t /∈ {1

α, 0, 1}.Hay

g(αt) = −3g(t) + 7, ∀t /∈ {1

α, 0, 1} ,trong đó

g(t) = f−1 +√3 +2

√3

t− 1

, ∀t /∈ {1

gx+ 1 +√3

x+ 1 −√3

, khi x /∈ {−1 −√3; −1 +√3; −2},

4,

(1.2.21)

với h(t) là hàm tùy ý thỏa mãn

Bài toán 1.2.8.[1] Cho hàm số:

w(x) = ax+ b

cx+ d, ad − bc 6= 0, c 6= 0,sao cho phương trình w(x) = x có hai nghiệm phân biệt x1, x2

g(αt) = 2g(t) − 3, ∀t /∈ {1

α, 0, 1},

trong đó

g(t) = fx2+x2− x1

t− 1

, ∀t /∈ {1

trong đó

g(t) = 3 + |t|log|α| 2· h(t),với h(t) là hàm tùy ý thỏa mãn

thỏa mãn w(x) = x không có nghiệm thực

Bài toán 1.2.9 Cho hàm số w(x) = x− 3

x− 1.Tìm tất cả các hàm số f : R\{1} → R sao cho

ta có ngay biểu diễn (1.2.28)

Bài toán 1.2.10.[1] Cho các hàm số h(x), x ∈ R và w(x) = 2x − 5

x− 2 .Tìm tất cả các hàm số f : R\{2} → R sao cho

f(w(x)) = f (x) + h(x), ∀x 6= 2 (1.2.29)

Giải Nhận xét rằng phương trình w(x) = x không có nghiệm thực và

Ngược lại, khi f (x) thỏa mãn điều kiện (1.2.29) thì chỉ cần chọn g(x) = f (x), ta

có ngay biểu diễn (1.2.31)

Kết luận

f(x) = 1

2[g(w(x)) + g(x) − h(x)],với g(x) là hàm tùy ý xác định trên R\{2}

Bài toán1.2.11.[1] Cho hàm số w(x) = −1

x+ 1.Tìm tất cả các hàm số f : R\{−1; 0} → R sao cho

w3(x) := w(w(w(x))) = −1

−x+ 1

x + 1

= x, ∀x ∈ R\{−1; 0}

Từ (1.2.32) ta thấy f (x) ≡ 1 là một nghiệm của bài toán

Đặt f (x) = 1 + g(x) Khi đó có thể viết (1.2.32) dưới dạng

g(w2(x)) + g(w(x)) + g(x) = 0, ∀x 6= −1; x 6= 0 (1.2.33)

Ta chứng minh rằng mọi nghiệm của (1.2.33) đều có dạng:

g(x) = 1

3[2h(x) − h(w2(x)) − h(w(x))], (1.2.34)với h(x) là hàm tùy ý xác định trên R\{−1; 0}

Bài toán 1.2.12.[1] Cho hàm số q(x) xác định trên R và w(x) = −1

x+ 1.Tìm tất cả các hàm số f : R\{−1; 0} → R sao cho

Từ tính chất này của hàm w(x), suy ra điều kiện cần để phương trình (1.2.35) cónghiệm là

q(w(x)) = q(x), ∀x ∈ R\{−1; 0} (1.2.36)Giả sử điều kiện (1.2.36) thỏa mãn Khi đó có thể viết:

Ngược lại, khi g(x) thỏa mãn điều kiện (1.2.38) thì ta chỉ việc chọn h(x) = g(x)

ta có ngay biểu diễn (1.2.39)

với h(x) là hàm tùy ý xác định trên R\{−1; 0}.

