PHƯƠNG PHÁP NGHIỆM TRÊN NGHIỆM DƯỚI GIẢI BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN -Bùi Thị Oanh PHƯƠNG PHÁP NGHIỆM TRÊN NGHIỆM DƯỚI GIẢI BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-Bùi Thị Oanh

PHƯƠNG PHÁP NGHIỆM TRÊN NGHIỆM DƯỚI

GIẢI BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học PGS TS HOÀNG QUỐC TOÀN

HÀ NỘI - 2014

Mục lục

1.1 Không gian Sobolev 6

1.1.1 Khái niệm về không gian Sobolev 6

1.1.2 Không gian H01(Ω) và H−1(Ω) 7

1.2 Toán tử vi phân đạo hàm riêng elliptic tuyến tính cấp hai 9

1.3 Bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace 10

1.3.1 Phương trình Laplace 10

1.3.2 Nguyên lý cực đại cực tiểu 11

1.3.3 Bất đẳng thức Harnack 11

1.3.4 Toán tử −∆ của bài toán Dirichlet 11

1.3.5 Các tính chất của toán tử −∆ 13

1.4 Phương pháp biến phân ứng dụng vào bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic nửa tuyến tính 14

2 Nghiệm trên nghiệm dưới và phương pháp lặp đơn điệu trong không gian Banach 16 2.1 Tập hợp nón thứ tự 16

2.2 Phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới và phép xấp xỉ liên tiếp 19 2.3 Áp dụng vào phương trình vi phân 22

2.3.1 Bài toán Dirichlet đối với phương trình vi phân nửa tuyến tính 22

2.3.2 Ví dụ 24

3 Phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới và bài toán biên Dirich-let nửa tuyến tính đối với toán tử Laplace 27 3.1 Phương pháp nghiệm trên, nghiệm dưới 27

3.2 Phương pháp nghiệm trên yếu, nghiệm dưới yếu 33

3.3 Một số ví dụ áp dụng của phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới vào các bài toán biên Elliptic nửa tuyến tính 40

Tài liệu tham khảo 50

Mở đầu

Trong luận văn này chúng tôi tìm hiểu và nghiên cứu về: "Phương phápnghiệm trên nghiệm dưới giải bài toán Dirichlet đối với phương trình Elliptic".Nguyên tắc của phương pháp này dựa vào nguyên lý cực đại của nghiệm củaphương trình elliptic Bản luận văn này gồm ba chương trong đó gồm phần kiếnthức cơ bản và hai chương chính:

Chương 1 Cơ sở toán học

Trong chương này, một số kiến thức cơ bản được nhắc lại Đó là:

- Không gian Sobolev

- Toán tử vi phân đạo hàm riêng Elliptic tuyến tính cấp hai

- Bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace: Phương trình Laplace, nguyên

lý cực đại cực tiểu, bất đẳng thức Harnck, toán tử −∆và các tính chất của toán

Ở chương này, luận văn đi vào trình bày khái niệm về tập hợp nón thứ tự, từ

đó dẫn đến phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới và phương pháp xấp xỉ liêntiếp Thông qua đó tác giả luận văn đã có một số ví dụ minh họa áp dụng vàophương trình vi phân để giải bài toán Dirichlet đối với phương trình vi phânnửa tuyến tính

Chương 3 Phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới và bài toán biên Dirichlet nửatuyến tính đối với toán tử Laplace

Ở chương này, luận văn đề cập hai mảng: Nghiệm trên, nghiệm dưới và nghiệmtrên yếu, nghiệm dưới yếu Trong chương này chúng tôi giới thiệu khái niệm

"nghiệm trên nghiệm dưới" của bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace,chứng minh định lý cơ bản của phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới Và đãđưa ra được một số ví dụ áp dụng của phương pháp nghiệm trên nghiệm trênnghiệm dưới vào các bài toán biên elliptic nửa tuyến tính.

