SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨUTÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH BỊ NHIỄU

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN o0o -HÀ THỊ LY SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH BỊ NHIỄU Chuyên n

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

o0o

-HÀ THỊ LY

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨU

TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH BỊ NHIỄU

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2015

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

o0o

-HÀ THỊ LY

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨU

TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH BỊ NHIỄU

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS ĐẶNG ĐÌNH CHÂU

Hà Nội - 2015

Mục lục

1 Sử dụng các phương pháp Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định

1.1 Khái niệm về tính ổn định nghiệm của các hệ phương trình vi phân 6

1.1.1 Hệ rút gọn 6

1.1.2 Các khái niệm về ổn định 7

1.2 Định nghĩa và các tính chất chính của số mũ đặc trưng Lyapunov 8 1.3 Số mũ đặc trưng của hàm ma trận 9

1.4 Phổ Lyapunov và phép biến đổi Lyapunov đối với hệ phương trình vi phân tuyến tính 9

1.4.1 Phổ của hệ tuyến tính 9

1.4.2 Phép biến đổi Lyapunov 10

1.4.3 Một số ví dụ về phương pháp số mũ 11

1.5 Phương pháp hàm Lyapunov trong Rn 15

1.5.1 Các hàm xác định dấu 15

1.5.2 Định lý thứ nhất của Lyapunov về sự ổn định 16

1.5.3 Định lý thứ hai của Lyapunov về sự ổn định tiệm cận 17

1.5.4 Định lý thứ ba của Lyapunov về sự không ổn định 17

1.6 Các ví dụ về phương pháp hàm Lyapunov 17

2 Sử dụng phương pháp số đặc trưng Lyapunov- Badanov để nghiên cứu tính ổn định của các hệ động lực 20 2.1 Định nghĩa hệ động lực trên thang thời gian đều và một vài khái niệm mở đầu 21

2.1.1 Định nghĩa hệ động lực trên thang thời gian đều 21

2.1.2 Định nghĩa tập bất biến 21

2.1.3 Tập ω−giới hạn của hệ động lực 21

2.1.4 Chuyển động ổn định theo Lagrange 22

2.1.5 Điểm đứng yên 22

2.2 Khái niệm số đặc trưng tổng quát Lyapunov - Badanov 22

2.2.1 Một số khái niệm cơ bản 23

2.2.2 Tính ổn định của tập V của hệ động lực f (p, t) 24

2.2.3 Các ví dụ minh họa 26

Mở đầu

Trong các mô hình ứng dụng của lý thuyết phương trình vi phân, chúng tathường gặp các bài toán liên quan đến các hệ phương trình vi phân phi tuyếnhoặc một tập nghiệm nào đó của các phương trình vi phân Trong các trườnghợp này nếu sử dụng các phương pháp thông thường để nghiên cứu hệ động lựctuyến tính hoặc hệ phương trình vi phân tuyến tính có thể sẽ gặp nhiều khókhăn, phức tạp Từ lâu, người ta đã xây dựng được nhiều phương pháp khácnhau để vượt qua các khó khăn trên (xem [4], [8], [1] )

Mục đích của bản luận văn này là trình bày lại một số kết quả liên quan tớiviệc phát triển và cải tiến các phương pháp quen thuộc đã biết trong lý thuyếtđịnh tính của phương trình vi phân (chẳng hạn phương pháp số mũ Lyapunovhay phương pháp tập bất biến của hệ động lực ) và sử dụng chúng cho việcnghiên cứu tính ổn định của chuyển động theo Lyapunov hoặc theo Lagrange.Nội dung của luận văn có thể chia làm hai phần chính

- Phần thứ nhất trình bày lại các kết quả cơ bản về phương pháp số mũLyapunov và phương pháp hàm Lyapunov

- Phần thứ hai của bản luận văn dành cho việc trình bày lý thuyết số mũ đặctrưng tổng quát Lyapunov - Badanov và tính ổn định của hệ động lực tổng quáttrong không gian mêtric

Bố cục luận văn gồm hai chương:

Chương 1: Sử dụng các phương pháp Lyapunov để nghiên cứu tính ổn địnhnghiệm của các hệ phương trình vi phân

Chương 2: Sử dụng phương pháp số đặc trưng Lyapunov - Badanov để nghiêncứu tính ổn định của các hệ động lực

Bản luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS TS.Đặng Đình Châu Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy -người đã dành nhiều thời gian và công sức để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ tôitrong việc hoàn thành bản luận văn

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong Khoa Toán - Cơ - Tin học,

trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQG Hà Nội về kiến thức và những điềutốt đẹp mang lại cho tôi trong thời gian tôi học tập tại trường Tôi xin cảm ơnphòng Sau đại học về những điều kiện thuận lợi trong việc hoàn thành thủ tụchọc tập và bảo vệ luận văn.