Bài toán 1.2.13.[1] Cho hàm số p(x) và q(x) xác định trên R và w(x) = −1

x .Tìm tất cả các hàm số f : R\{0} → R sao cho

Nếu tồn tại x0 6= 0 sao cho [1 − p(w(x0))p(x0)] = 0 thì điều kiện cần để phươngtrình (1.2.40) có nghiệm là:

q(x0) − p(x0)q(w(x0)) = 0,và

q(w(x0)) − p(w(x0))q(x0) = 0 (1.2.44)Giả sử điều kiện (1.2.44) được thỏa mãn tại mọi điểm x06= 0 sao cho

1 − p(w(x0))p(x0) = 0

Gọi Zpq là tập hợp các nghiệm x 6= 0 của phương trình (với ẩn là x )

1 − p(w(x))p(x) = 0

Nhận xét rằng nếu x06= 0 thuộc Zpq thì w(x0) cũng thuộc Zpq

Khi đó nghiệm của (1.2.40) được xác định theo cách sau

a) Nếu x 6= 0 và x /∈ Zpq thì:

f(x) = q(x) − q(w(x))p(x)

1 − p(x)p(w(x)) .b) Nếu x 6= 0 và x ∈ Zpq thì f (x) được chọn tùy ý sao cho (1.2.40) được thỏamãn

Kết luận:

+) Nếu 1 − p(x)p(w(x)) 6= 0, ∀x 6= 0 thì

f(x) = q(x) − q(w(x))p(x)

1 − p(x)p(w(x)) .+) Nếu tồn tại x0 6= 0 sao cho 1 − p(w(x0))p(x0) = 0 thì điều kiện để (1.2.40)

1.2.2 Một số bài toán khác về hàm phân tuyến tính

Bài toán 1.2.14.[4] Tìm tất cả các hàm số f : R\{0} → R thỏa mãn đồng thời

+ f1y



;3)(x + y) f (x + y) = yx f (x) f (y);

Với mọi x, y mà xy(x + y) 6= 0

Giải Trước hết chú ý rằng từ các giả thiết ta suy ra f (x) 6= 0 với mọi x 6= 0.

Thật vậy, giả sử có x06= 0 mà f (x0) = 0 Khi đó từ giả thiết 1) ta có x0 6= 1.Thay x = 1 − x0, y = x0 vào giả thiết 3) ta có:

(1 − x0+ x0) f (1 − x0+ x0) = (1 − x0)x0f(1 − x0) f (x0) ⇒ f (1) = 0, vô lý Vậy với mọi x 6= 0 thì f (x) 6= 0

Từ giả thiết 2) thay x = y ta có:

f 12x

2x f (2x) = x2( f (x))2, ∀x 6= 0 (1.2.48)Như vậy (1.2.47) và (1.2.48) cho ta

Bây giờ ta xác định hàm số với x /∈ {−1; 0}.

f(x + y) + f (x) f (y) = f (xy) + f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R+ (1.2.50)

Giải Cho x = y = 2 ta được:

f(4) + ( f (2))2= f (4) + 2 f (2) ⇒ ( f (2))2− 2 f (2) = 0 ⇒ f (2) = 2( do f (x) > 0).Trong (1.2.50) lại cho x =y =1 có f (2) + [ f (1)]2 = f (1) + 2 f (1)



= f (1) + f (x) + f1

x

,

n+ f1

n

+n f1

+ f (m) + f1

+m + 1

n,suy ra fm

n



= m

n.Như thế đã chứng minh được rằng ∀x ∈ Q+ thì f (x) = x

Ta chứng minh f là hàm đồng biến trên khoảng (0; +∞)

Trước hết chú ý rằng ∀x > 1 chọn

y= x

x− 1 > 0 ⇒ x + y = xy ⇒ f (x + y) = f (xy).

Như thế f đồng biến trên (1; +∞)

Vậy hàm f là hàm đồng biến trên khoảng (0; +∞)

Cuối cùng với mỗi x > 0 ta chọn hai dãy số hữu tỷ (un), (vn) sao cho:

un≤ x ≤ vn và lim un= lim vn= x

Khi đó do f đồng biến nên

f(un) ≤ f (x) ≤ f (vn) ⇒ un ≤ f (x) ≤ vn.Cho n → +∞ ta được f (x) = x

Thử lại thấy thỏa mãn

Kết luận: Có hai hàm số thỏa mãn đầu bài là:

Như thế u = v, vô lý

Vậy ta phải có f (u) ≥ f (v) nghĩa là f hàm không tăng

Thay x = 1 vào (1.2.54) có

f( f (1) + y) = f (1 + y) (1.2.55)