Mặc dù bản thân đã cố gắng và nghiêm túc trong học tập và nghiên cứu khoahọc nhưng do thời gian có hạn, kiến thức bản thân còn hạn chế nên trong quátrình thực hiện luận văn không tránh khỏi những sơ suất Rất mong nhận được

sự góp ý của thầy cô và các bạn

Tôi xin chân thành cảm ơn

Lời cảm ơn

Tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TSHoàng Quốc Toàn Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đápcác thắc mắc của tôi trong suốt quá trình tôi thực hiện đề tài

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô Khoa Toán - Cơ - Tin học,Phòng Sau đại học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia HàNội; các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2011-2013 đã tạo điều kiệnthuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn của mình

Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình đã luôn động viên tôi trong suốt quátrình học tập và làm luận văn

Hà Nội, tháng 11 năm 2014

Học viênBùi Thị Oanh

Chương 1

Cơ sở toán học

1.1.1 Khái niệm về không gian Sobolev

Giả sử Ω là miền bị chặn trong Rn, với biên ∂Ω

Ký hiệu C0∞(Ω) là không gian tuyến tính các hàm ϕ(x) khả vi vô hạn và có giácompact trong Ω Rõ ràng:

Nhận xét 1.1

• Với p = 2 : Hk(Ω) = Wk,2(Ω), k = 1, 2, là không gian Hilbert

• H 0 (Ω) ≡ L2(Ω).

Định lý 1.1 Với k ∈ N, 1 ≤ p ≤ +∞, Wk,p(Ω) là một không gian Banach.Không gian Wk,p(Ω) là không gian phản xạ nếu và chỉ nếu 1 < p < +∞ Hơnnữa Wk,2(Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng:

n − k.p.ii) Nếu 0 ≤ m < k − k

Giả sử Ω là miền bị chặn trong RN với biên ∂Ω

Ký hiệu C0∞(Ω) là không gian tuyến tính các hàm ϕ(x) khả vi vô hạn và có giácompact trong Ω Trong C0∞(Ω) ta đưa vào tích vô hướng và chuẩn như sau:

(ϕ1, ϕ2) = R

Ω

Dϕ1.Dϕ2dx, với ϕ1(x), ϕ2(x) ∈ C0∞(Ω) (1.1)

kϕkH1 (Ω) =R

Ω

|Dϕ|2dx, ϕ(x) ∈ C0∞(Ω) (1.2)trong đó Dϕ là véc tơ đạo hàm (hay là vectơ gradient) của hàm ϕ(x), x ∈ Ω.

∂ϕ

∂xi

2

Khi đóC0∞(Ω)trở thành không gian tiền Hilbert Ta ký hiệuH01(Ω)là bổ sung

đủ của C0∞(Ω) theo chuẩn (1.2) Khi đó H01(Ω) là không gian Hilbert với tích vôhướng (1.1) và chuẩn (1.2) Hơn nữa H01(Ω) ⊂ L2(Ω).

Theo đinh lý nhúng Sobolev thì phép nhúng H01(Ω) vào L2(Ω) là compactnghĩa là nếu M ⊂ H01(Ω) là một tập bị chặn thì M là tập compact tương đốitrong L2(Ω).

Ký hiệu H−1(Ω) là đối ngẫu của H01(Ω), có nghĩa là H−1(Ω) là không gian cácphiếm hàm tuyến tính liên tục xác định trong H01(Ω).

f : H01(Ω) → R

u 7→ hf, ui h., i ký hiệu là phép toán f tác động vào hàm u ∈ H01(Ω).

kf k−1= sup

u∈H 1 (Ω)

|hf, ui|

kukH1 (Ω)

Định lý 1.3 Bất đẳng thức Poicaré Giả sử Ω là miền bị chặn trong RN, d

là đường kính của Ω, u ∈ H01(Ω) Khi đó

Định lý 1.4 Giả sử Ω ⊂ RN là miền bị chặn thuộc lớp C1, tồn tại một hằng số

c = c(Ω) sao cho với mọi u ∈ H01(Ω) ta có:

Nếu L là elliptic tại mọi điểm x ∈ Ω thì L được gọi là toán tử elliptic trong Ω.