Cuối cùng tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân đã là chỗ dựavững chắc cho tôi trong cuộc sống và học tập

Mặc dù đã có nhiều sự cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi nhữngthiếu sót Tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để bảnluận văn được hoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 10 năm 2015

Hà Thị Ly

hệ phương trình vi phân ta có thể sử dụng các phương pháp của nhà toán họcNga A.M Lyapunov Phương pháp này được Lyapunov xây dựng từ năm 1918(xem [2] ) và ngày nay đã được phát triển thành một lý thuyết khá hoàn thiện

và có khả năng áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học

tự nhiên

Trong chương 1 của bản luận văn này, chúng tôi sẽ dành cho việc trình bàylại một số kết quả cơ bản nhất của các phương pháp nghiên cứu tính ổn địnhchuyển động của Lyapunov Đó là phương pháp số mũ Lyapunov (xem [4] ) vàphương pháp hàm Lyapunov (xem [4], [8] ) Dựa vào các phương pháp cơ bảnnày người ta có thể mở rộng và phát triển thành các phương pháp mới để ápdụng cho một số dạng của hệ động lực quen thuộc (xem [10] ) Một trong các

mở rộng thú vị của các phương pháp Lyapunov mà chúng tôi sẽ đề cập tới trongbản luận văn này là phương pháp số đặc trưng tổng quát Lyapunov- Badanov(xem [6], [11] ) Phương pháp này sẽ được giới thiệu trong chương 2

Một trong những vấn đề thường được thảo luận sâu sắc trong các công trìnhnghiên cứu gần đây là "bình luận " về tính ưu việt hoặc các hạn chế còn để lạitrong các phương pháp nghiên cứu tính ổn định Trong khuôn khổ của một bảnluận văn thạc sĩ chúng tôi xin phép không trình bày một cách chi tiết vấn đềnày Chúng tôi sẽ dành sự quan tâm nhiều hơn cho việc xây dựng các ví dụ vớimục tiêu là ứng dụng các phương pháp đã được trình bày trong chương này chobài toán nhiễu

Trước khi đi vào các phương pháp, chúng tôi đưa ra một số khái niệm về tính

ổn định nghiệm của các hệ phương trình vi phân

1.1 Khái niệm về tính ổn định nghiệm của các hệ phương

Trong đó, mỗi điểm (t0, y0) đối với hệ (1.1) với điều kiện ban đầuy (t, t0, y0) =

y0 Trong chương này ta giới hạn chỉ xét nghiệm thực

Giả sử η = η (t) (a < t 0 < ∞) là nghiệm của hệ (1.1) và ta cần nghiên cứu tính

ổn định của nó Gọi UH(η(t)) là lân cận của nghiệm đó sao cho UH(η(t)) ⊂ B với

G (t, x) = [Y (t, x + η (t)) − Y (t, η (t))] ∈ Ctx(0,1)(H0) ,

H 0 = {a < t < ∞, kxk < H 1 < +∞}

Hơn nữa, rõ ràng G (t, 0) = 0 Do đó, hệ (1.2) có nghiệm tầm thường x = 0

tương ứng với nghiệm đã cho η = η (t) Hệ (1.2) được gọi là hệ rút gọn (hoặc

hệ phương trình của chuyển động bị nhiễu) Như vậy, sự nghiên cứu tính ổnđịnh của nghiệmη = η (t) được đưa về nghiên cứu tính ổn định của nghiệm tầmthường x ≡ 0

1.1.2 Các khái niệm về ổn định

Để nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân chúng ta thường ápdụng các phương pháp của Lyapunov Đó là phương pháp số mũ Lyapunov hoặcphương pháp hàm Lyapunov Trước hết chúng tôi sẽ nhắc lại các khái niệm về

sự ổn định của nghiệm tầm thường của hệ (1.2) được định nghĩa như sau.Định nghĩa 1.1 Nghiệm tầm thườngx ≡ 0của phương trình vi phân(1.2)đượcgọi là ổn định theo Lyapunov khi t → +∞ nếu ∀ε > 0, t0∈R+ ; ∃δ = δ (t0, δ) > 0:

∀x0 ∈ H0; kx0k < δ ⇒ kx (t, t0, x0)k < ε; ∀t ≥ t0.

