Luận văn sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm đối với bất đẳng thức vi biến phân trong không gian hữu hạn chiều

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2• • • •TRỊNH THỊ HỒNG NHUNG s ự TỒN TẠI VÀ TÍNH ỎN ĐỊNH CỦA NGHIỆM ĐỐI VỚI BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HỮU HẠN

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2• • • •

TRỊNH THỊ HỒNG NHUNG

s ự TỒN TẠI VÀ TÍNH ỎN ĐỊNH CỦA NGHIỆM ĐỐI VỚI BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIÈU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC• • •

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thành Anh

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn tốt nghiệp.

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.

Hà Nội, tháng 06 năm 2015

Tác giả

Trịnh Thị Hồng Nhung

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Thành Anh, luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Sự tồn tại và tính

ổn định của nghiệm đối với bất đẳng thức vi biến phân trong không gian hữu hạn chiều” do tôi tự làm Các kết quả và tài liệu trích dẫn được chỉ

M ụ c lục

M ỏ đ ầ u

1 K iế n th ứ c c h u ắ n b ị

1.1 Giải tích da trị

1.1.1 Tính nửa liên tục (trên, dưới ) của ánh xạ đa trị

1.1.2 Hàm đa trị đo dược và tích phân của ánh xạ đa trị

2.3 Sự ồn định của n g h i ệ m 35

T à i liệ u t h a m k h ả o

M ở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Bất đẳng thức vi biến phân là mô hình tổng quát của nhiều bài toán trong các lĩnh vực tài chính, kinh tế, giao thông, tối ưu hoá và khoa học kĩ thuật Đến nay bất đẳng thức vi biến phân được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và nhận được nhiều kết quả phong phú, bao gồm các kết quả về sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm, cấu trúc và dáng điệu của tập nghiệm và vấn đề giải số.

Gần đây bất đẳng vi biến phân vectơ cũng được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và tìm được nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau Nó có thể được xét như là một sự mở rộng của bất đẳng vi biến phân Trong luận văn này chúng tôi muốn giới thiệu và nghiên cứu một lớp bất đẳng vi biến phân vectơ trong không gian Euclid hữu hạn chiều Bởi vậy dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Thành Anh tôi đã chọn đề tài “

Sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm đối với bất đẳng vi biến phân trong không gian hữu hạn chiều” Luận văn sẽ được hoàn thành dựa trên kết quả được công bố công trình “ Differential Vector Variational Inequalities

in Finite-D im ensional Spaces”, J Optim Theory Appl (2013) 158:109-129, của các tác giả Xing Wang và Nan-Jing Huang Chúng tôi dự nhận được

sự tồn tại của một nghiệm yếu Carathéodory đối với bất đẳng thức vi biến phân vectơ trong không gian hữu hạn chiều Euclid Ngoài ra, chúng tôi còn nghiên cứu tính đóng, nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới của ánh xạ

nghiệm yếu Carathéodory đối với bất đẳng thức vi biến phân vectơ trong không gian hữu hạn chiều Euclid khi cả ánh xạ và tập ràng buộc bị nhiễu loạn bởi tham số.

4 Đ ối tư ợng và phạm vi n gh iên cứu

Bất đẳng thức vi biến phân vectơ trong phạm vi không gian hữu hạn chiều

5 P h ư ơn g pháp n gh iên cứu

Nghiên cứu tài liệu tham khảo theo phương pháp: hệ thống lại các kiến thức có liên quan, phân tích, tổng hợp những định nghĩa, tính chất của giải tích đa trị, bất đẳng thức biến phân và một số bất đẳng thức

6 D ự kiến đóng góp

Luận văn trình bày một cách tổng quan về bất đẳng thức vi biến phân trong không gian hữu hạn chiều.

là m ột m ặt cầu.

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 1 Ánh xạ đa trị T : X —> Y là một tương ứng mà mỗi

X G X cho ta một tập khác rỗng J - ( x ) c Y , F ( x ) được gọi là giá trị của

X Vì vậy ánh xạ đa trị T có thể viết như sau

và F ^ i y ) được định nghĩa

T Z \ V ) = {x € X : T( x) п V Ф 0}.

Cho X , Y là không gian tôpô.

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 2 Một ánh xạ đa trị T : X —> P ( Y ) là nửa liên tục trên tại m ột điểm X G X nếu với mỗi tập mở V a Y sao cho Т ( х ) с V thì tồn tại m ột lân cận и (x) của X sao cho T i ư ị x Ỵ ) с V.

Một ánh xạ đa trị T được gọi là nửa liên tục trên nếu nó là nửa liên tục

t r ê n t ạ i m ọ i đ i ể m X € X

Đ ịn h lý 1 1 1 Các điều kiện sau là tương đương :

(i) ánh xạ đa trị T : X P ( Y ) là nửa liên tục trên;

(iỉ) tập J\ỊT1( y ) là mở với mỗi tập mở V с Y ;

(iii) tập J - I 1( Q ) là đóng với mỗi tập đóng Q с Y

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 3 Ánh xạ đa trị T : X —> P ( Y ) được gọi là nửa liên tục dưới tại một điểm X G X nếu với mỗi tập mở V ç Y sao cho Т { х ) Г \ У Ф 0 thì tồn tại một lân cận и (X) của X sao cho J- { x' ) r \ V 7^ 0 với mọi x' G V (ж).

Một ánh xạ đa trị T được gọi là nửa liên tục dưới nếu nó là nửa liên

tục dưới t ạ i m ọ i điểm X G X

Đ ịn h lý 1 1 2 Các điều kiện sau là tương đương :

(ỉ) ánh xạ đa trị F : X P ( Y ) là nửa liên tục dưới;

(ii) tập là mở với mỗi tập mở V с Y ;

(iii) tập F Ị l (Q) là đóng với mỗi tập đóng Q с Y

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 4 Một ánh xạ đa trị T vừa là nửa liên tục trên và vừa

là nửa liên tục dưới thì được gọi là liên tục.

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 5 (i) Một ánh xạ đa trị T : R n —> Mn được gọi là đơn điệu trên một tập lồi К С Kn khi và chỉ khi với mỗi cặp các điểm

x , y E К v ầ v ớ i m ọ i X* e Т ( х ) , y * E J ' i y ) , ( X * — y * , x — y ) > 0.

(ii) Một ánh xạ đa trị T : —> Kn được gọi là giả đơn điệu trên một

tập lồi К C l " khi và chỉ khi với mỗi cặp các điểm x , y G к và với

m ọ i X* e F i x ) , y* G F { y ) , ( x * , y — x ) > 0 h a y ( y * , y — x ) > 0

tập lồi К С R n khi và chỉ khi với mỗi £ = { £ ij£2j •••)£?} £ ^ + \ { 0 }

và x , y € К với X* € Тг ( х) , y* G Т'г(у) (г = 1 ,2 , ,р ) ,

( ^ 2 & Х*’ У - > 0 ^ ( ^ 2 & У * ’ У - x ỳ > 0

(iv) Một ánh xạ T := (.Fl, ^2) ■•■iJ'p) được gọi là đơn điệu trên một tập

lồi К С Mn khi và chỉ khi với mỗi £ = { £ ъ £2> ч£р} € М + \{0 } và

IIB ( t u x) - B ( t 2,y)\\ < L B (\ti - t 2\ + \\x - y\\).

Ta xét một lớp các ánh xạ đa trị quan trọng hơn.

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 8 Một ánh xạ đa trị T được gọi là đóng nếu đồ thị của

nó T j = { ( х , у ) : X G X , у E ^"(ж)} là m ột tập con đóng của không gian

Điều kiện sau cùng có thể sử dụng dãy thông thường với điều kiện X

và Y là các không gian metric.

Ta có m ột vài khái niệm sau

C ( Y ) = { D e P { Y ) : D là đóng};

K ( Y ) = { D € P ( Y ) : D là com pact};

Pv { Y) = { D e P{ Y) : D là lồi};

C v ( Y ) = P v ị Ỵ ) n C ( Y ) = { D € P ( Y ) : D là đóng và lồi};

K v ( Y ) = P v ( Y ) n K { Y ) = {.D G P { Y ) : D là com pact và lồi}.

Khi ánh xạ đa trị T nhận giá trị trong các tập C ( Y ), K ( Y ) hoặc P v ( Y ) thì ta nói J- tương ứng có giá trị đóng, com pact hoặc lồi.

Từ định nghĩa ta thấy rằng một ánh xạ đa trị đóng có giá trị đóng

Cho Y là không gian metric Hàm số h : K ( Y ) X K ( Ỵ ) —> M+ xác định

như sau

h(A, B) = inf{e > 0 : A c Ve{B), B c Ve( A) } :

ở đây Ve là một e — lân cận của một tập, được gọi là metric Hausdorff trên

K { Y )

M ệ n h đ ề 1 1 1 Cho X ỉà không gian tôpô, Y là không gian metric Ánh

xạ đa trị T : X K ( Y ) là liên tục khi và chỉ khi nó liên tục như là một ánh xạ đơn trị từ X vào không gian metric (K ( Y ), h).

M ệ n h đ ề 1 1 2 Cho X là không gian tôpô, Y là không gian metric và

T : X C ( Y ) là một ánh xạ đa trị nửa liên tục trên Khi đó T là đóng.

Để xây dựng điều kiện đủ cho ánh xạ đa trị đóng trở thành nửa liên tục trên, ta cần các định nghĩa sau.

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 9 Một ánh xạ đa trị T : X —> P ( Y ) được gọi là:

(i) com pact nếu miền giá trị F ( x ) là com pact tương đối trong Y , tức là

J~( X) là com pact trong Y

H X ) = u F ( x )

-x a X

(ii) com pact địa phương nếu với mọi điểm X G X có lân cận u ( x ) sao

cho hạn chế của T trên ư ( x ) là compact;

(i ii) t ự a c o m p a c t n ế u h ạ n c h ế c ủ a n ó t r ê n m ọ i t ậ p c o m p a c t А с X l à compact.

Rõ ràng (г) =>■ (гг) => (i n)

M ệ n h đ ề 1 1 3 Cho т : X —¥ к ( Y ) ỉà ánh xạ đa trị đóng và compact

địa phương Khi đó J- là nửa liên tục trên.

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 1 0 Cho X là không gian metric Một ánh xạ đa trị nửa liên tục trên J- : X —> K ( Y ) , com pact trên mỗi tập con bị chặn của X

được gọi là nửa liên tục trên hoàn toàn.

Sau đây chúng ta sẽ đề cập đến tính chất quan trọng của ánh xạ đa trị nửa liên tục trên.

M ệ n h đ ề 1 1 4 Cho T : X K ( Y ) là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên Nếu А С X là mộ t tập compact thì ảnh của nó ^(^4) là tập compact nằm trong Y

Tiếp theo là những khẳng định về tính liên tục tuyệt đối của các phép toán trên ánh xạ đa trị.

Cho X , Y và z là các không gian tôpô.

M ệ n h đ ề 1 1 5 Nếu các ánh xạ đa trị J-ữ : X —> P ( Y ) và J-\ : Y

p ( z ) là nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới) thì tích hợp thành T \ о T q :

X —> P ( Z ) được xác định như sau

ự l о r ữ) ( x) = K ự o X x ) )

là nửa liên tục trên (tương ứng nửa liên tục dưới).

M ệ n h đ ề 1 1 6 Nếu các ánh xạ đa trị T q : X —,> K ( Y ) và T \ : Y —>

K ( z ) là nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới) thì tích Dề-các J-Q X T \ :

X —>■ K ( Y X Z ) được xác định như sau

( Т о X T i ) ( x ) = T ữ{ x ) X T i ( x )

là nửa liên tục trên (tương ứng nửa liên tục dưới).

M ệ n h đ ề 1 1 7 Cho ánh xạ đa trị J-Q : X —> C ( Y ) , ánh xạ đa trị

T \ : X K ( Y ) là nửa liên tục trên và J~ữ{x) П J-\{x) Ỷ 0, Væ € X Khi

đó J-Q П J-\ : X —>• K ( Y ) , ự ữ П J-i ) ( x ) = J~o{x ) П là nửa ỉiên tục trên.

Cho X là không gian tôpô, Y là không gian véctơ tôpô.

M ệ n h đ ề 1 1 8 Nếu các ánh xạ đa trị T i : X —»■ K ( Y ) là nửa liên

tục trên (nửa liên tục dưới) thì tổng của chúng J-ữ + J-\ : X —,► K ( Y ) ,

(To + T i ) ( x ) = T ữ{x) + T i ( x )

là nửa liên tục trên (tương ứng nửa liên tục dưới).

M ệ n h đ ề 1 1 9 Nếu ánh xạ đa trị T : X —»■ K ( Y ) là nửa liên tục trên

(nửa liên tục dưới) và hàm số f : X —» R là liên tục, thì tích của chúng

f - T : X - > K { Y ) ,

( / • T ) { x ) = f { x ) - Т ( х )

là nửa liên tục trên (tương ứng nửa liên tục dưới).

M ệ n h đ ề 1 1 1 0 Cho Y là không gian Banach Nếu ánh xạ đa trị T :

X K ( Y ) là nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới) thì bao lồi của nó

c õ T : X ^ K v ( Y ) ,

( с о Т ) ( х ) = c õ { T ( x ) )

là nửa liên tục trên (tương ứng nửa liên tục dưới).

Rõ ràng định nghĩa là tương đương về tính đo được của nghịch ảnh hoàn

toàn F Z 1(Q) với tập con đóng Q с E Khẳng định sau cho ta hai định

nghĩa tương đương về tính đo được của hàm đa trị.

M ệ n h đ ề 1 1 1 1 Một hàm đa trị F : I —¥ K ( E ) là đo được khi và chỉ

khi:

(i) với mỗi tập đóng Q с E thì nghịch ảnh nhỏ F + l (Q) là đo được;

(ii) với mỗi tập mở V с E thì nghịch ảnh hoàn toàn F z x{ y ) là đo được.

Ta có mọi hàm đa trị nửa liên tục trên hoặc nửa liên tục dưới là đo được.

Để mô tả thêm tính chất của hàm đa trị đo được ta cần các khái niệm sau đây.

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 1 2 Hàm f : I E được gọi là lựa chọn đo được của

một hàm đa trị F : I —»■ K ( E ) với điều kiện / là đo được và

f ( t ) ẽ F ( t ) đ ố i v ớ i /Lí — h ầ u k h ắ p t £ I Tập tấ t cả các lựa chọn đo được của F kí hiệu là S ( F )

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 1 3 Một họ đếm được { / п} £ °= 1 с S ( F ) được gọi là biểu

diễn Castaing của F nếu

Hàm đa trị F : I —> K ( E ) là một hàm đa trị bậc thang nếu tồn tại một phân hoạch của I trong một họ hữu hạn các tập con đo được rời nhau

ự j } , u j l j = I sao cho F là không đổi trên mỗi Ij.

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 1 4 Một hàm đa trị F : I —> K ( E ) được gọi là đo được

đó được thể hiện trong khẳng định sau.

M ệ n h đ ề 1 1 1 2 Cho E là không gian Banach tách được Khi đó đối với

ánh xạ đa trị F : I K ( E ) thì các điều kiện sau là tương đương:

(a) F là đo được;

(b) với mỗi tập con đếm được trù mật của E thì hàm í ,

(f) F có tính chất Lusin: với mõi ỏ > 0 tồn tại mộ t tập con đóng Is с I sao cho f i ự \ I s ) < ố và hạn chế của F trên Is là liên tục.

M ệ n h đ ề 1 1 1 3 Cho E là không gian Banach, F : I K ( E ) là hàm

đa trị đo được mạnh Khi đó F là đo được và có biểu diễn Castaing bao gồm các hàm đo được mạnh.

Cho E là không gian Banach, F : I P ( E ) là hàm đa trị Kí hiệu

S 1( F ) là tập tấ t cả các lựa chọn khả tích Bochner, tức là

S 1( F) = { / G L l {I] E ) : f ( t ) G F ( t ) đối với ịi — với mỗi t G / }

Nếu /S'1( iíl) Ф thì hàm đa trị F được gọi là khả tích và tích phân của

nó được định nghĩa như sau

J F ( s ) d s = ị j f ( s ) d s : f e S l ( F ) }

với tập con đo được bất kì г с I

Dễ thấy, nếu m ột hàm đa trị F : I K ( E ) là đo được mạnh và bị

Cho E là không gian Banach, E ữ là không gian định chuẩn.

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 1 5 Ánh xạ đa trị F : I X E ữ —,Y K ( E ) được gọi là ánh

xạ đa trị Carathéodory trên nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau đây:

( F l) với mỗi X € E q , hàm đa trị

F { - , x ) : I ->• K ( E )

chứa một lựa chọn đo được mạnh;

(F2) với hầu khắp í € / ánh xạ đa trị F : E q —> K ( E ) là nửa liên tục

trên.

N h ậ n x é t 1 1 2 Khi không gian E là tách được, "đo được mạnh" trong

điều kiện ( Fl ) có thể thay thế bởi "đo được1’ Diều kiện ( F l ) là đủ để cho rằng F ( - , x ) là đo được mạnh với mỗi X ẽ E ữ.

trong khẳng định sau đây.

M ệ n h đ ề 1 1 1 4 Nếu F : I X E q — ĩ K ( E ) là ánh xạ đa trị Carathéodory trên, khi đó với mỗi hàm đo được mạnh q : I —> E q tồn tại một lựa chọn

đa trị f : I E của hàm đa trị Ф : I —> K ( E ) ,

ф{£) = F ( t , q(t)).

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 1 6 Cho số nguyên p > 0, một ánh xạ đa trị Carathéodory trên F : I X E q —¥ K { E ) được gọi là L p — Carathéodory trên nếu nó thỏa

mãn điều kiện bổ sung sau của tính bị chặn khả tích địa phương:

(F3) với mỗi r > 0 tồn tại hàm Ưr € L + ự ) sao cho

\\F(t, x)\\ := su p {||y || : y e F ( t , x ) } < Ưr (t)

đối với ịi - hầu khắp t ẽ I, với mỗi X ẽ E q , ||:rỊỊ < r.

Mỗi ánh xạ đa trị Ư — Carathéodory t r ê n F : I X E ữ —» K ( E ) tạo ra

sự chồng chất toán tử đa trị V f '■ c ự ] E ữ) —> P ( L PỰ, E) ) ,

V f { x ) = { / £ L PỰ , E ) : f ( t ) E F(t,x(t))vÓifẦ — hầu k h ắ p ,í E / }

Giả sử ánh xạ đa trị F có giá trị lồi, ta có tính chất chính xác sau đây

của sự chồng chất toán tử đa trị.

M ệ n h đ ề 1 1 1 5 Cho F : I X E q —i> K v ( E ) là một ánh xạ đa trị Lp —

Carathéodory trên, E ị ỉà không gian định chuẩn và A : L PỰ , E ) —¥ E ị là toán tử tuyến tính bị chặn Khi đó tích hợp thành

Đ ị n h n g h ĩ a 1 1 1 7 Với số nguyên p > 1, m ột ánh xạ đa trị F : I X E ữ —ì

K ( E ) thỏa mãn điều kiện (F I) -(F 2) và (F 3 !) được gọi là ánh xạ đa trị

L p — Carathéodory trên với cấp tăng a — tuyến tính dưới.

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 1 8 Một ánh xạ đa trị F : R X E ữ K ( E ) được gọi là

T — tuần hoàn nếu nó thỏa mãn điều kiện tuần hoàn sau:

(FT) F ( t , x) = F ( t + T, X) với t ẽ M và X € E ữ.

1 1 3 B ậ c t ô p ô c h o h à m đ a t r ị

Cho X c Y là các tập đã biết, J- : X —> P { Y ) là m ột ánh xạ đa trị Một điểm X ẽ X được gọi là điểm bất động của ánh xạ đa trị T nếu

X £ Tập tất cả các điểm bất động của T kí hiệu là F i x J -

Cho X và Y là không gian metric.

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 1 9 Ánh xạ đa trị J- : X —>• K ( Y ) thuộc về lớp C J ( X , Y ) (hay một C J — ánh xạ đa trị) nếu tồn tại một không gian metric z , một

J — ánh xạ đa trị T : X —> K ( Z ) , và một ánh xạ liên tục <p : z —> Y sao

cho

J7 = ụ> о J7.

Á n h x ạ T v à Ф l à d ạ n g p h â n t í c h c ủ a T v à v i ế t l à T = (<f о J r).

Trong toàn bộ mục này E là không gian Banach thực.

Cho X Ç E\ mỗi ánh xạ đa trị J- : X —¥ P ( E ) định nghĩa ánh xạ đa trị ф : X -> P ( E ) ,

ф( х) = ỉ — J-(x)

gọi là miền vectơ đa trị hay miền đa trị tương ứng với T

Kí hiệu % : X —»■ E là ánh xạ bao hàm thức, ta viết

Ф = i - T

Nếu A là m ột không gian của tham số, và Q : X X А —> P ( E ) là một

họ ánh xạ đa trị, khi đó ỹ : X X А P ( E ),

ф(х, Л) = X — Ợ(x, X)

được gọi là họ các miền đa trị.

Một điểm X ẽ ф ( х ) sao cho

0 G ф( х) được gọi là điểm kì dị của miền đa trị Ф Dễ thấy rằng điểm X là điểm kì

dị của miền đa trị Ф = % — J- khi và chỉ khi nó là điểm cố định của ánh xạ

B ổ đ ề 1 1 1 Nếu Ф = ỉ — T ỉà miền đa trị tương ứng vói ánh xạ đa trị

T thì tập ф ( д и ) là tập con đóng của E.

Tập ф ( д и ) không chứa 0, giá trị ố0 = d i s t ( 0 : ф ( д и ) ) là dương Lấy tập com pact К = J~(U) và chọn 0 < ổ < ỏo, một không gian con hữu hạn chiều E' С E và ánh xạ liên tục 7Г : к —> E' sao cho

Kí hiệu CJ g ự( Ư, E ) là tập tất cả các C J — ánh xạ đa trị com pact T :

u —>■ K ( E ) thỏa mãn điều kiện Fi xJ- П d u = 0.

Sau đây là các tính chất quan trọng của bậc tôpô cho hàm đa trị.

(1) Tính bất biến của phép đồng luân.

Cho T0, T \ ẽ C J qu (U, E ) và miền đa trị tương ứng <pQ = i — J- 0 và

B ổ đ ề 1 1 3 Cho các ánh xạ đa trị Тъ^Тх G с J g ụ ( U , E ) thỏa mãn điều

(2) Sự phụ thuộc cộng tính trên miền xác định.

Cho { U j } ”l=1 là m ột họ các tập con mở rời nhau của и và C J — ánh xạ đa trị com pact T : и —> К ( Y ) không có điểm cố định trên tập

T ìm u G K th ỏ a m ãn bất đẳng thứ c biến phân sau

Ta có một số kết quả sau đây.

Đ ịn h lý 1 2 1 [5] Cho K c M.n là compact và lồi, F : K —> là ỉiên tục Khi đó tồn tại u G K sao cho

(F { u ) , v — u) > 0, \fv G K

Đ ịn h lý 1 2 2 [5] Cho K c Mn là đóng và lồi, F : K —>■ R n là liên tục

Diều kiện cần và đủ để tồn tại mộ t nghiệm cho bài toán (1.2.1) là tồn tại

R > 0 sao cho mộ t nghiệm Ur ẽ K R của (1.2.1) thỏa mãn

với K R = B ( 0 , R) n K

Chứng minh Dễ thấy rằng nếu tồn tại m ột nghiệm cho bài toán (1.2.1),

thì u là một nghiệm của (1.2.1) đối với miền K R, ò đây |w| < R.

Giả sử rằng U r e K r thỏa mãn (1.2.2) Khi đó U r cũng là một nghiệm

của bài toán (1.2.1) Thật vậy, \ uị ì \ < R, cho V e K ,

\uR \ < R, (1.2.2)

w = UR + e(v — U r ) G K r với € > 0 đủ nhỏ.

Suy ra U r G K r c K :

0 < (F ( u r ) , w - UR) = e ( F ( u R) , v - UR) với V G K ,

tức là U r là nghiệm của bài toán (1.2.1)

1.3 M ột số bất đẳng th ứ c

1.3.1 B ấ t đẳng thứ c C auchy-Schwarz

Với X, y là các phần tử của không gian tích trong thực hay phức thì

Trong trường hợp không gian Euclide n chiều Mn, bất đẳng thức trên trở thành

1.3.3 B ấ t đẳng thứ c M inkow shi

Với mọi X = ( x1, x 2, x n) , y = { y i , y 2, •••, y n) e Kn và 1 < p < + o o ta

có

1.3.4 B ấ t đ ẳng th ứ c K y Fan

Cho K là tập lồi, com pact trong không gian Banach X , (p : K X K —¥ M

là hàm số thoả mãn các điều kiện