Khi đó L0(ξ) giữ nguyên dấu + hoặc − tại x ∈ Ω với mọi ξ 6= 0, ξ ∈ Rn.

Như vậy không giảm tổng quát ta có thể giả thiết L0(ξ) > 0, ∀ξ ∈ Rn, ∀x ∈ Ω

Do đó sẽ tồn tại λ > 0 sao cho:

n

X

i,j=1

aij(x)ξiξj ≥ λ |ξ|2, ∀ξ = (ξ1, ξ2, , ξn) ∈ Rn, ∀x ∈ Ω.

1.3 Bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace

được gọi là toán tử Laplace hay thường gọi là Laplacian

∆ϕ: là biểu thức Laplacian của hàm ϕ(x).

Phương trình∆ϕ = 0, x ∈ Ωđược gọi là phương trình Laplace và phương trình

vi phân không thuần nhất:

∆ϕ = f (x), x ∈ Ω

được gọi là phương trình poisson

Hàm u(x) ∈ C2(Ω) được gọi là hàm điều hòa trong Ω nếu: ∆u(x) = 0 với mọi

x ∈ Ω

Hàm u(x) ∈ C2(Ω) được gọi là hàm điều hòa dưới trongΩnếu ∆u(x) ≥ 0(hay

−∆u ≤ 0), x ∈ Ω và được gọi là hàm điều hòa trên trong Ω nếu ∆u(x) ≤ 0( hay

1.3.2 Nguyên lý cực đại cực tiểu

Giả sử Ωlà một miền trongRn ( nói cách khácΩ là một tập mở và liên thôngtrong Rn) Khi đó nguyên lý cực đại đối với hàm điều hòa dưới và nguyên lý cựctiểu đối với hàm điều hòa trên như sau:

Định lý 1.5 Giả sử Ω là miền bị chặn và u(x) ∈ C2(Ω) ∩ C0(Ω) sao cho:i) ∆u ≥ 0 trong Ω Khi đó: sup u

hoặc dưới dạng tích phân đó là:

và ∆ là toán tử Laplace Toán tử −∆ được xác định bởi (1.3) và (1.4) được gọi

là toán tử của bài toán Dirichlet với điều kiện biên thuần nhất đối với phươngtrình Laplace

1.3.5 Các tính chất của toán tử −∆

Xét u ∈ H01(Ω) bất kỳ Từ định nghĩa 1.1 của toán tử −∆, ta có:

(−∆u; u) = (Du; Du) = kDuk2L2 (Ω) (1.6)Theo bất đẳng thức Poincare tồn tại γ > 0 sao cho:

kDuk2L2 (Ω) ≥ γ kuk2H1 (Ω) , ∀u ∈ H01(Ω)

Định lý 1.6 Toán tử −M: H01(Ω) −→ H−1(Ω) là ánh xạ 1 - 1 và lên

Định lý 1.7 Toán tử nghịch đảo T của toán tử −∆ là compact, xác định dương

và tự liên hợp trong L2(Ω).

Nhận xét 1.4

Từ định lý 1.7 ta suy ra tồn tại một cơ sở trực giao trong L2(Ω) ký hiệu là:

{ui}∞i=1 gồm các hàm riêng của toán tử T ứng với các giá trị riêng{µi}∞i=1 trong

đó µ i > 0 giảm dần về 0 khi j → +∞, tức là: T u i = µ i u i ; µ i & 0. Hơn nữa, vì:

T : L2(Ω) −→ H01(Ω) ⊂ L2(Ω)

nên từ đẳng thức trên ta suy ra u i ∈ H01(Ω) với mọi i = 1, 2

Mặt khác cũng từ đẳng thức trên ta có:

T−1(T ui) = T−1(µiui) = µi(−∆ui)

1.4 Phương pháp biến phân ứng dụng vào bài toán Dirichlet

đối với phương trình elliptic nửa tuyến tính

Giả sử Ω ⊂ Rn là miền bị chặn Ta xét bài toán Dirichlet sau đây:

u ∈ H01(Ω) được gọi là phiếm hàm Euler- Lagrange liên kết với bài toán (1.9).

