Phương trình vi phân tuyến tính và phương pháp tuyến tính hóa hệ phương trình vi phân

Sự ổn định của hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính với ma trận hằng.. Trong bảnluận văn tiến sĩ đ-ợc công bố năm 1882, Lyapunov đã trình bày các ph-ơng pháp khácnhau để nghiên cứu tính ổn

1 Ph-ơng trình vi phân tuyến tính và ph-ơng pháp tuyến tính hóa hệ

1.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ ph-ơng trình vi phân 61.1.1 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm 61.1.2 Công thức biểu diễn nghiệm của hệ ph-ơng trình vi phân tuyến

tính 81.2 Tính ổn định của hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính 91.2.1 Các khái niệm về ổn định 91.2.2 Sự ổn định của hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất 101.2.3 Sự ổn định của hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính với ma trận

hằng 131.3 Bài toán tuyến tính hóa ổn định của hệ ôtônôm và ví dụ về sự ổn địnhcủa vị trí cân bằng của con lắc đơn 151.4 Ph-ơng pháp biến phân đối với hệ phi tuyến 181.5 Tính ổn định ngặt của hệ ph-ơng trình vi phân 211.6 Ph-ơng pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của ph-ơngtrình vi phân hàm 291.6.1 Các khái niệm về ổn định của ph-ơng trình vi phân hàm 291.6.2 Ph-ơng pháp hàm Lyapunov 30

2 Sự ổn định của ph-ơng trình vi phân có xung và ứng dụng trong

1

mạng Nơron thần kinh 35

2.1 Ph-ơng trình vi phân có xung và tính tồn tại và duy nhất nghiệm của

hệ ph-ơng trình vi phân có xung 352.1.1 Ph-ơng trình vi phân có xung dạng tổng quát 362.1.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của ph-ơng trình vi phân có xung 362.2 Tiêu chuẩn so sánh nghiệm đối với ph-ơng trình vi phân có xung 392.3 Tính ổn định của ph-ơng trình vi phân hàm có xung 412.4 áp dụng cho mạng nơron thần kinh với xung hữu hạn có chậm thay đổi 442.4.1 Sự ổn định của một nơron thần kinh 442.4.2 Sự ổn định của mạng các nơron thần kinh 46

Lời cảm ơn

Luận văn này đ-ợc thực hiện và hoàn thành d-ới sự h-ớng dẫn tận tình củaPGS TS Đặng Đình Châu.Tôi muốn bày tỏ sự cảm ơn chân thành đến ban chủ nhiệmKhoa và các Thầy giáo, Cô giáo trong Khoa Toán-Cơ-Tin học, tr-ờng Đại học Khoahọc Tự nhiên, ĐH Quốc gia Hà Nội đã động viên, khuyến khích, chia sẻ kinh nghiệm

và h-ớng dẫn tôi trong suốt quá trình học vừa qua

Trong quá trình làm luận văn chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót,tác giả rất mong nhận đ-ợc sự chỉ bảo tận tình của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp

Lời mở đầu

Các ph-ơng pháp nghiên cứu tính ổn định của hệ ph-ơng trình vi phân đ-ợc xâydựng và hoàn thiện bởi nhà toán học Nga A.Lyapunov từ đầu thế kỷ XIX Trong bảnluận văn tiến sĩ đ-ợc công bố năm 1882, Lyapunov đã trình bày các ph-ơng pháp khácnhau để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính

và phi tuyến Các ph-ơng pháp đó đã đ-ợc ứng dụng rộng rãi trong khoa học kỹ thuật

đặc biệt là ph-ơng pháp hàm Lyapunov và ph-ơng pháp xấp xỉ thứ nhất Nhờ quátrình tuyến tính hóa ( ph-ơng pháp biến phân ), trong nhiều tr-ờng hợp chúng ta có thể

đ-a việc xét tính ổn định của hệ phi tuyến về việc nghiên cứu tính ổn định của hệ tựatuyến tính Trong bản luận văn này chúng tôi trình bày tính chất ổn định của các hệtuyến tính, tựa tuyến tính và các hệ tuyến tính hóa đ-ợc nhờ ph-ơng pháp biến phân.Ngoài các tiêu chuẩn ổn định theo Lyapunov, trong luận văn đã đề cập đến khái niệm

ổn định ngặt và định lý t-ơng ứng về điều kiện đủ để hệ tuyến tính không ôtônôm cónhiễu là ổn định tiệm cận đó là nội dung ch-ơng 1

Trong ch-ơng 2 chúng tôi tiếp tục trình bày các kết quả của ph-ơng pháp hàmLyapunov và ph-ơng pháp xấp xỉ thứ nhất của Lyapunov cho ph-ơng trình vi phânhàm có xung Ph-ơng trình vi phân hàm có xung có nhiều ứng dụng trong thực tế.H-ớng nghiên cứu này bắt đầu đ-ợc quan tâm từ năm 2002 và hiện nay đang đ-ợcnhiều nhà khoa học trên thế giới quan tâm Xin phép đ-ợc liệt kê một số tác giả tiêubiểu nh- M.Benchora[12][13], J.Henderson[12], G.T Stamov và I.M Stamov[11], X.Liu[10], V Lakshmikantham[3],