Nếu f (1) > 1 thì từ (1.2.55) suy ra f (y) = f (y + f (1) − 1), ∀y > 1, còn nếu

f(1) < 1 thì lại có f (y) = f (y + 1 − f (1)), ∀y > 1 Như thế trong cả hai trường hợpthì hàm f luôn tuần hoàn trên khoảng (1; +∞) với chu kỳ là | f (1) − 1| Như thế f

là hàm đơn điệu tuần hoàn nên phải là hàm hằng với x > 1

Từ (1.2.54) ta thấy rằng vế trái là hằng số nhưng vế phải lại lớn tùy ý, vô lý Do

x thỏa mãn

Kết luận: Hàm số cần tìm là:

f(x) = 1

x, ∀x ∈ R+

Bài toán1.2.18.[4] Tìm tất cả các hàm xác định trên tập các số thực dương và

nhận giá trị trong tập đó thỏa mãn

f(x f (y)) f (y) = f (x + y), ∀x, y > 0 (1.2.56)

Giải Giả sử có y>0 mà f(y) >1.

Khi đó chọn x = y

f(y) − 1 > 0 ⇒ x f (y) = x + y

Ta có f (x f (y)) = f (x + y) = f (x f (y)) f (y)

Nhưng f (x f (y)) = f (x + y) > 0 nên ta suy ra f(y)=1, vô lý

Vậy với mỗi y >0 thì 0 < f (y) ≤ 1 Từ đây suy ra kết quả sau

f(x + y) = f (x f (y)) f (y) ≤ f (y), ∀x, y > 0hay với 0 <x < y ta có:

f(y) = f (y − x + x) = f ((y − x) f (x)) f (x) ≤ f (x) ⇒ f là hàm số giảmNếu có a >0 và f(a)=1 thì

f(y f (a)) f (a) = f (a + y) ⇒ f (a + y) = f (y), ∀y > 0Bằng phương pháp quy nạp dễ có kết quả

Từ hệ thức (1.2.56) cho y=1 ( đặt f(1) = a < 1) ta được

f(ax)a = f (x + 1) = f (ax + 1 + x(1 − a)) = f (ax) f ((1 + x − ax) f (ax))

a+ (1 − a)x, ∀x > 0

Thử lại: Dễ thấy các hàm số f (x) = 1, ∀x > 0 và f (x) = a

a+ (1 − a)x, ∀x > 0hoàn toàn thỏa mãn điều kiện của bài toán

a+ (1 − a)x, ∀x > 0, a tùy ý thuộc khoảng (0; 1).

Bài toán 1.2.19 ( IMO -1986 ) [4] Hãy xác định tất cả các hàm f xác định trên

tập hợp các số thực không âm và nhận giá trị trong tập đó thỏa mãn điều kiện:

f(x f (y)) f (y) = f (x + y), ∀x, y ≥ 0 (1.2.57)

Giải Thay x = y = 0 vào (2.2.57), ta được

f(0 f (0)) f (0) = f (0) ⇒ [ f (0)]2= f (0) ⇒ f (0)( f (0)−1) = 0 ⇒ f (0) = 0 hoặc f (0) = 1.Nếu f (0) = 0 thì với mọi x > 0:

f(x f (0)) f (0) = f (x) ⇒ f (x) = 0, ∀x ≥ 0

Ta xét trường hợp f (0) = 1 Có hai khả năng sau đây:

1) f (x) > 0, ∀x > 0 theo bài toán 1.2.18, các hàm số cần tìm là:

∀x ∈ B thì f (x) = 0 suy ra x > a.

Thành thử tồn tại α = Sup A, β = inf B,

Ta sẽ chứng minh α = β

Thật vậy, giả sử α < β suy ra có số ϕ sao cho α < ϕ < β

Từ α < ϕ, ta thấy nếu f (ϕ) > 0 thì ϕ ∈ A ⇒ ϕ ≤ α trái với α < ϕ < β

Do đó f (ϕ) = 0 ⇒ ϕ ∈ B ⇒ ϕ ≥ β cũng mâu thuẫn

Nếu α > β thì có số ϕ sao cho α > ϕ > β , khi đó có a ∈ A và b ∈ B sao cho

a≥ ϕ ≥ b Điều này không đúng với mọi a ∈ A và với mọi b ∈ B ta luôn có a < b.Vậy α = β