Khi đó I là phiếm hàm khả vi liên tục theo nghĩa Fréchet và đạo hàm Fréchet

I0(u) của nó được xác định theo công thức:

0 (Ω) là điểm tới hạn của phiếm hàm

I thì u0 là nghiệm yếu của bài toán (1.9)

Nội dung của phương pháp biến phân là đưa việc chứng minh sự tồn tạinghiệm yếu của bài toán (1.9) về việc chứng minh sự tồn tại điểm tới hạn củaphiếm hàm Euler - Lagrange liên kết với nó

Chương 2

Nghiệm trên nghiệm dưới và

phương pháp lặp đơn điệu trong

không gian Banach

Rõ ràng điều kiện (2.1) có thể viết lại dưới dạng:

Hàm f : R −→ R là đơn điệu tăng nếu với mọi x, y ∈ R thì :

Giả sử X là một không gian Banach thực vàK là tập hợp con của X Khi đó

K được gọi là tập hợp nón thứ tự nếu:

i) K là tập hợp đóng, khác rỗng và K 6= {0}

ii) ∀a, b ∈ R, a, b ≥ 0, ∀x, y ∈ K thì a.x + b.y ∈ K

Điều kiện ii) trong định nghĩa 2.1 tương đương với điều kiện sau đây:

ii’) K là tập hợp lồi và nếu x ∈ K, a ≥ 0 thì ax ∈ K

Thật vậy, giả sử x, y ∈ K, a, b ≥ 0 ⇒ ax + by ∈ K

Khi đó: Với t ∈ [0; 1], x, y ∈ K ⇒ t.x + (1 − t).y ∈ K ⇒ K lồi,

với x ∈ K, a ≥ 0 : a.x = a.x + 0.y ∈ K, ∀y ∈ K ⇒ a.x ∈ K

Ngược lại giả thiết K lồi và ∀x ∈ K, a ≥ 0 ⇒ a.x ∈ K

Khi đó với x, y ∈ K, a, b ≥ 0 ⇒ a.x ∈ K, b.y ∈ K

f ≤ g nếu và chỉ nếu f (x) ≤ g(x) với mọi x ∈ Ω ⇔ f (x) − g(x) ∈ K.

f  g nếu và chỉ nếu f (x) < g(x) với mọi x ∈ Ω ⇔ f (x) − g(x) ∈ Int K

Ví dụ 2.2

Cho X = Rn Đặt :

K = x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn; xi≥ 0(i = 1, 2, , n) Khi đó: cho x, y ∈ Rn, ta có:

• Nếu x n ≤ y n với mọi n thì lim n→∞ x n ≤ lim n→∞ y n

Nếu các giới hạn này tồn tại Thì giới hạn này được hiểu theo nghĩa giới hạntheo chuẩn trong không gian Banach

Chứng minh

Áp dụng (2.3) và tính chất của K chẳng hạn : Nếu xn ≤ yn với mọi n Khi đó

yn − xn ∈ K Vì K đóng và các giới hạn của {xn}∞n=1 và {yn}∞n=1 tồn tại, ta có

Giả sử X và Y là không gian Banach sắp được Toán tử:

T : X −→ Y DomT 7−→ Y

Trong đó DomT được ký hiệu là miền xác định của T trong X) được gọi làtăng đơn điệu nếu x < y thì T (x) ≤ T (y) với mọi x, y ∈ DomT, (2.4)Toán tử T được gọi là đơn điệu tăng thực sự nếu x < y thì T (x) < T (y) với mọi

x, y ∈ DomT và được gọi là đơn điệu tăng mạnh nếu x < y thì T (x)  T (y) vớimọi x, y ∈ DomT

Tương tự như vậy ta có định nghĩa các toán tử đơn điệu giảm, đơn điệu giảmthực sự hay đơn điệu giảm mạnh

Toán tử T được gọi là dương nếu T (0) ≥ 0 và với mọi x ∈ DomT, x > 0 thì

sự, đơn điệu tăng mạnh)

Thật vậy, giả sử T là toán tử tuyến tính dương Khi đó ta có: nếu x < y ⇒

0 < y − x ⇒ 0 ≤ T (y − x) ⇒ 0 ≤ T (y) − T (x) ⇒ T (x) ≤ T (y) tức là T đơn điệutăng

Các chứng minh khác được tiến hành tương tự

Định nghĩa 2.4.