Định nghĩa 1.2 Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình vi phân (1.2)

được gọi là ổn định đều theo Lyapunov nếu số δ trong định nghĩa (1.2) có thểchọn không phụ thuộc vào t0

Định nghĩa 1.3 Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình vi phân (1.2)

được gọi là ổn định tiệm cận khi t → ∞ nếu

(i) Nghiệm tầm thường x ≡ 0 là ổn định

(ii) Tồn tại ∆ > 0 sao cho với mọi x0∈ H0 và kx0k < ∆ thì

lim

t→+∞ kx (t, t0, x0(t))k = 0.

Định nghĩa 1.4 Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình vi phân (1.2)

được gọi là ổn định tiệm cận đều khi t → +∞ nếu

(i) Nghiệm tầm thường x ≡ 0 là ổn định đều

(ii) Tồn tại ∆ = ∆ (t 0 ) > 0 (không phụ thuộc vào t 0) sao cho với mọi x 0 ∈ H 0 và

kx0k < ∆ thì

lim

t→∞ kx (t, t0, x0(t))k = 0.

Định nghĩa 1.5 Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình vi phân (1.2)

được gọi là ổn định mũ khi t → ∞ nếu như mọi nghiệm x (t) = x (t, t 0 , x 0 ) củaphương trình (1.2) luôn thỏa mãn bất đẳng thức

kx (t)k ≤ M.e−λ(t−t0 ) kx0k ; ∀t ≥ t0,

trong đó M,λ là các hằng số dương không phụ thuộc vào cách chọn x0

Định nghĩa 1.6 Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình vi phân (1.2)

được gọi là ổn định mũ đều khi t → ∞ nếu như số M ở trên không phụ thuộcvào t0

Nhận xét:

1 Nghiệm ổn định đều suy ra ổn định theo Lyapunov

2 Nghiệm ổn định tiệm cận đều suy ra ổn định đều

3 Nghiệm ổn định mũ suy ra ổn định tiệm cận và nghiệm ổn định tiệm cận suy

ra ổn định theo nghĩa Lyapunov

Trên đây là một số khái niệm về tính ổn định nghiệm của các hệ phương trình

vi phân Mục tiếp theo chúng tôi trình bày các phương pháp để xét tính ổn địnhnghiệm của phương trình vi phân Trước tiên là phương pháp số mũ Lyapunov

A Phương pháp số mũ Lyapunov

1.2 Định nghĩa và các tính chất chính của số mũ đặc trưng

Lyapunov

Cho một hàm giá trị phức f (t) xác định trên khoảng [t0, +∞)

Định nghĩa 1.7 Định nghĩa về số mũ đặc trưng Lyapunov

Số ( hoặc ký hiệu ±∞ ) được xác định bởi công thức

χ [f ] = lim

t→∞

1

t ln |f (t)| , (1.3)được gọi là số mũ đặc trưng Lyapunov của hàm f (t) (hay số mũ đặc trưng).Quy ước: χ [0] = −∞

Lưu ý một số tính chất:

1 χ [f ] = χ [|f |]

2 χ [cf ] = χ [f ] ; |c| 6= 0.

3 Nếu |f (t)| ≤ |F (t)| với t ≥ a thì χ [f ] ≤ χ [F ]

Định lý 1.1 Số mũ đặc trưng của một tổng hữu hạn các hàmfk(t),k = 1, 2, , n

không vượt quá số lớn nhất trong số các số mũ đặc trưng của các hàm đó vàtrùng với số đó nếu chỉ có một hàm số có số mũ đặc trưng bằng với số lớn nhấtđó

Định lý 1.2 Số mũ đặc trưng của tích một số hữu hạn các hàm fk(t), k =

1, 2, , n không vượt quá tổng các số mũ đặc trưng của các hàm đó, tức là

χ

" nY

χ [f ] + χ



1 f



Chú ý 1.1 Trong trường hợp này hiển nhiên f (t) 6= 0 với t > T.

Định lý 1.4 Nếu một hàm f (t) có số mũ đặc trưng chặt thì số mũ đặc trưngcủa tích của các hàm f (t) và g(t) bằng tổng các số mũ đặc trưng của chúng

được gọi là số mũ đặc trưng của ma trận F (t)

Định lý 1.5 Số mũ đặc trưng của một tổng hữu hạn các ma trận không vượtquá số lớn nhất trong số các số mũ đặc trưng của ma trận thành phần và trùngvới số đó nếu chỉ có một ma trận có số mũ đặc trưng lớn nhất đó

Định lý 1.6 Số mũ đặc trưng của một tích hữu hạn các ma trận không vượtquá tổng của các ma trận thành phần, tức là

χ

" NYs=1

Fs(t)

#

≤

NXs=1

χ [Fs(t)].