Bây giờ ta tìm công thức của hàm f

Cuối cùng ta tính giá trị của hàm số tại điểm α Gọi x, y > 0 là hai số tùy ý thỏamãn

1.2.3 Bài tập tham khảo

Bài tập 1.2.20 Cho a, b, c, d, p, q ∈ R, c 6= 0 Xác định các hàm f (x) sao cho

Bài tập 1.2.27 Cho hàm số q(x) xác định trên R và w(x) = −2

Bài tập 1.2.32 Tìm tất cả các hàm số f xác định trên R\{±1} thỏa mãn

f

x− 3

x+ 1

+ fx+ 3

+ f1y

+2(xy − 1000), ∀x, y ∈ R\{0} và x + y 6= 0

Bài tập 1.2.34 Cho a, b, c > 0 Tìm tất cả các hàm f : R+→ R thỏa mãn:

f(x) + a fb

x



= cx

Chương 2

Một số bài toán về dãy số.

2.1.1 Phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng.

• Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là phương trình sai phân dạng

u1 = α, aun+1+ bun = fn, n ∈ N∗

trong đó a, b, α là các hằng số, a 6= 0 và fn là biểu thức của n cho trước.

Cách giải.

1) Nếu fn = 0 thì giải phương trình đặc trưng aλ + b = 0 để tìm λ Khi đó

un = qλn (q là hằng số), trong đó q được xác định khi biết u1 = α

2) Nếu fn là đa thức theo n thì giải phương trình đặc trưng aλ + b = 0 ta tìmđược λ Ta có un = ubn+ un, trong đó ubn là nghiệm của phương trình thuần nhất

aun+1+ bun = 0 và u∗n là nghiệm riêng tùy ý của phương trình không thuần nhất

aun+1+ bun= fn Vậyubn = qλn, q là hằng số sẽ được xác định sau

Ta xác định u∗n như sau:

a) Nếu λ 6= 1 thì un là đa thức cùng bậc với fn

b) Nếu λ = 1 thì u∗n = n.gn với gn là đa thức cùng bậc với fn Thay u∗n vàophương trình, đồng nhất các hệ số, ta tính được các hệ số của u∗n

3) Nếu fn = ν µn, n ∈ N∗ thì giải phương trình đặc trưng aλ + b = 0 để tìm λ

Ta có un = ubn+ u∗n, trong đó ubn = cλn, c là hằng số chưa được xác định, u∗n đượcxác định như sau:

aun+1+ bun = f1n, u∗∗n là nghiệm riêng bất kỳ của phương trình không thuần nhất

1) Nếu fn = 0 thì giải phương trình đặc trưng aλ2+ bλ + c = 0, tìm λ

a) Nếu λ1, λ2 là hai nghiệm thực khác nhau thì un = Aλ1n+ Bλ2n, trong đó A và

Bđược xác định khi biết u1 và u2

b) Nếu λ1, λ2 là nghiệm thực kép, λ1= λ2 = λ thì un= (A + Bn)λn, trong đó A

và B được xác định khi biết u1 và u2

c) Nếu λ là nghiệm phức, λ = x + yi, thì ta đặt

r=| λ |=px2+ y2,tanϕ = y

x, ϕ ∈ −π

2 ,

π2



Lúc đó λ = r(cosϕ + isinϕ) và un = rn(Acosnϕ + Bsinnϕ), trong đó A và B đượcxác định khi biết u1 và u2

2) Nếu fn là đa thức theo n cho trước thì giải phương trình đặc trưng aλ2+

bλ + c = 0 để tìm λ Ta có un = ubn+ u∗n, trong đó ubn là nghiệm tổng quát củaphương trình thuần nhất aun+1+ bun+ cun−1= 0 và u∗n là một nghiệm riêng tùy ýcủa phương trình không thuần nhất aun+1+ bun+ cun−1 = fn Theo 1) ta tìm đượcb

un, trong đó các hệ số A,B chưa xác định, u∗n được xác định như sau:

a) Nếu λ 6= 1 thì u∗n là đa thức cùng bậc với fn,