Điểm u ∈ X được gọi là nghiệm trên của phương trình (2.5) (hay của toán tử

T) nếu:

T (u) ≤ u

Điểm u ∈ X được gọi là nghiệm dưới của phương trình (2.5) nếu u ≤ T (u)

Nguyên lý tổng quát của phương pháp nghiệm trên - nghiệm dưới được phátbiểu như sau:

Nếu tồn tại nghiệm trên và nghiệm dưới của phương trình (2.5), thì nghiệmcủa phương trình (2.5) có thể tìm được nhờ phương pháp xấp xỉ liên tiếp

un+1 = T (un) và vn+1 = T (vn), (n = 0, 1, 2, ) (2.6)trong đó u0 là nghiệm dưới và v0 là nghiệm trên của phương trình (2.5)

Định lý 2.2 Giả sử T : X −→ X là một toán tử đơn điệu tăng, compact trongkhông gian Banach được sắp thứ tự với nón chuẩn , u0 là nghiệm dưới, v0 lànghiệm trên của phương trình (2.5) Khi đó các dãy {un}∞n=1 và {vn}∞n=1 trong(2.6) hội tụ nếu và chỉ nếu các dãy này bị chặn trên (tương ứng bị chặn dưới).Nếu các dãy này hội tụ thì điểm giới hạn u = lim n→+∞ u n là điểm cố định bénhất của T, u0≤ u, và v = limn→+∞vn là điểm cố định lớn nhất của T, v ≤ v0

Chứng minh

Ta xét trường hợp nghiệm dưới

Vì T là đơn điệu tăng nên: u0≤ T (u0) = u1, u2 = T (u1) ≥ T (u0) = u1

Tương tự ta có: u0 ≤ u1≤ u2 ≤

Nếu tồn tại limn→+∞un = u thì ta sẽ có un ≤ u với mọi n Do đó dãy {un} bịchặn trên Ngược lại nếu dãy {un}∞n=1 bị chặn trên thì dãy đó sẽ hội tụ Thậtvậy, giả sử un ≤ v với mọi n Khi đó u0 ≤ un ≤ v với mọi n

Theo bổ đề 2.1 dãy {un} bị chặn trên theo chuẩn: k u0 k≤k un k≤k v k

Vì un = T (un−1) và vì T là toán tử compact nên dãy {un} compact tương đối

Do đó sẽ tồn tại dãy con {unk}∞

k=1 và u sao cho unk → u trong X.Mặt khác vì dãy {u n }∞n=1 đơn điệu nên tất cả các dãy con hội tụ đều có cùnggiới hạn Từ đó suy ra dãy {un} cũng hội tụ và có giới hạn u

Vì un+1= T (un), (n = 0, 1, 2, ), cho n −→ +∞ ta có u = T (u)

Nếu w ∈ X và w ≥ u0 cũng là một nghiệm của (2.5) Khi đó: u1 = T (u0) ≤

T (w) = w Từ đó ta suy ra: un ≤ w với mọi n:

Qua giới hạn khi n −→ +∞ ta suy ra u ≤ v

Vậy u là nghiệm bé nhất của (2.5)

Việc chứng minh cho nghiệm trên được làm tương tự

Hệ quả 2.1

Phương pháp lặp đơn điệu

Cho X là không gian Banach thực, sắp được với nón chuẩn, T : X −→ X là ánh

xạ X vào chính nó Giả sử u0 và v0 là nghiệm dưới và nghiệm trên của phươngtrình (2.5), u0≤ v0 Khi đó, nếu T là toán tử compact, đơn điệu tăng trên đoạn