Phần cuối của luận văn chúng tôi đã trình bày một ứng dụng của ph-ơng pháphàm Lyapunov cho các ph-ơng trình mô tả quá trình hoạt động của mạng nơron thầnkinh có nhiễu Ngoài việc xây dựng các ví dụ minh họa chúng tôi đã trình bày một sốkết quả nghiên cứu tính ổn định của hệ ph-ơng trình vi phân có xung trong ch-ơng 2

Danh môc c¸c ký hiÖu

Ph-ơng trình vi phân tuyến tính

và ph-ơng pháp tuyến tính hóa hệ ph-ơng trình vi phân

Trong ch-ơng này chúng tôi trình bày những kiến thức cơ sở về hệ ph-ơngtrình vi phân Nội dung ch-ơng này bao gồm các định nghĩa, khái niệm và các định lýcơ bản về hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính , giới thiệu lý thuyết về ổn định và tính

ổn định của hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính và bài toán tuyến tính hóa ổn định

1.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ ph-ơng

(1.1.1)

trong đó f : I ì D → R n , D là một tập mở trong R n

Hệ trên đ-ợc gọi là ôtônôm nếu trong biểu thức vế phải của hệ không phụ thuộc vào

6

Định nghĩa 1.1.1 Hàm x(t) = x(t, t0, x0) đ-ợc gọi là nghiệm của (1.1.1.) nếu x(t) khả vi liên tục thoả mãn:

(Chứng minh xem [1])

Định lý 1.1.1 có thể tiếp tục và thác triển nghiệm trên khoảng tiếp theo Định

lý sau sẽ đảm bảo tính kéo dài của nghiệm trong khoảng thời gian vô hạn

Định lý 1.1.2 Nếu trong miền ||x − x0|| ≤ a < ∞, t ≥ t0 thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) f : I ì D → R n liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipschitzian địa ph-ơng theo biến x tức là:

∃K > 0 : ||f (t, x) − f (t, y)|| ≤ K||x − y||, t ≥ 0 (ii) ||f(t, x0)|| ≤ N < ∞ khi đó mọi quỹ đạo không v-ợt ra ngoài miền con nào đó

||x − x0|| ≤ a1 < a sẽ kéo dài đ-ợc trên khoảng thời gian vô hạn.

(Chứng minh xem [1])

Định lý 1.1.3 Giả sử ||x|| < ∞, t ≥ t0 và thỏa mãn ||f(t, x(t))|| ≤ L(||x||) trong

đó L(t) là một hàm liên tục có tính chất là Rr

r0

dr L(r) → ∞ khi r → ∞ Khi đó mọi nghiệm của ph-ơng trình (1.1.1.) kéo dài đ-ợc trên khoảng thời gian vô hạn.

trong đó A(t) = (a ij (t)) nìn là hàm liên tục trên R+ và g : [0, +∞) → R n là hàm liên

tục Nếu A(t) là hàm liên tục và ||A(t)|| ≤ m(t), trong đó m(t) là hàm khả tích thì khi đó hệ vi phân tuyến tính trên sẽ có nghiệm duy nhất trên [0, +∞) Nghiệm này

đ-ợc biểu diễn d-ới dạng:

Chú ý rằng ma trận φ(t, s) có thể tìm đ-ợc bằng ph-ơng pháp xấp xỉ liên tiếp và họ các ma trận φ(t, s) thỏa mãn các tính chất sau đây:

Định nghĩa 1.2.2 Nghiệm tầm th-ờng x = 0 của ph-ơng trình vi phân (1.1.1.)

đ-ợc gọi là ổn định theo Lyapunov khi t → +∞ nếu:

∀ε > 0, t0 ∈ R+, ∃δ = δ(t0, ε) > 0, sao cho : kx0k < δ ⇒ kx(t)k < ε, t > t0.

Định nghĩa 1.2.3 Nghiệm tầm th-ờng x = 0 của ph-ơng trình (1.1.1.) đ-ợc gọi là

ổn định đều khi t → +∞ nếu số δ trong định nghĩa (1.2.2) không phụ thuộc vào t0.

Định nghĩa 1.2.4 Nghiệm tầm th-ờng x = 0 của ph-ơng trình vi phân (1.1.1.)

đ-ợc gọi là ổn định tiệm cận theo Lyapunov khi t → +∞ nếu:

1 Nghiệm tầm th-ờng x = 0 là ổn định.

2 ∃∆ = ∆(t0) > 0, ∀kx0k < ∆ ⇒ lim

t→+∞ kx(t)k = 0

Định nghĩa 1.2.5 Nghiệm tầm th-ờng x = 0 của ph-ơng trình vi phân (1.1.1.)

đ-ợc gọi là ổn định tiệm cận đều theo Lyapunov khi t → +∞ nếu:

1 Nghiệm tầm th-ờng x = 0 là ổn định.

2 ∃∆ > 0(∆ không phụ thuộc vào t0), ∀kx0k < ∆ ⇒ lim kx(t)k = 0

Với mọi ε > 0 cho tr-ớc chọn δ = ε

2K thì với mọi kx0k < δ ta luôn có:

(⇒) Giả sử nghiệm tầm th-ờng x(t) ≡ 0 ổn định tiệm cận khi đó với mọi nghiệm

y(t) thỏa mãn ky(t0)k ≤ ∆; ∆ > 0 ta có:

lim ky(t)k = 0 ⇔ lim y(t) = 0

Xét x(t) là một nghiệm tùy ý thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0) = x06= 0

Ta có x(t) liên tục trên [t0, +∞) suy ra x(t) bị chặn Nh- vậy mọi nghiệm của hệ

đều bị chặn, suy ra nghiệm ổn định khi t → +∞ Hơn thế nữa theo giả thiết mọi

nghiệm

⇒ Nghiệm tầm th-ờng x(t) ≡ 0 của hệ là ổn định tiệm cận.

(4) x ≡ 0 ổn định tiệm cận đều ⇔ ∃K > 0, α ≥ 0 sao cho

kφ(t)φ−1(s)k ≤ Ke −α(t−s) , ∀t, s ∈ [t0, +∞), s ≤ t (1.2.4)

(⇒) Từ (1.2.4) suy ra kφ(t)φ−1

(s)k ≤ K, ∀t ≥ s ≥ t0 ⇒ x ≡ 0 là ổn định đều.Ngoài ra:

kx(t)k = kφ(t)φ−1(s)x(s)k ≤ Kkx(s)ke −α(t−s) ,

với t → +∞, kx(s)k ≤ ∆0 ⇒ x(t) ≡ 0 là ổn định tiệm cận đều

(⇐) Giả sử x(t) ≡ 0 là ổn định tiệm cận đều.

Nhận xét 1 Từ định lý 1.2.4 ta có thể chỉ ra rằng mọi nghiệm của ph-ơng trình

vi phân tuyến tính thuần nhất là ổn định khi và chỉ khi mọi nghiệm của hệ giới nội Nh-ng điều này lại không đúng đối với hệ phi tuyến Để chỉ ra điều đó ta xét ví dụ sau đây.

tất cả các nghiệm trên đều bị chặn trên (−∞, +∞) nh-ng nghiệm x ≡ 0 không ổn

định khi t → ∞ bởi vì x0 ∈ (0, π) bất kỳ ta sẽ có:

ví dụ sau đây chỉ ra rằng đối với hệ vi phân tuyến tính mà tất cả các nghiệm dần tới không không suy ra đ-ợc nghiệm tầm th-ờng ổn định.

trong đó A = [a jk]nìn là ma trận hằng T-ơng tự nh- đối với ph-ơng trình vi phân

tuyến tính không ôtônôm thuần nhất, ta kí hiệu T (t) = e At là ma trận nghiệm cơ bảncủa (1.2.3) khi đó ta sẽ có hệ quả sau

Hệ quả 1.2.1 Nghiệm x(t) ≡ 0 của (1.2.5) là

(i) ổn định đều ⇔ ∃K > 0 : kT (t)k < K, ∀t ∈ [t0, +∞).

(i) ổn định tiệm cận đều ⇔ lim

t→+∞ kT (t)k = 0

Trong thực tế chúng ta có thể sử dụng một số các điều kiện đủ xác lập lên phổ

σ(A) của A để xét tính ổn định nghiệm của (1.2.5) các định lý sau đây đã đ-ợc chứng

minh trong [4]

Định lý 1.2.5 Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.2.5) với ma trận hằng là ổn

định khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc tr-ng λ j = λ j (A) của ma trận A có phần thực không d-ơng trong đó các nghiệm đặc tr-ng có phần thực bằng không là các -ớc sơ cấp đơn.

Nhận xét 3 Hệ tuyến tính thuần nhất với ma trận hằng A ổn định thì suy ra ổn

định đều.

Định lý 1.2.6 Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.2.5) với ma trận hằng là ổn

định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc tr-ng λ j = λ j (A) của ma trận

A có phần thực âm tức là

Reλ j (A) < 0

Nhận xét 4 Nếu ta muốn chứng minh ổn định tiệm cận của hệ tuyến tính thuần

nhất với hệ số hằng chúng ta khẳng định rằng tất cả các nghiệm λ1, , λ n của ph-ơng trình

Ph-ơng trình đặc tr-ng có dạng

λ + 1 α 0

βx λ + 1 αz

0 β λ + 1