1.4 Phổ Lyapunov và phép biến đổi Lyapunov đối với hệ

phương trình vi phân tuyến tính

1.4.1 Phổ của hệ tuyến tính

Đầu tiên ta chứng minh một định lý có tính tổng quát

Định lý 1.7 Nghiệm không tầm thường của hệ chuẩn tắc

˙x = f (t, x) , x ∈Rn, kf (t, x)k ≤ L kxk ,

có số mũ đặc trưng hữu hạn

Chú ý 1.2 Với điều kiện bắt buộc đối với vế phải của hệ, nghiệm của hệ xácđịnh với mọi t ∈R.

Bây giờ ta xét hệ tuyến tính

˙x = A (t) x, x ∈Rn, A ∈ C [t0, ∞) (1.8)Định lý 1.8 Nếu sup

t

kA (t)k ≤ M thì nghiệm không tầm thường x(t) của hệtuyến tính (1.8) có số mũ đặc trưng hữu hạn và −M ≤ χ [x] ≤ M

Định lý 1.9 Các hàm véc tơ x1(t), x2(t), , xm(t) được định nghĩa trên khoảng

[t 0 , ∞), có các số mũ đặc trưng hữu hạn và khác nhau là độc lập tuyến tính

Hệ quả 1.1 Các nghiệm của một hệ tuyến tính không thể có nhiều hơn n số

mũ đặc trưng khác nhau

Định nghĩa 1.10 Tập hợp tất cả các số mũ đặc trưng riêng ( tức là khác +∞

và −∞ ) của các nghiệm của một hệ vi phân được gọi là phổ của hệ đó

Chú ý 1.3 Một hệ không tuyến tính có thể có một phổ hữu hạn

1.4.2 Phép biến đổi Lyapunov

Trong đó L(t) là ma trận không suy biến và khả vi liên tục với t ≤ t0 Thay

(1.11) vào hệ (1.10) ta thu được hệ tuyến tính

˙

B (t) = L−1(t) A (t) L (t) − L−1(t) ˙ L (t) (1.13)

Định nghĩa 1.11 Phép biến đổi (1.11) được gọi là phép biến đổi Lyapunovnếu:

1 L ∈ C1[t 0 , ∞)

2 L(t), L−1(t), ˙ L(t) bị chặn với mọi t ≤ t0 Ma trận L(t) có các tính chất nàyđược gọi là ma trận Lyapunov

Chú ý một số tính chất của phép biến đổi Lyapunov

1 Các phép biến đổi Lyapunov tạo thành một nhóm

2 Các phép biến đổi Lyapunov không làm thay đổi số mũ đặc trưng

3

lim

t→∞

1 t

tR

t 0

ReSpA (τ ) dτ = lim

t→∞

1 t

tR

tR

t 0

ReSpA (τ ) dτ = lim

t→∞

1 t

tR

˙

y = By, trong đó B = (bij)m×n là ma trận hằng . (1.15)Như chúng ta đã biết nếu tất cả các nghiệm đặc trưng λ j (B) của hệ (1.15)

đều có phần thực âm, tức là

Reλ j (B) < 0, j = 1, 2, , n,

khi đó nghiệm tầm thường của(1.15)là ổn định tiệm cận thì từ tính giới nội của

L(t) và L−1(t) ta có thể suy ra tính ổn định tiệm cận của nghiệm tầm thườngcủa hệ (1.14)

trong đó F :R+→B là ánh xạ tuyến tính bị chặn thỏa mãn điều kiện

Z +∞

0

kF (t)kdt < ∞, (1.17)thì ta có thể nhận được một hệ động lực tuyến tính

Ví dụ tiếp theo sẽ minh họa cho điều đó

Ví dụ 1.2 Xét tính ổn định của nghiệm tầm thường của hệ

Nghiệm tổng quát của hệ có dạng

(

x(t) = C 1 x 1 (t) + C 2 x 2 (t), y(t) = C1y1(t) + C2y2(t).

Do đó

(

x(t) = C 1 e−2tcost + C 2 e−2tsint, y(t) = −C1e−2tsint + C2e−2tcost.

Nên ta có

(

x(t) = e−2t(C 1 cost + C 2 sint), y(t) = e−2t(−C1sint + C2cost).

max{ χ [x(t)] , χ [y(t)]} = −2.

Từ đó ta có thể suy ra

|x(t)| ≤ M1e−2t, |y(t)| ≤ M2e−2t.

Nên nghiệm tầm thường (0, 0) của hệ (1.20) ổn định tiệm cận Do vậy (1.18)

cũng ổn định tiệm cận tại nghiệm tầm thường (0, 0)

Nhận xét 1.2 Trong trường hợp tổng quát các kỹ thuật được nêu ở trên khi

sử dụng trong một số ví dụ có thể không áp dụng được Chẳng hạn, ta xét tính

ổn định tại nghiệm (1, 1) của hệ:

dx

dt = A(t)x + f (t, x),

trong đó t ∈R+, A ∈ C(R+, Mn(R) và f :R+×Rn →Rn thỏa mãn điều kiện:

B Phương pháp hàm Lyapunov

1.5 Phương pháp hàm Lyapunov trong Rn

Trong thực tế, việc sử dụng phương pháp số mũ Lyapunov có thể gặp nhiềukhó khăn nhất là đối với hệ phi tuyến (thực sự ) Để giải quyết khó khăn nàyngười ta thường dùng phương pháp hàm Lyapunov hay thường gọi là phươngpháp trực tiếp Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày lại một số định lý cơ bản

về phương pháp hàm Lyapunov thường được sử dụng trong lý thuyết ổn định

Tương tự, hàm V (t, x) được gọi là xác định âm trong Z0 nếu tồn tại một hàm

vô hướng W (x) ∈ C(kxk < h) sao cho

Định nghĩa 1.14 Ta nói rằng hàm V (t, x) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi

x → ∞ trong Z0 nếu vớit0> a nào đó, ta có V (t, x) hội tụ đều theo t đến 0 trên

[t 0 , ∞) khi kxk → ∞ Tức là với bất kỳ ε > 0 tồn tại số δ = δ (ε) > 0 sao cho:

V (t, x) < ε khi kxk < ε và t ∈ [t0, ∞) (1.21)Nhờ bất đẳng thức (1.21),ta kết luận hàm V (t, x) có giới hạn vô cùng bé bậccao khi x → ∞ sẽ bị chặn trong hình trụ nào đó:

j=1

∂V

∂x j

Xj(t, x),

được gọi là đạo hàm ( toàn phần) theo t của hàm V (t, x) theo hệ (1.22)

Nếu x = x(t) là nghiện của hệ (1.22) thì V (t, x)˙ là đạo hàm toàn phần theothời gian của hàm hợp V (t, x(t)), tức là:

Hệ quả 1.3 Nếu đối với hệ vi phân tuyến tính thuần nhất

dx

dt = A(t)x, (A(t) ∈ C [t0, ∞)),

tồn tại hàm xác định dươngV (t, x)có đạo hàm dọc theo nghiệm của hệV (t, x) ≤ 0˙

thì tất cả các nghiệmx(t)của hệ đó xác định và bị chặn trên nửa trụct ∈ [t0, ∞)

1.5.3 Định lý thứ hai của Lyapunov về sự ổn định tiệm cận

Định lý 1.11 Nếu đối với hệ rút gọn (1.22), tồn tại hàm Lyapunov

V (t, x) ∈ C(t,x)(1,1)(Z0), Z0 ⊂ Z,

là hàm xác định dương và có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x → 0 và có đạohàm theo thời gian V (t, x)˙ theo hệ là xác định âm Khi đó, nghiệm tầm thường

x ≡ 0 của hệ là ổn định tiệm cận theo Lyapunov khi t → +∞

Chú ý 1.4 Định lý thứ nhất và thứ hai của Lyapunov có thể thay thế điềukiện xác định dương của hàm V (t, x) bằng điều kiện xác định âm nhưng khi đóhàm V (t, x)˙ phải là hàm xác định dấu dương

1.5.4 Định lý thứ ba của Lyapunov về sự không ổn định

Định lý 1.12 Nếu đối với hệ rút gọn (1.22), tồn tại hàm Lyapunov

V (t, x) ∈ C(t,x)(1,1)(Z0), Z0 ⊂ Z,

là hàm có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x → 0 và có đạo hàm theo thời gian

˙

V (t, x) theo hệ là xác định dấu Nếu với t0 > a nào đó trong lân cận bất kỳ

kxk < ∆ ≤ h < H tìm được điểm(t 0 , x 0 )mà tại đó dấu của hàm V (t, x)˙ cùng dấuvới đạo hàm V (t, x), tức là: