Chuyên đề 09 tổ hợp xác suất kit1

Hai quy tắc đếm cơ bản thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong

Trang 1

I Quy tắc cộng

Định nghĩa : G/S 1 công việc được hoàn thành (thực hiện) theo 1 trong n phương án khác nhau :

- Phương án 1: m1 cách thực hiện

- Phương án 2: m2 cách thực hiện

………

- Phương án n: mn cách thực hiện

(Lưu ý: các cách thực hiện của phương án này không trùng bất kì cách nào của phương án kia)

Khi đó công việc được hoàn thành bởi: m1m2 m n cách

Ví dụ 1 Một nhóm học sinh gồm 9 nam và 6 nữ Giáo viên cần chọn 1 học sinh làm trực nhật Hỏi có

bao nhiêu cách chọn

Ví dụ 2 Trong 1 cuộc thi tìm hiểu về đất nược Việt Nam người ta đưa ra: 10 đề tài về lịch sử, 8 đề tài

về thiên nhiên, 5 đề tài vè con người, 3 đề tài về văn hoá Mỗi học sinh chỉ được chọn 1 đề tài Hỏi mỗi học sinh có bao nhiêu khả năng lựa chọn đề tài

Ví dụ 3 Từ các chữ số tự nhiên 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau có những chữ số khác

nhau?

II Quy tắc nhân

Định nghĩa : G/S 1 công việc được hoàn thành (thực hiện) bởi n hành động liên tiếp:

- Hành động thứ 1: có k1 cách thực hiện

- Hành động thứ 2: có k2 cách thực hiện

………

- Hành động thứ n: có kn cách thực hiện

Khi đó có k k 1 2 k n cách hoàn thành công việc

Ví dụ 1 Từ thành phố A đến thành phố B có 2 con đường, từ thành phố B đến thành phố C có 3 con

đường Hỏi có bao nhiêu cách đi từ thành phố A đến C (qua B)

BÀI 1 HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN

TÀI LIỆU BÀI GIẢNG

Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 1 Hai quy tắc đếm cơ bản thuộc khóa học LTĐH

KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn Để có thể nắm vững kiến thức phần Bài 1 Hai quy tắc

đếm cơ bản Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này

Trang 2

Ví dụ 2 Có 18 đội bóng tham gia thi đấu Hỏi có bao nhiêu cách trao 3 loại huy chương vàng, bạc đồng

cho 3 đội nhất, nhì, ba Biết rằng mỗi đội chỉ có thể nhận nhiều nhất 1 huy chương và đội nào cũng có

thể đoạt huy chương

Ví dụ 3 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau?

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn: Hocmai.vn

Trang 3

Bài 1: Một giáo viên muốn ra đề kiểm tra 45p môn toán phần tổ hợp - xác suất Trong ngân hàng câu hỏi

có 5 chủ đề, mỗi chủ đề có 4 câu Để ra đề kiểm tra 45p gồm 5 câu và bao gồm tất cả các chủ đề thì giáo

viên có bao nhiêu cách ra đề ?

Bài 2: Có 3 bạn nữ và 3 bạn nam Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các bạn đó vào 1 hàng dọc sao cho nam

nữ đứng xe kẽ nhau ?

Bài 3: Một lớp có 7 học sinh giỏi toán, 5 học sinh giỏi văn, 6 học sinh giỏi lý Hỏi có bao nhiêu cách chọn

ra 1 nhóm :

a Gồm 1 học sinh giỏi bất kỳ ?

b Gồm 3 học sinh giỏi trong đó có tất cả học sinh giỏi của cả 3 môn ?

c Gồm 2 học sinh giỏi khác nhau ?

Bài 4: cho các số tự nhiên sau : 1,2,5,6,7,9

a Hỏi lập được bao số lẻ có 3 chữ số khác nhau ?

b Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5 ?

c Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số mà có mặt chữ số 2 ?

Bài 5: Cho các số tự nhiên 0,2,3,5,6,9

a Hỏi lập được bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau ?

b Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 3 ?

a Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên lớn hơn 601 ?

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 1 Hai quy tắc đếm cơ bản thuộc khóa học

LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các

kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 1 Hai quy tắc đếm cơ bản Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học

trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này

Trang 4

Bài 1: Một giáo viên muốn ra đề kiểm tra 45p môn toán phần tổ hợp - xác suất Trong ngân hàng câu hỏi

có 5 chủ đề, mỗi chủ đề có 4 câu Để ra đề kiểm tra 45p gồm 5 câu và bao gồm tất cả các chủ đề thì giáo

viên có bao nhiêu cách ra đề ?

Giải

Vì đề kiểm tra có 5 câu và bao gồm 5 chủ đề nên để thành lập đề kiểm tra mỗi chủ đề ta lấy một câu hỏi

Chọn 1 câu hỏi trong chủ đề 1 có 4 cách chọn

Tương tự đối với các chủ đề 2; 3; 4; 5

4.4.4.4.44 cách

Bài 2: Có 3 bạn nữ và 3 bạn nam Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các bạn đó vào 1 hàng dọc sao cho nam

nữ đứng xe kẽ nhau ?

Giải

Vị trí thứ nhất có 6 cách lựa chọn (nam hoặc nữ)

Vị trí thứ hai có 3 cách lựa chọn (nếu vị trí thứ nhất là nam thì bắt buộc vị trí thứ 2 phải chọn 1 trong 3 bạn

nữ và ngược lại.)

Vị trí thứ ba có 2 cách lựa chọn

Vị trí thứ 4 sẽ có 2 cách lựa chọn

Vị trí thứ 5 có 1 cách lựa chọn

Vị trí thứ 6 chỉ có 1 cách lựa chọn

Nên có 6.3.2.2.1 72 cách

Bài 3: Một lớp có 7 học sinh giỏi toán, 5 học sinh giỏi văn, 6 học sinh giỏi lý Hỏi có bao nhiêu cách chọn

ra 1 nhóm :

a Gồm 1 học sinh giỏi bất kỳ ?

ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 1 Hai quy tắc đếm cơ bản thuộc khóa học

kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 1 Hai quy tắc đếm cơ bản Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học

trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này

Trang 5

b Gồm 3 học sinh giỏi trong đó có tất cả học sinh giỏi của cả 3 môn ?

c Gồm 2 học sinh giỏi khác nhau ?

Giải

a Số cách chọn 1 học sinh giỏi trong lớp là: 7 5 6 18   (cách)

b Số cách chọn 1 học sinh giỏi toán là 7 cách

Số cách chọn 1 học sinh giỏi văn là 5 cách

Số cách chọn 1 học sinh giỏi lý là 6 cách

Nên số cách chọn một nhóm gồm 3 học sinh giỏi trong đó có tất cả các môn là: 7.5.6210 cách

c Số cách chọn 2 học sinh trong đó một giỏi toán, một giỏi văn là 7.5 35 cách

Số cách chọn 2 học sinh trong đó một giỏi toán, 1 giỏi lý là 7.642 cách

Số cách chọn 2 học sinh trong đó một giỏi lý, 1 giỏi văn là 5.6 30 cách

Vậy số cách chọn ra một nhóm gồm 2 học sinh giỏi là 35 30 42 107   cách

Bài 4: cho các số tự nhiên sau: 1,2,5,6,7,9

a Hỏi lập được bao số lẻ có 3 chữ số khác nhau ?

b Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5 ?

c Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số mà có mặt chữ số 2 ?

Giải

a Gọi số cần lập là abc a 0

Vì số cần lập là số lẻ nên c có thể là 1;5; 7;9c có 4 cách chọn

Vì a; b ;c khác nhau nên b có 5 cách chọn và a có 4 cách chọn

Vậy số số lẻ có 3 chữ số khác nhau được thành lập từ các số trên là 4.5.360 số

b Gọi số cần lập là abc a 0

Vì số cần lập là số chia hết cho 5 nên c có thể là 5c có 1 cách chọn

Vì a; b ;c khác nhau nên b có 5 cách chọn và a có 4 cách chọn

Vậy số số lẻ có 3 chữ số khác nhau được thành lập từ các số trên là 5.3 15 số

c Các số tự nhiên có 3 chữ số mà có mặt chữ số 2 có các dạng sau: 2ab a b ab; 2 ; 2

Dạng 2ab có: 6.6 36 số

Dạng a b2 có: 6.6 36 số

Dạng ab2 có: 6.6 36 số

Vậy số số tự nhiên có 3 chữ số mà có mặt chữ số 2 thành lập từ các số đã cho là: 36 36 36 108   số

Trang 6

Bài 5: Cho các số tự nhiên 0,2,3,5,6,9

a Hỏi lập được bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau ?

b Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 3 ?

a Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên lớn hơn 601 ?

Giải

Ta phân các số trên thành 2 nhóm:

Nhóm 1 gồm các số  2;5

Nhóm 2 gồm các số 0;3;6;9 

Gọi số cần lập là abc thỏa mãn abc3a b c  3 a; b; c sẽ không đồng thời thuộc cả hai nhóm trên

Số các số chia hết cho 3 có 2 chữ số được thành lập từ nhóm 1 là:

+ Có 3 chữ số giống nhau có 2 số

+ Có 1 chữ số 2 và 2 chữ số 5 có 3 số (có 3 cách chọn vị trí để chữ số 5 có 1 cách chọn để vị trí 2 chữ số 2)

+ Có 1 chữ số 5 và 2 chữ số 2 có 3 số

Vậy từ nhóm 1 ta thành lập được 2 + 3 + 3 = 8 số chia hết cho 3

Số các số chia hết cho 3 lập được từ nhóm thứ 2 là:

+ Có 3 cách chọn chữ số a

+ Có 4 cách chọn chữ số b

+ Có 4 cách chọn chữ số c

Vậy có tất cả 3.4.448 số có 3 chữ số được thành lập từ nhóm 2 chia hết cho 3

Vậy số các số chia hết cho 3 được thành lập từ các chữ số đã cho là 48 8 56  số

b Gọi số cần lập là abc thỏa mãn abc601

Vì abc601 nên a chỉ có 2 cách chọn (a6hoặc a9)

Chữ số b có 6 cách chọn

Chữ số c có 6 cách chọn

Vậy có tất cả 6.6.272 số abc601 được thành lập từ các số trên

Trang 7

I Công thức

k

n

k n k



+

0

n

n k



Ví dụ 1 (ĐHKA – 2002) Tìm n v x biết à C n3 5C1n và số hạng thứ tư trong khai triển

1 3 2

n x



20n

Ví dụ 2 (ĐHKA – 2012) Tìm số hạng chứa x trong khai triển 5

2

1

14

n

nx

x x

1 3

5C n n C n, nZ

Ví dụ 3 Tìm số hạng chứa a và b có số mũ bằng nhau trong khai triển

21 3

3 ( , 0)

a b

Ví dụ 4 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển:

28

3 15

n



79

Ví dụ 5 Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển

BÀI 4 NHỊ THỨC NEWTON (PHẦN 1)

Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 4 Nhị thức Newton (Phần 1) thuộc khóa học LTĐH

KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn Để có thể nắm vững kiến thức phần Bài 4 Nhị

thức Newton (Phần 1) Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này

Trang 8

Bài 1 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

7 3

4

1

x

Bài 2 Tìm hệ số của 5/3

x trong khai triển:

3

3 2 2

n

x

2n C n n C n n C n n

Bài 3 Cho khai triển  2

1 3.x n a a xa x   a x n n,nN

Tính hệ số a9 biết n thoả mãn hệ thức: 22 143 1

3

Bài 4 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 2 12 , 0

2

n

x

*

Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 4 Nhị thức Newton (Phần 1) thuộc khóa học

kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 4 Nhị thức Newton (Phần 1) Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần

học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này

Trang 9

Bài 1 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

7 3

4

1

x

Giải:

7



Số hạng không chứa x là số hạng tương ứng với k thoản mãn:

28 7

12

k

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là: 4

7 35

Bài 2 Tìm hệ số của 5/3

x trong khai triển:

3

3 2 2

n

x

2n C n n C n n C n n

Giải:

2n C n n C n n C n n

    

4 2

4

n



  4 

4

2

4

n















Ta nhận thấy phương trình (*) có một nghiệm x5, mặt khác vế trái là hàm đồng biến còn vế phải là hàm nghịch biến, nên (*) có nghiệm duy nhất n5

15

15 0

k k k

k





=

30 5 15

3 15 0

2

k

k k

k







Mỗi số hạng trong khai triển đều có dạng

30 5 3

152

x

k k



, trong đó 15k 2k

30 5 3

x



Do đó hệ số của 5/3

x



  k 5

Trang 10

Vậy hệ số của x5/3 là C15525

Bài 3 Cho khai triển  2

n

n n

Tính hệ số a9 biết n thoả mãn hệ thức: 22 143 1

3

Giải:

Ta có:

   

3

2

18 0

k



Hệ số a9 là hệ số của x và ta có: 9  9

9

9 18 3

Bài 4 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 2 12 , 0

2

n

x

*

Giải:

2

15 ( ) 12

n

 





k

Mỗi số hạng trong triển khai đều có dạng:C12k.212 3k.x12 3k Trong đó 12 3

12k.2 k

C  là hệ số của x 12 3k

Số hạng không chứa x ứng với 12 3 k  0 k 4

Vậy số hạng không chứa x cần tìm là C124

Trang 11

I Công thức

k

n

k n k



+

0

n

n k



II Bài tập

Dạng 1: Tìm hệ số trong khai triển Niutơn

Ví dụ 1 Tìm hệ số của x trong khai triển 31

40 2

1

x

Ví dụ 2 (ĐHKA – 2005) Tìm hệ số của 8

n

x

1

4 3 7( 3)

C  C  n

Ví dụ 3 Tìm hệ số của x trong khai triển 7 (2 3 ) x 2n biết: C12n1C23n1C25n1  C22n n111024

Ví dụ 4 (ĐHKA – 2006) Tìm hệ số của x trong khai triển 26 14 7 ; 0

n

x

Biết C21n1C22n1C23n1  C2n n12201

Ví dụ 5 Tìm hệ số của x trong khai triển 12 (x21)n biết rằng tổng tất cả các hệ số trong khai triển bằng

1024

Ví dụ 6 Tìm hệ số của x trong khai triển 5 P x( )(2x1)4(2x1)5(2x1)6(2x1)7

Ví dụ 7 (ĐHKA – 2005) Tìm hệ số của x trong khai triển 8 1x2(1x)8

Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 5 Nhị thức Newton (Phần 2) thuộc khóa học LTĐH

KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn Để có thể nắm vững kiến thức phần Bài 5 Nhị

thức Newton (Phần 2) Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này

Trang 12

Bài 1 Tìm hệ số của 6

n

x x

  , biết tổng các hệ số trong khai triển bằng 1024

Bài 2 Tìm hệ số của x trong khai triển 2  2 6

1

x  x

n

x

2n 2n 2n n 2

Bài 4 Tìm các giá trị của x trong khai triển: lg 10 3  5  2 lg 3

x

n x



triển bằng 21 và: C1nC n3 2C n2

Trang 13

n

x x

  , biết tổng các hệ số trong khai triển bằng 1024

Giải:

Điều kiện: x0

k



=C n0C x1n 4nC n248nC x n3 12n   C x n n 3n

n 1024

n

Do đó, ta có:

10 10

10 0

k

x





Mỗi số hạng trong khai triển đều có dạng C x10k 4k10, trong đó 10k

C là hệ số của x4k10

Số hạng có x tương ứng với 46 k10  6 k 4

Vậy hệ số của x trong khai triển đã cho là 6 C104

Bài 2 Tìm hệ số của x trong khai triển 2  2 6

1

x  x

Giải:

6 0

k



   2  4  5  6

Vậy hệ số của x trong khai triển là: 6

 6

Bài 3 Tìm hệ số của x trong khai triển: 3 2 2 , 0

n

x

2n 2n 2n n 2

Giải:

1 1 n C nC nC nC n  C n n C n n

 2 0 1 2 3 2 1 2

1 1 n C n C nC nC n  C n n C n n

Trừ hai vế ta có: 22n 2( 12 23 22n 1)

Định dạng
Số trang	19
Dung lượng	3,95 MB