[u0; v0]thì cả hai dãy lặp{un}∞n=1 và{vn}∞n=1 được xác định bởi (2.6) đều hội tụ và

2.3 Áp dụng vào phương trình vi phân

2.3.1 Bài toán Dirichlet đối với phương trình vi phân nửa tuyến tính

Ta xét bài toán Dirichlet đối với phương trình vi phân sau:

C[0; 1] 3 g(t) 7−→ T (g) = ω(t) là nghiệm duy nhất của bài toán (2.8)

Ký hiệu A là toán tử của bài toán (2.9)

Aω = −ω”(t) + cw(t), DomA = {ω(t) ∈ C2([0; 1]) : ω(0) = ω(1) = 0}

Khi đó A−1 = T, đồng thời với mọi g(t) ∈ C[0; 1],

ω(t) = A−1g = T g =R01G(t, s)g(s)ds trong đó G(t, s) là hàm Green

là toán tử đơn điệu tăng.

Thật vậy, giả sử z1(t), z2(t) ∈ DomN ⊂ C[0; 1] sao cho z1≤ z2

Hơn nữa ta chú ý rằng với c > 0 đủ lớn đã chọn sao cho hàm f (t, s) + c.s đơnđiệu tăng theo s, s ∈ [α; β] nên hàm:

F : (t, s) 7→ f (t, s) + c.s, t ∈ [0; 1], s ∈ [α; β] là đơn điệu tăng theo s ∈ [α; β] Do đó:với z1≤ z2, z1(t), z2(t) ∈ [α; β], ∀t ∈ [0; 1], ta có

0 ≤ F (t, z2) − F (t, z1) = f (t, z2(t)) − f (t, z1(t)) + c(z2(t) − z1(t)) = −ω”(t) + c.ω(t)

Như vậy ta có:

(

−ω00(t) + c.ω(t) ≥ 0, t ∈ (0; 1) ω(0) = ω(1) = 0, (2.10)

Ta sẽ chứng minh rằng ω(t) ≥ 0, ∀t ∈ [0; 1]

Thật vậy giả sử tồn tại t ∈ (0; 1) sao cho ω(t) < 0 Khi đó tồn tại t0 ∈ (0; 1)

sao cho 0 > ω(t0) = mint∈[0;1]ω(t) Nhưng tại t0: ω”(t0) ≥ 0, ω(t0) < 0 nên

−ω”(t 0 ) + cω(t 0 ) < 0

Điều này mâu thuẫn với (2.10)

Vậy ω(t) = ω2(t) − ω1(t) = T (z2) − T (z1) ≥ 0 hay T (z2) ≥ T (z1) và T là toán tửđơn điệu tăng Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng v0 ≥ T (v0) tức là v0 là nghiệmtrên của toán tử T

Lập luận tương tự như trên ta suy ra: v(t) ≤ 0, ∀t ∈ (0; 1)

hay v1(t) − v0(t) ≤ 0, ∀t ∈ (0; 1) ⇒ T (v0) = v1(t) ≤ v0(t), ∀t ∈ (0; 1)

Lặp lại lý luận này ta cũng suy ra rằng u0≤ T (u0) nếuu0(t) ≤ v0(t), ∀t ∈ (0; 1)

Khi đó theo hệ quả 2.1 bài toán Dirichlet (2.7) tồn tại nghiệm trong đoạn[u0; v0].

2.3.2 Ví dụ

Ví dụ 2.3

Xét bài toán Dirichlet:

(

−x00(t) = f (t, x) + g(t), t ∈ (0; 1)

trong đó f (t, s) ∈ C([0; 1] × R) khả vi liên tục theo s, g(t) ∈ C([0; 1])

giả thiết tồn tại a < 0 sao cho:

Ta sẽ chứng tỏ v0(t) ≥ 0, ∀t ∈ (0; 1) Thật vậy giả sử tồn tại t ∈ (0; 1) sao cho:

v0(t) < 0 khi đó tồn tại t0 ∈ (0; 1) sao cho: